第一章 三角形（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 本卷为八年级上册数学第一章三角形培优冲刺单元卷，整合多地区期中期末及中考真题，覆盖三角形性质、全等判定等核心知识点，通过基础到综合的梯度设计，培养推理能力与几何直观，适配单元复习提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|直角三角形判定、命题真假、全等条件|如第3题结合浙江金华期中真题考查对顶角性质，基础巩固| |填空题|6/18|中线面积、中点性质、等腰三角形角度|如11题选用四川攀枝花中考真题，考查中线与面积关系，中档应用| |解答题|8/72|动态几何、半角模型、手拉手全等|如21题半角模型（3问递进）、23题手拉手模型，融合推理能力与创新意识，适配中考命题趋势|

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第一章三角形·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.A 2.D 3.A 4.C 5.C 6.C 7.C 8.B 9.B 10.D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 12.6 13.20°或50° 14.7 15.2或4 16.50° 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(8分) 【详解】(1)解：.AM⊥AN,AB平分∠MAN, ∴.BAC=45°， .BC⊥BA, 1/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ABC=90°， ∴.∠ACB=45°： (2分) (2)作BF⊥AM,BG⊥AC, ,AB平分∠MAN,则BF=BG, M D S△ABD:S△BEc=2:3 N ∴AD:CE=2:3, AD=t,CE=6-2t, ∴.3t=26-2t, 解得：1-号、： 当E点在C点右侧时，CE=2t-6, ∴.3t=22t-6,解得t=12, (6分) (3).AB=BC,∠BAM=∠BCA=45, ∴当AD=CE时，△ADB≌△BEC SAS, 即6-2t=t,或2t-6=t, 解得：t=2或6（舍弃）， 答：t=2,△ADB≌△BEC. (8分) 18.(8分) 【答案】(1) 证明：，AD‖BC, ∴.∠ADC=∠ECF, E是CD的中点， ∴.DE=EC, ,在△ADE与△FCE中， ∠ADC=∠ECF DE=EC ∠AED=∠CEF 2/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△DAE≌△CFE ASA: (2分) (2) 证明：由(1)知△DAE≌△CFE, .'AE=EF,AD=CF, .AB=BC+AD. AB=BC+CF,即AB=BF, 在△ABE与△FBE中， AB=BF AE=EF BE=BE △ABE≌△FBE|SSS, ∴.∠AEB=∠FEB=90°， ∴.BE⊥AE: (5分) (3)过点E作EN⊥AB于N,如图所示： B 由(1)知△ADE≌△FCE, :AE=EF=号AF=×14=7, 1 2 2 .∠D=90, ∴D=AE2-AD=V7-/11}=/38 由(2)得：AB=FB, ∴∠BFA=∠BAF, AD‖BC, ∠BFA=∠DAE, .∠BAF=∠DAE, 即AE为∠BAD的平分线， 3/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠D=90, .ED⊥AD, 又，EN⊥AB, ∴EN=ED=38, 即点E到AB的距离为38， (8分) 19.(8分) 【详解】(1)解：△ABC是等边三角形， ∴.∠BAP=∠ACQ=∠ABQ=60°，AB=AC=BC. 在△ABP和△CAQ中， AB=CA ∠BAP=∠ACQ AP=CQ ∴△ABP≌△CAQ|SAS, .∠ABP=∠CAQ, ,∠BAC=∠BAQ+∠CAQ=60°， ∴.∠BOQ=∠BAQ+∠ABP=60°： (2)解：如解图，延长OP到点D,使OD=AO,连接AD,CD, .∠AOP=∠BOQ=60°， ∴△AOD是等边三角形， .AD=AO,∠OAD=60°， ∴.∠BAC=∠OAD=60°， ∴.∠BAO+∠CAQ=∠CAD+∠CAQ=60°， .∠BAO=∠CAD. ..AB=AC, ∴.△ABO≌△ACD SAS, 4/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.CD=OB=2,∠ADC=∠AOB, .∠A0B=180°-∠B0Q=120°， .∠ADC=120°， ∴.∠CDO=∠ADC-∠ADO=60°， OC⊥BP, .∠COD=90°. .∠DC0=90°-∠CDO=30°， 00-c0=1, ..OA=OD=1. 20.(8分) 【详解】(1)证明：，∠BAD=∠ADC=∠AEB=90°， ∴.∠ABE+∠BAE=90°=∠BAE+∠CAD, .∠ABE=∠CAD, 在△ABE和△ACD中， .∠ABE=∠CAD,∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC, ∴.△ABE≌△CAD AAS: (3分) (2)解：：△ABE≌△CAD, SAABE=SACAD, ,S△ABC:SACAD=3:2, ∴.S△ABC:S△ABE=3:2, .AC:AE=3:2, ∴.AE:CE=2:1, .AE:CE=k, .k=2 (3)解，㎡222n,证明如下 2 ,△ABE≌△CAD, .'AE=CD=n, ∴.∠AED=∠ADE, 5/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD=DC,∠ADC=90°， .△ADC为等腰直角三角形， ·∠ABE=∠CAD=45'AB=AC=VAD2+CD2=2n' CE=5-1n,∠CEF=∠AED=180-∠CaD=67.5, .∠AEB=90°， ∴.△ABE是等腰直角三角形， .BE=AE=n,∠BAE=45°， .AB=AC, :∠ABC=∠ACB=180°-∠BAC=67.5, .∠ACB=∠CEF,∠CBE=∠ABC-∠ABE=22.5°，∠BEF=∠BEC-∠CEF=22.5°， ∴EF=CF,∠EBF=∠BEF, .BF=EF, .BC=2 EF=2m, 在Rt△BCE中，BE2+CE=BC2, n2+l2-1n2=2m2, m2-2-22 2 (8分) 21.(8分) 【详解】(1)解：EF=BE+FD 延长FD到点G.使DG=BE.连接AG, G D ,∠ABE=∠ADG=∠ADC=90°，AB=AD, ∴.△ABE≌△ADG|SAS. 6/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AE=AG,∠BAE=∠DAG」 .∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=∠EAF=60°. .∠GAF=∠EAF=60°. 又.AF=AF, ∴.△AGF≌△AEF SAS. ..FG=EF FG=DF+DG」 ∴，EF=BE+FD 故答案为：EF=BE+FD: (2分) (2) 解：(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立. 理由是：如图2，延长EB到G,使BG=DF,连接AG. D .'∠ABC+∠D=180°∠ABG+∠ABC=180° B ∴.∠ABG=∠D, .在△ABG与△ADF中， AB=AD ∠ABG=∠D, BG=DF .∴.△ABG≌△ADF(SAS), .∴.AG=AF,∠1=∠2， .∠1+∠3=∠2+∠3=∠BAD=∠EAF. ∴.∠GAE=∠EAF. 又AE=AE, ∴.△AEG≌△AEF, .EG=EF」 .'EG=BE+BG」 .∴.EF=BE+FD, (5分) 7/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3) 解：结论：EF=BE-FD. 证明：如图③中，在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG. B E 图③ ,∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°， ∠B=∠ADF 在△ABG与△ADF中， AB=AD ∠ABG=∠ADF BG=DF ∴.△ABG≌△ADF SAS. ∴.∠BAG=∠DAF,AG=AF :∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=I∠BAD. .∠GAE=∠EAF .AE=AE, ∴.△AEG≌△AEF|SAS, .'EG=EF, EG=BE-BG, ∴EF=BE-FD (8分) 22.(10分) 【答案】(1) 证明：△AOC中，∠A+∠C=180°-∠AOC,△BOD中，∠B+∠D=180°-∠BOD, .∠AOC=∠BOD, .∠A+∠C=∠B+∠D:①3,4；②∠P=110°；③3∠P=∠B+2∠C,理由见解析 8/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2分) (2) 解：①以线段AC为边的“8字型”有：△ACM和△PDM,△ACO和△BOD,△ACO和△DNO, 共3个： 以点O为交点的“8字型”有：△ACO和△BDO,△ACO和△DNO,△AMO和△BDO, △AMO和△DNO,共4个： 故答案为：3,4； (4分) ②△AMC和△DMP中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM,△BDN和△PAN中， ∠B+∠BDN=∠P+∠PAN, ∴.∠C+∠CAM+∠B+∠BDN=∠P+∠PDM+∠P+∠PAN, .PA平分∠BAC,PD平分∠BDC, ∴.∠CAM=∠PAN,∠BDN=∠PDM, ∴∠C+∠B=2∠P, .120°+100°=2∠P, .∠P=110°； (6分) ③3∠P=∠B+2∠C,理由如下： .∠CAB=3∠CAP,∠CDB=3∠CDP, CM-号<CB,∠PN-号<CAB.∠B0N-号<BDC,∠PDM=}DC, 在△AMC和△DMP中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM, ∠C-∠P=∠PDM-∠CAM-号<BDC-3CAB, .3∠C-∠P=∠BDC-∠CAB, 在△BDN和△PAN中，∠B+∠BDN=∠P+∠PAN, P-∠B=∠BDN-∠HN-号<BDC-号&CAB. ÷2∠P-∠B=∠BDC-∠CAB, 32C-∠P=P-∠B .2∠C-2∠P=∠P-∠B, 9/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.3∠P=∠B+2∠C. (10分) 23.(10分) 【答案】(1) 证明：，'∠BAC=∠DAE, .∴.∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,即∠BAD=∠CAE, AB=AC,AD=AE, ∴.△ABD≌△ACE|SAS, ∴.BD=CE; (2分) (2) ∠AEB=90°，AE=BE+2CM;理由如下： 设AE交BC于K,如图： .:∠ACB=∠DCE=90 B ∴.∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD,即∠ACD=∠BCE, AC=BC,CD=CE, ∴.△ACD≌△BCESAS, ∴.AD=BE,∠CAD=∠CBE, .'∠AKC=∠BKE,∠BEK+∠BKE+∠CBE=∠ACK+∠CKA+∠CAD=180°， .∴.∠BEK=∠ACK=90°， 即∠AEB=90°： .CM为等腰直角△DCE中DE边上的高， .'DE=2CM, .·AE=AD+DE, ∴.AE=BE+2CM; (6分) (3)(3)解：作AE⊥AD,且AE=AD=4,连接DE,CE,如图， 10/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E .·∠ABC=∠ACB=∠ADC=45 D ∴.AB=AC, ∴.∠BAC=∠DAE=90° ∴.∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC, 即∠DAB=∠CAE AB=AC,AD=AE, .∴.△DAB≌△EAC|SAS, ∴.BD=CE, AE=AD=4, ∴.∠EDA=∠DEA=45°， 在Rt△EAD中，·.DE2=AD2+AE2, ∴.DE=42, .∠EDC=∠ADC+∠EDA=90°， ∴.CE2=DC2+DE2=3+(4V22=41 .∴.BD=CE=41. (10分) 24.(12分) 【答案】(1)证明：，'△ABC,△CDE都是等边三角形， ∴.BC=AC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°， ∴.∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE,即∠BCE=∠ACD, ∴.△BCE≌△ACD|SAS, ∴.BE=AD ,△BCE≌△ACD, ∴.∠CBE=∠CAD, ,∠CAD+∠ADC=∠ACB=60°， 11/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴.∠AFB=∠ADC+∠CBE=∠ADC+∠CAD=60°： (4分) (2)①证明：，AD平分∠BAC, .∠BAE=∠CAE」 .AD=AC,AB=AE. .△ABD≌△AEC|SAS, .BD=CE. .∠BAE=∠CAE,AD=AC,AB=AE, .∠ABE=∠AEB=∠ACD=∠ADC, .∠BDE=∠ADC, .∠BDE=∠AEB, .BD=BE, ∴BE=CE (7分) ②解：：△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90, .AB=AC,AD=AE,∠E=∠ADE=∠ABC=∠ACB=45°， .∴.∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE, ∴.△BAD≌△CAE SAS, ∴.BD=CE,∠BDA=∠E=45°； ∴.∠BDE=∠BDA+∠ADE=90°， ∠BDC=90°， .AB=4,AE=2, ∴.AC=4,AD=2, BC-AC2+AB-42,DE-AD+AE=22 ,点C恰好在ED延长线上， .'DE+CD=BD. 设CD=x,则BD=CE=2V2+x, 在Rt△BCD中，BC2=BD2+CD, 六42=|2V2+x+x2,即x+22x=12 12/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴△BDC的面积为号BD-CD=号x22+x刘=xX+22x=6. 3 (12分) 13/13………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第一章 三角形·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）能说明命题“若，则”是假命题的反例为（ ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26八年级上·浙江金华·期中）下列命题为真命题的是（ ） A．对顶角相等 B．若，则 C．无限小数是无理数 D．两个无理数的和一定是无理数 4．如图，三个全等三角形按如图的形式摆放，则的度数是（   ） A． B． C．180° D．540° 5．如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，点分别在的边上，，过点作，垂足为，且．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．（25-26八年级下·辽宁丹东·期末）如图，等边，，与交于点D，于点E，若，则的长为（ ） A． B． C．3 D． 9．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，点，，分别为，，上的中点，已知的面积为16，则阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·湖北恩施·阶段检测）如图，在中，、分别是高线和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2026·四川攀枝花·中考真题）在中，是边上的中线，，则的面积为_______． 12．（2026·江苏扬州·中考真题）如图，在 中，D，E分别是， 的中点，点F在 的延长线上．若 的面积是3，则 的面积是_______． 13．（2026·上海·中考真题）在等腰三角形（）中，，则的度数为________． 14．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的面积为___________． 15．如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为______s时，与全等． 16．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，在中，D是三角形外一点，连接，若平分，，，则的度数为______． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（8分）（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)试求的度数； (2)若 ，试求动点，的运动时间的值； (3)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得 与 全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 18．（8分）（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，，求点到的距离． 19．（8分）（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，等边，在边上各取一点，分别为，使，连接相交于点． (1)求的度数； (2)连接，若，求的值． 20．（8分）如图1，，， (1)求证：； (2)若，设，求的值； (3)如图2，若，延长交于，设，，猜想，满足的关系式并证明． 21．（8分）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 22．（10分）（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“字型”． (1)求证：； (2)如图，若和的平分线和相交于点，与分别相交于点． 以线段为边的“字型”有______个，以点为交点的“字型”有______个； 若，，求的度数； 若角平分线中角的关系改为“，”，试探究与之间存在的数量关系，并证明理由． 23．（10分）定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，那么称此图形为“手拉手全等模型”．例如，如图①，与都是等腰三角形，其中，则． (1)如图②，与都是等腰三角形，，，且，求证：． (2)如图③若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，为中上的高，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图④，在四边形中，，，，求的长． 24．（12分）综合与实践 【建立模型】 （1）如图（1），为等边三角形，点D在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形，连接，交于点F． 求证：，并直接写出的度数． 【应用模型】 （2）①如图（2），在中，平分，且，点E在的延长线上，且，连接，，求证：． ②如图（3），和都是等腰三角形，，点C恰好在延长线上，连接，若，，求的面积． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第一章 三角形·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和勾股定理逆定理，根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理，判断各选项是否表示直角三角形即可． 【详解】A、设，，，则，，，不是直角三角形，符合题意； B、，，，是直角三角形，不符合题意； C、，且，，，是直角三角形，不符合题意； D、，，是直角三角形，不符合题意． 故选：A． 2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）能说明命题“若，则”是假命题的反例为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的是命题与定理，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据实数的绝对值、假命题的概念解答．反例需满足但，只有选项D符合条件． 【详解】解：∵，， ∴； 但，， ∴， 故命题不成立，选项D为反例． 选项A、C中且，选项B中，均不满足反例条件． 故选：D． 3．（25-26八年级上·浙江金华·期中）下列命题为真命题的是（ ） A．对顶角相等 B．若，则 C．无限小数是无理数 D．两个无理数的和一定是无理数 【答案】A 【分析】本题考查命题与定理．根据对顶角的性质、平方运算，实数的运算法则和无理数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、对顶角相等，是真命题，该选项符合题意； B、若，则，原命题是假命题，该选项不符合题意； C、无限不循环小数是无理数，原命题是假命题，该选项不符合题意； D、两个无理数的和不一定是无理数，如和，它们的和就不是无理数，原命题是假命题，该选项不符合题意； 故选：A． 4．如图，三个全等三角形按如图的形式摆放，则的度数是（   ） A． B． C．180° D．540° 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，平角的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．根据全等三角形对应角相等，得到，再根据平角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图， 三个三角形全等， ， ，，， ， 故选：C． 5．如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 6．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，点分别在的边上，，过点作，垂足为，且．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可证得与，得到，，再计算出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形的中线的性质判断①和④；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断③，根据题意判断⑤，根据三角形的面积公式判断⑥． 【详解】解：是的中线， ， 故④正确，符合题意； 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故②正确，符合题意； ，， ， 故③正确，符合题意； 由已知条件不能确定， 与的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意； ∵不一定是的中点，无法证明，故①错误，不符合题意； ∵，是高， ∴ ∴，故⑥正确 综上，符合题意的有4个， 故选：C 8．（25-26八年级下·辽宁丹东·期末）如图，等边，，与交于点D，于点E，若，则的长为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质，结合，可以证出，从而得到．利用等量代换和外角的性质，求得．根据直角三角形的性质，得到，代入的值，求出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，． 9．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，点，，分别为，，上的中点，已知的面积为16，则阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，掌握“三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分”是解题的关键．根据三角形中线的性质分别计算、，即得答案． 【详解】∵点是的中点， ∴是三角形中线， ∴， 又∵， ∴， ∵点是的中点，同理， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵阴影部分面积为， ∴阴影部分面积． 故选：B． 10．（25-26八年级上·湖北恩施·阶段检测）如图，在中，、分别是高线和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高线和角平分线、三角形的内角和定理及外角的性质、同角的余角相等等知识，正确运用三角形的高线、角平分线的概念以及三角形的内角和定理是解题的关键． ①根据，，以及即可推出；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明即可；③证明，由①知：即可证明；④由同角的余角相等证明，再根据三角形外角的性质及角平分线的性质即可推出，即可判断． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．故①符合题意； ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．故②符合题意； ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． 由①知：， ∴．故③符合题意； ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴， ∴．故④符合题意； 综上可知，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2026·四川攀枝花·中考真题）在中，是边上的中线，，则的面积为_______． 【答案】 【分析】先根据中线定义求出长度，再过作构造含角的直角三角形，利用直角三角形性质求高，最后用三角形面积公式计算面积。 【详解】解：∵是边上的中线，， ∴， 过点作于， ∴， ∵，， ∴， ∴ 12．（2026·江苏扬州·中考真题）如图，在 中，D，E分别是， 的中点，点F在 的延长线上．若 的面积是3，则 的面积是_______． 【答案】6 【分析】连接，利用三角形中线的性质先后求得，，再利用三角形中位线的性质求得，即可得到 的面积是6． 【详解】解：连接， ∵点E是 的中点， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵D，E分别是， 的中点， ∴， ∴，即 的面积是6． 13．（2026·上海·中考真题）在等腰三角形（）中，，则的度数为________． 【答案】或 【分析】本题分是顶角，是底角两种情况，结合等腰三角形性质，三角形内角和定理和已知条件，排除不符合条件的情况后求解． 【详解】已知等腰中，，且． 若是顶角，则，所以，符合； 若是底角，当是顶角时，，所以，符合； 当是顶角时，，与矛盾，故舍去． 综上，的度数为或． 14．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的面积为___________． 【答案】7 【分析】过点作，由题意可得，然后进行求解即可． 【详解】解：过点作交于点E，如图所示， 由题可知，平分， 又， ∴， ∴． 15．如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为______s时，与全等． 【答案】2或4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，以及一元一次方程的应用，熟知全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据题意分为P在上，Q在上和当P、Q都在上两种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，求出即可． 【详解】解：作于E，作于F． 分以下情况：①如图1，P在上，Q在上，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， 即 ； ②当P、Q都在上时，此时P，Q两点重合，如图3，    ， ． 综上所述，点运动时间为2或4，与全等， 故答案为：2或4． 16．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，在中，D是三角形外一点，连接，若平分，，，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是，三角形外角性质和角平分线的性质．通过数形结合发现角与角之间的数量关系是解题的关键．如图，先计算出，则，，再根据角平分线的性质得到点D到和的距离相等，所以平分，即，接着利用三角形外角性质证明 【详解】解：如图，， ， ， ，， 平分， 点D到和的距离相等， 平分， 点D到和的距离相等， 点D到和的距离相等， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为： 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)试求的度数； (2)若 ，试求动点，的运动时间的值； (3)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得 与 全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题． （1）根据直线，平分，得出，结合即可得出的度数； （2）作，则，根据可得的值，分别用表示，即可求得的值，即可解题； （3）当点在点上方时，易得时，，分别用表示，即可求得的值； 【详解】（1）解：，平分， ， ， ， ； （2）作，， ∵平分，则， ， ， ，， ， 解得： ； 当点在点右侧时，， ，解得． （3），， 当时，， 即，或， 解得：或舍弃， 答：，． 18．（8分）（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，，求点到的距离． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵在与中， ， ∴； (2) 证明：由（1）知， ∴，， ∵， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的性质等知识．证明三角形全等是解题的关键． （1）根据可知，再根据E是的中点，可证明； （2）由（1）知，得到，，由于，等量代换得到，即，证得，即可得到结论； （3）在（2）的条件下由，得到，再证明，得为的平分线，由勾股定理求的长，根据角平分线性质定理即可得到结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）过点E作于N，如图所示： 由（1）知， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 即为的平分线， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即点E到的距离为． 19．（8分）（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，等边，在边上各取一点，分别为，使，连接相交于点． (1)求的度数； (2)连接，若，求的值． 【答案】(1) (2)１ 【分析】（1）由，，证明，得，由，即得； （2）延长到点D，使，连接，可得是等边三角形，证明,得，得，得，即得 ． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如解图，延长到点D，使，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形和全等三角形．熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度的直角三角形性质，是解题的关键． 20．（8分）如图1，，， (1)求证：； (2)若，设，求的值； (3)如图2，若，延长交于，设，，猜想，满足的关系式并证明． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3)，证明见解析 【分析】（1）利用“角角边”证明，即可； （2）根据全等三角形的性质可得，再由，可得，从而得到，即可求解； （3）根据，可得，证明为等腰直角三角形，可 ，，再由是等腰直角三角形，以及，可得，，从而得到，在中，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键． 21．（8分）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) 解：（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ，， ． ． 又， ， ． ． ， (3) 解：结论：． 证明：如图③中，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，   ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）延长到点G．使．连接，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）延长到，使，连接．证明，由全等三角形的性质得出，，再得到，再利用全等三角形的性质则可得出结论； （3）在上截取，使，连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）解：． 延长到点G．使．连接， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； （2）略 （3）略 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 22．（10分）（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“字型”． (1)求证：； (2)如图，若和的平分线和相交于点，与分别相交于点． 以线段为边的“字型”有______个，以点为交点的“字型”有______个； 若，，求的度数； 若角平分线中角的关系改为“，”，试探究与之间存在的数量关系，并证明理由． 【答案】(1) 证明：中，，中，， ∵， ∴； ，； ； ，理由见解析． (2) 解：以线段为边的“字型”有：和，和，和，共个； 以点为交点的“字型”有：和，和，和，和，共个； 故答案为：，； 和中，，和中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； ，理由如下： ∵，， ∴，，，， 在和中，，， ∴， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （）①根据“字型”的定义判断即可； 由（）结论可得和中，，和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； 根据，，得，，，，然后可得，，最后进行等量代换即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 23．（10分）定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，那么称此图形为“手拉手全等模型”．例如，如图①，与都是等腰三角形，其中，则． (1)如图②，与都是等腰三角形，，，且，求证：． (2)如图③若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，为中上的高，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图④，在四边形中，，，，求的长． 【答案】(1) 证明：， ，即， ，， ， ； (2) ，；理由如下： 设交于，如图： ， ，即， ，， ， ，， ，， ， 即； 为等腰直角中边上的高， ， ， ； (3) 【分析】（1）证明，即得； （2）设交于，证明，可得，，即可得，即；而，故； （3）作，且，连接，，证明，可得，而，故． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：作，且，连接，，如图， ， ， ， ， 即， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及勾股定理及应用，解题的关键是利用“手拉手全等模型”作辅助线，构造全等三角形． 24．（12分）综合与实践 【建立模型】 （1）如图（1），为等边三角形，点D在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形，连接，交于点F． 求证：，并直接写出的度数． 【应用模型】 （2）①如图（2），在中，平分，且，点E在的延长线上，且，连接，，求证：． ②如图（3），和都是等腰三角形，，点C恰好在延长线上，连接，若，，求的面积．    【答案】（1）证明：都是等边三角形， ∴，， ，即， ， ∵， ， ∵， ； （2）①证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ② 【分析】（1）根据都是等边三角形，得出，由，证明，易证，即可得出结论；再通过三角形外角的性质结合全等三角形的性质即可求出的度数； （2）①根据角平分线的定义得到，再结合，，证明，得到，再证明，推出，得到，即可得出结论；②先证明，推出，求出，利用勾股定理求出，设，则，在中，求出，再根据的面积为即可解答． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：∵和都是等腰三角形，， ∴， ，即， ， ； ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点C恰好在延长线上， ∴， 设，则， 在中，， ∴，即， ∴的面积为． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，证明三角形全等时解题的关键． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第一章 三角形·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）能说明命题“若，则”是假命题的反例为（ ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26八年级上·浙江金华·期中）下列命题为真命题的是（ ） A．对顶角相等 B．若，则 C．无限小数是无理数 D．两个无理数的和一定是无理数 4．如图，三个全等三角形按如图的形式摆放，则的度数是（   ） A． B． C．180° D．540° 5．如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，点分别在的边上，，过点作，垂足为，且．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．（25-26八年级下·辽宁丹东·期末）如图，等边，，与交于点D，于点E，若，则的长为（ ） A． B． C．3 D． 9．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，点，，分别为，，上的中点，已知的面积为16，则阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·湖北恩施·阶段检测）如图，在中，、分别是高线和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2026·四川攀枝花·中考真题）在中，是边上的中线，，则的面积为_______． 12．（2026·江苏扬州·中考真题）如图，在 中，D，E分别是， 的中点，点F在 的延长线上．若 的面积是3，则 的面积是_______． 13．（2026·上海·中考真题）在等腰三角形（）中，，则的度数为________． 14．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的面积为___________． 15．如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为______s时，与全等． 16．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，在中，D是三角形外一点，连接，若平分，，，则的度数为______． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)试求的度数； (2)若 ，试求动点，的运动时间的值； (3)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得 与 全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 18．（8分）（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，，求点到的距离． 19．（8分）（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，等边，在边上各取一点，分别为，使，连接相交于点． (1)求的度数； (2)连接，若，求的值． 20．（8分）如图1，，， (1)求证：； (2)若，设，求的值； (3)如图2，若，延长交于，设，，猜想，满足的关系式并证明． 21．（8分）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 22．（10分）（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“字型”． (1)求证：； (2)如图，若和的平分线和相交于点，与分别相交于点． 以线段为边的“字型”有______个，以点为交点的“字型”有______个； 若，，求的度数； 若角平分线中角的关系改为“，”，试探究与之间存在的数量关系，并证明理由． 23．（10分）定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，那么称此图形为“手拉手全等模型”．例如，如图①，与都是等腰三角形，其中，则． (1)如图②，与都是等腰三角形，，，且，求证：． (2)如图③若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，为中上的高，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图④，在四边形中，，，，求的长． 24．（12分）综合与实践 【建立模型】 （1）如图（1），为等边三角形，点D在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形，连接，交于点F． 求证：，并直接写出的度数． 【应用模型】 （2）①如图（2），在中，平分，且，点E在的延长线上，且，连接，，求证：． ②如图（3），和都是等腰三角形，，点C恰好在延长线上，连接，若，，求的面积． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $