专题1.1.5 两直线的交点坐标 （高效培优讲义）数学北师大版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦两直线交点坐标核心知识点，从二元一次方程组解与交点的对应关系切入，延伸至相交平行重合的代数判定，再到直线系方程、含参数直线恒过定点及交点位置限制，构建从基础求解到综合应用的学习支架。 资料融入思维导图梳理知识脉络，通过即学即练、典例与变式训练，培养用数学思维分析参数问题的能力，综合题型强化数形结合与逻辑推理。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固基础、弥补薄弱，提升解决综合问题的能力。

专题1.5 两直线的交点坐标 教学目标 理解两直线交点与二元一次方程组解的对应关系，掌握求两直线交点坐标的方法； 能根据方程组解的个数，判断两条直线相交、平行、重合三种位置关系； 会利用直线系方程处理过定点直线、含参数直线恒过定点问题； 结合数形结合思想，解决交点、定点、参数范围综合题型。 教学重难点 1.重点 ① 联立二元一次方程组求两直线交点坐标； ② 方程组解的个数与两直线位置关系的判定； ③ 过两直线交点的直线系方程及其应用。 2.难点 ① 含参数直线恒过定点的推导与证明； ② 结合交点位置限制求参数取值范围； ③ 直线系与分类讨论、数形结合综合压轴题。 知识点 01 两直线交点与二元一次方程组的对应关系 核心定义 设两条直线一般式：联立方程组 方程组有唯一解 ⇔ ，解(x,y)就是交点坐标； 方程组无解 ⇔ ； 方程组无数组解 ⇔ 。 解题步骤求交点 把两条直线统一写成一般式； 联立二元一次方程组； 加减消元 / 代入消元求解； 有解写出交点，无解则平行。 【即学即练】 若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 知识点 02 两直线相交、平行、重合的代数判定（系数判定） 判定公式 相交：（方程组唯一解）； 平行： 重合： 斜率简化判定（直线斜率存在时） ⇒ ； 且⇒ ； 且⇒ 。 【即学即练】 已知直线与直线垂直，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 知识点 03 过两直线交点的直线系方程 直线系核心公式 若相交于点P，则过P的所有直线可表示： 该方程恒过交点； 无法表示直线，做题需单独验证是否符合题意。 特殊直线系 过定点直线系 垂直 x 轴定点直线： 【即学即练】 直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 知识点 04 含参数直线恒过定点问题 解题方法 整理方程，把含参数项合并、常数项合并； 令参数系数 = 0，常数项 = 0，联立方程组； 解方程组得到定点坐标。 知识点 05 交点在坐标轴 / 象限内的条件（参数范围） 分类限制 交点在x轴：交点纵坐标y=0； 交点在y轴：交点横坐标x=0； 交点在第 象限：x>0,y>0；第 象限x<0,y>0；第 象限x<0,y<0；第 象限x>0,y<0。 解题思路 联立求出交点(x,y)（含参数），列不等式组求解参数范围。 【即学即练】 已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 知识点 06 三条直线共点的判定方法 判定逻辑 三条直线共点 ⇔ 。 步骤： 求交点P； 将P代入方程，等式成立则共点。 【即学即练】 已知三条直线，，相交于一点，则____________. 知识点 07 空集、无解、无交点综合基础性质 两直线平行 ⇔ ； 两直线重合 ⇔ ； 两直线相交 ⇔ ； 含参数方程组无解 ⇔ 。 【即学即练】 设直线：，：，下列说法正确的是（    ） A．当时，直线与不重合 B．当时，直线与相交 C．当时， D．当时， 题型 01 求两条直线的交点坐标 【典例1】判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标： (1)，； (2)，； (3)，． 【变式1】判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标． (1)，； (2)，； (3)，． 【变式2】分别判断下列直线与是否相交．如果相交，求出交点的坐标． (1)，； (2)，； (3)，． 【变式3】分别判断下列两条直线的位置关系.如果相交，求出它们的交点坐标. (1)，； (2)，. 题型 02 利用两直线位置关系判定求参数范围 / 求值 【典例1】已知两条直线， (1)当为何值时，与相交; (2)与是两条不同直线，经过定点，当也经过点时，求的值. 【变式1】已知两条直线l1：（3＋m）x＋4y＋（3m－19）＝0，l2：2x＋（1＋m）y－8＝0，当实数m分别为何值时，l1与l2： (1)相交？ (2)平行？ (3)垂直？ 【变式2】已知三条直线：，：，：，． (1)若，求的值； (2)若、、不能围成三角形，求的值． 【变式3】已知三条直线，，. （1）若直线，，交于一点，求实数的值； （2）若直线，，不能围成三角形，求实数的值. 题型 03 由方程解的个数判断直线的位置关系 【典例1】已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 【变式1】若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型 04 三线围成的三角形的问题 【典例1】三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【变式1】已知三条直线，与不能围成三角形，则a=（    ）． A． B． C． D．或或 【变式2】若三条直线，，能围成一个三角形，则的值不可能是（     ） A． B．1 C． D． 【变式3】已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． 【变式4】设为实数，若三条直线，和不能构成三角形，则实数的取值可能为（   ） A． B． C．1 D． 题型 05 直线交点系方程及其应用 【典例1】已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 【变式1】求经过点和两直线和的交点的直线方程． 【变式2】（1）已知两直线，求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知直线过点，且交坐标轴正半轴于两点，当的面积最小时，求的周长. 【变式3】过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______. 1．若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若点既是，所连线段的中点，又是直线与的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 4．已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．直线和交于点，则过点、的直线方程是（   ） A． B． C． D． 6．已知直线：和直线：，则下列结论正确的是（    ） A．存在实数k，使得直线的倾斜角为 B．对任意的实数k，直线与直线都有公共点 C．对任意的实数k，直线与直线都不重合 D．对任意的实数k，直线与直线都不垂直 7．已知集合，集合，且，则（    ） A． B． C． D． 8．已知直线：，：，：，则下列判断正确的是（   ） A．的斜率为2 B．若，则 C．若，则 D．若，，相交于一点，则 9．已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况说法错误的是（   ） A．无论k、M、N如何，总是无交点 B．存在k、M、N使之无交点 C．无论k、M、N如何，总是唯一交点 D．存在k、M、N使之有无穷多交点 10．直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是______. 11．三条直线，，相交于一点，则__________． 1．在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． 2．已知三角形的三个顶点分别为、、； (1)求边上中线的方程， (2)过点作的垂线，垂足为，求直线的方程并求出点的坐标， 3．在中，，直线的斜率为2，直线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求点A关于直线BC的对称点的坐标 (3)若，求的高所在直线的方程 4．在中顶点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求顶点、的坐标； (3)求的面积. 5．已知的顶点的坐标为，直线的方程为，边上的中线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求边上的高线的方程. 6．分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 7．分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标. (1)； (2)； (3). 8．已知直线，直线和． (1)求证：直线恒过定点； (2)设（1）中的定点为与的交点分别为，若恰为的中点，求． 9．已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 10．已知直线与． (1)当时，求直线与轴围成的三角形的面积； (2)讨论直线与的位置关系． 11．已知两直线，． (1)求过直线交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (2)若直线与直线能构成三角形，求实数a的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 两直线的交点坐标 教学目标 理解两直线交点与二元一次方程组解的对应关系，掌握求两直线交点坐标的方法； 能根据方程组解的个数，判断两条直线相交、平行、重合三种位置关系； 会利用直线系方程处理过定点直线、含参数直线恒过定点问题； 结合数形结合思想，解决交点、定点、参数范围综合题型。 教学重难点 1.重点 ① 联立二元一次方程组求两直线交点坐标； ② 方程组解的个数与两直线位置关系的判定； ③ 过两直线交点的直线系方程及其应用。 2.难点 ① 含参数直线恒过定点的推导与证明； ② 结合交点位置限制求参数取值范围； ③ 直线系与分类讨论、数形结合综合压轴题。 知识点 01 两直线交点与二元一次方程组的对应关系 核心定义 设两条直线一般式：联立方程组 方程组有唯一解 ⇔ 两直线相交，解\((x,y)\)就是交点坐标； 方程组无解 ⇔ 两直线平行，无公共点； 方程组无数组解 ⇔ 两直线重合，整条直线都是公共点。 解题步骤求交点 把两条直线统一写成一般式； 联立二元一次方程组； 加减消元 / 代入消元求解； 有解写出交点，无解则平行。 【即学即练】 若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 【答案】B 【分析】将方程组进行消元，再对消元后的方程的解进行讨论可得所求值. 【详解】易知当时，方程组有解，不满足题意； 当时，方程组消去y得，， 当时，方程无解，所以原方程组无解，符合题意； 当时，方程的解集为，此时原方程组有无数多组解，不符合题意，故. 故选：B. 知识点 02 两直线相交、平行、重合的代数判定（系数判定） 判定公式 相交：（方程组唯一解）； 平行：； 重合：。 斜率简化判定（直线斜率存在时） ⇒ 相交； 且⇒ 平行； 且⇒ 重合。 【即学即练】 已知直线与直线垂直，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用两直线垂直的充要条件求出，进而求出垂足的坐标，即可求解. 【详解】因为直线与直线垂直，则，解得， 又由题知在直线上，所以，解得， 所以垂足为，则点在上， 所以，解得. 知识点 03 过两直线交点的直线系方程 直线系核心公式 若相交于点P，则过P的所有直线可表示： 该方程恒过交点； 无法表示直线，做题需单独验证是否符合题意。 特殊直线系 过定点直线系（不含垂直 x 轴直线）； 垂直 x 轴定点直线： 【即学即练】 直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立方程可得经过的点，由垂直可得直线的斜率，由点斜式可写直线的方程，化为一般式即可． 【详解】直线经过两条直线和的交点， 由， 可得交点为， 直线与直线垂直， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 即． 故选:B． 知识点 04 含参数直线恒过定点问题 解题方法 整理方程，把含参数项合并、常数项合并； 令参数系数 = 0，常数项 = 0，联立方程组； 解方程组得到定点坐标。 知识点 05 交点在坐标轴 / 象限内的条件（参数范围） 分类限制 交点在x轴：交点纵坐标y=0； 交点在y轴：交点横坐标x=0； 交点在第一象限：x>0,y>0；第二象限x<0,y>0；第三象限x<0,y<0；第四象限x>0,y<0。 解题思路 联立求出交点(x,y)（含参数），列不等式组求解参数范围。 【即学即练】 已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】首先求直线所过定点，再判断选项. 【详解】， ，得，定点在第一象限，则直线一定经过第一象限 故选：A 知识点 06 三条直线共点的判定方法 判定逻辑 三条直线\(l_1,l_2,l_3\)共点 ⇔ \(l_1,l_2\)交点在\(l_3\)上。 步骤： 求\(l_1,l_2\)交点P； 将P代入\(l_3\)方程，等式成立则共点。 【即学即练】 已知三条直线，，相交于一点，则____________. 【答案】3 【分析】先由两直线方程求得交点，再将该点代入第三条直线方程，计算即得. 【详解】由和联立，解得， 由点在直线上，得，所以. 故答案为：3 知识点 07 空集、无解、无交点综合基础性质 两直线平行 ⇔ 交点集合为（空集）； 两直线重合 ⇔ 交点集合是整条直线，无限个元素； 两直线相交 ⇔ 交点集合只有 1 个元素（单点集）； 含参数方程组无解 ⇔ 对应直线平行，参数满足平行判定条件。 【即学即练】 设直线：，：，下列说法正确的是（    ） A．当时，直线与不重合 B．当时，直线与相交 C．当时， D．当时， 【答案】BD 【分析】举出反例判断A；联立，结合是否为0，讨论方程组解的情况，判断直线的位置关系，判断，讨论是否为0，结合可判断两直线是否垂直，判断D. 【详解】对于A，时，若,,且时， 两直线：，：重合，A错误； 对于B，联立 ，可得, 当时，，此时方程组有唯一一组解， 故直线与相交，B正确； 对于C，时，若，则无解， 此时； 若，则有无数多组解， 此时重合，故C错误； 对于D，若，则由可得， 即两直线斜率之积等于，故； 若,则可得，此时满足， 直线：，：， 此时， 故当时，，D正确， 故选： 题型 01 求两条直线的交点坐标 【典例1】判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)平行 (3)重合 【分析】（1）联立直线方程得到方程组，求出方程组的解，即可得到两直线的交点坐标； （2）联立直线方程得到方程组，判断方程组无解，即可得到两直线平行； （3）联立直线方程得到方程组，得到方程组有无数解，即可判断. 【详解】（1）由，解得， 因此直线和相交，交点坐标为． （2）因为，， 由， 得，矛盾， 由此可知方程组无解，因此直线与平行． （3）由， 得， 说明方程②是方程①的倍，方程①的解都是方程②的解． 因此直线与重合． 【变式1】判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标． (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)重合 (3)平行 【分析】分别联立方程组的，解方程组即可判断直线的位置关系. 【详解】（1）解方程组，得， 所以与相交，且交点坐标为． （2）联立直线与的方程得方程组， 因为整理得，即方程②可以化为方程①， 所以方程组有无数组解， 所以与重合． （3）联立直线与的方程得方程组 由得（不成立），可知该方程组无解． 所以与无公共点，即． 【变式2】分别判断下列直线与是否相交．如果相交，求出交点的坐标． (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)不相交 (3)不相交 【分析】分别联立方程组，解方程求解即可判断. 【详解】（1）解方程组，得， 所以与相交，交点坐标为． （2）解方程组，方程组无解， 所以与无公共点，即与不相交． （3）解方程组， 因为方程可化为， 所以方程组有无数组解， 所以与有无数个公共点，即与不相交． 【变式3】分别判断下列两条直线的位置关系.如果相交，求出它们的交点坐标. (1)，； (2)，. 【答案】(1)与相交，交点坐标为 (2)与平行 【分析】联立两直线方程，通过其解可判断两者关系，且其解为交点，从而得解. 【详解】（1）因为，， 联立，解得， 所以与相交，交点坐标为. （2）因为，可化为， 联立，两式相减得，显然不成立，故方程组无解， 所以与平行. 题型 02 利用两直线位置关系判定求参数范围 / 求值 【典例1】已知两条直线， (1)当为何值时，与相交; (2)与是两条不同直线，经过定点，当也经过点时，求的值. 【答案】(1)，且，且 (2) 【分析】（1）由求解； （2）过定点，又因为也经过点，代入求解，要注意检验． 【详解】（1）依题意，得， 得， 得，且，且． （2）， 得，得， 得过定点，又因为也经过点， 得，得． 当时，与重合，故舍去， 故． 【变式1】已知两条直线l1：（3＋m）x＋4y＋（3m－19）＝0，l2：2x＋（1＋m）y－8＝0，当实数m分别为何值时，l1与l2： (1)相交？ (2)平行？ (3)垂直？ 【答案】(1)m≠1且m≠－5 (2)－5 (3) 【详解】解：（1） 由（3＋m）（1＋m）≠4×2，得m≠1且m≠－5. （2） 由（3＋m）（1＋m）＝4×2，得m＝1（舍）或m＝－5. （3） 由2（3＋m）＋4（1＋m）＝0，得m＝－. 【变式2】已知三条直线：，：，：，． (1)若，求的值； (2)若、、不能围成三角形，求的值． 【答案】(1) (2) 或或或 【分析】（1）利用两直线垂直的一般式系数关系直接求解； （2）不能围成三角形分三线共点、至少两条直线平行两类情况分类讨论求解 【详解】（1）对于直线和，垂直的充要条件为， 代入、的系数得： ，解得 （2）三条直线不能围成三角形分两类： ① 三线共点：联立和的方程，解得交点为， 代入得： ，化简得，解得或； ② 存在平行直线：若，则，解得，此时两直线平行； 若，则，解得，此时两直线平行； 若，则，即，无实根，不存在符合条件的， 综上，的取值为、、、. 