第一章 2.4 圆与圆的位置关系-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

变式训练 １．B　[由x２＋y２＋２x－４y＝０可得(x＋１)２＋(y－２)２＝５,故 圆心C(－１,２),半径r＝ ５, 则圆心到直线l:２x－y－１＝０的距离 d＝ 　　　　　　 　　|－２－２－１| ２２＋１ ＝５ ５ ＝ ５＝r, 故直线与圆C相切．] ２．解析:(１)根据题意,圆 M:x２＋y２＋４x－１＝０, 即(x＋２)２＋y２＝５,其圆心 M(－２,０), 直线l:ax＋by－３＝０与圆 M:x２＋y２＋４x－１＝０相切于点 P(－１,２),则P 在直线l上且MP 与直线l垂直． kMP＝ ２－０ －１＋２＝２ ,则有－ab ＝－ １ ２ ,则有b＝２a, 又由P 在直线l上,则有－a＋２b－３＝０,可解得a＝１,b＝２, 则直线l的方程为x＋２y－３＝０． (２)圆心C(３,０)到y＝x＋１的距离d＝|３－０＋１| ２ ＝２ ２． 所以切线长的最小值l＝ d２－r２＝ ７． 答案:(１)x＋２y－３＝０　(２)C ３．(１)解析:x２＋y２－４x－４y－１＝０可变为(x－２)２＋(y－２)２ ＝９,故圆心坐标为(２,２),半径为３．圆心到直线x－y＋２＝０ 的距离是２ ２ ＝ ２,故弦长的一半是 ９－２＝ ７,所以弦长为 ２ ７． 答案:２ ７ (２)解:将圆的方程配方得(x＋１)２＋(y－２)２＝２５, 由圆的性质可得,圆心到直线l的距离 d＝ ( ２５)２－(８２ )２＝３． ①当直线l的斜率不存在时,x＝－４满足题意; ②当直线l的斜率存在时,设l的方程为y＝k(x＋４),即kx －y＋４k＝０． 由点到直线的距离公式,得３＝|－k－２＋４k| １＋k２ , 解得k＝－５１２ ,所以直线l的方程为５x＋１２y＋２０＝０． 综上所述,直线l的方程为x＋４＝０或５x＋１２y＋２０＝０． 当堂达标 １．ABD　[由题意,可得a２＞０,直线y＝ax＋a２ 显然过点(０, a２),故 ABD均不可能．] ２．B　[∵x２＋y２－２x－４y＝０,∴(x－１)２＋(y－２)２＝５, ∴圆 M 的圆心坐标为(１,２),半径为 ５,又点(１,２)到直线x ＋y－１＝０的距离d＝|１×１＋１×２－１| １２＋１２ ＝ ２,直线 m 被圆 M 截得的弦长等于 ２ (５)２－(２)２＝２ ３．] ３．解析:由题意,得kOP ＝ ２－０ １－０＝２ ,则该圆在点P 处的切线的 斜率为－１２ ,所以所求切线方程为y－２＝－１２ (x－１),即x ＋２y－５＝０． 答案:x＋２y－５＝０ ４．解:(１)当直线l的斜率存在时,设直线l的 方程为y－３＝k(x－２),即kx－y＋３－２k ＝０．如图所示,作 MC⊥AB 于C, 在直角三角形 MBC中, |BC|＝ ３,|MB|＝２, |MC|＝ |MB|２－|BC|２＝１, 由点到直线的距离公式得点 M(１,１)到直 线l的距离为|k－１＋３－２k| k２＋１ ＝１,解得k＝３４ , 所以直线l的方程为３x－４y＋６＝０． (２)当直线l的斜率不存在时,其方程为x＝２, 圆心到此直线的距离也是１,所以适合题意． 综上,直线l的方程为３x－４y＋６＝０或x＝２． ２．４　圆与圆的位置关系 课前预习学案 知识梳理 知识点二　２．相交　外切　内切　外离　内含 [思考] [提示]　两圆相减得一直线方程,它经过两圆的公共点．经 过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线． 预习自测 １．(１)×　(２)×　(３)×　(４)√ ２．B　[圆O１ 的圆心坐标为(１,０),半径长r１＝１;圆O２ 的圆心 坐标为(０,２),半径长r２＝２;１＝r２－r１＜|O１O２|＝ ５＜r１＋ r２＝３,即两圆相交．] ３．D　[联 立 x ２＋y２－２x＝０ x２＋y２＋４y＝０{ ,解 得 x＝０ y＝０{ 或 x＝８５ y＝－４５ { ,故 公 共弦长等于 ８ ５( ) ２ ＋ ４５( ) ２ ＝４ ５５ ． ] ４．解析:(x－１)２＋(y－３)２＝２０化为一般式为:x２＋y２－２x－ ６y－１０＝０,① 又圆x２＋y２＝１０,即x２＋y２－１０＝０,② ①－②得:x＋３y＝０,即为直线AB 的方程． 答案:x＋３y＝０ 课堂互动学案 [例１]　[解]　将两圆的一般方程化为标准方程, C１:(x＋２)２＋(y－３)２＝１,C２:(x－１)２＋(y－７)２＝５０－k． 圆C１ 的圆心为C１(－２,３),半径长r１＝１; 圆C２ 的圆心为C２(１,７),半径长r２＝ ５０－k(k＜５０), 从而|C１C２|＝ (－２－１)２＋(３－７)２＝５． 当１＋ ５０－k＝５,即k＝３４时,两圆外切． 当| ５０－k－１|＝５,即 ５０－k＝６,即k＝１４时,两圆内切． 当| ５０－k－１|＜５＜１＋ ５０－k,即１４＜k＜３４时,两圆 相交． | ５０－k＋１|＜５,即３４＜k＜５０时,两圆外离． [例２]　[解析]　(１)设所求圆的半径为r,则 ３２＋(－４)２＝ |８－r|,所以r＝３或r＝１３,故所求圆的方程为(x－３)２＋(y ＋４)２＝９或(x－３)２＋(y＋４)２＝１６９． (２)C１(m,－２),r１＝３,C２(－１,m),r２＝２,由题意得|C１C２| ＝５,即(m＋１)２＋(m＋２)２＝２５,解得m＝２或m＝－５． [答案]　(１)(x－３)２＋(y＋４)２＝９或(x－３)２＋(y＋４)２＝ １６９　(２)２或－５ [例３]　[解]　(１)设两圆交点为A(x１,y１),B(x２,y２),则A, B 两点坐标是方程组 x２＋y２＋６x－４＝０,　　① x２＋y２＋６y－２８＝０　　②{ 的解． ①－②,得x－y＋４＝０． ∵A,B 两点坐标都满足此方程,∴x－y＋４＝０即为两圆公 共弦所在直线的方程． 又圆C１ 的圆心(－３,０),r＝ １３, C１ 到直线AB 的距离为d＝ |－３＋４| ２ ＝ ２２ , ∴|AB|＝２ r２－d２＝２ １３－１２ ＝５ ２ ,即两圆的公共弦 长为５ ２． (２)方法一　解方程组 x ２＋y２＋６x－４＝０, x２＋y２＋６y－２８＝０,{ 得两圆的交点A(－１,３),B(－６,－２)． 设所求圆的圆心为(a,b),因圆心在直线x－y－４＝０上,故 b＝a－４． 则有 (a＋１)２＋(a－４－３)２ ＝ (a＋６)２＋(a－４＋２)２, 解得a＝１２ ,故圆心为 １ ２ ,－７２( ) , 半径为 １ ２＋１( ) ２ ＋ －７２－３( ) ２ ＝ ８９２． 故圆的方程为 x－１２( ) ２ ＋ y＋７２( ) ２ ＝８９２ ,即x２＋y２－x＋ ７y－３２＝０． 方法二:∵圆x２＋y２＋６y－２８＝０的圆心(０,－３)不在直线 x－y－４＝０上, ∴可设所求圆的方程为x２＋y２＋６x－４＋λ(x２＋y２＋６y－ ２８)＝０(λ≠－１), 其圆心为 － ３１＋λ ,－ ３λ１＋λ( ) ,代入x－y－４＝０,求得λ＝－７． 故所求圆的方程为x２＋y２－x＋７y－３２＝０． 变式训练 １．B　[圆C１ 的半径r１＝２,圆心C１(－１,－１),圆C２ 的半径r２ ＝２,圆心C２(２,１),|C１C２|＝ １３．由于|r１－r２|＜|C１C２| ＜r１＋r２,故两圆相交,因而公切线有２条．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５２２􀅰 参考答案 ２．解:已知圆的方程可化为(x－１)２＋y２＝１, 则圆心为C(１,０),半径为１． 设所求圆的方程为(x－a)２＋(y－b)２＝r２(r＞０)． 由题意,可得 (a－１)２＋b２＝r＋１, b＋ ３ a－３× － ３ ３ æ è ç ö ø ÷＝－１, |a＋ ３b| ２ ＝r , ì î í ï ï ï ï 解得 a＝４, b＝０, r＝２,{ 或 a＝０, b＝－４ ３, r＝６．{ 即所 求 圆 的 方 程 为 (x－４)２ ＋y２ ＝４ 或 x２ ＋(y＋４ ３)２ ＝３６． ３．解析:由题意将两圆的方程相减,可得圆C１ 和圆C２ 公共弦 所在的直线l的方程为x＋y－１＝０．又圆C３ 的圆心坐标为 (１,１),其到直线l的距离为d＝|１＋１－１| １２＋１２ ＝ ２２ ,设圆C３ 的 半径为r,由条件知,r２－d２＝２５４－ １ ２＝ ２３ ４ , 所以弦长为２× ２３２ ＝ ２３． 答案: ２３ 当堂达标 １．C　[AB 的垂直平分线过两圆的圆心,把圆心(２,－３)代入, 即可排除 A,B,D．] ２．解析:C１(１,２),r１＝２;C２(－２,－２),r２＝３,|C１C２|＝５,r１＋ r２＝５,因此两圆外切．所以公切线有３条． 答案:３ ３．解析:将两圆的方程相减,得相交弦所在的直线方程为y＝ １ a ,圆心(０,０)到直线的距离为d＝１a ＝ ２ ２－(３)２＝１,所 以a＝１． 答案:１ ４．解:设圆C的半径为r,圆心距为d＝ ４－０２＋－３－０２＝５, 当圆C与圆O 外切时,r＋１＝５,r＝４, 当圆C与圆O 内切时,r－１＝５,r＝６, ∴圆的方程为(x－４)２＋(y＋３)２＝１６或(x－４)２＋(y＋３)２ ＝３６． 章末归纳提升 题型梳理􀅰素养聚焦 [例１]　 [解析]　 (１)设 直 线 的 倾 斜 角 为θ,则 有 tanθ ＝－sinα, 又－sinα∈[－１,１],θ∈[０,π), 所以０≤θ≤π４ 或３π ４≤θ＜π． (２)如图,因为kAP＝ １－０ ２－１＝１ , kBP＝ ３－０ ０－１＝－ ３ ,所以直线l的斜率k∈ (－∞,－ ３]∪[１,＋∞)． [答案]　(１)B　(２)(－∞,－３]∪[１,＋∞) [例２]　[解]　(１)设所求直线的斜率为k,依题意k＝－４× １ ３＝－ ４ ３． 又直线经过点A(１,３),因此所求直线方程为y－ ３＝－ ４３ (x－１),即４x＋３y－１３＝０． (２)当直线不过原点时,设所求直线方程为x２a＋ y a ＝１ ,将 (－５,２)代入所设方程,解得a＝－１２ ,所以直线方程为x＋ ２y＋１＝０;当直线过原点时,设直线方程为y＝kx,则－５k＝ ２,解得k＝－ ２５ ,所 以 直 线 方 程 为y＝－ ２５x ,即 ２x＋５y ＝０． 故所求直线方程为２x＋５y＝０或x＋２y＋１＝０． [例３]　[解析]　(１)D　[如 图,因 为 F２ (c,０),不妨设渐近线方程为y＝bax ,即 bx－ay＝０,所以|PF２|＝ |bc| a２＋b２ ＝bcc ＝ b,所以b＝２． 设∠POF２＝θ,则tanθ＝ |PF２| |OP|＝ b |OP|＝ b a , 所以|OP|＝a,所以|OF２|＝c． 因为１ ２ab＝ １ ２c 􀅰yP,所以yP＝ ab c , 所以tanθ＝yPxP ＝ ab c xP ＝ba ,所以xP＝ a２ c , 所以P a ２ c ,ab c( ) ,因为F１(－c,０), 所以kPF１＝ ab c a２ c＋c ＝ ab a２＋c２ ＝ ２a a２＋a２＋４ ＝ a a２＋２ ＝ ２４ ,所以 ２(a２＋２)＝４a,解得a＝ ２, 所以双曲线的方程为x ２ ２－ y２ ４＝１． ] (２)方法１:由直线l与直线y＝ ４３x＋ ５ ３ 垂直,可设直线方 程l为y＝－３４x＋b ,则直线l在x 轴,y轴上的截距分别为 x０＝ ４ ３b ,y０＝b．又因为直线l与两坐标轴围成的三角形的 面积为２４,所以S＝１２|x０||y０|＝２４ ,即 １ ２ ４ ３b |b|＝２４ , b２＝３６,解得b＝６或b＝－６．故所求直线方程为y＝－３４x ＋６或y＝－ ３４x－６ ,即３x＋４y－２４＝０或３x＋４y＋２４ ＝０． 方法２:设直线l的方程为xa ＋ y b ＝１ ,则直线的斜率k＝ －ba ． 因为l与直线y＝４３x＋ ５ ３ 垂直,所以k＝－ba ＝－ ３ ４ , 即b a ＝ ３ ４． 又因为直线l与两坐标轴围成的三角形的面积 为２４,所以１２|ab|＝２４ ,即|ab|＝４８． 所以a＝８,b＝６或a＝－８,b＝－６,所以直线l的方程为x８ ＋y６＝１ 或 x －８＋ y －６＝１ ,即３x＋４y－２４＝０或３x＋４y＋２４ ＝０． [例４]　[解]　(１)当m＝０时,l１ 与l２ 相交． 当m≠０时,若l１ 与l２ 相交,则－ １ m≠－ m－２ ３ , 解得m≠－１且m≠３．所以当 m≠－１且 m≠３时,l１ 与l２ 相交． (２)若l１⊥l２,则１×(m－２)＋３m＝０,解得m＝ １ ２． 所以当m＝１２ 时,l１⊥l２． (３)由－１m＝－ m－２ ３ ,得m＝－１或m＝３． 当m＝－１时,l１∥l２;当m＝３时,l１ 与l２ 重合．所以当m＝ －１时,l１∥l２． [例５]　[解]　(１)经过两已知直线交点的直线系方程为２x＋ y－５＋λ(x－２y)＝０,即(２＋λ)x＋(１－２λ)y－５＝０, 所以 |１０＋５λ－５| (２＋λ)２＋(１－２λ)２ ＝３,即２λ２－５λ＋２＝０,所以λ＝ １ ２ 或λ＝２．所以l的方程为x＝２或４x－３y－５＝０． (２)由 ２x＋y－５＝０,x－２y＝０,{ 解得交点P(２,１),过P 作任一直线l (图略),设d为点A 到l的距离,则d≤|PA|(当l⊥PA 时 等号成立)．所以dmax＝|PA|＝ １０． [例６]　[解]　(１)设A′(x,y),由已知条件得 y＋２ x＋１× ２ ３＝－１ , ２×x－１２ －３× y－２ ２ ＋１＝０ ,{ 解得 x＝－３３１３ , y＝４１３． { ∴A′ －３３１３ ,４ １３( )． (２)在直线m 上取一点,如 M(２,０),则 M(２,０)关于直线l 的对称点M′必在直线m′上． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６２２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 ２．４　圆与圆的位置关系 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．理解圆与圆的位置关系的种类 ２．掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方 法,能够利用上述方法判断两圆的位置关系 通过圆与圆的位置关系的推导,提 升逻辑推理、直观想象、数学运算的 数学素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　日食是一种天文现象,在 民间称此现象为天狗食日．日 食只在月球与太阳呈现重合 的状态时发生．日食分为日偏 食、日全食、日环食、全环食． 我们将月亮与太阳抽象为圆,观察到的这 些圆在变化的过程中位置关系是怎样的? 前面我们运用直线的方程,圆的方程研究 了直线与圆的位置关系,现在我们类比上述研 究方法,运用圆的方程,通过定量计算研究圆 与圆的位置关系． [知识梳理] [知识点一]　圆与圆的位置关系 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 两圆相交 有两个公共点 两圆相切 外切 和内切 只有一个公共点 两圆相离 外离和 内含 没有公共点 [知识点二]　圆与圆位置关系的判定 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．几何法:圆C１:(x－x１)２＋(y－y１)２＝r２１,圆 C２:(x－x２)２＋(y－y２)２＝r２２,两圆的圆心 距d＝|O１O２|＝ (x１－x２)２＋(y１－y２)２ , 则有 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r１、r２ 的关系 d＞r１ ＋r２ d＝r１＋r２ |r１－r２|＜ d＜r１＋r２ d＝|r１－ r２| ０＜d＜ |r１－r２| ２．代数法: 圆C１:x２＋y２＋D１x＋E１y＋F１＝０(D２１＋E２１ －４F１＞０),圆C２:x２＋y２＋D２x＋E２y＋F２ ＝０(D２２＋E２２－４F２＞０),两圆的方程联立得 方程组,则有 方程组解 的情况 ２组 １组 ０组 两圆的 公共点 ２个 １个 ０个 两圆的 位置关系 　　 　　或 　　 　　 或　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　将两个相交的非同心圆的方程x２＋ y２＋Dix＋Eiy＋Fi＝０(i＝１,２)相减,可得 一直线方程,这条直线方程具有什么样的 特殊性呢? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [预习自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)若两个圆的方程组成的方程组只有一组实 数解,则两圆外切． (　　) (２)若两圆没有公共点,则两圆一定外离． (　　 ) (３)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元 一次 方 程 是 两 圆 的 公 共 弦 所 在 的 直 线 方程． (　　 ) (４)若两圆有公共点,则|r１－r２|≤d≤r１＋r２． (　　 ) ２．圆O１:x２＋y２－２x＝０和圆O２:x２＋y２－４y ＝０的位置关系为 (　　 ) A．相离　 B．相交　 C．外切　 D．内切 ３．圆x２＋y２－２x＝０与圆x２＋y２＋４y＝０的 公共弦长等于 (　　) A．３ B．４ ３３ C． ２ ５ ２ D． ４ ５ ５ ４．已知两圆x２＋y２＝１０和(x－１)２＋(y－３)２ ＝２０相交于A,B 两点,则直线AB 的方程 是　　　　　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６３􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 　　　圆与圆的位置关系的判断 [例１]　当实数k为何值时,两圆C１:x２＋y２ ＋４x－６y＋１２＝０,C２:x２＋y２－２x－１４y＋ k＝０相交、相切、外离? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 判断圆与圆的位置关系的一般步骤 (１)将两圆的方程化为标准方程(若圆方程 已是标准形式,此步骤不需要)． (２)分别求出两圆的圆心坐标和半径长 r１,r２． (３)求两圆的圆心距d． (４)比 较 d 与|r１ －r２|,r１ ＋r２ 的 大 小 关系． (５)根据大小关系确定位置关系． 􀳀[变式训练] １．两个圆C１:x２＋y２＋２x＋２y－２＝０,C２:x２ ＋y２－４x－２y＋１＝０的公切线有 (　　) A．１条 B．２条 C．３条 D．４条 　　　两圆相切问题 [例２]　(１)以(３,－４)为圆心,且与圆x２＋y２ ＝６４内切的圆的方程为　　　　　　　　． (２)圆C１:(x－m)２＋(y＋２)２＝９与圆C２: (x＋１)２＋(y－m)２＝４外切,则 m 的值为 　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　 两圆相切问题 ⇒ 两圆的内切及外切 ⇒ 结合图形进行求解 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 处理两圆相切问题的两个步骤 (１)定性,即必须准确把握是内切还是外 切,若只是告诉相切,则必须考虑分两 圆内切还是外切两种情况讨论． (２)转化思想,即将两圆相切的问题转化为 两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝 对值(内切时)或两圆半径之和(外切 时)． 􀳀[变式训练] ２．求与圆x２＋y２－２x＝０外切且与直线x＋ ３y＝０相切于点 M(３,－ ３)的圆的方程． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７３􀅰 第一章　直线与圆 　　　两圆的公共弦问题 [例３]　已知圆C１:x２＋y２＋６x－４＝０和圆 C２:x２＋y２＋６y－２８＝０． (１)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长; (２)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－４ ＝０上的圆的方程． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)两圆方程相减求出公共 弦所在直线方程,再根据半径、弦心距、弦 长的关系求出弦长． (２)可求出两圆的交点坐标,结合圆心在直 线x－y－４＝０上求出圆心坐标与半径, 也可利用圆系方程求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)求两圆公共弦长的方法 一是联立两圆方程求出交点坐标,再用 距离公式求解; 二是先求出两圆公共弦所在的直线方 程,再利用半径长、弦心距和弦长的一 半构成的直角三角形求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (２)过两圆的交点的圆的方程 已知圆C１:x２＋y２＋D１x＋E１y＋F１＝ ０与圆C２:x２＋y２＋D２x＋E２y＋F２＝０ 相交,则过两圆交点的圆的方程可设为 x２＋y２＋D１x＋E１y＋F１＋λ(x２＋y２＋ D２x＋E２y＋F２)＝０(λ≠－１)． 􀳀[变式训练] ３．圆C１:x２＋y２＝１与圆C２:x２＋y２－２x－２y＋１ ＝０的公共弦所在的直线被圆C３:(x－１)２＋ (y－１)２＝２５４ 所截得的弦长为　　　　． [当堂达标] １．圆x２＋y２－４x＋６y＝０和圆x２＋y２－６x＝ ０交于A,B 两点,则AB 的垂直平分线的方 程是 (　　 ) A．x＋y＋３＝０　　　　B．２x－y－５＝０ C．３x－y－９＝０ D．４x－３y＋７＝０ ２．已知圆C１:(x－１)２＋(y－２)２＝４,圆C２:(x ＋２)２＋(y＋２)２＝９,则两圆的公切线条数 是　　　　． ３．若圆x２＋y２＝４与圆x２＋y２＋２ay－６＝０(a ＞０)的公共弦长为２ ３,则a＝　　　　． ４．已知以C(４,－３)为圆心的圆与圆O:x２＋ y２＝１相切,求圆C的方程． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８３􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册