专题2.1 必要条件与充分条件（高效培优讲义）数学北师大版高一必修第一册

本讲义聚焦高中数学“必要条件与充分条件”核心知识点，从命题的条件与结论入手，通过定义学习充分、必要条件，进而分类四种逻辑关系，结合集合包含关系实现条件转化，最终掌握含参范围求解及充要条件证明，形成递进式学习支架，辅以思维导图梳理知识脉络。 该资料以数学思维为核心，通过“小范围推大范围”口诀实现集合与条件的转化，培养逻辑推理能力。题型设计分层，典例与变式结合，即学即练强化应用意识，规范充要条件证明步骤，提升数学语言表达的严谨性。课中助力教师系统授课，课后通过练习题与变式帮助学生查漏补缺，巩固知识。

专题2.1 必要条件与充分条件 教学目标 理解命题、真命题、假命题概念，能分清命题的条件p与结论q； 掌握、的逻辑含义，区分充分条件、必要条件； 能判定充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要四种关系； 掌握充分 / 必要条件与集合包含关系的转化； 解决含参数的充分、必要条件范围求解问题； 会证明充要条件（分充分性、必要性两步证明）。 教学重难点 1.重点 ①的判断，充分条件、必要条件定义； ② 四种逻辑关系的区分； ③ 条件与集合范围的转化。 2.难点 ① 理解 “必要条件” 的逻辑含义； ② 含参问题中充分、必要条件对应集合的包含关系； ③ 充要条件的证明步骤规范书写。 知识点 01 命题、条件与结论 命题定义：可以判断真假的陈述句，分为真命题、假命题。 标准形式：若p，则q p：命题的条件； q：命题的结论。 推出符号： 若p成立一定推出q成立：记作 若p成立不能推出q成立：记作 知识点 02 充分条件的定义 若，则称： p是q的 ；q是p的 。 通俗理解：有p就足够推出q，p是q成立的充分理由。 逻辑语言：p成立一定成立。 【即学即练】 已知集合，集合或．设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 知识点 03 必要条件的定义 若，则q是p的 。 通俗理解：要想p成立，必须先保证q成立，没有q就一定没有p。 逆否等价：（q不成立，则p一定不成立）。 知识点 04 四种条件关系完整分类 设条件p对应集合A，条件q对应集合B 充分不必要条件： 必要不充分条件： 充要条件（充分且必要）： 既不充分也不必要： 【即学即练】 1.设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．“或为有理数”是“为有理数”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 知识点 05 条件与集合范围转化（培优核心工具） 口诀：小范围推大范围 小集合 ；大集合小集合。 对应关系： ：p是q ； ：p是q ； A=B：充要条件。 【即学即练】 已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点 06 充要条件的判定与证明 充要条件等价双向推出：且 ，记作 。 证明两步规范： ① 充分性：证； ② 必要性：证。 等价说法：p当且仅当q。 【即学即练】 已知，证明：“”是“”的充要条件. 知识点 07 充分、必要条件含参取值逻辑 若p是q充分不必要： 列不等式求参数； 若p是q必要不充分： 若充要：A=B； 注意端点能否取等号，单独验证。 【即学即练】 已知命题，或，若是的充分不必要条件，则的取值范围为_______． 题型 01 直接判定充分 / 必要条件 【典例1】是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】若a，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】设，则“”的充要条件是（ ） A．不都为1 B．都不为1 C．不都为0 D．中至少有一个为1 【变式3】方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 题型 02 利用集合包含判断四种条件关系 【典例1】“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】下列条件中，是“”的充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型 03 充分不必要条件求参数范围（高频培优） 【典例1】已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【变式1】已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． 【变式2】已知命题，或，若是的充分不必要条件，求的取值范围． 题型 04 必要不充分条件求参数范围 【典例1】已知集合，． (1)当时，求，； (2)设，，若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【变式1】已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 【变式2】已知集合或，，已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【变式3】已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 题型 05 充要条件判定与求解参数 【典例1】设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值； 【变式1】设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 题型 06 充要条件规范证明大题 【典例1】证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【变式1】（1）已知关于的一元二次方程.求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是 【变式2】已知，是正实数，求证：成立的充要条件是. 【变式3】（1）已知或，且是的必要而不充分条件，求的取值范围； （2）求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是． 1．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 5．设，，则（    ） A．既是的充分条件，也是的必要条件 B．是的充分条件，但不是的必要条件 C．是的必要条件，但不是的充分条件 D．既不是的充分条件，也不是的必要条件 6．设，则的充要条件是（   ） A． B． C．且 D．或 7．设，则“”的充要条件为（    ） A．至少有一个为2 B．都为2 C．都不为2 D． 8．“实数集合满足：”的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 9．设、是实数.下列选项中是充要条件的是（    ） A． B．; C．; D．. 10．“方程有实根”的充要条件为（   ） A． B． C． D． 11．设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 12．若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 13．对于实数，，使不等式成立的一个充分不必要条件可以是（     ） A． B． C． D． 14．已知集合，集合． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 15．已知全集，集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 1．已知全集，集合 ，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 2．已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围. 3．已知集合，非空集合． (1)若，求：的取值集合； (2)若是的必要条件，求：的取值集合． 4．已知命题，使得，当命题为真命题时，实数的取值集合为. (1)求集合； (2)设非空集合，若是的充分条件，求实数的取值范围. 5．集合，．若是的必要条件，求实数的取值范围． 6．已知集合和集合，已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 必要条件与充分条件 教学目标 理解命题、真命题、假命题概念，能分清命题的条件p与结论q； 掌握、的逻辑含义，区分充分条件、必要条件； 能判定充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要四种关系； 掌握充分 / 必要条件与集合包含关系的转化； 解决含参数的充分、必要条件范围求解问题； 会证明充要条件（分充分性、必要性两步证明）。 教学重难点 1.重点 ①的判断，充分条件、必要条件定义； ② 四种逻辑关系的区分； ③ 条件与集合范围的转化。 2.难点 ① 理解 “必要条件” 的逻辑含义； ② 含参问题中充分、必要条件对应集合的包含关系； ③ 充要条件的证明步骤规范书写。 知识点 01 命题、条件与结论 命题定义：可以判断真假的陈述句，分为真命题、假命题。 标准形式：若p，则q p：命题的条件； q：命题的结论。 推出符号： 若p成立一定推出q成立：记作； 若p成立不能推出q成立：记作。 知识点 02 充分条件的定义 若，则称： p是q的充分条件；q是p的必要条件。 通俗理解：有p就足够推出q，p是q成立的充分理由。 逻辑语言：p成立一定成立。 【即学即练】 已知集合，集合或．设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 【分析】若p是q的充分条件，则 ，即A的所有元素都属于B， ①，此时 ，解得； ②，此时，解得； 综上，的取值范围是或． 知识点 03 必要条件的定义 若，则q是p的必要条件。 通俗理解：要想p成立，必须先保证q成立，没有q就一定没有p。 逆否等价：（q不成立，则p一定不成立）。 知识点 04 四种条件关系完整分类 设条件p对应集合A，条件q对应集合B 充分不必要条件： 必要不充分条件： 充要条件（充分且必要）： 既不充分也不必要：互不包含 【即学即练】 1.设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，，满足，但. 若，因为，所以成立. 所以是必要不充分条件. 2．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先求解不等式得出的取值范围，再根据充分性和必要性的定义判断两个条件之间的关系. 【详解】不等式可化为，即. 若成立，一定满足，因此充分性成立； 若满足，不一定满足，因此，必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 3．设，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】充分性：对不等式移项通分得，已知，即， 要使分式大于0，分母必须也为负，因此可得，充分性成立； 必要性：若，说明异号，结合条件，可知为正数，为负数. 因此，，必然有，必要性成立. 综上，是的充要条件。 4．“或为有理数”是“为有理数”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】A 【分析】通过举反例判断充分性及必要性不成立，从而可判断结果. 【详解】充分性： 举反例：取（有理数），（无理数），满足“或为有理数”，但是无理数，因此充分性不成立. 必要性：举反例：取，都是无理数，不满足“或为有理数”，但是有理数，因此必要性不成立. 因此“或为有理数”是“为有理数”的既不充分也不必要条件. 知识点 05 条件与集合范围转化（培优核心工具） 口诀：小范围推大范围 小集合大集合；大集合小集合。 对应关系： ：p是q充分不必要； ：p是q必要不充分； A=B：充要条件。 【即学即练】 已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，又，所以， 所以“”是“”的充分条件； 若，又， 所以或，解得或， 所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的充分不必要条件. 知识点 06 充要条件的判定与证明 充要条件等价双向推出：且 ，记作。 证明两步规范： ① 充分性：证； ② 必要性：证。 等价说法：p当且仅当q。 【即学即练】 已知，证明：“”是“”的充要条件. 【答案】证明见解析 【分析】分别证明充分性和必要性即可. 【详解】先证充分性： 由得，则，因此； 再证必要性： 由，得，由，得， 因此，则 所以“是“”的充要条件. 知识点 07 充分、必要条件含参取值逻辑 若p是q充分不必要：，列不等式求参数； 若p是q必要不充分：； 若充要：A=B； 注意端点能否取等号，单独验证。 【即学即练】 已知命题，或，若是的充分不必要条件，则的取值范围为_______． 【答案】 【详解】命题对应集合， 命题对应集合或， 若是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 则有或，解得或，即， 又，故的取值范围为. 题型 01 直接判定充分 / 必要条件 【典例1】是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】∵ 解方程，可得或. 若成立，则可以为或，无法推出一定成立，故该条件不是充分条件. 若成立，代入可得，即成立，故该条件是必要条件. 因此是的必要不充分条件. 【变式1】若a，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】充分性：由“”可得，但当时，，不满足“”，因此充分性不成立； 必要性：由“”可得，所以，即“”，可知必要性成立． 因此“”是“”的必要不充分条件，故选B． 【变式2】设，则“”的充要条件是（ ） A．不都为1 B．都不为1 C．不都为0 D．中至少有一个为1 【答案】B 【分析】将整理得到，从而得到且. 【详解】， ， ， ， ， 且，即都不为1， 故选：B. 【变式3】方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可. 【详解】由题知，，解得. 故选：A 题型 02 利用集合包含判断四种条件关系 【典例1】“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由充分必要条件的定义可知，“”的一个充分不必要条件，即选项中对应的集合为集合的真子集即可. 【详解】因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，A错误； 因为集合是集合的真子集，所以是的充分不必要条件，B正确； 因为集合与集合之间不存在包含关系，所以是的既不充分也不必要条件，C错误； 因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，D错误. 【变式1】若为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时，则，在该不等式的两边同时除以得，即“”“”， 当时，不妨取，此时，即“”“”， 故“”是“”的充分不必要条件. 【变式2】下列条件中，是“”的充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用充分不必要条件的定义即可判断. 【详解】因为是的真子集，即由能推出， 而推不出，所以“”的充分不必要条件的是“”． 故选：C． 【变式3】“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先解分式不等式，再结合充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】因为，所以解得或， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 题型 03 充分不必要条件求参数范围（高频培优） 【典例1】已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)讨论两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围； (2)由是成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围. 【详解】（1）①若，此时，即，此时，满足题意； ②若，此时，即，若，则满足或， 又因为，得. 综上，实数m的取值范围为. （2）p是q的充分不必要条件，是的真子集， 则，且等号不能同时成立，解得. 【变式1】已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）因为命题为真命题，所以，解得 所以实数的取值范围是． （2）令，， 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，解得， 综上所述，存在符合条件的实数，且实数的取值范围是． 【变式2】已知命题，或，若是的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】 【分析】将命题、对应集合、，则是的真子集，由集合关系列不等式求解的取值范围. 【详解】命题对应集合， 命题对应集合或， 由题知若是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 则有或，解得或，即，又， 故的取值范围为. 题型 04 必要不充分条件求参数范围 【典例1】已知集合，． (1)当时，求，； (2)设，，若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）把代入集合，然后求出，； （2）转化条件间的关系为集合间的关系，从而求出的取值范围. 【详解】（1）把代入集合，得 ，， 或. （2）设，，若是的必要不充分条件，则真包含B， 那么，解得 , 所以的取值范围为. 【变式1】已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 【答案】(1)，或． (2) (3) 【详解】（1）当时，， 因为，所以，或． （2）因为p是q的必要不充分条件，所以， 则，解得， 则m的取值范围为． （3）因为，所以或， 所以或， 解得或，即， 所以m的取值范围为． 【变式2】已知集合或，，已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先根据必要不充分条件得到Ü，然后根据集合间的关系求解的取值范围 【详解】或，. 又是的必要不充分条件，是的真子集. ①当时，则，得， ②当时，则或，解得， 综上，实数的取值范围是． 【变式3】已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】将必要不充分条件转化为集合的子集关系，再结合集合的子集关系，分类讨论，即可求解. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件，则集合是集合的真子集， 当时，，解得； 当时，要使集合是集合的真子集，需使，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 题型 05 充要条件判定与求解参数 【典例1】设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值； 【答案】2 【详解】由条件，因为 是的充要条件，所以， 即，解得， 所以实数的值是. 【变式1】设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】先求出命题中不等式的解集，再根据p是q成立的充要条件，即p和q所表示的集合相等求出的值． 【详解】，解得， ， 又，， ， 故选：A． 题型 06 充要条件规范证明大题 【典例1】证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【答案】①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 【分析】根据代入方程，因式分解即可求证充分性成立，将代入方程中即可求证必要性． 【详解】略 【变式1】（1）已知关于的一元二次方程.求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是 【答案】证明见解析. 【分析】（1）应用判别式恒大于零证明方程总有两个不相等的实数根； （2）应用充分必要条件的定义证明即可. 【详解】（1）关于的一元二次方程. 因为，所以无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）必要性：若关于的方程有一个根为1，则， 充分性：若， 则关于的方程有一个根为1， 所以关于的方程有一个根为1的充要条件是； 【变式2】已知，是正实数，求证：成立的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】通过因式分解得到，即可求证. 【详解】证明： ， ， 因为，是正实数， 所以， 得证. 【变式3】（1）已知或，且是的必要而不充分条件，求的取值范围； （2）求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是． 【答案】（1）或；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据必要不充分条件转化为真包含关系即可得解； （2）结合一元二次方程根的概念，分别证明充分性与必要性即可得证. 【详解】（1）根据是的必要而不充分条件， 所以命题中变量的取值集合是命题中变量取值集合的真子集， 所以可得到或， 即或； （2）证明： 充分性：∵，∴， 代入方程，可得， 即． 故关于x的方程有一个根为1． 是方程的一个根 必要性：是方程的一个根， 将代入方程得． 综上可得，是一元二次方程的一个根的充要条件是． 1．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由， 因当且仅当，即时取等， 显然不能全都为0，故，则由可得； 反之，当时，必有成立. 故得“”是“”的充要条件. 2．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】取，满足，但得不出， 所以“”是“”的不充分条件； 由，得， 所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件. 3．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由“”是“”的必要不充分条件， 得集合是集合的真子集， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 4．已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【分析】分别判断充分性与必要性即可得. 【详解】若，则，故“”是“”的充分条件， 若，则，故“”是“”的必要条件， 综上可得：“”是“”的充要条件. 5．设，，则（    ） A．既是的充分条件，也是的必要条件 B．是的充分条件，但不是的必要条件 C．是的必要条件，但不是的充分条件 D．既不是的充分条件，也不是的必要条件 【答案】C 【分析】求出方程的解，利用充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】由可得或， 命题不一定推出命题，命题不是命题的充分条件； 命题可推出命题，命题是命题的必要条件， 是的必要不充分条件． 故选：C. 6．设，则的充要条件是（   ） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【分析】由等价于求解即可. 【详解】等价于，即且， 故选：C 7．设，则“”的充要条件为（    ） A．至少有一个为2 B．都为2 C．都不为2 D． 【答案】A 【分析】将化为求解，结合充分、必要性定义即可得答案. 【详解】由，则，可得或，即至少有一个为2， 所以“”的充要条件为“至少有一个为2”，故A符合题意，BCD不符合题意. 故选：A. 8．“实数集合满足：”的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的运算性质及集合间的关系判断即可. 【详解】由可知，选项A、B、C均等价于，故错误， 选项D，等价于，故正确， 故选：D 9．设、是实数.下列选项中是充要条件的是（    ） A． B．; C．; D．. 【答案】D 【分析】取特殊值可判断ABC，利用不等式性质可判断D. 【详解】当时，成立，推不出，故A错误； 当时，成立，推不出，故B错误； 当时，成立，推不出，故C错误； 当时，，由不等式性质可得， 若，两边同乘以可得，即充要条件的是，故D正确. 故选：D 10．“方程有实根”的充要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知方程有实根，分和两种情况讨论，得出，经验证，时，，方程有实根成立. 【详解】若方程有实根， 当时，， 当时，，即且， 综上，． 验证：当时，方程为一元一次方程，有一个实根， 当且时，，方程有实根成立. 故选：A. 11．设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 若，则，所以，解得， 当时，，此时， 所以是的充要条件， 故“”的一个必要不充分条件是. 12．若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意得，解得，所以． 13．对于实数，，使不等式成立的一个充分不必要条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为二次函数的， 对于A，若，则，所以不等式恒成立， 所以能推出不等式， 当不等式成立时，不一定大于， 当时，不等式也成立， 故不等式推不出， 所以是不等式的充分不必要条件，故A正确； 对于B，将代入，不能推出不等式，故B错误； 对于C，若，分两种情况： ①若，不等式变为：成立， ②若对任意的，，成立， 所以能推出不等式， 取，成立，但， 所以不等式推不出， 所以是不等式的充分不必要条件，故C正确； 对于D，不等式成立时，实数，不同时为， 即，所以不等式能推出， 必要性成立，故D错误. 14．已知集合，集合． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据是的充分不必要条件,得到是A的真子集，然后根据真子集的定义建立不等式组求解即可. (2)利用分情况讨论或时的情况，得到含的不等式，然后求解不等式即可得到参数范围, 【详解】（1）若是的充分不必要条件，所以是A的真子集， 当时，由，可得； 当时，，即， 又（等号不同时取），解得，又，． 综上，实数m的取值范围为． （2）若时，当时，即，可得； 当时，需满足或，解得（舍）或， 即，时, . 15．已知全集，集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】. 【详解】若“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集， 当时，，此时，满足是的真子集， 当时，则，解得：，且和不能同时成立， 综上所述：实数的取值范围为. 1．已知全集，集合 ，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】条件可转化为，分和分别列不等式求的范围. 【详解】∵“”是“”的必要条件， ∴，∴. 当，即时，，满足． 当时，由，得，解得. 综上所述，实数的取值范围是． 2．已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集结果列式即可求解； （2）根据题意得到，列式即可求解. 【详解】（1）若，则或， 所以或， 故实数的取值范围. （2）因为成立的一个必要条件是， 所以， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 3．已知集合，非空集合． (1)若，求：的取值集合； (2)若是的必要条件，求：的取值集合． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）首先求出集合的具体元素，根据判断集合中的元素特征，列方程求解的值，验证排除即可； （2）根据已知条件得出集合之间的关系，从而可得到集合的所有可能情况，逐一验证即可. 【详解】（1）化简得，解得或，所以， 因为，所以且， 所以，即，解得或， 当时，，即，化简得，解得或，即，不符合题意，舍去； 当时，，即，化简得，解得或，即，满足题意. 故的取值集合为． （2）若是的必要条件，则， 又，由（1）可知或或. ①由（1）可知当时，. ②当时，由，解得或，由（1）知不成立； 当时，方程，即的解为或，，此时，舍去. ③当时，由（1）可得或，此时不成立，舍去； 当时，由（1）可知舍去. 综上所述：的取值集合为. 4．已知命题，使得，当命题为真命题时，实数的取值集合为. (1)求集合； (2)设非空集合，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据计算可得； （2）依题意可得，又，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）因为命题，使得，为真命题， 所以，即，解得， 所以. （2）因为是的充分条件，所以， 又因为为非空集合，且， ， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 5．集合，．若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】利用是的必要条件，得出，进而构造不等式求解． 【详解】因为是的必要条件，所以， 所以，解得，故实数的取值范围为． 6．已知集合和集合，已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】先将“q是p的必要不充分条件”转化为集合是集合的真子集，再根据集合真包含关系列不等式组，求解实数的取值范围. 【详解】∵q是p的必要不充分条件，∴⫋， 则或，解得， 故实数的取值范围为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $