2.3 一元二次方程的根与系数的关系 同步练 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 以三级分层设计为核心，聚焦一元二次方程根与系数关系，通过基础巩固、能力提升到综合拓展的递进路径，培养运算能力与推理意识，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级双基过手|根与系数关系直接应用、基本计算|以选择、填空为主，如直接求两根之和积，强化概念理解与基础运算| |B级能力提升|代数式变形、几何应用|结合菱形对角线等实际情境，需先配方或降次，提升推理与转化能力| |C级综合拓展|含参数方程证明与求解|需论证根的存在性并结合条件求参数，如证明方程总有两不等实根，发展创新意识与综合应用能力|

第二章 一元二次方程 第三节 一元二次方程的根与系数的关系(1) 今日复习 1.如果x₁，x₂是一元二次方程 0(a≠0)的两个实数根，则有 , 2.一些常见的关于两根代数式的变形： ; 3.关于根的降次公式：若 (a≠0),则 名师点拨 1.求关于一元二次方程根的代数式的值的方法： 遇双平方，先配方；遇括号，先展开；遇分式，先通分；遇公因式，先提出；遇两根之差，先平方，再开方. 2.求一元二次方程待定系数的方法： (1)考虑待定系数的取值范围；(2)建立关于根的方程，并求解；(3)检验所求解是否符合(1)中的范围. 课时三级达标 A级双基过手 1.(1)(2026·编写)若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 (2)(2026·编写)若关于x的一元二次方程 有实数根，则k的最大整数值是 . 2.(1)设 x₁,x₂是方程 2x-3=0的两个实数根，则 的值为 . (2)(2025·东部新区)已知方程 3=0的两个实数根为x₁，x₂，则代数式 的值为 . 3.(1)已知x₁,x₂是一元二次方程 的两根，则 的值为 . (2)(2024·眉山)已知方程 的两根分别为x₁，x₂，则 的值为 4.(2024·泸州)已知x₁,x₂是一元二次方程 的两个实数根，则 的值是 . 5.(2026·编写)已知一元二次方程 3x+2=0的两个根为x₁,x₂,则 的值为 ( ) A.-3 C.1 D. 6.(2026·编写)关于x的方程 m+2=0有一个根为-1，则另一个根为( ) A.2 B.-2 C.5 D.-5 7.(2026·编写)设x₁,x₂是一元二次方程 的两根，则 A.-2 B.2 C.3 D.-3 8.(2026·编写)已知 x₁,x₂是方程 3x-2=0的两根,则 的值为( ) A.5 B.10 C.11 D.13 9.(1)(2026·编写)若a,b是关于x的一元二次方程 的两个实数根，求代数式 的值. (2)(2026·编写)已知 m 和 n 是方程 的两根，求： 的值； 的值. 10.(2026·编写)已知关于x的一元二次方程 有实数根. (1)求k的取值范围； (2)设此方程的两个根分别为x₁，x₂，若 求k的值. B级能力提升 11.(1)(2026·天府新区)设x₁,x₂是方程 的两个实数根，则 的值为 . (2)(2026·编写)若实数a,b分别满足 则 的值为 . 12.若一个菱形的两条对角线的长分别是关于x的一元二次方程 10x+m=0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为 . 13.(2026·编写)已知实数m,n满足 则 14.(2026·天府新区)已知关于x的一元二次方程 (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若m>0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值. C级综合拓展 15.(2024·遂宁)已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论 m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根为 且 求m的值. 一元二次方程的根与系数的关系(2) 今日复习 已知x₁，x₂ 是一元二次方程 (a≠0)的两个实数根. (1)若x₁,x₂同号,则 的正负性不确定， 为正； (2)若x₁,x₂异号,则 的正负性不确定， 为负； (3)若x₁,x₂同为正,则 为正， 为正； (4)若x₁,x₂同为负,则 为负， 为正. 名师点拨 1.△的符号确定根的个数，两根之和、两根之积的符号确定两根的正、负性. 2.一元二次方程 的特殊根： (1)若c=0，则一元二次方程有一个根为x=0； (2)若a+b+c=0,则一元二次方程有一个根为x=1; (3)若a-b+c=0,则一元二次方程有一个根为x=-1. 3.求一元二次方程待定系数的方法： (1)考虑待定系数的取值范围； (2)建立关于根的方程，并求解； (3)检验所求解是否符合(1)中的范围. 课时三级达标 A级双基过手 1.(1)(2026·编写)若一元二次方程 2x-m=0无实数根，则一次函数y=(m+1)x+m-1的图象不经过第 象限. (2)(2026·编写)若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则k的值为 . 2.(1)(2026·编写)关于x的一元二次方程 的一个根是1，则另一根是 ，k的值为 . (2)(2026·编写)已知一元二次方程 的两个根是x₁,x₂,则 3.(1)(2026·编写)已知关于x 的方程 的两实数根为x₁,x₂,若 则k= . (2)(2026·编写)设x₁,x₂是方程 3x+m=0 的两个根,且 则m的值是 . 4.(1)(2026·编写)已知关于x的一元二次方程 的两根x₁,x₂满足 则m= . (2)(2026·武侯)若x₁,x₂是关于x的一元二次方程 的两个实数根，且 则m的取值范围为 . 5.(2026·编写)已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根x₁,x₂,则 ( ) 6.(2026·编写)若关于x的一元二次方程 的两根x₁,x₂满足(x₁- 则m的值为 ( ) A.3 B.-3 C.2 D.-2 7.(2026·编写)若关于x的一元二次方程 的两个实根的平方和等于11，则k的值为 ( ) A.-3 B.1 C.3 D.-3或1 8.(2026·编写)已知关于x的一元二次方程 的两根分别为 则原方程可化为 ( ) A.(x+2)(x+3)=0 B.(x+2)(x-3)=0 C.(x-2)(x-3)=0 D.(x-2)(x+3)=0 9.(1)设x₁,x₂是关于x的一元二次方程 0的两个实数根，且8,求m的值. (2)(2026·金牛)若x₁,x₂是关于x的方程 的两个根，且 求m的值. 10.(2026·天府新区)已知关于x的一元二次方程 有两个实数根. (1)求m的取值范围； (2)设 p 是方程的一个实数根，且满足 求m的值. B级能力提升 11.(2025·简阳)已知方程 12=0的两根之和等于两根之积，则方程两根的平方和为 . 12.(2024·成都)若m,n是一元二次方程 的两个实数根，则 m+ 的值为 . 13.(2026·高新)通过学习，我们知道：若关于x的一元二次方程 有两个实数根x₁,x₂,则 已知 7=0,且 则代数式 的值等于 . 14.(2026·武侯)已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程必有两个不相等的实数根； (2)若实数m,n满足 3nb=2,且m≠3n,求 mn的值. B级综合拓展 15.(2026·编写)已知关于x的一元二次方程 (p.为常数)有两个不相等的实数根x₁和x₂. (1)填空: (2)求 的值； (3)已知 求p 的值. 一元二次方程的根与系数的关系(1) 【今日复习】 (2)x₁x₂+ (4)x₁x₂ (x₁+x₂) 【课时三级达标】 A级(双基过手) 1.(1)k>-1且k≠0 (2)0 2.(1)10 (2)5 3.(1)6(2) 4.14 5. D 6. C 7. A 8. D 9.(1)【解】∵a,b是关于x的一元二次方程. -15=0的两个实数根， ∴a+b=6, ab=-15, (2)【解】①∵m和n是方程 的两根， 10.【解】(1)∵关于x的一元二次方程. k=0有实数根， 解得k≤0. (2)根据题意，得. 解得k=1或 ∵k≤0,∴k=- B级(能力提升) 11.(1)2032 (2) 12. 13.2或一18 14.(1)【证明】 ∴该方程总有两个实数根. (2)【解】由题意可得， 又 联立方程组 解得 代人 得 即 解得m=±2. ∵m>0,∴m=2. C级(综合拓展) 15.(1)【证明】 这里a=1,b=-(m+2),c=m-1. ∴△>0. ∴无论 m取何值，方程都有两个不相等的实数根. (2)【解】∵方程 的两个实数根为x₁,x₂, 即 整理，得 解得 ∴m的值为-2 或1. 一元二次方程的根与系数的关系(2) 【课时三级达标】 A级(双基过手) 1.(1)一 (2)±2 2.(1)x=-3 3 3.(1) (2)1 4.(1)-2 (2)m≥-1 5. D 6. A7. B 8. D 9.(1)【解】∵x₁,x₂ 是关于x 的一元二次方程 的两个实数根， 解得m=1或m=-3. 解得 ∴m=1. (2)【解】由条件可知， 由 得 即 整理，得 解得 当m=-5时，判别式 0，方程无实数根，舍去； 当m=1时，判别式 方程有两个实数根，符合题意. 综上所述，m的值为1. 10.【解】(1)由题意可知, -1)≥0, 解得m≤2. (2)由题意可知， ∴(1-m+4)(m+4)=14, 整理，得 解得 由(1)可知,m≤2,∴m=-2. B级(能力提升) 11.15 12.7 13 14.(1)【证明】在一元二次方程. 中， ∴b²+8≥8>0,即△ >0, ∴方程必有两个不相等的实数根. (2)【解】 ∴m和 3n都满足方程. 对于一元二次方程. 有 ∵m和3n是方程的两个根,且m≠3n, ∴m·(3n)=-2, C级(综合拓展) 15.【解】(1)由根与系数的关系，得 =1. 故答案为p；1. ∵关于x的一元二次方程. (p为常数)有两个不相等的实数根x₁ 和x₂， 即 (3)由根与系数的关系，得 解得 当p=3时, 当p=-1时: ∴p=3. 学科网（北京）股份有限公司 $