江西南昌聚仁高级中学2026-2027学年高三8月数学第一次素养训练

机密★启用前 8 月 高 三 数 学 命题： 审题： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在指定区域。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试 卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.命题范围：高中阶段数学学习内容 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.已知集合A={x-1<x≤1}，B={x0<x<2},则AUB= A.{x0<x≤1} B.{x|-1<x<2} C.{x0<x<1》 D.{x|-1<x<0} 2.若命题“]x∈R,使得mx2-2m.x-3≥0”是假命题，则实数m的取值范围是 A.[-3,0) B.(-3,0) C.[-3,0] D.(-3,0] 3.复数=(》 、之2=2-分别对应复平面上的点PQ,则向量PQ对应的复数是 A.√10 B.-3-i C.1+i D.3+i 4.等比数列{am}的各项均为正数，且a4a6十a5=12,则log3a1十1og3a2十log3a3+…十log3as= A.2+10gs5 B.181og32 C.9 D.10 5.已知定义在R上的可导函数f(x)满足f(x)十f(x)>0恒成立，且f(0)=1,则下列不等式 一定成立的是 A.f(1)<e B.f(1)>e C.f1)<1 D.f(1)> e JX数学试题第1页（共5页） 6已知正数f)=4c(ox一)a>0)在区间D,引上的最小筐拾为-“，方程产 m一1表示焦点在y轴上的椭圆，记所有满足条件的@为集合A,实数m的取值集合为B, 则 A.w∈B B.@B C.AB D.BA 7.在流行病学中，基本传染数R。是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一 个感染者平均传染的人数，一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过 程中传染的概率决定.对于R。>1,而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染 源，切断传播途径.假设某种传染病的基本传染数R。=2,平均感染周期为6天（初始感染者传 染R。个人为第一轮传染，经过一个周期后这R。个人每人再传染R。个人为第二轮传染…) 那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人至少需要的天数为 A.48 B.54 C.60 D.66 8.中国古代数学著作《九章算术》中记载的“刍甍”（如图）是一种五面体，底 面ABCD为矩形，侧棱EF平面ABCD,若有“刍甍”形状的几何体，且 几何体数据如下：AB=4,AD=2,EF=2,且各侧面与底面ABCD所成 角均为不，则该“刍莞”的体积为 A号 B.8 c号 号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分。有选错的得0分。 9.某研究小组调查学生每周课外阅读时间x(单位：小时)与语文作业中错别字个数y(单位：个) 的关系，随机抽取5位学生的数据如下表所示： 2 y 8 6 2 根据表中的数据计算得经验回归方程为y=x十8，下列结论正确的是 A.y与x负相关 B.b=-1 C.当x=1与x=5时，残差相等 D.x每增加1小时，y平均减少1个 10.函数f(x)=Asin(ox十p)(A>0,w>0,e<交)的部分图象如图所示.则 A.w=2 3 B图象关于x=后x轴对称 5 πO 6 C.f(x)在(x,2x)内单调递塔 D.f(x)的图象可由y=2sin2x的图象向左平移石个单位长度得到 JX数学试题第2页（共5页） 11.两千多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯发现，用一个不垂直于圆锥 的轴的平面截圆锥，其截口曲线是圆锥曲线（如图）.已知圆锥轴截面的 顶角为20，一个不过圆锥顶点的平面与圆锥的轴的夹角为α.当0<α< 2,截口曲线为椭圆；当。=0时，截口曲线为抛物线；当0<a<0时，截 口曲线为双曲线.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2,AA1 =4,点P在平面ABCD内，下列选项正确的是 A.若点P到直线CC1的距离与点P到平面BB1C1C的距离相等，则点P的轨迹为直线 B.若点P到直线CC1的距离与点P到AA1的距离之和等于4，则点P的轨迹为椭圆 C.若∠BD1P=45°，则点P的轨迹为抛物线 D.若∠BD1P=60°，则点P的轨迹为双曲线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(1,1,1),b=(2,0,一1)，则向量a在向量b上的投影向量的坐标是 18,若了g)满足)-2f(）=3江-，且f)+ge)=2x十6，则f2+g(-1)= 14.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，已知鳖臑P一ABC中，PA⊥平 面ABC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D,E,F分别为线段PA,PB,BC的中点，则平面 DEF截鳖臑P一ABC外接球所得截面的面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中给出了由三角形的三边a,b,c计算三 角形面积的公式S=, 这就是“三斜求积”公式.若△ABC的内 角A,B,C的对应边分别为a,b,c. (1)若a=√2，b=√7，c=√5，求△ABC面积； (2)若b=2,且√3 ccos B+23cosC=c,求△ABC面积的最大值， 16.(15分) 如图，在三棱锥A-BCD中，CD⊥平面ABD,AB=BD=CD,E是 AD的中点，F是线段AC上的一点（不含端点）. (1)证明：BE⊥平面ACD; (2)若二面角A一CD-B的大小为，判断是否存在点F使得直线BF 与平面ACD所成角的正弦直为？若存在，求的恤：若不存 在，请说明理由. JX数学试题第3页（共5页） 17.(15分) 2025年8月31日，哈尔滨马拉松赛事成功举行，志愿者服务是赛事有序开展的重要保障，共 青团哈尔滨市委员会统筹了志愿者选拔的面试工作，现随机抽取了100名候选志愿者的面试 成绩，已知100名候选志愿者的分数x;(i=1,2,·,100)全部介于50分到100分之间（满分 100分)，工作人员将所有测试分数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90， 100],整理得到如图所示的频率分布直方图， 小频率/组距 2a 0.030- a---- 0.005- 05060708090100分数 (1)求a的值； (2)由频率分布直方图估计这100名候选志愿者面试分数的平均数以及第30百分位数； (3)此前工作人员已按照分层抽样的方法，从分数在[80,100]内的候选志愿者中抽取出甲、 乙、丙、丁、戊5人，查阅他们的答题记录.求从甲、乙、丙、丁、戊5人中选出2人进行复核 面试时，所选出的2人中恰有1人分数在[90,100]内的概率. 18.(17分) 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定 义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.古希腊数学家帕普斯完善了欧几里得关于圆 锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比 是常数e(离心率)的点的轨迹叫作圆锥曲线：当0<e<1时，轨迹为椭圆；当e>1时，轨迹为 双曲线.已知曲线C:m√x2+y2=3.x+2√31. (1)分别求出曲线C表示椭圆、双曲线时m的取值范围. (2)已知曲线C的离心率为，面线C向右平移.2w5个单位长度得到曲线C. (i)求曲线C的方程； (ⅱ)已知O为坐标原点，P,M,N是曲线C上3个不同的点，OP+OM+4ON=0,求 △PMN的面积. JX数学试题第4页（共5页） 19.(17分) “拉格朗日中值定理”是法国数学家拉格朗日在其著作《解析函数论》中给出的，其内容为若函 数y=f(x)满足如下条件：①在区间[a,b]上的图象是连续的；②在区间(a,b)上可导，则在 区间a,b)上至少存在一个实数，使得fb)二fa-f(传成立.已知函数f(x)=e一x2 b-a +mx. )Va,b(0,十o),且a<b,若f(a）-fb≥1恒成立，求m的取值范围： a-b (2)当m=-时，是否存在区同06a>0,使a)>f）?若存在，写H证 3 2 明过程；若不存在，说明理由； (3)当m<-1时，设f(x)的两个极值点为x1,x2,且x1<x2,证明：e2-e1<-4m. JX数学试题第5页（共5页）