【变式3】已知三条直线，，. （1）若直线，，交于一点，求实数的值； （2）若直线，，不能围成三角形，求实数的值. 【答案】（1）或；（2）或或4或. 【分析】（1）联立方程组即可求出； （2）根据题意可知直线交于一点或有两条直线平行，则可求解. 【详解】（1）∵直线，，交于一点， ∴与不平行，∴， 由，得， 即与的交点为， 代入的方程，得， 解得或. （2）若，，交于一点，则或； 若，则； 若，则； 若，则不存在满足条件的实数. 综上，可得或或4或. 题型 03 由方程解的个数判断直线的位置关系 【典例1】已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 【答案】B 【分析】先得到，从而得到方程组总有唯一解，A，D错误，B正确；再假设是方程组的一组解，得到，在直线，与两点在上矛盾，C错误. 【详解】直线的斜率存在， ∴， 由题意， 则， 故：与：相交， ∴方程组总有唯一解，A，D错误，B正确； 若是方程组的一组解，则， 则点，在直线，即上， 但已知这两个点在直线上，而这两条直线不是同一条直线， ∴不可能是方程组的一组解，C错误. 故选：B. 【变式1】若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分与讨论，结合条件，列出不等式，即可得到结果. 【详解】当时，由可得，，当时，解得； 当时，由可得，，由可知，方程的解是， 又的图象与直线有两个不同的交点， 所以，其中，解得； 综上所述，. 题型 04 三线围成的三角形的问题 【典例1】三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】根据题意判断三条直线能够组成三角形时的条件，列出不等式组，求出结果即可. 【详解】当三条直线能构成一个三角形时，直线不与这两条直线平行，且不经过两条直线的交点即可. 由，解得，所以，解得； 不与平行时，； 不与平行时，； 综上，的取值范围是且； 故选：B. 【变式1】已知三条直线，与不能围成三角形，则a=（    ）． A． B． C． D．或或 【答案】D 【分析】利用至少两直线平行或三条直线交于同一点进行求解． 【详解】三条直线，与不能围成三角形， ①若与直线平行， 则，解得，经检验满足要求； ②若与直线平行， 则，解得，经检验满足要求； ③若三条直线交于同一点，则联立，得， ∴交点坐标为，代入直线，得， ∴． 综上所述，则或或. 故选：D. 【变式2】若三条直线，，能围成一个三角形，则的值不可能是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】ACD 【分析】先求出两条已知直线的交点，再分别考虑第三条直线过该交点或与其中一条直线平行这三种不能构成三角形的情况，从而排除对应的值. 【详解】由得所以两条直线交于点． 当也过时，，解得，此时三条直线交于同一点，不能构成三角形； 当与平行时，有，则，不能构成三角形； 当与平行时，有，则，不能构成三角形，所以且且． 故选：ACD． 【变式3】已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用直线平行以及三条直线交于一点，即可求解. 【详解】联立，可得，即两直线交点为. 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线经过点，三线共点，不能围成三角形; 当时，三条直线两两相交且不共点，可以围成三角形，不符合题意. 故选：BCD 【变式4】设为实数，若三条直线，和不能构成三角形，则实数的取值可能为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】AD 【分析】问题转化为三条直线交于一点或至少有两条直线平行或重合，由此能求出使这三条直线不能围成三角形的的值． 【详解】①当三条直线交于一点时不能围成三角形，由，得到交点坐标为，由直线过点，可得得； ②当直线与直线平行时，不能围成封闭图形，则且，解得； ③当直线与直线平行时，不能围成三角形，则且，解得. 故选：AD. 题型 05 直线交点系方程及其应用 【典例1】已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 【答案】 【分析】点坐标代入方程可得答案. 【详解】由题意可设的方程为． 因为过点， 所以，解得， 所以的方程为， 即． 【变式1】求经过点和两直线和的交点的直线方程． 【答案】 【分析】解法1：设过点的直线方程为，代入点坐标可得答案；解法2：解方程组求出点坐标，由直线两点式方程可得答案． 【详解】解法1：设过点的直线方程为， ，解得， 则，即． 又点不在上，直线不合题意． 故所求直线方程为． 解法2：由，得，即． 所求直线过与， 由得， 故所求直线方程为． 【变式2】（1）已知两直线，求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知直线过点，且交坐标轴正半轴于两点，当的面积最小时，求的周长. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）法1：求出交点，利用垂直关系求直线方程；法2：设直线系方程，再利用垂直关系求出； （2）设截距式方程，利用基本不等式求最值，得出取等条件即可. 【详解】（1）法1：联立，解得， 与直线垂直的直线斜率为， 所以经过与交点且与垂直的直线方程为：，即； 法2：经过直线交点的直线设为：， 即， 因其与直线垂直，所以，解得， 所以所求直线方程为. （2）设，则， 因直线过，所以，则，等号成立时， 所以的面积， 此时的周长为. 【变式3】过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______. 【答案】或 【分析】联立两直线方程求交点坐标，再结合直线截距式求直线方程. 【详解】由，解得，则两直线交点. 由题意所求直线在两坐标轴上截距相等， ①当截距为0时，则过点的直线方程为，即； ②当截距不等于0时，设直线方程为 将点坐标代入，得，解得 故答案为：或. 1．若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线的斜率为1，所以直线的斜率存在， 则其斜率为，由题意得，，解得， 由解得，所以这两条直线的交点坐标为. 2．若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两直线相交，求得交点坐标，再根据交点所在位置，得不等式组，求解即可. 【详解】由题意得，解方程组，得， 因为直线与的交点在第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 3．若点既是，所连线段的中点，又是直线与的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将两直线方程相减可得过两直线交点的直线方程，再将代入化简可求出直线的斜率，从而可求出线段的垂直平分线的方程. 【详解】直线与直线的方程相减， 可得， 把点代入，可得， 所以，又是线段AB的中点， 所以线段AB的垂直平分线的方程是， 即. 4．已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】联立直线方程，求出交点坐标即可得解. 【详解】由，解得， 即两条直线的交点坐标为， 所以两条直线的交点所在的象限是第二象限， 故选：B 5．直线和交于点，则过点、的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为点在直线和上， 所以有，从而点、均满足， 故过点、的直线方程是即. 6．已知直线：和直线：，则下列结论正确的是（    ） A．存在实数k，使得直线的倾斜角为 B．对任意的实数k，直线与直线都有公共点 C．对任意的实数k，直线与直线都不重合 D．对任意的实数k，直线与直线都不垂直 【答案】ABD 【分析】举例即可说明A、C；分以及，得出直线与直线的关系，即可得出B项；根据直线垂直列出方程，求解方程，即可说明D项. 【详解】对于A项，当时，直线的方程为，此时直线的倾斜角为，故A项正确； 对于B项，当时，直线的方程为，与重合，此时两直线有公共点； 当时，有，即一定相交. 综上所述，对任意的实数k，直线与直线都有公共点，故B项正确； 对于C项，由B可知，当时，直线与重合，故C项错误； 对于D项，要使直线与直线垂直，则应有，该方程无解， 所以对任意的实数k，直线与直线都不垂直，故D项正确. 故选：ABD. 7．已知集合，集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由整理可得，根据题意可知，直线过点，或直线与平行，综合可得出实数的值. 【详解】由整理可得. 因为集合，. （1）直线过点，则，解得， 此时，直线与直线不平行； （2）若直线与平行，则，解得. 综上所述，或. 故选：BD. 8．已知直线：，：，：，则下列判断正确的是（   ） A．的斜率为2 B．若，则 C．若，则 D．若，，相交于一点，则 【答案】BC 【分析】将直线方程化为斜截式即可求解斜率判断A选项；由两直线平行与垂直的表示可判断BC选项；联立直线与求出交点坐标，再代入可判断D选项. 【详解】对于A选项：：，即，其斜率为，A错误； 对于B选项：若，则，解得，B正确； 对于C选项：若，则，解得，C正确； 对于D选项：联立：， 若，，相交于一点，等价于点在直线上， 则，解得.D错误. 故选：BC. 9．已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况说法错误的是（   ） A．无论k、M、N如何，总是无交点 B．存在k、M、N使之无交点 C．无论k、M、N如何，总是唯一交点 D．存在k、M、N使之有无穷多交点 【答案】ABD 【分析】计算，进而可得，由两直线相交即可求解. 【详解】由于与是直线（k为常数）上两个不同的点， 故，， 又， 由于，因此，故直线不平行，也不重合， 故两直线相交，因此只有唯一的交点，故C正确，ABD错误， 故选：ABD 10．直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是______. 【答案】 【分析】数形结合即可求得的取值范围. 【详解】由题可知，当直线经过点时， 当直线经过点时， 当直线与线段没有公共点， 则或. 故答案为：. 11．三条直线，，相交于一点，则__________． 【答案】1 【分析】联立直线方程求交点坐标，再将点坐标代入含参直线方程求参数. 【详解】联立，解得， 把交点坐标代入，得，解得. 故答案为：. 1．在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的方程，与直线联立，即可求出A的坐标； （2）先求出点C的坐标，进而可求解. 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为， 所以,解得：. 所以直线的方程为，即. 由解得：，即. （2）因为点C在直线上，所以可设，则中点为. 把代入直线：， 有，解得：，所以. 又∵，∴，即， 所以BC所在直线方程为：． 2．已知三角形的三个顶点分别为、、； (1)求边上中线的方程， (2)过点作的垂线，垂足为，求直线的方程并求出点的坐标， 【答案】(1) (2)直线的方程为； 【分析】（1）首先求的中点坐标，再求直线方程； （2）根据垂直关系求直线的斜率，再求直线方程；联立直线和的方程，求交点坐标. 【详解】（1）设边上的中点为点，且、， 则，即， 边上的中线为，，所以直线, 所以边上中线的方程为； （2）， 因为，所以，则， 所以直线的方程为， 直线，整理为：， 联立，得，， 则点的坐标为. 3．在中，，直线的斜率为2，直线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求点A关于直线BC的对称点的坐标 (3)若，求的高所在直线的方程 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用点斜式直线方程直接求解即可； （2）设，根据垂直于BC得到斜率为 7，而且中点在直线上，再列方程求解即可； （3）联立直线AB的方程与直线BC的方程求得点B的坐标，由可知D为AB的中点，求出点D的坐标，再求出高线CD的斜率，利用点斜式直线方程即可求解. 【详解】（1）由已知得直线AB的方程为：，即 . （2）设， 因为直线的方程为，斜率为 ， 故斜率为 7，即， 因为中点在直线上， 所以，解得 所以. （3）解方程组，解得，所以， 又因为，所以中点， 又因为高线CD的斜率为， 所以CD所在直线的方程为，即. 4．在中顶点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求顶点、的坐标； (3)求的面积. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据直线垂直和经过的点坐标求出直线的方程. （2）联立两直线方程即可求得交点坐标. （3）根据点到直线的距离公式和三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）由题可设直线的方程为， 把点代入可得，解得. 直线的方程为. （2）设，则，，联立解得，.. 设，则，，联立解得，. . （3）是的中点，，到的距离， 又点到的距离，.    5．已知的顶点的坐标为，直线的方程为，边上的中线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求边上的高线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线交点计算得到的坐标，结合点斜式方程求解即可； （2）先根据垂直关系计算斜率，结合点斜式方程求解即可； 【详解】（1）设点坐标为，点坐标为， 因为是中点，，所以， 在中线上，代入得：， 化简得，又在直线上，满足， 联立解得，即， 点在直线上，联立和， 解得，即 直线的斜率为，直线的方程为， 整理得 （2）由边上的高线可知，故， 点，直线的方程为，整理得. 6．分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)不相交，重合 (3)不相交， 【分析】（1）解方程组得到两直线的交点坐标； （2）通过方程组的解判断两直线的位置关系； （3）通过方程组的解判断两直线的位置关系. 【详解】（1）解方程组，得 因此直线和相交，交点坐标为． （2）方程组有无数个解，这表明直线和重合． （3）方程组无解，这表明直线和没有公共点，故． 7．分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标. (1)； (2)； (3). 【答案】(1)相交，交点为； (2)重合； (3)平行. 【分析】（1）联立方程求解，即可判断与关系； （2）（3）根据各项系数比值关系，即可判断与关系. 【详解】（1）由，解得，所以交点坐标为，故与相交. （2）由，显然，即方程无解，故与重合. （3）由，显然，即方程无解，故与平行. 8．已知直线，直线和． (1)求证：直线恒过定点； (2)设（1）中的定点为与的交点分别为，若恰为的中点，求． 【答案】(1)直线恒过定点 (2) 【分析】（1）把直线的方程化为即可求出恒过的定点； （2）设出点A的坐标，利用P是AB中点表示出点B的坐标，再根据A、B分别在直线上求出A点坐标，最后将A点坐标代入直线的方程求出m. 【详解】（1）证明：可化为， 由于，则，解得， 即直线恒过定点．所以直线恒过定点. （2）由（1）知，不妨设， 因为恰为的中点，所以． 因为分别在直线和直线上， 所以，解得，所以． 将代入直线的方程得：，解得. 9．已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，的交点，再应用交点在上，列式计算求参；    （2）先求出，，不可以围成一个三角形时的参数取值，进而得出，，可以围成一个三角形时参数范围. 【详解】（1）联立与的方程，得解得         即与的交点坐标为，             由题意知点在上，所以，         解得. （2）由（1）知，             当时，，所以，             当时，，所以，             当，，三条直线可以围成三角形，则且且，             故的取值范围为. 10．已知直线与． (1)当时，求直线与轴围成的三角形的面积； (2)讨论直线与的位置关系． 【答案】(1) (2)当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交． 【分析】（1）分别求出各自与轴的交点与两条直线的交点求解即可； （2）分斜率相同的情况和不同的情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：当时，，， 当时，和，解得：和， 与轴的交点，与轴的交点， 联立，解得：， 与的交点， ，点到轴的垂直距离为：， ； （2）解：若两直线平行或重合，则斜率相等， 的斜率为：，的斜率为：， ，解得：或， 当时，，，两直线重合； 当时，，，两直线平行； 故当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交． 11．已知两直线，． (1)求过直线交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (2)若直线与直线能构成三角形，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）联立两条直线构成方程组，求解方程组即可得到交点坐标；在两坐标轴上的截距相等时，设出直线方程，分截距为0和不为0两种情况讨论即可； （2）直线与直线能构成三角形时要考虑不能构成三角形的三种情况即可． 【详解】（1）由题意得，，解得，∴点P的坐标为． 设所求直线为l， （i）当直线l在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为， 则，解得，所以直线l的方程为，即； （ⅱ）当直线l在两坐标轴上的截距为0时， 设直线方程为，则，解得， ∴直线l的方程为，即． 综上，直线l的方程为或． （2）（i）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅱ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （iii）当直线过与的交点时，不能构成三角形，此时，解得． 综上，当，且，且时，能构成三角形． 即实数a的取值范围为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $