精品解析：江西省宜春市丰城中学2023届高三上学期10月月考文科数学试题

丰城中学2022-2023学年上学期高三文科数学月考试卷 命题人：龚金国 审题人：余建国 2022.10.9 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则下列满足条件集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意每个选项代入检验即可. 【详解】对A选项，，符合题意， 对B选项，，不合题意，故B错误； 对C选项，，不合题意，故C错误； 对D选项，，不合题意，故D错误； 故选：A. 2. 命题“，”的否定为（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由特称量词命题的否定是全称量词命题即可判断得解. 【详解】命题“，”是特称量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题“，”的否定为：，. 故选：C 3. 若命题“”为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在性命题转化为求最值问题即可. 【详解】因为， 所以， 显然在上单调递增， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D 4. 若，是方程两个实数根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由根与系数关系得到两根之和，两根之积，代入正切的和角公式即可. 【详解】由韦达定理得：，， 所以 故选：A 5. 在中，内角，，的对边分别为，，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】在中，根据正弦定理即可求解. 【详解】解：在中， ，(为的外接圆半径) ，即， 故选：C． 6. 记数列的前n项和为，已知向量，，若，且，则对于任意的，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示得到，再根据计算可得. 【详解】解：因为，且， 所以，当时，又，所以， 当时，所以，即， 所以，，又，故A、B错误； 又，所以，即，故C错误，D正确； 故选：D 7. 下列选项中，说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若向量，满足，则与的夹角为钝角 C. ，的最小值为 D. “”是“”的必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】对于A、B ，举反例即可，对于C，根据基本不等式的性质判断即可，对于D，根据必要条件判断即可． 【详解】解：对于A，若，则，但，故A错误； 对于B，，夹角为时，，但夹角不是钝角，故B错误； 对于C，，当且仅当时，等号成立．此时无实数解，故C错误； 对于D，一定可以推出，故“”是“”的必要条件，故D正确． 故选：D． 8. 对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将不等式等价变形，构造函数，再借助函数单调性、最值求解作答. 【详解】依题意，，令，， 则对任意的，当时，，即有函数在上单调递减， 因此，，，而，则， 所以实数的取值范围是. 故选：C 9. 已知函数的最小正周期为，将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将化为，根据最小正周期求出，再根据正弦函数的图像平移得到答案. 【详解】因为的最小正周期为，所以．将的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像． 故选：A. 10. 如图，的外接圆圆心为O，，，则（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，分别求出、即可求解作答. 【详解】因的外接圆圆心为O，，，由圆的性质得， 有，同理， 所以. 故选：A 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积的方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 11. 已知函数为奇函数，且，若，则数列的前2022项和为（ ） A. 2023 B. 2022 C. 2021 D. 2020 【答案】B 【解析】 【分析】由为奇函数，可得，再由，得，然后利用倒序相加法可求得结果. 【详解】由于函数为奇函数，则， 即，所以， 所以， 所以 因此数列的前2022项和为． 故选：B. 12. 已知线段是圆的一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过圆心作，将问题转化为，结合点到直线距离公式来进行求解. 【详解】圆的圆心为，半径为，为直线上的任意一点， 过作，垂足为，则是的中点. 由，可得， ，则，又， 的最小值为． 故选：D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知tan＝，则cosα＝____. 【答案】 【解析】 【分析】利用求出即可 【详解】由可得 ∴，解得 故答案为： 14. 已知向量．若，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】由平面向量坐标运算公式以及平面向量共线的坐标关系计算即可． 【详解】因为，所以， 又 所以，解得：. 15. 对于数列，定义数列为数列的“倍差数列”，若的“倍差数列”的通项公式为，则数列的前项和__________． 【答案】 【解析】 【详解】 由题意得，可得，且， 则，所以数列表示首项为，公差的等差数列， 所以，所以， 则 ， 两式相减可得， 解得. 16. 函数的图象如图所示，则下列结论成立的是______． ①，，，； ②，，，； ③，，，； ④，，，． 【答案】① 【解析】 【分析】由，可排除④，求出，根据函数的单调性与符号的关系可知是开口向上的抛物线，故，且有两正根，，由韦达定理列不等式可得的符号，进而可得正确答案. 【详解】由图知， 由可得 由图知当或时，单调递增， 当时，单调递减，， 的大致图象如图所示： 所以， 因为和是的两个极值点， 即的两根为和，，， 所以，可得，， 综上所述：，，，， 故答案为：①. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．其中22，23为选做题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 的内角所对的边分别是，向量与垂直. （1）求； （2）若，求边. 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由向量垂直的坐标表示，再结合边角互化，即可解出； （2）结合（1）的结论可得，再根据三角形内角和定理和正弦定理即可求出． 【小问1详解】 ∵，∴， ∴，而， 解得，又，解得. 【小问2详解】 ∵，∴，， 由正弦定理可得，解得． 18. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若角α，β的终边不共线，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间； （2）利用（1）的函数关系式，进一步建立α和β的关系式，最后求出函数的值． 【详解】解：（1）函数． ， ， 令 ， 解得： ， 故函数的单调递增区间为： ． （2）由于， 所以，， 角α，β的终边不共线， 所以， 整理得， 所以． 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用． 19. 如图，在正方体中，为的中点. （1）求证：平面； （2）上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由. 【答案】（1） 连接交于，连接． 因为为正方体，底面为正方形， 对角线、交于点，所以为的中点， 又因为为的中点，在中，是的中位线， 则， 又平面，平面， 所以平面； （2） 上的中点即满足平面平面． 因为为的中点，为的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； 由（1）知平面， 又因为，平面， 所以平面平面． 【解析】 【分析】（1）由三角形的中位线定理、线面平行的判定定理，可得证明； （2）上的中点即满足平面平面．由平行四边形的性质和线面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理，可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知正项数列的前项和为是与的等比中项. （1）求证：数列是等差数列； （2）若，数列的前项和为，求. 【答案】（1）由是与的等比中项， 得 . 当时，. 当时，， ， 即. ，即. 数列是等差数列. （2） 【解析】 【详解】试题分析：已知数列的递推关系中含有前n项和与第n项的关系，求数列的通项公式，一般分两步，第一步n=1时，第二步，常用前n项和减去前n-1项和（两式相减）去处理，化为与的关系后，再求通项公式 ；错位相减法是数列求和的常用方法，使用错位相减法求和时，要注意末项的符号及等比数列求和的项数，避免失误. 试题解析： （1）略 （2）数列首项，公差， 通项公式为. 则，则.① 两边同时乘以，得② ①-②，得 . 解得. 【点睛】数列的递推关系中为与的关系，求数列的通项公式，一般分两步，第一步n=1时，得出所表达的含义；第二步当时，常用两式相减去处理，化为与的关系后，再求通项公式 ；数列求和常用方法有错位相减法、倒序相加法、裂项相消法、分组求和法等；要根据数列的特征 采用相应的方法准确求和，特别是使用错位相减法要注意运算的准确性. 21. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由导数法，对a分类讨论即可讨论单调性； （2）由导数法讨论最小值得，则原命题等价于，由（1）结论对a分类讨论即可. 【小问1详解】 的定义域为， 当时，，此时的增区间为，减区间为； 当时，，无单调性； 当时，，的增区间为，减区间为． 【小问2详解】 ．设， 当时，， 是增函数， 当时，，， 由（1）知，当时，； 当时，； 当时，不恒成立. 综上可得． 请考生在22、23两题中任选一题作答，本小题满分10分，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修4—4：坐标系与参数方程 22. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线与曲线C交于A，B两点. （1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （2）已知点P的极坐标为，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据加减消元法得直线的普通方程，再根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）先求直角坐标，再设直线的参数方程标准式，代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义以及利用韦达定理得结果. 【小问1详解】 根据上下两式相加可得的普通方程为：，又，所以，即曲线的直角坐标方程为： 【小问2详解】 直角坐标，即在直线上,故可设直线的参数方程为 （t为参数），代入曲线的直角坐标方程得，即，故 选修4—5：不等式选讲 23. 已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先将函数写成分段函数，再分类讨论，分别计算可得； （2）利用绝对值三角不等式得到，依题意可得，两边平方解得即可； 【小问1详解】 解：当时，， ∵，∴或或， ∴或， ∴不等式的解集为． 【小问2详解】 解：，当且仅当时取等号， 若有解，则， 即，且，解得， 综上可得，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城中学2022-2023学年上学期高三文科数学月考试卷 命题人：龚金国 审题人：余建国 2022.10.9 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则下列满足条件集合是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若命题“”为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 若，是方程两个实数根，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角，，的对边分别为，，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 记数列的前n项和为，已知向量，，若，且，则对于任意的，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列选项中，说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若向量，满足，则与的夹角为钝角 C. ，的最小值为 D. “”是“”的必要条件 8. 对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数的最小正周期为，将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，的外接圆圆心为O，，，则（ ） A. B. C. 3 D. 2 11. 已知函数为奇函数，且，若，则数列的前2022项和为（ ） A. 2023 B. 2022 C. 2021 D. 2020 12. 已知线段是圆的一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知tan＝，则cosα＝____. 14. 已知向量．若，则________． 15. 对于数列，定义数列为数列的“倍差数列”，若的“倍差数列”的通项公式为，则数列的前项和__________． 16. 函数的图象如图所示，则下列结论成立的是______． ①，，，； ②，，，； ③，，，； ④，，，． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．其中22，23为选做题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 的内角所对的边分别是，向量与垂直. （1）求； （2）若，求边. 18. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若角α，β的终边不共线，且，求的值． 19. 如图，在正方体中，为的中点. （1）求证：平面； （2）上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由. 20. 已知正项数列的前项和为是与的等比中项. （1）求证：数列是等差数列； （2）若，数列的前项和为，求. 21. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求a的取值范围． 请考生在22、23两题中任选一题作答，本小题满分10分，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修4—4：坐标系与参数方程 22. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线与曲线C交于A，B两点. （1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （2）已知点P的极坐标为，求的值． 选修4—5：不等式选讲 23. 已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若有解，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $