第1章 三角形（重难点单元自测）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学三角形单元复习卷，涵盖全等、等腰、等边三角形等核心知识，融合多地期中期末及中考真题，通过基础巩固、能力提升与创新应用的梯度设计，适配单元复习需求，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|三角形作图唯一性、全等性质、等腰判定|结合尺规作图（如第1题）与定义新运算（如第6题“倍长三角形”），考查空间观念| |填空题|8/32|中线、角平分线、垂直平分线、动点问题|融入实际情境（如第11题刻度尺测量）与动态几何（如第16题等边三角形动点最小值），发展几何直观| |解答题|8/78|尺规作图、全等证明、重心探究、动态综合|设计分层探究（如第22题重心性质推导）与跨情境应用（如第26题等腰直角三角形全等结构转化），提升推理能力与模型意识|

第1章 三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（25-26七年级下·河南郑州·期末）根据下列条件所作的三角形中，形状不能唯一确定的是（     ） A．已知线段，用尺规作，使，， B．已知，，线段，用尺规作，使，， C．已知线段，，，用尺规作，使，， D．已知线段，，，用尺规作，使，， 【答案】D 【详解】解：∵全等三角形可唯一确定三角形的形状和大小，逐一分析各选项： A、已知三边作三角形，符合全等判定，三角形形状唯一确定； B、已知两角和夹边作三角形，符合全等判定，三角形形状唯一确定； C、已知两边及其夹角作三角形，符合全等判定，三角形形状唯一确定； D、已知两边及其中一边的对角作三角形，属于，不能判定三角形全等，可作出多个形状不同的三角形，形状不能唯一确定． 2．（25-26八年级上·江苏南京·校考期中）下列说法正确的是（　　） A．全等三角形对应角相等 B．等腰三角形一边上的中线和这条边上的高重合 C．面积相等的两个图形是全等形 D．周长相等的两个三角形全等 【答案】A 【详解】解：A、全等三角形对应角相等，故选项正确，符合题意； B．等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合，故选项不正确，不符合题意； C．面积相等的两个图形不一定是全等形，故选项不正确，不符合题意； D．周长相等的两个三角形不一定全等，故选项不正确，不符合题意．故选：A． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，将纸片折叠，使点、重合，折痕与分别交于点、点，连接，则下列是的中线的是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】A 【详解】解：由折叠的性质可知，即点D为线段的中点， ∴线段是的中线；故选A． 4．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）下列条件中不能说明三角形是等腰三角形的是(   ) A．有两个内角分别是的三角形 B．有一个角为的直角三角形 C．一个外角是，与它不相邻的一个内角为的三角形 D．有两个内角分别是的三角形 【答案】D 【详解】解：A：两内角是，第三角为，存在两个的角，故为等腰三角形，不符合题意； B：直角三角形中一个角为，则另一锐角为，两角相等，故为等腰直角三角形，不符合题意； C：外角对应内角为，与它不相邻的内角为，根据三角形外角的性质，另一不相邻内角为，此时三角形内角为，存在两角相等，故为等腰三角形，不符合题意； D：两内角为，第三角为，三角均不相等，无法构成等腰三角形，符合题意； 故选：D． 5.（2025·江苏扬州·中考真题）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【详解】解：当时，∵点在上，∴， ∴，∴；故选项A不符合题意； ∵，∴，不能得到；故选项B符合题意； ∵，∴当或平分时，；故选项C，D均不符合题意；故选B 6．（25-26七年级下·山东日照·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为（     ） A．4 B．4或6 C．1．5 D．1．5或4 【答案】D 【详解】解：设三角形第三条边的长为，根据三角形三边关系，得，， 若第三条边是已知边的2倍： 当，满足，符合题意； 当，，不满足三边关系，舍去； 若已知边中有一条是第三条边的2倍： 当，得，不满足，不能构成三角形，舍去； 当，得，满足，符合题意； 综上，第三条边的长为或． 7．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，的三边，，的长分别为，，，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵三条角平分线将分为三个三角形， ∴到的三边，，的距离相等，设为， 又的三边，，的长分别为，，， ∴故选：C． 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，点P为等边的边上一点，Q为延长线上一点，，连接交于D，若，，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点P作交于点F，是等边三角形，， ，，，是等边三角形，，，，， 在和中， )，， 设，则有，，，， ，，，， 解得：，即，故选：A． 9．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点．下列结论：①；②；③平分；④若，则．其中一定正确的结论的个数是（    ）   A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴， ∵，，∴，∴，故①正确； 过点作于，于， ∵，∴，，∴，∴， ∵，， ∴平分，故③正确； ∵，， ∴， ∴，故②错误；在线段上截取，连接， ∵，∴，∵，，∴， ∴，由②得， ∴， ∵平分，∴，∵， ∴为等边三角形，∴， ∵，，∴，故④正确；综上，正确的结论有个， 故选：． 10．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，点 E是的中点，， 平分，下列结论：； ；四边形的面积等于；． 四个结论中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过E作于F，∵，平分， ∴，      在和中， ， ∴， ∴，， ∵点E是的中点， ∴，∴ 在和中，， ∴， ∴，，，故②正确； ∴，故④正确； ∵，∴，故①正确． ∵，∴，故③正确． 综上，四个结论中成立的是①②③④， 故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（25-26八年级上·江苏·校考期中）如图所示，在中，，点为边的中点，顶点B,C分别对应刻度尺上的刻度和，则的长为 【答案】3cm 【详解】解：由图可知，∵点为边的中点，，∴ 12．（25-26八年级下·广东揭阳·期中）如图，中，，是的角平分线，点在的垂直平分线上，若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵是的角平分线，∴， ∵点在的垂直平分线上，∴，∴， ∵中，，∴， ∴，∴，故答案为：． 13.（25-26七年级下·上海·校考期中）在中，为边上的高，，，则 【答案】或 【详解】解：如图1，∵为边上的高，∴， 又∵，∴，∴； 如图2，∵为边上的高，∴， 又∵∴， ∴；故答案为：或． 14．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别与边，交于D，E两点，边的垂直平分线分别与边，交于F，G两点，连接，．若的周长为32，，则的长为 ． 【答案】5 【详解】解：是边的垂直平分线，是边的垂直平分线，，， 的周长为32，，， 即，，．故答案为：5． 15．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，在中，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是 ． 【答案】 【详解】解：延长交于点，作与点，如图所示， ，是的角平分线，，， 在和中，，，，， ，，，，， ，，， ，，故答案为：． 16．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，为等边三角形，，，点为线段上的动点，连接，以为边作等边，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，∵为等边三角形，，， ∴，，，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，∴， 在和中，，∴，∴，， ∴当时，线段的值最小，此时，，∴，故答案为：． 17．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，是的角平分线，于点，交于点，过点作，交于点，连结．给出下面四个结论：①；②；③平分；④是等腰三角形．上述结论中，正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【详解】解：∵，， ∴，∴，故①正确； ∵是的角平分线， ∴，又∵，∴， ∵，，∴， ∴，∴，又∵，， ∴，∴，故②正确；如图，连接， 由②知，∵是的角平分线， ∴垂直平分，∴，，， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴，是等腰三角形，故④正确； 由④知，是等腰三角形，∴， 若平分，则，∴， ∵，∴，∴， ∴是等边三角形，题目中无条件可以证明是等边三角形，故③错误． 综上，正确结论的序号是①②④． 18．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，点为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下四个结论①；②；③平分；④，其中正确结论的序号为 ． 【答案】①②③④ 【详解】解：∵，均为等边三角形， ∴，， ∴，即， 在和中，，∴，∴， ∵，∴， 在和中，，∴，∴， 又∵，∴为等边三角形，∴，∴，故结论②正确； ∵，∴，∴， ∴，故结论①正确； 如图，过作，垂足分别为， ∵，，∴，即，∴， ∴平分，故结论③正确；如图，在上取点，使得， ∵，∴为等边三角形，∴，， ∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，故结论④正确．综上所述，结论正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-25题每题10分，226题12分，答案写在答题卡上） 19．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）使用直尺和圆规作图，需保留作图痕迹，不写作法． (1)如图①，高速公路和在我市交于点，若要修一个大型农贸市场，使到，的距离相等，且到，两小镇距离也相等．请作出市场的位置． (2)如图②，已知（），在上取一点，使． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：如图，点或点即为所求． （2）解：如图所示，点即为所求， ∵在的垂直平分线上，∴． 20．（2025·江苏连云港·模拟预测）（1）如图（1），在中，已知． ①求证；②若是边的中点，连接，求证． （2）如图（2），在中，已知，且是内的一点，，求证． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【详解】（1）①在中，已知，根据三角形中大边对大角的定理：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等，大边所对的角较大． ， ②延长到点，使，连接， 是边的中点，，又，，， 又，，，； （2）将绕点逆时针旋转，使与重合，得到，则， ， ，，设与交于点， ，， ，在中，有， 21．（24-25八年级上·广东·校考期中）已知：在中，，平分交于点． (1)如图①，于点，若，求的度数； (2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数；(4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由．    【答案】(1)(2)(3)(4)的度数不会发生改变，理由见解析 【详解】（1）解：∵在中，，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∴， 当时，； （2）由（1）可知，，∴当时，∴； （3）∵，而，∴， ∵，，∴，∴； （4）的度数大小不发生改变．理由如下： ∵，，∴，∴． 22.（24-25八年级上·贵州遵义·期末）【发现与探究】三角形的重心 三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． (1)图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果面积为，用含有的式子表示的面积为 ，： ； (3)图4中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)，见解析(2)相等，；(3) 【详解】（1）解：               由题意可知，，， ，， ， ，， ，． （2）由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，所以的面积为．∵∴，即故答案为；相等，；  ． （3）解：是的重心，， ，， ． 23．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）【问题探究】 (1)与的位置如图所示，，，． ①与相等吗？为什么？②连接，若，，求的度数． 【问题解决】(2)如图，某生态公园内有一块形状为四边形的池塘（周围空地可利用），点、分别在、边上，、、为池塘上方的廊桥，为方便游客，该公园计划建造游客观景区，延长至点，连接、，将规划为游客观景区，已知点在的垂直平分线上，，，，请你求出、，之间的数量关系，并说明理由．（廊桥的宽度忽略不计） 【答案】(1)①，理由如下：                                在和中，，，  ．     ②解：，，， ，，                         ． (2)，理由如下：                      点在的垂直平分线上，， ，，，                                               在和中，，，                                         ，，， ，， ，，，                                           在和中，，，                                    ，． 24．（25-26七年级下·广东深圳·期末）在数学活动课上，老师带领同学们对不同的等腰三角形进行探究学习． (1)如下图所示，在等腰中，，请完成下列任务 ①等腰___________（填“是”或者“不是”）轴对称图形 ②同学们发现，根据等腰三角形“三线合一”的特性、再结合角平分线性质和垂直平分线性质，可以用多种方法找到边的中点，请你利用无刻度的尺子和圆规，选择一种你喜欢的方法找出中边上的中点（保留作图痕迹，不用写作图方法） (2)在中，，点为边的中点，点分别在边上，且，证明： (3)如图，在中，，，点是边上的中点，点在延长线上，，．点分别在边上，且，四边形的面积为25，四边形的面积为15，请直接写出的面积． 【答案】(1)①是；②或 (2)证明：∵在中，，∴， ∵点为边的中点，∴，即，， ∴，∴； ∵，∴， ∴，∴，∴； （3）解：如图所示，在的延长线上取一点H，使得，连接， ∵在中，，，点是边上的中点，∴； ∵，，∴， ∴,∴； 在和中，，∴，∴， 在和中，∴， ∴，； ∵，∴， ∴，∴， 又∵，∴，∴； ∵四边形的面积为25，四边形的面积为15，∴， ∴,∴， ∴. 25．（25-26七年级下·四川成都·期末）在中，，，点E为线段上一点，且，D为线段中点，作射线，过点E作交射线于点F． (1)如图1，求证：；(2)如图2，过A点作射线，使，过点D作交射线于点G，连接，，求证：；(3)如图3，过点F作于点M，连接．①求证：；②若，的面积为6，当周长最小时，求线段的值． 【答案】(1)证明：∵，∴， ∵D为线段中点，∴，∵， 在与中，，∴，∴； (2)证明：连接，如图，由（1）可知，， ∵在中，，∴，∵，∴，即D为线段中点， ∵，∴为的垂直平分线，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴， 在与中，，∴，∴； (3)①证明：过点A作交于点H，如图， ∵，，∴， ∵，∴，∵， 在与中，，∴，∴， ∵在中，，，∴H为线段中点，∴，∴； ②解：∵，的面积为6，∴，即，可得， ∵，∴， ∵周长为，若使周长最小，则只需最小， 平移至，使点E与点M重合，点A与点重合，连接，， 作点A关于的对称点为点，连接交于点，连接，如图， 由平移的性质可得，，由对称的性质可得，， 则，若使最小，则需最小， 则点，点M，点三点共线时，最小，为， 由①可知，∴，∴，∵，∴， 在与中，，∴， ∴，，∴， ∵，， ∴在与中，，∴， ∴，∴点为的中点，∴， ∵，即，∴ 故当周长最小时，线段的值为． 26．（25-26七年级下·江西九江·期末）等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的两个全等结构（如图与图），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】(1)如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为______． (2)如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点在边上，分别作于点，于点．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【转化应用】(3)如图，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，．求． (4)在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图），直接写出所有满足条件的的长度值． 【详解】（1）解：∵，，∴，∴， ∵，∴，∴． ∵在和中，，∴， ∴，，∴． (2)解：（1）中结论不成立，应为，理由如下： ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴． ∵在和中，，∴， ∴，，∴． （3）解：∵与均为等腰直角三角形，，∴，， ∵，，∴，∴． 过点A作，交的延长线于点E，则， ∵，∴，∴． ∵，∴， ∵，∴，∴． ∵在和中，，∴， ∴，∴． （4）解：∵，，∴，， ∵，，∴，即，∴． ∵，∴，∴，∵，∴． 若以点、、为顶点的三角形与全等，分以下情况讨论： ①若点B，F均在点C上方，∵，∴存在或． 若，如图，则，∴． 若，如图, 则，∴． ②若点B，F均在点C下方，∵，∴存在或． 若，如图，则，∴． 若，如图,则，∴． 综上所述，所有满足条件的的长为或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（25-26七年级下·河南郑州·期末）根据下列条件所作的三角形中，形状不能唯一确定的是（     ） A．已知线段，用尺规作，使，， B．已知，，线段，用尺规作，使，， C．已知线段，，，用尺规作，使，， D．已知线段，，，用尺规作，使，， 2．（25-26八年级上·江苏南京·校考期中）下列说法正确的是（　　） A．全等三角形对应角相等 B．等腰三角形一边上的中线和这条边上的高重合 C．面积相等的两个图形是全等形 D．周长相等的两个三角形全等 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，将纸片折叠，使点、重合，折痕与分别交于点、点，连接，则下列是的中线的是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 4．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）下列条件中不能说明三角形是等腰三角形的是(   ) A．有两个内角分别是的三角形 B．有一个角为的直角三角形 C．一个外角是，与它不相邻的一个内角为的三角形 D．有两个内角分别是的三角形 5.（2025·江苏扬州·中考真题）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 6．（25-26七年级下·山东日照·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为（     ） A．4 B．4或6 C．1．5 D．1．5或4 7．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，的三边，，的长分别为，，，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于(    ) A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，点P为等边的边上一点，Q为延长线上一点，，连接交于D，若，，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 9．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点．下列结论：①；②；③平分；④若，则．其中一定正确的结论的个数是（    ）   A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，点 E是的中点，， 平分，下列结论：； ；四边形的面积等于；． 四个结论中成立的是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（25-26八年级上·江苏·校考期中）如图所示，在中，，点为边的中点，顶点B,C分别对应刻度尺上的刻度和，则的长为 12．（25-26八年级下·广东揭阳·期中）如图，中，，是的角平分线，点在的垂直平分线上，若，则 ． 13.（25-26七年级下·上海·校考期中）在中，为边上的高，，，则 14．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别与边，交于D，E两点，边的垂直平分线分别与边，交于F，G两点，连接，．若的周长为32，，则的长为 ． 15．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，在中，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是 ． 16．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，为等边三角形，，，点为线段上的动点，连接，以为边作等边，连接，则线段的最小值为 ． 17．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，是的角平分线，于点，交于点，过点作，交于点，连结．给出下面四个结论：①；②；③平分；④是等腰三角形．上述结论中，正确结论的序号是________． 18．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，点为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下四个结论①；②；③平分；④，其中正确结论的序号为 ． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-25题每题10分，226题12分，答案写在答题卡上） 19．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）使用直尺和圆规作图，需保留作图痕迹，不写作法． (1)如图①，高速公路和在我市交于点，若要修一个大型农贸市场，使到，的距离相等，且到，两小镇距离也相等．请作出市场的位置． (2)如图②，已知（），在上取一点，使． 20．（2025·江苏连云港·模拟预测）（1）如图（1），在中，已知． ①求证；②若是边的中点，连接，求证． （2）如图（2），在中，已知，且是内的一点，，求证． 21．（24-25八年级上·广东·校考期中）已知：在中，，平分交于点． (1)如图①，于点，若，求的度数； (2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数；(4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由．    22.（24-25八年级上·贵州遵义·期末）【发现与探究】三角形的重心 三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． (1)图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果面积为，用含有的式子表示的面积为 ，： ； (3)图4中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积． 23．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）【问题探究】(1)与的位置如图所示，，，．①与相等吗？为什么？②连接，若，，求的度数． 【问题解决】(2)如图，某生态公园内有一块形状为四边形的池塘（周围空地可利用），点、分别在、边上，、、为池塘上方的廊桥，为方便游客，该公园计划建造游客观景区，延长至点，连接、，将规划为游客观景区，已知点在的垂直平分线上，，，，请你求出、，之间的数量关系，并说明理由．（廊桥的宽度忽略不计） 24．（25-26七年级下·广东深圳·期末）在数学活动课上，老师带领同学们对不同的等腰三角形进行探究学习． (1)如下图所示，在等腰中，，请完成下列任务 ①等腰___________（填“是”或者“不是”）轴对称图形 ②同学们发现，根据等腰三角形“三线合一”的特性、再结合角平分线性质和垂直平分线性质，可以用多种方法找到边的中点，请你利用无刻度的尺子和圆规，选择一种你喜欢的方法找出中边上的中点（保留作图痕迹，不用写作图方法） (2)在中，，点为边的中点，点分别在边上，且，证明： (3)如图，在中，，，点是边上的中点，点在延长线上，，．点分别在边上，且，四边形的面积为25，四边形的面积为15，请直接写出的面积． 25．（25-26七年级下·四川成都·期末）在中，，，点E为线段上一点，且，D为线段中点，作射线，过点E作交射线于点F． (1)如图1，求证：；(2)如图2，过A点作射线，使，过点D作交射线于点G，连接，，求证：；(3)如图3，过点F作于点M，连接．①求证：；②若，的面积为6，当周长最小时，求线段的值． 26．（25-26七年级下·江西九江·期末）等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的两个全等结构（如图与图），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】(1)如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为______． (2)如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点在边上，分别作于点，于点．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【转化应用】(3)如图，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，．求． (4)在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图），直接写出所有满足条件的的长度值． 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