1.4.2一元二次不等式及其解法 教案-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学教案聚焦一元二次不等式概念及解法，以汽车刹车距实际情境导入，抽象出不等关系引出课题，类比一元一次不等式解法，搭建函数、方程、不等式联系的学习支架，引导学生梳理知识脉络。 教案亮点在于用数学眼光观察现实世界，通过刹车距问题发展建模素养，用数学思维探究三个“二次”关系，表格梳理培养逻辑推理，含参数例题提升运算能力，启发式教学与讨论法促进主动学习，助力学生发展核心素养，为教师提供清晰教学范例。

课题 1.4.2 一元二次不等式及其解法 学科 数学 教材 北师大版（2019）必修第一册 章节 第一章第四节第二小节 课程类型 新授 课时安排 1课时 年级 高一 教学目标及教学重点、难点 1、 【教学目标】 1.能够从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，了解一元二次不等式的现实意义，发展数学建 模素养. 2.探索并归纳一般的一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系，进一步完成一 元二次函数的再认识. 3.通过类比一元一次不等式的求解，从具体实例探究一元二次不等式的解法，感受从特殊到一般 的研究方法，及函数、方程、不等式的基本思想，感悟函数的基本观点，总结求解一元二次不等 式的步骤，发展数学运算素养. 2、 【教学重难点】 教学重点：抽象概括一元二次不等式概念，探究并掌握一元二次不等式的解法； 教学难点：用函数观点探究一元二次不等式的解法. 教学方法和手段 教学方法：启发式教学，讲授法、讨论法和练习法 教学手段：教科书、多媒体辅助教学 教学过程(表格描述) 教学 环节 主要教学活动 设置意图 引入 新课 【情境展示】 汽车在行驶过程中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，一般称这段距离为“刹车距”刹车距s（单位：m）与车速x（单位：km/h）之间具有确定的函数关系，不同车型的刹车距函数不同它是分析交通事故的一个重要依据. 甲、乙两辆汽车相向而行，由于突发情况，两车相撞.交警在现场测得甲车的刹车距超过12m，但不足15m，乙车的刹车距超过11m，但不足12m已知这两辆汽车的刹车距函数分别如下： s甲=0.01x²+0.1x， s乙=0.005x²+0.05x， 车速超过40km/h属违法. 教师提问：哪一辆车违法超速行驶？ （教师引导学生分析问题，从具体问题中抽象出不等关系，由学生代表叙读观点，其他学生补充，教师板书过程） 学生分析：由题意，只需分别解出使不等式12<0.01x²+0.1x<15和11<0.005x²+0.05x<12成立的x的取值范围，确认两车的行驶速度，就可以判断哪一辆车违法超速行驶。 教师总结：解决这个问题转化为求解不等式12<0.01x²+0.1x<15和11<0.005x²+0.05x<12的问题. 通过生活中的实际问题情境，抽象出不等关系，激发学生的探究热情，引出本节课要学习的内容. 新知 讲解 知识点1：一元二次不等式的概念 知识点2：一元二次不等式的求解方法 教师布置任务：请大家分析上述情境中所转化的一类不等式的特征，并概括出该类不等式的一般形式. （学生观察上述两个不等式，教师引导学生从未知量的个数和次数进行分析，之后学生总结特征，展示成果，教师在学生回答的基础上给出一元二次不等式与一元二次不等式的解集的概念） 一般地，形如ax²+bx+c>0，或ax²+bx+c<0，或ax²+bx+c⩾0，或ax²+bx+c⩽0（其中x为未知数，a，b，c均为常数，且a≠0）的不等式叫作一元二次不等式，使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集. 过渡：对于不等式，一个主要的问题是解不等式，于是还需要学习一元二次不等式的解集，以及一元二次不等式的解法. 教师引导：类比初中数学用一次函数的图象求解一元一次不等式，我们可以利用一元二次函数的图象求一元二次不等式的解集。 以不等式x²−2x−3<0为例，画出一元二次函数y=x²−2x−3的图象（如图所示）并观察： 它与x轴交点的横坐标分别是和3， 即当时，； 当时，一元二次函数的图象在x轴的下方，满足.即一元二次不等式的解集是 {x∣−1<x<3}. 教师布置任务：阅读教材第36页“思考交流”完成表1-4，阐述三个“二次”之间的关系. （学生先独立完成表格，教师巡视，对有问题的学生进行指导，之后组织学生以小组为单位展开交流讨论，观察表格中的结论梳理三个“二次”之间的关系，教师对讨论结果进行补充点评，最后给出一元二次不等式求解的框图，总结解一元二次不等式的一般步骤） 【例1】求不等式9x²−6x+1>0的解集. 【解析】因为方程9x²−6x+1=0的Δ=(−6)²−4×9×1=0， 所以该方程有两个相等的实数根， 解得==. 画出一元二次函数y=9x²−6x+1的图象， 如图所示： 可知该函数的图象是开口向上的抛物线， 且与x轴仅有一个交点(,0). 观察图象可得原不等式的解集为{x∣x≠}. 【例2】求不等式3x²+5x−2>0的解集. 【解析】解法1：因为方程3x²+5x−2=0的Δ=5²−4×3×(−2)>0， 所以该方程有两个不相等的实数根， 解得=−2,=. 画出一元二次函数y=3x²+5x−2的图象（如图）： 可知该函数的图象是开口向上的抛物线， 且与x轴有两个交点(−2,0)和(,0). 观察图象可得原不等式的解集为{x∣x<−2或x>}. 解法2：因为方程的，所以该方程有两个不相等的实数根，解得， 因此.所以原不等式可以转化为，即或 所以原不等式的解集为 教师追问：根据不等式3x²+5x−2>0的解集，你能得出不等式3x²+5x−2⩽0的解集吗？ 学生思考后回答：能，这两个不等式的解集的有限端点都是对应方程3x²+5x−2=0的实数根，所以不等式3x²+5x−2⩽0的解集为{x∣−2⩽x⩽}. 【例3】求关于x的不等式x²+(1−a)x−a<0的解集，其中a是常数. 【解析】依题意知方程x²+(1−a)x−a=0的实数根为= −1,=a，且一元二次函数y=x²+(1−a)x−a的图象是开口向上的抛物线. （1）当a<−1时，如图（1），一元二次函数y=x²+(1−a ) x−a的图象与x轴从左至右有两个交点(a,0)与(−1,0)所以原不等式的解集为(a,−1)； （2）当a=−1时，如图（2），一元二次函数y=x²+(1−a ) x−a的图象与x轴只有一个交点(−1,0)，所以原不等式的解集为∅. （3）当a>−1时，如图（3），一元二次函数y=x²+(1− a) x−a的图象与x轴从左至右有两个交点(−1,0)与(a,0)，所以原不等式的解集为(−1,a). 综上所述，当a<−1时，原不等式的解集为(−1,a) ； 当a=−1时，原不等式的解集为∅； 当a>−1时，原不等式的解集为(−1,a). 通过设置问题，引导学生思考，激发学生的学习热情，抽象概括出一元二次不等式与一元二次不等式的解集的概念. 类比一元一次不等式的求法举例说明一元二次不等式的求解方法。 通过学生自行填表，提升学生概括归纳的能力。 求含有参数的一元二次不等式x²+(1−a ) x−a<0的解集，随着参数的变化，函数x²+(1− a) x−a<0.的图象发生变化，不等式的解集也随之发生变化这道例题综合地体现了多种情况，是理清函数图象、方程的解、不等式的解集三者之间关系的好素材. 当堂 达标 PPT展示练习题，学生回答，教师讲解 通过练习巩固本节所学知识，提高学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。 课堂 总结 回顾本节知识，总结概括. 回顾本节课所学重点内容，加深印象。 板书设计 1.4.2 一元二次不等式及其解法 情境导入 新课讲解 知识点1：一元二次不等式的概念 知识点2：一元二次不等式的求解方法 例题精讲 当堂练习 课堂小结 教学设计反思 教师在课后应及时反思自己的上课表现，总结优点与不足，思考课堂上的学生反馈，学生是否充分掌握知识，是否进行了充足的讨论。同时，也要跟踪学生的作业完成情况和正确程度。根据学生的各项反馈及时调整自己的教学方式和教学节奏。 学科网（北京）股份有限公司 $