专题1.2.3 直线和圆的位置关系（高效培优讲义）数学北师大版高二选择性必修第一册

专题1.2.3 直线和圆的位置关系 教学目标 掌握判定直线与圆位置关系的几何法、代数法两种方法，能根据圆心到直线距离d与半径r、判别式快速判断相交、相切、相离。 熟练运用垂径定理和弦长公式计算弦长；掌握中点弦问题（点差法、垂直斜率关系）、联立方程结合韦达定理处理交点、向量、斜率综合题型。 吃透切线核心知识点：过圆上一点切线方程、过圆外一点两条切线、切线长公式、切点弦方程；能利用d=r求解切线相关参数，分类讨论斜率存在 / 不存在避免漏解。 掌握圆上动点距离最值模型：圆上点到定直线、定点距离最值，会用圆心距离 ± 半径数形结合求解，避开复杂函数求最值。 能解决动直线定点、弦长 / 向量数量积定值问题；综合运用直线、圆、三角形面积公式求解面积最值几何综合题。 教学重难点 1.重点 直线与圆三种位置关系的判定（几何法d与r比较为核心）。 垂径定理与弦长公式，中点弦、韦达定理在相交综合题中的应用。 切线全套模型：切线方程、切线长、切点弦；利用d=r求切线参数。 圆上动点距离最值的数形转化方法。 动直线过定点、几何面积最值基础解题思路。 2.难点 区分几何法、代数法适用场景，复杂综合题（向量、斜率、参数）灵活选择方法。 中点弦点差法逻辑、联立方程后韦达定理与向量数量积结合的代换计算。 切线问题分类讨论：斜率不存在的切线漏解；圆外一点两条切线夹角、切点弦方程推导。 含参数动直线恒过定点、弦长 / 向量定值的证明逻辑。 知识点 1：直线与圆位置关系的两种判定方法 设圆半径r，圆心到直线距离d；联立直线与圆方程消元得到一元二次方程，判别式。 几何法（优先选用） 相交：d<r，直线与圆有 2 个公共点； 相切：d=r，直线与圆有 1 个公共点； 相离：d>r，直线与圆无公共点。 代数法 相交；相切；相离。 辨析：直线与圆计算优先几何法，计算量更小；代数法多用于交点、向量、斜率综合问题。 【即学即练】 直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【答案】C 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 即，所以直线l与圆C的位置关系是相离. 知识点 2：直线与圆相交：垂径定理与韦达定理 垂径定理：圆心与弦中点连线垂直于弦； 弦长公式：，是弦长计算核心公式。 中点弦结论：利用垂直斜率关系、点差法求解中点弦方程； 韦达定理应用：联立方程，不解交点，直接使用，解决斜率和、向量、距离等问题。 【即学即练】 已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用垂径定理的弦长公式建立圆心到直线距离的方程，再结合点到直线的距离公式求解实数的值. 【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径 ，将直线整理为一般式：； 设 为圆心到直线 的距离，则 ， 所以 ，解得 ，即 ， 由点到直线的距离公式： ，解得 ，即 . 知识点 3：切线相关核心知识 切线性质：圆心与切点连线垂直切线； 切线方程两类模型： 过圆上一点：唯一一条切线，可直接套用公式； 过圆外一点：存在两条切线，注意检验斜率不存在情况； 切线长：圆外一点到切点的线段长度，熟记切线长计算公式； 切点弦：圆外两点引两条切线，两个切点连线；掌握切点弦方程写法。 【即学即练】 过圆上的点的切线方程为______. 【答案】 【详解】法1：圆心坐标为， 因为点在圆上，故圆心与该点连线的斜率不存在， 故切线的斜率为零，故切线方程为. 法2：过圆上的点的切线方程为： ，即. 知识点 4：切线条件的参数约束 若直线是圆的切线，满足核心条件d=r； 利用等式建立方程，求解直线、圆方程中的参数； 常结合分类讨论：斜率存在、斜率不存在两种情况，防止漏解。 【即学即练】 已知直线，若绕点顺时针旋转后恰与圆相切，则实数（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】直线，斜率，且点在直线上. 直线顺时针旋转后与原直线垂直，故旋转后直线斜率. 由点斜式得旋转后直线方程，整理得. 圆的圆心为，半径. 直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，由点到直线距离公式 化简得，解得或. 知识点 5：最值模型（圆上动点距离最值） 圆上点到定直线距离最值：（为圆心到直线距离）； 拓展：圆上动点到定点距离最值； 本质：数形结合，利用圆心、半径转化，避免复杂函数求最值。 【即学即练】 圆上的点到直线的距离的最小值为_______. 【答案】2 【分析】先计算出圆心到直线的距离，判断圆与直线的关系，根据圆与直线的关系进行求解. 【详解】该圆的圆心为，半径，到直线的距离， 所以圆与直线相离，其上一点到的距离的最小值为. 知识点 6：直线与圆中的定点、定值与几何综合 定点：含参数动直线恒过定点；动直线与圆恒有公共点问题； 定值：直线与圆相交，证明弦长、斜率乘积、向量数量积等为定值； 几何综合：结合弦长、半径求解圆内接三角形面积、面积最值。 【即学即练】 已知经过点，且方向向量为的直线l与圆相交于M、N两点． (1)求实数k的取值范围； (2)求证：为定值； (3)若O为坐标原点，且，求k的值． 【答案】(1) (2)证明：设过A点的圆C的一条切线为，T为切点， 则． ， 为定值． (3)1 【分析】（1）根据直线的方向向量和过点坐标，得到直线方程，因为直线与圆相交，故圆心到直线的距离小于半径，可列出不等式得到斜率的取值范围； （2）过圆外一点作圆的切线，则切线长为定值，根据切割线定理即可证明结论； （3）设点坐标，联立直线与圆的方程，利用韦达定理和向量积的坐标运算求斜率的值． 【详解】（1）∵直线l过点且方向向量， ∴直线l的方程为，则，整理得， 即，得． （2）略 （3）设，， 将代入方程 得， ， ． ，解得． 又当时，，． 题型 01 判断直线与圆的位置关系 【典例1】已知圆，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离或相切 B．相交或相切 C．一定相交 D．不能确定 【答案】B 【分析】比较圆心到直线的距离与半径的大小，判断二者位置关系即可. 【详解】由题意可知，圆心到直线的距离， 由辅助角公式可知，，其中， 所以，即， 由于圆的半径，所以圆心到直线的距离， 当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交； 所以直线与圆的位置关系是相交或相切，故B正确. 【变式1】已知直线，圆，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．对，直线与圆一定相交 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在着4个点到直线的距离为 【答案】ABD 【分析】对于A，将圆一般方程化为标准方程，据此可得圆心坐标；对于B，注意到直线过定点，由定点与圆关系可判断选项正误；对于C，设直线到圆心距离为，求出的最大值，可得弦长最小值；对于D，计算出直线到圆心距离，结合图形可判断选项正误. 【详解】对于A：，从而圆心坐标为，故A正确； 对于B：，则直线过定点，又， 则定点在圆内，则过该定点直线一定与圆相交，故B正确； 对于C：设直线到圆心距离为，直线被圆所截弦长为，圆半径为.由AB分析可得，直线过定点且该点到圆心距离为， 当直线与定点和圆心连线垂直时，最大为，则直线被圆截得的最短弦长为，故C错误； 对于D：当时，直线到圆心距离为，如下图，设直线与圆交于，中点为， 连接并延长交圆于，由垂径定理可得.易得， 则在劣弧上存在两点到直线的距离为，在优弧上也存在两点到直线的距离为， 综上圆上存在着4个点到直线的距离为，故D正确. 【变式2】已知直线，圆，则（   ） A．过定点 B．与圆C总有两个不同的公共点 C．存在实数，使圆关于对称 D．被圆C截得弦长的最小值为 【答案】ABD 【分析】求出直线所过定点判断A；确定定点与圆的位置判断B；由圆心与直线关系判断C；求出最短弦判断D. 【详解】对于A，直线过定点，A正确； 对于B，点在圆内，与圆C总有两个不同的公共点，B正确； 对于C，圆的圆心不满足方程，因此不存在实数，使圆关于对称，C错误； 对于D，，圆半径，当时，被圆C截得的弦长取得最小值，该最小值为，D正确. 题型 02 交点坐标、弦长、中点弦相关问题 【典例1】直线被圆所截得的线段的长为______． 【答案】 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式计算，结合几何法求弦长即可求解. 【详解】由题意可知，圆心到直线的距离， 由于圆的半径，所以弦长为. 【变式1】设圆的圆心在直线上，且都是圆上的点. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于两点，求线段中点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出圆的标准方程，代入圆心以及两点坐标，联立解方程组可求得圆的标准方程； （2）利用垂径定理以及两直线垂直的斜率关系，求得直线的方程，并与直线联立解得交点坐标，即可求出线段中点的坐标. 【详解】（1）设所求圆的方程为， 由题意得 解得， 因此所求圆的方程为. （2）设中点为， 由垂径定理可知，，又因为，所以直线的斜率为； 可得直线方程为， 联立，得到中点的坐标为. 【变式2】已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆的方程化为标准方程，再由弦长公式求解. 【详解】原方程：，配方整理， 所以圆心为 ，半径 （需满足 ，即 ）, 圆心 到直线的距离是 由弦长公式，得 ，得, 由 ，得. 【变式3】在平面直角坐标系中，已知圆和圆．若过定点存在无数条直线，被圆和圆截得的弦长之比为，则该定点的坐标是______． 【答案】和 【分析】先判断直线的斜率存在，再设直线方程为，由条件根据弦长公式列方程得，求解方程即可. 【详解】由已知圆的圆心的坐标为，半径， 圆的圆心的坐标为，半径， 过且斜率不存在的直线与两圆不同时相交， 设直线方程为，即， 圆被直线截得的弦长为， 圆被直线截得的弦长为， 令，化简可得， 即， 由已知或， 所以直线的方程为或， 所以定点的坐标为或. 题型 03 相交背景下韦达定理综合应用 【典例1】已知圆与轴交于，两点，且点在点的左侧，动点与点的距离是它与点距离的倍. (1)求点的轨迹方程； (2)过点作倾斜角为的直线交于的轨迹于，两点，求弦长. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据直接法求解动点的轨迹方程； （2）根据直线与圆相交，结合弦长公式计算弦长； 【详解】（1）由题意得点，，设点， 则，平方得， 化简得. 故点的轨迹方程为. （2）依题意，点，故直线，即. 联立化简得. 设点，，则，，所以， 故. 【变式1】已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)圆与直线：交于，两点，以弦为直径的圆过点，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由求得圆心坐标，进而可求解； （2）联立直线方程和圆的方程，结合韦达定理由，即可求解. 【详解】（1）由圆心在直线上，设， 由题意可得， 即， 化简可得：，即， 则， 故圆的半径为， 则圆的方程为 （2）设， 联立直线与圆方程， 得， 消去化简可得， 由韦达定理可得：， 因为以弦为直径的圆过点， 所以，即， ， 所以， 代入， 化简可得：， 代入韦达定理可得： ， 化简得：， 解得或 即直线方程为或， 故直线的斜率为或. 【变式2】已知圆的圆心在直线上，过点的直线与圆相交于两点． (1)求圆的方程； (2)当时，求直线的方程； (3)若点，是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】（1）由圆，得圆心的坐标为，代入直线求得的值，即可得到圆的方程； （2）分斜率不存在与斜率存在两种情况，设直线的方程，根据圆心到直线的距离与弦长的关系，确定直线的方程； （3）假设存在直线，使得向量与共线.当直线的斜率不存在时，写出的坐标，可利用向量坐标判断向量与不共线；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立圆的方程，用表示向量，根据向量与共线，求出的值，即可得到直线的方程. 【详解】（1）圆的圆心的坐标为， 将其代入直线得，解得. 即圆的方程为. （2）圆的标准方程为，设弦的中点为，则. ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，所以，符合题意． ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 因为，所以，则圆心到直线的距离，解得. 此时直线的方程为， 故直线的方程为或． （3）因为，所以． ①当直线的斜率不存在时，易知. ，所以与不共线，不符合题意； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为. 由，得， 可得. 所以， 所以， 则， 所以． 若向量与共线，则， 即，解得或， 当时，，舍去， 当时，. 所以存在直线，使得向量与共线，且直线的方程为，即.    题型 04 切线方程、切线长与切点弦问题 【典例1】由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【详解】圆即为，可知圆心为，半径， 在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A，连接CA， 在中，．要使最小，则应最小． 又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为． 故的最小值为． 【变式1】已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设过点的切线与圆的切点分别为，连接， 易得，在中，，则， 故这两条切线的夹角为. 【变式2】已知点是圆上一点，则过点且与圆相切的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点P在圆上，代入可得m值，根据圆的几何性质可得过点P的直线l与直线CP垂直，根据斜率的关系，求出直线l的斜率，即可得答案. 【详解】因为点在圆上， 所以，解得，即圆C的方程为， 则圆心，所以直线CP的斜率， 则过点P与圆相切的直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 【变式3】过圆上一点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆心为，所以， 而切线与垂直，则切线斜率为， 可得所求切线方程为，即. 题型 05 已知切线条件求参数 【典例1】过作圆的两条切线，切点分别为A、B，当为正三角形时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的切线的性质，求得，得到点的轨迹方程为，令，转化为圆上的动点到定点的连线的斜率，结合直线与圆的位置关系，列出不等式，即可求解. 【详解】如图所示，根据圆的切线的性质，可得，    因为为正三角形，可得，所以， 即点的轨迹方程为， 令，其几何意义为圆上的动点和定点的连线的斜率， 由，可得， 则圆心到直线的距离为， 令，即，整理得，即， 解得，即的取值范围为. 【变式1】已知圆：，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆内 B．圆的圆心坐标为，半径为 C．圆与轴交于点，则 D．直线：与圆相切，则 【答案】ABC 【分析】对于A，直接利用点与圆的位置关系判断即可；对于B，将圆的一般式方程化为标准式方程即可；对于C，将点表示出来，利用三角形面积公式求解即可；对于D，根据直线与圆相切表示出圆心到直线的距离，利用直线与圆的位置关系判断即可. 【详解】对于A，根据点与圆的位置关系， 将点代入圆方程，得， 所以点在圆内，选项A正确； 对于B，因为圆：， 所以圆的标准式为，圆心为，半径为2，选项B正确； 对于C，令，则，得， 所以， 因为圆心到轴的距离为1，所以，选项C正确； 对于D，因为直线：与圆相切， 所以，解得，所以D错误. 故选：ABC 【变式2】若在直线上存在一点，使得过点作圆的两条切线可以相互垂直，则实数的取值可以为（    ） A． B．15 C．10 D．4 【答案】CD 【详解】由圆，圆心为，半径为， ∵在直线上存在一点，使得过点作圆的两条切线可以相互垂直， ∴在直线上存在一点，使得到的距离等于2， ∴只需点到直线的距离小于或等于2， ，解得， 结合选项，实数的取值可以为10，4. 【变式3】已知圆．若圆的切线在轴和轴上截距相等，求切线的方程． 【答案】，，． 【分析】设直线方程为，，利用圆心到直线的距离为半径可得的值，从而得到切线方程. 【详解】设圆的切线方程为或， 由圆心到直线距离，， 得或，， 所以切线方程为，，． 题型 06 距离最值问题 【典例1】已知实数、、、满足，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】由题意可得，，将问题转化为求圆上的点与直线上点的距离的平方的最小值，利用直线与圆的位置关系及点到线的距离公式求解即可. 【详解】因为， 所以，， 所以在圆上，在直线上， 要求的最小值， 即求圆上的点与直线上点的距离的平方的最小值， 又因为圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线的最短距离为， 所以的最小值为. 【变式1】已知实数满足．求： (1)的最大值； (2)的最小值； (3)的最值． 【答案】(1) (2) (3)最小值为，最大值为． 【分析】（1）设，利用直线与圆相切时，取得最大值或最小值即可求解； （2）设，利用直线与圆相切时，取得最大值或最小值即可求解； （3）解法一：通过的几何意义即可求解；解法二：令，，，通过三角函数求解的最值即可. 【详解】（1）已知原式可化为，它表示以为圆心，以为半径的圆，    设，则，直线与圆相切时，取得最大值或最小值， 此时，解得或（舍去）， 所以的最大值为． （2）设，即直线，为直线在轴上的截距， 由图可知，当直线与圆切于点时，有最小值，此时圆心到直线的距离为半径， 即，解得或（舍去）， 故的最小值为． （3）解法一：记，则，其中为圆上任一动点．易求， 由图可知，当点位于点时，最大；当点位于点时，最小． 因此所求的最大值为，最小值为， 即的最大值为，最小值为. 解法二：设为圆上任一动点，令，，， 则，其中， 由于，所以，所以， 即的最大值为，最小值为. 【变式2】在平面直角坐标系中，圆：，，，与圆另交于点，以为圆心，为半径作圆. (1)求的面积； (2)为圆上一点，为直线上一点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设直线联立得出点的坐标，再结合面积公式计算求解； （2）应用点到直线距离公式计算得出点到圆上的点距离的最值. 【详解】（1）因为，，所以：， 设， 联立，得，由得， 而， 故的面积； （2），于是， 其到的距离， 而， 于是由几何关系知， 故的最小值为 题型 07 动直线与圆的定点、定值问题 【典例1】已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，直线过定点______． 【答案】 【分析】先求出切点弦的方程，再联立已知直线方程进行消参，最后求出定点坐标. 【详解】设，则， 过点作圆的切点弦方程为， 联立，得， 当时，即，无论如何变化， 恒等于0，所以直线过定点.    【变式1】已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过的定点坐标为____. 【答案】 【分析】设出点坐标，得到以为直径的圆的方程，与已知圆的方程联立，可得直线的方程，再由直线系方程求解． 【详解】圆的圆心为，设， 则以为直径的圆的方程为， 即， 又圆，代入上式可得，即 即，令，解得， 所以直线经过定点． 题型 08 直线与圆几何综合计算(面积最值等) 【典例1】在平面直角坐标系中，为直线上的动点，点分别在上，连接，下列说法正确的有（   ） A．过点作的一条切线，切点为，则的取值范围为 B．直线是和的一条公切线 C．的最小值为 D．连接，则的最小值为 【答案】BC 【分析】求出和的圆心和半径，求出到直线的距离，选项A，过点作的一条切线，切点为，则，则利用求出的取值范围；选项B，求出点到直线的距离，求出点到直线的距离，从而得到结论；选项C，的最小值为点到直线的距离减去，从而得到结论；选项D，求出关于直线的对称点为，求出，连接，线段与直线的交点就是使得取最小值的点，从而得到的最小值. 【详解】，，的半径为， ，，的半径为， 设到直线的距离为， 选项A，过点作的一条切线，切点为， 则， 则， 故的取值范围为，故选项A错误； 选项B，， 点到直线的距离为 ， ， 点到直线的距离为 ， ， 故直线是和的一条公切线，故选项B正确； 选项C，的最小值为点到直线的距离减去， 点到直线的距离为， 则的最小值为，故选项C正确； 选项D，设关于直线的对称点为， 则，解得，故， 连接，， 设为直线上的任意一点， , 则线段与直线的交点就是使得取最小值的点， 则的最小值为，故选项D错误. 【变式1】已知圆，，．圆过坐标原点，，，成等比数列，直线与圆相切，与圆交于，两点，过作圆的切线，为切点，若，则（     ） A． B． C． D．当面积最大时，的方程为 【答案】ACD 【分析】先利用圆过原点、等比数列和弦长公式求出三个圆的半径，再借助直角三角形等面积法求出垂线段长，最后结合定点到圆切线的距离最值，即可确定三角形面积最大时的切线方程. 【详解】对于A：过坐标原点，所以，则，故A正确； 对于B：，，成等比数列，所以 ①， 设直线到的距离为，因为直线与圆相切，所以， 又因为直线与圆相交，弦长，所以 ②， 将②代入①得：，解得，所以，故B错误； 对于C：是的切线，为切点，故，又因为， ，则，在中，， 根据等面积法：，即， 所以，故C正确； 对于D：，其中为到的距离，因为为定值，故最大时，面积最大. 当时，达到最大值为， 因为，所以， 所以设的方程为，即， 因为与相切，所以，解得或， 如图可得，所以的方程为，故D正确. 【变式2】已知点是圆上的动点，点，为坐标原点，则下列结论正确的有（    ） A．过点的直线被圆截得的最短弦长为4 B．的最大值为7 C． D．对任意实数的最小值为2 【答案】AC 【分析】根据过点的直线与直线垂直时，被圆截得的弦最短，结合弦长公式，可判定A正确；根据圆的性质，可判定B错误；作向量在上的投影向量，利用向量数量积的定义，结合圆的性质求解，或采用向量的数量积的坐标表示，结合直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，列出不等式或方程，也可判定C正确，D不正确. 【详解】由圆的方程，可得圆心，半径． 对于A，因为，可得 所以点在圆内，且， 当过点的直线与直线垂直时，被圆截得的弦最短， 则被截得的最短弦长为，所以A正确． 对于B，因为，可得点在圆外，且， 由圆的性质，可得的最大值为，所以B错误； 对于C，方法一：如图，作向量在上的投影向量， 则， 因为，即， 所以，所以C正确． 方法二：设，则，因为，可得． 设，则直线与圆有公共点， 则满足，解得，所以C正确． 对于D，方法一：对任意实数，向量与共线， 设，则点在直线上，， 则的最小值为圆心到直线的距离， 因为点，所以直线的方程为， 所以圆心到直线的距离为，所以D错误． 方法二：因为，可得， 所以， 当时，，所以D错误． 【变式3】已知直线：，：． (1)求证：对，与的交点在一个定圆上； (2)若与定圆的另一个交点为，与定圆的另一交点为，求当在实数范围内取值时，面积的最大值及对应的． 【答案】(1)证明：直线过定点，直线过定点. 当时，，则，且交点不可能为和. 所以与的交点必在以线段为直径的圆上． 设，由，得，即． 当时，：，：，此时交点，也在圆上. 所以，交点的轨迹方程为（除点）. 综上，对，与的交点在一个定圆上. (2)最大值为，或． 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示及两直线垂直斜率之积为证明即可. （2）设定圆圆心为，结合几何关系求解面积的最大值及取最大值时点的位置，结合两直线垂直求出方程，与定圆方程联立求出点坐标，代入直线即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，，设定圆圆心为， 因为，所以当时，的面积取得最大值， 为. 又，则，所以直线：，即． 与定圆方程联立整理得，解得或， 即或， 所以直线为或，即或． 1．已知圆与直线相交于两点，若为等边三角形，则k的值为（　　） A． B．±2 C． D． 【答案】A 【详解】圆的圆心，半径， 由为等边三角形，得点到直线距离为， 因此。解得，所以的值为. 2．已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求圆心到直线的距离，得到圆上到直线距离的最大值. 【详解】该圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为，所以该圆上任意一点到该直线距离的最大值为2+3=5. 3．已知圆，是直线上一点，以为直径的圆与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【详解】在以为直径的圆上，， 故， ，． 4．圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出过点的半径所在直线的斜率，由垂直关系得切线斜率，从而可得切线方程． 【详解】圆的标准方程是，圆心坐标是, 过点的半径所在直线的斜率, 所以所求切线斜率为，切线方程为，即． 5．已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点在圆上，分析可得，要使四边形面积取到最大，只需取得最大值，根据点与圆的位置关系，分析计算，可求出，进而可得，计算即可得答案. 【详解】设圆的圆心为，则圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 6．已知点在圆上，点，当最大时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数形结合确定当最大时点位置，即可利用两角和的余弦公式求值. 【详解】设圆的圆心为，则，半径， 过作圆的切线，设交点为，如图， 由图可知，当与圆相切，且点在第四象限时，最大， 因为，所以, 又，所以, 所以. 7．已知圆截轴所得的弦长为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先根据圆的标准方程求出圆心坐标，再结合圆截轴所得的弦长，利用垂径定理建立关于半径的方程，即可求解. 【详解】由题意，圆，所以圆的圆心为， 因为圆截轴所得的弦长为，    所以，即. 8．直线与圆相交于两点，当面积最大时，的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式和弦长公式可以求出的面积是关于的一个式子，利用基本不等式即可求出答案. 【详解】圆心到直线的距离， 则弦长， ， 当且仅当，即时， 面积取得最大值. 9．已知直线与圆相交于A、B两点，且，则实数a的值等于______． 【答案】 【分析】设点坐标，联立直线与圆方程，根据韦达定理以及向量数量积的坐标公式得到关于参数的等式，即可计算结果． 【详解】设，， 由可得； 因为直线与圆有两个交点，故，解得， 因为，故； 根据韦达定理可得，； 则； 因为，； 则，解得． 10．已知直线经过点，则点到直线的距离最小为_____． 【答案】/ 【分析】根据题意，求得，结合圆心到直线的距离和圆的性质，即可求解. 【详解】由点在直线上，可得， 整理得，即，即在以为圆心，半径的圆上， 则圆心到直线的距离为， 根据圆的性质，可得点到直线的距离最小值为. 1．下列选项正确的是（    ） A．直线（）恒过定点 B．直线的倾斜角为 C．圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于 D．圆被直线截得的弦长为2，则或 【答案】BCD 【分析】选项A，分离参数联立方程求定点判断对错； 选项B，化斜截式求斜率再算出倾斜角； 选项C求圆心到直线距离，结合半径分析平行线与圆交点个数； 选项D利用弦长公式求出圆心到直线距离，再由点到直线距离公式解方程得值． 【详解】对于A，由，， 联立，解得，， 所以定点为，不是，A错误； 对于B，由，得， 斜率，倾斜角，，得，B正确； 对于C，圆，圆心，半径， 圆心到直线距离， 到直线距离为的点，即与已知直线平行、距离1的两条平行线与圆交点： 一条在圆心外侧，距圆心，无交点； 一条朝向圆心，距圆心，过圆心，与圆交于个点； 因此圆上只有2个点满足条件，C正确； 对于D，圆，圆心，半径，弦长， 弦长公式：，即， 圆心到直线距离， 解得或， D正确． 2．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，设点在圆上，点在直线上，则的最小值为_____ 【答案】 【分析】根据题意，利用待定系数法，求得圆的标准方程，结合直线与圆的位置关系，以及圆的性质，即可求解. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过和点，且圆心在直线上， 可得，解得：， 所以圆的标准方程为. 又因为圆到直线的距离为， 所以直线与圆相离，所以的最小值为. 3．记为坐标原点，若直线与圆交于A，B两点，且，则__________. 【答案】/1.5 【分析】求出圆与轴的交点，利用三角形相似可得，即可得解. 【详解】令，代入圆的方程中，可得， 即圆与轴的两个交点为， 直线过原点且与圆交于两点， 由，可知和相似， 可得，即， 从而， 故答案为： 4．已知直线：与圆：交于，两点，与轴交于点，为的中点，则的长为___________． 【答案】/ 【分析】由圆与直线相交可求解，，再由中点坐标公式求解，令，求解，再由两点间的距离公式求解即可. 【详解】直线与圆联立，，，解得，所以，， 则中点横坐标为，纵坐标为，所以，当时， ，所以， 所以. 故答案为：. 5．动直线与动直线相交于点，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】根据动直线垂直且过定点得到交点轨迹为圆；把分式变形为斜率形式，将分式最值问题转化为圆上点到定点的斜率最值问题. 【详解】根据题意，动直线经过定点， 动直线经过定点,则有， 所以，又点是两条直线的交点，所以有， 所以点的轨迹方程为， 其轨迹是以为圆心，以为半径的圆，不含点，. 又， 故只需求的最小值，令可看作点与点的斜率， 求出过点与圆相切的切线斜率即可， 设切线为，即. 根据切线条件构造方程，即，解得， 所以的最小值为，所以的最小值为. 6．过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______． 【答案】 【分析】先验证点在圆上，进而求出切线斜率，最后用点斜式写出切线方程并整理． 【详解】将点代入圆的方程左侧，与右侧相等， 所以点在圆上， 由圆的标准方程，得圆心的坐标为， ，所以切线斜率为1， 所以过点的切线方程为，即． 7．经过圆：上一点且与圆相切的直线方程为______. 【答案】 【分析】根据题意，求得，由直线与切线垂直得出切线的斜率，结合点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，圆，可得圆心坐标为，因为在圆上，则， 则过点且与圆相切的直线的斜率为， 根据直线的点斜式方程，可得直线的方程为，即， 8．在平面直角坐标系中，过点且与圆相切的直线方程为__________． 【答案】或 【详解】由圆，圆心为，半径， 当切线斜率不存在时，切线方程为，此时圆心到切线的距离为1，符合题意； 当切线斜率存在时，设切线的方程为，即， 则，解得，则切线的方程为，即. 综上所述，切线方程为或. 9．直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与的夹角的正切值等于______． 【答案】 【分析】先设出过点的切线斜率为k，结合圆心到切线的距离等于半径得到关于k的方程，再利用两直线夹角公式计算夹角的正切值. 【详解】易知两条切线的斜率均存在，设过点的圆的切线方程为，整理为一般式得, 圆的圆心为，半径，由直线与圆相切的性质可知，圆心到切线的距离等于半径，即 ， 将上式两边平方得，展开整理得， 设两条切线的斜率分别为,，由韦达定理得，， 由两直线的夹角公式，设两直线夹角为，则， 其中， 代入得 10．过作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为___________． 【答案】 【详解】解法一：由图可知，， 所以，所以直线方程为． 解法二：，所以四点均在以为直径的圆上，圆心为，半径为，故圆方程为， 由，得，所以直线方程为． 解法三：直线方程为，即， 故答案为． 11．过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________. 【答案】 【分析】根据切线的性质易判断，，，四点共圆，且圆心为中点，半径为，进而可以求出新的圆的方程，直线即为公共弦所在的直线，方程即为两个圆方程的差，代入计算即可. 【详解】由题意知，圆心为，半径，点在圆外面， 由切线的性质定理可知，，，即， 所以点，在以为直径的圆上，即，，，四点共圆，且圆心为中点，半径， 设圆心为，根据中点坐标公式，则为，半径， 所以圆的方程为， 因此直线即为圆与圆公共弦所在的直线，方程为两个圆方程的差， 即，化简得， 所以直线的方程为. 12．直线与圆交于，两点，且的面积为2，则________． 【答案】3或 【详解】圆化为标准形式，圆心，半径； 面积（为圆心到直线的距离）， 由，得，即，解得； 圆心到直线的距离，即，解得或． 13．已知O为坐标原点，直线2x+3my+1 =0与圆 交于A，B两点，若 的面积为 则m=_____. 【答案】 【详解】∵ 圆的圆心为原点，半径， ∴ ， 设， 则. ∵ ， ∴ ，解得. ∵ ，∴ 或. 过点作于点，则为圆心到直线的距离，且. 在中，. 当时，；当时，. 由点到直线的距离公式，圆心到直线的距离，故舍去. ∴ ，解得，即. 14．已知圆的方程是，直线，当为何值时，圆与直线有两个公共点，只有一个公共点，没有公共点？ 【答案】当时，直线与圆相交，有两个公共点． 当或时，直线与圆相切，有一个公共点． 当或时，直线与圆相离，无公共点． 【分析】根据消元后判别式的符号或圆心到直线的距离可得直线与圆的位置关系. 【详解】法1：由可得， 故， 当时，，直线与圆相交，有两个公共点． 当或时，，直线与圆相切，有一个公共点． 当或时，，直线与圆相离，无公共点． 法2：圆心坐标为，圆的半径为， 圆心到直线的距离为， 当时，，直线与圆相交，有两个公共点． 当或时，，直线与圆相切，有一个公共点． 当或时，，直线与圆相离，无公共点． 15．已知两圆和． (1)若两圆在直线的两侧，求实数b的取值范围； (2)求经过点且和两圆都没有公共点的直线斜率k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知圆心，必在直线的两侧，且直线与两圆相切或相离，进而列式求解即可； （2）分析可知直线与两圆均相离，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】（1）圆的圆心为，圆的圆心为，两圆半径均为2， 因为两圆在直线的两侧， 可知圆心，必在直线的两侧， 则，解得． 且直线与两圆相切或相离， 则，解得或或， 综上所述：实数b的取值范围为． （2）设所求的直线方程． 因为直线与两圆无公共点，即直线与两圆均相离， 则，解得， 所以斜率k的取值范围为. 16．已知圆. (1)过点向圆作切线，求切线的方程； (2)若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先判断点在圆外，当直线斜率不存在时，结合图形易得切线，当直线斜率存在时，设点斜式方程，由圆心到直线的距离等于半径求出直线的斜率即得圆的切线方程； （2）先判断直线与圆相离，结合图形推出，将求的最小值的问题转化为求的最小值问题，由点到直线的距离公式即可求得. 【详解】（1）由题意得 ，则点在圆外，故有条切线， 若切线的斜率不存在，易得直线恰为圆的一条切线； 若切线的斜率存在，设切线的方程为，即. 因为直线与圆相切，所以圆心到的距离为， 即 ，解得， 所以切线的方程为，即. 综上，切线的方程为或. （2）如图，由圆心到直线的距离为 ，可得直线与圆相离， 由切线的性质得，则， 则当最小时，有最小值， 由图知，当时，最小，最小值恰为点到直线的距离， 故的最小值为. 17．在平面直角坐标系中，正方形的对角线所在直线的方程为，且正方形的外接圆的方程为． (1)求正方形的面积； (2)求顶点A的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）先求出圆的半径，根据，结合正方形面积公式即可得结果； （2）求出直线的方程，联立直线与圆的方程解方程组即可. 【详解】（1）由圆的一般方程为化为圆的标准方程为． 所以圆心坐标为，半径， 则， 故正方形ABCD的面积为． （2）因为，所以， 则对角线AC所在的直线方程为，即， 由， 整理得，解得，， 所以或， 故顶点A的坐标为或． 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2.3 直线和圆的位置关系 教学目标 掌握判定直线与圆位置关系的几何法、代数法两种方法，能根据圆心到直线距离d与半径r、判别式快速判断相交、相切、相离。 熟练运用垂径定理和弦长公式计算弦长；掌握中点弦问题（点差法、垂直斜率关系）、联立方程结合韦达定理处理交点、向量、斜率综合题型。 吃透切线核心知识点：过圆上一点切线方程、过圆外一点两条切线、切线长公式、切点弦方程；能利用d=r求解切线相关参数，分类讨论斜率存在 / 不存在避免漏解。 掌握圆上动点距离最值模型：圆上点到定直线、定点距离最值，会用圆心距离 ± 半径数形结合求解，避开复杂函数求最值。 能解决动直线定点、弦长 / 向量数量积定值问题；综合运用直线、圆、三角形面积公式求解面积最值几何综合题。 教学重难点 1.重点 直线与圆三种位置关系的判定（几何法d与r比较为核心）。 垂径定理与弦长公式，中点弦、韦达定理在相交综合题中的应用。 切线全套模型：切线方程、切线长、切点弦；利用d=r求切线参数。 圆上动点距离最值的数形转化方法。 动直线过定点、几何面积最值基础解题思路。 2.难点 区分几何法、代数法适用场景，复杂综合题（向量、斜率、参数）灵活选择方法。 中点弦点差法逻辑、联立方程后韦达定理与向量数量积结合的代换计算。 切线问题分类讨论：斜率不存在的切线漏解；圆外一点两条切线夹角、切点弦方程推导。 含参数动直线恒过定点、弦长 / 向量定值的证明逻辑。 知识点 1：直线与圆位置关系的两种判定方法 设圆半径r，圆心到直线距离d；联立直线与圆方程消元得到一元二次方程，判别式。 几何法（优先选用） 相交：d<r，直线与圆有 个公共点； 相切：d=r，直线与圆有 个公共点； 相离：d>r，直线与圆 公共点。 代数法 ； ； 。 辨析：直线与圆计算优先几何法，计算量更小；代数法多用于交点、向量、斜率综合问题。 【即学即练】 直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 知识点 2：直线与圆相交：垂径定理与韦达定理 垂径定理：圆心与弦中点连线垂直于弦； 弦长公式： 是弦长计算核心公式。 中点弦结论：利用垂直斜率关系、点差法求解中点弦方程； 韦达定理应用：联立方程，不解交点，直接使用，解决斜率和、向量、距离等问题。 【即学即练】 已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（     ） A． B． C． D． 知识点 3：切线相关核心知识 切线性质：圆心与切点连线垂直切线； 切线方程两类模型： 过圆上一点：唯一一条切线，可直接套用公式； 过圆外一点：存在两条切线，注意检验斜率不存在情况； 切线长：圆外一点到切点的线段长度，熟记切线长计算公式； 切点弦：圆外两点引两条切线，两个切点连线；掌握切点弦方程写法。 【即学即练】 过圆上的点的切线方程为______. 知识点 4：切线条件的参数约束 若直线是圆的切线，满足核心条件d= ； 利用等式建立方程，求解直线、圆方程中的参数； 常结合分类讨论：斜率存在、斜率不存在两种情况，防止漏解。 【即学即练】 已知直线，若绕点顺时针旋转后恰与圆相切，则实数（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 知识点 5：最值模型（圆上动点距离最值） 圆上点到定直线距离最值：（为圆心到直线距离）； 拓展：圆上动点到定点距离最值； 本质：数形结合，利用圆心、半径转化，避免复杂函数求最值。 【即学即练】 圆上的点到直线的距离的最小值为_______. 知识点 6：直线与圆中的定点、定值与几何综合 定点：含参数动直线恒过定点；动直线与圆恒有公共点问题； 定值：直线与圆相交，证明弦长、斜率乘积、向量数量积等为定值； 几何综合：结合弦长、半径求解圆内接三角形面积、面积最值。 【即学即练】 已知经过点，且方向向量为的直线l与圆相交于M、N两点． (1)求实数k的取值范围； (2)求证：为定值； (3)若O为坐标原点，且，求k的值． 题型 01 判断直线与圆的位置关系 【典例1】已知圆，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离或相切 B．相交或相切 C．一定相交 D．不能确定 【变式1】已知直线，圆，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．对，直线与圆一定相交 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在着4个点到直线的距离为 【变式2】已知直线，圆，则（   ） A．过定点 B．与圆C总有两个不同的公共点 C．存在实数，使圆关于对称 D．被圆C截得弦长的最小值为 题型 02 交点坐标、弦长、中点弦相关问题 【典例1】直线被圆所截得的线段的长为______． 【变式1】设圆的圆心在直线上，且都是圆上的点. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于两点，求线段中点的坐标. 【变式2】已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（     ） A． B． C． D． 【变式3】在平面直角坐标系中，已知圆和圆．若过定点存在无数条直线，被圆和圆截得的弦长之比为，则该定点的坐标是______． 题型 03 相交背景下韦达定理综合应用 【典例1】已知圆与轴交于，两点，且点在点的左侧，动点与点的距离是它与点距离的倍. (1)求点的轨迹方程； (2)过点作倾斜角为的直线交于的轨迹于，两点，求弦长. 【变式1】已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)圆与直线：交于，两点，以弦为直径的圆过点，求直线的斜率. 【变式2】已知圆的圆心在直线上，过点的直线与圆相交于两点． (1)求圆的方程； (2)当时，求直线的方程； (3)若点，是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 题型 04 切线方程、切线长与切点弦问题 【典例1】由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 【变式1】已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知点是圆上一点，则过点且与圆相切的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【变式3】过圆上一点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 题型 05 已知切线条件求参数 【典例1】过作圆的两条切线，切点分别为A、B，当为正三角形时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知圆：，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆内 B．圆的圆心坐标为，半径为 C．圆与轴交于点，则 D．直线：与圆相切，则 【变式2】若在直线上存在一点，使得过点作圆的两条切线可以相互垂直，则实数的取值可以为（    ） A． B．15 C．10 D．4 【变式3】已知圆．若圆的切线在轴和轴上截距相等，求切线的方程． 题型 06 距离最值问题 【典例1】已知实数、、、满足，则的最小值为__________． 【变式1】已知实数满足．求： (1)的最大值； (2)的最小值； (3)的最值． 【变式2】在平面直角坐标系中，圆：，，，与圆另交于点，以为圆心，为半径作圆. (1)求的面积； (2)为圆上一点，为直线上一点，求的最小值. 题型 07 动直线与圆的定点、定值问题 【典例1】已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，直线过定点______． 【变式1】已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过的定点坐标为____. 题型 08 直线与圆几何综合计算(面积最值等) 【典例1】在平面直角坐标系中，为直线上的动点，点分别在上，连接，下列说法正确的有（   ） A．过点作的一条切线，切点为，则的取值范围为 B．直线是和的一条公切线 C．的最小值为 D．连接，则的最小值为 【变式1】已知圆，，．圆过坐标原点，，，成等比数列，直线与圆相切，与圆交于，两点，过作圆的切线，为切点，若，则（     ） A． B． C． D．当面积最大时，的方程为 【变式2】已知点是圆上的动点，点，为坐标原点，则下列结论正确的有（    ） A．过点的直线被圆截得的最短弦长为4 B．的最大值为7 C． D．对任意实数的最小值为2 【变式3】已知直线：，：． (1)求证：对，与的交点在一个定圆上； (2)若与定圆的另一个交点为，与定圆的另一交点为，求当在实数范围内取值时，面积的最大值及对应的． 1．已知圆与直线相交于两点，若为等边三角形，则k的值为（　　） A． B．±2 C． D． 2．已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 3．已知圆，是直线上一点，以为直径的圆与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 4．圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 6．已知点在圆上，点，当最大时，则（    ） A． B． C． D． 7．已知圆截轴所得的弦长为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．直线与圆相交于两点，当面积最大时，的值为（    ） A．2 B． C． D．4 9．已知直线与圆相交于A、B两点，且，则实数a的值等于______． 10．已知直线经过点，则点到直线的距离最小为_____． 1．下列选项正确的是（    ） A．直线（）恒过定点 B．直线的倾斜角为 C．圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于 D．圆被直线截得的弦长为2，则或 2．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，设点在圆上，点在直线上，则的最小值为_____ 3．记为坐标原点，若直线与圆交于A，B两点，且，则__________. 4．已知直线：与圆：交于，两点，与轴交于点，为的中点，则的长为___________． 5．动直线与动直线相交于点，则的最小值为___________． 6．过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______． 7．经过圆：上一点且与圆相切的直线方程为______. 8．在平面直角坐标系中，过点且与圆相切的直线方程为__________． 9．直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与的夹角的正切值等于______． 10．过作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为___________． 11．过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________. 12．直线与圆交于，两点，且的面积为2，则________． 13．已知O为坐标原点，直线2x+3my+1 =0与圆 交于A，B两点，若 的面积为 则m=_____. 14．已知圆的方程是，直线，当为何值时，圆与直线有两个公共点，只有一个公共点，没有公共点？ 15．已知两圆和． (1)若两圆在直线的两侧，求实数b的取值范围； (2)求经过点且和两圆都没有公共点的直线斜率k的取值范围． 16．已知圆. (1)过点向圆作切线，求切线的方程； (2)若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值. 17．在平面直角坐标系中，正方形的对角线所在直线的方程为，且正方形的外接圆的方程为． (1)求正方形的面积； (2)求顶点A的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $