1.4.3一元二次不等式的应用 教案-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

本高中数学教案聚焦一元二次不等式的应用，通过复习一元二次不等式解法搭建学习支架，衔接实际问题，引导学生从已有知识过渡到应用场景，为抽象模型和解决问题奠定基础。 该教案以案例分析法为主导，结合农家院租金调整、节能灯销售利润等生活实例，引导学生用数学眼光抽象不等关系，用数学思维运用化归转化思想，落实数学建模素养，助力学生提升问题解决能力，为教师提供结构化教学流程与反思改进参考。

课题 1.4.3一元二次不等式的应用 学科 数学 教材 北师大版（2019）必修第一册 章节 第一章第四节第三小节 课程类型 新授 课时安排 1课时 年级 高一 教学目标及教学重点、难点 教学目标： 1. 能够从实际生产和生活中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决. 2. 体会化归与转化思想的应用,加强数学建模素养的培养. 教学重、难点： 教学重点：实际问题中的一元二次不等式解法． 教学难点：从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出一元二次不等式． 教学方法和手段 教学方法：案例分析法，讲授法和练习法 教学手段：教科书、多媒体辅助教学 教学过程(表格描述) 教学 环节 主要教学活动 设置意图 引入 新课 【复习旧知】 教师带领学生复习一元二次不等式及其解法。 过渡：一元二次不等式是重要的数学模型，在实际生活中有较广泛的应用。 通过复习为本节课的应用作准备。 探究 新知 知识点：一元二次不等式的应用 例1：某农家院有客房20间，日常每间客房日租金为80元，每天都客满，该农家院欲提高档次，并提高租金，经市场调研，每间客房日租金每增加10元，客房出租数就会减少1间，每间客房日租金不得超过130元，要使每天客房的租金总收入不低于1 800元，该农家院每间客房日租金提高的空间有多大？ 【师生活动】教师给学生充分的时间进行独立思考并完成，再做课堂展示，教师巡视，对有困难的学生进行个别指导. 【解析】设每间客房日租金提高x个10元，即每间客房日租金提高到 （80＋10x）元， 则客房出租数减少x间，此时客房的租金总收入为（80＋10x）（20－x）元． 又因为每天客房的租金总收入不低于1 800元， 所以（80＋10x）（20－x）≥1800. 化简得：－12x＋20≤0. 解得：2≤x≤10． 由题意可知：每间客房日租金不得超过130元，即80＋10x≤130，所以x≤5． 因此，该农家院每间客房日租金提高的空间是20元，30元，40元，50元． 例2：为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担。袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y（单位:件）与销售单价x（单位:元）之间的关系近似满足一次函数：y= −10x+500. （1）设袁阳每月获得的利润为w(单位:元），写出每月获得的利润w与销售单价x的函数关系. （2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元，如果 袁阳想要每月获得的利润不小于3000元，那么政府每个月为他承担 的总差价的取值范围是多少？ 【师生活动】学生独立阅读题目，理解题意，教师总结，展示答案. 【解析】（1）依题意可知每件的销售利润为(x−10)元，每月的销售量为(−10x+500)件. 所以每月获得的利润w与销售单价x的函数关系 w=(x−10)(−10x+500)（10≤x≤50）. （2）由每月获得的利润不小于3000元，得 (x−10)(−10x+500)≥3000 化简得x²−60x+800≤0，解得20≤x≤40 又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元，所以20≤x≤25 设政府每个月为他承担的总差价的取值范围是p元，则 p=(12−10)(−10x+500)=−20x+1000 由20≤x≤25，得500≤−20x+1000≤600； 故政府每个月为他承担的总差价的取值范围是[500,600].  教师总结：利用不等式解决实际问题的一般步骤如下： （1）选取合适的字母表示题中的未知数； （2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； （3）求解所列出的不等式（组）； （4）结合题目的实际意义确定答案。 通过例题讲解，让学生理解怎样用一元二次不等式解决实际问题，提高学生解决问题的能力。 总结做题方法，提升概括归纳能力。 当堂 训练 PPT展示练习题，学生回答，教师讲解 通过练习巩固本节所学知识，提高学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。 课堂 总结 回顾本节知识，总结概括. 回顾本节课所学重点内容，加深印象。 板书设计 1.4.3一元二次不等式的应用 利用不等式解决实际问题的一般步骤如下： （1）选取合适的字母表示题中的未知数； （2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； （3）求解所列出的不等式（组）； （4）结合题目的实际意义确定答案。 教学设计反思 本节课教学中取得了一些成果，同时也存在一些改进的空间： 优点 清晰的教学目标：课程开始前清晰地列出了本节课的教学目标，帮助学生明确学习重点。 生动的示例：通过生活中具体的例子引导学生理解一元二次不等式的应用，增强了学习的趣味性。 互动性强：课堂上设置了互动环节，鼓励学生积极参与讨论和解答问题，促进了学生的思维活跃。 不足之处： 时间分配不合理：部分知识点讲解过于冗长，导致实际练习时间不足，影响了学生的实际掌握程度。 个别学生参与度低：部分学生在课堂互动环节中表现不主动，参与感低，需要更多的鼓励和引导。 评价方式单一：课堂结束时的评价方式较为单一，可以尝试多样化的评价方式，如小组讨论、作业等。 改进方向： 精简知识点：在教学中要精简知识点，合理分配时间，确保学生在课堂上能够有足够时间进行实际操作和练习。 个性化辅导：针对参与度低的学生，可以采取个性化辅导措施，鼓励他们更多地参与课堂活动。 多样化评价：尝试多样化的评价方式，通过不同形式的评价来全面了解学生的学习情况和能力。 学科网（北京）股份有限公司 $