3.2双曲线过关检测卷-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2双曲线单元过关检测卷 （2025-2026学年第一学期高二数学选择性必修第一册第三章（2019）人教A版） 一、单选题 1．如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是，那么点到它的左焦点的距离是（    ） A． B． C．或 D．不确定 2．已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线：，点是的左焦点，若点为右支上的动点，设点到的一条渐近线的距离为，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 5．已知F为双曲线C：的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（    ） A． B．3 C．2 D．1 6．已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（    ） A．虚轴长为4 B．焦距为 C．焦点到渐近线的距离为4 D．渐近线方程为 7．若，是双曲线与椭圆的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，点为线段的中点，且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若双曲线的方程为，则（    ） A．的焦距为 B．的渐近线方程为 C．的离心率为 D．的虚轴长为2 10．已知双曲线，则（    ） A． B．双曲线的实轴长为 C．双曲线的渐近线方程为 D．当双曲线的离心率等于其虚轴长时， 11．已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（  ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 三、填空题 12．设为双曲线的左､右焦点，若点在双曲线C上，且，则 . 13．双曲线的动弦所在直线过定点，则中点的轨迹方程是 ． 14．已知双曲线的两个焦点分别为，点在双曲线上，且，则的周长为 ，面积为 . 四、解答题 15．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，根据下列条件分别求双曲线的标准方程. （1）渐近线方程为，且过点； （2）与双曲线的离心率相同，与共焦点. 16．已知双曲线的焦距为，离心率为． (1)求C的方程； (2)若A是C的左顶点，直线与C交于P，Q两点，求的面积． 17．已知双曲线，，为双曲线的左、右焦点． (1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程； (2)设点是上第一象限内的点，，求x的值． 18．已知双曲线：的右焦点为，右顶点为，为坐标原点，且. (1)求的方程； (2)过点的直线与的右支交于，两点，记的左顶点为，证明：. 19．已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 解析 一、单选题 1．如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是，那么点到它的左焦点的距离是（    ） A． B． C．或 D．不确定 答案：C 分析：根据双曲线的定义即可求得答案. 解析：设双曲线的左、右焦点为，则；则， 由双曲线定义可得，即，所以或，由于， 故点到它的左焦点的距离是或， 故选：C 2．已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 答案：C 分析：根据圆与圆的位置关系以及双曲线的定义即可求解. 解析：设动圆的半径为r，则，，则， 根据双曲线的定义知，动圆的圆心的轨迹为双曲线的左半支． 故选：C． 3．已知双曲线：，点是的左焦点，若点为右支上的动点，设点到的一条渐近线的距离为，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 答案：B 分析：根据双曲线的定义，结合点到直线的距离最短，求解即可. 解析：过作垂直于双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，则， 连接与双曲线的另一个焦点，如下所示： 由双曲线的定义可知，， 又双曲线方程为，故， 又点坐标为，双曲线的渐近线为，故点到渐近线的距离为， 故. 故选：B. 4．已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 答案：B 分析：利用双曲线的定义可求得的周长. 解析：如图，由题意可得，的周长为， 由双曲线的定义可得，又， 所以，所以的周长为12．故选：B.    5．已知F为双曲线C：的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（    ） A． B．3 C．2 D．1 答案：A 分析：先求焦点，再用点到直线的距离公式即可. 解析：由双曲线的标准方程得所以坐标为或 渐近线方程为所求距离 故选：A. 6．已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（    ） A．虚轴长为4 B．焦距为 C．焦点到渐近线的距离为4 D．渐近线方程为 答案：D 分析：根据双曲线的性质逐一判断即可. 解析：在双曲线中，焦点在轴上，，，，所以虚轴长为6，故A错误； 焦距为，故B错误；渐近线方程为，故D正确； 焦点到渐近线的距离为，故C错误；故选：D. 7．若，是双曲线与椭圆的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 答案：B 分析：由题意可得双曲线中，由为等腰三角形，所以,从而可求得，再利用双曲线的定义可求得在双曲线中，，进而可求出双曲线的渐近线方程 解析：因为椭圆的焦点坐标为， 所以双曲线中， 设点P为两曲线在第一象限的交点， 由于在椭圆中，为等腰三角形，所以,所以， 在双曲线中，，所以，代入，得， 所以该双曲线的渐近线方程为，故选：B 点睛：此题考查椭圆、双曲线的定义的应用，解题的关键由为等腰三角形和椭圆的定义求出的值，属于中档题 8．已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，点为线段的中点，且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 答案：C 分析：方法一：分析可得，将直线和直线的方程建立，求出点的坐标，再由，可得出、的等量关系，由此可求得该双曲线的离心率的值； 方法二：推导出，结合对称性可求出的值，求出的值，由此可得出该双曲线的离心率的值. 解析：方法一：因为，且为线段的中点，所以，，则， 不妨设点在第一象限，则直线的斜率为，所以，直线的方程为， 联立，解得，即点， 所以，， 化简可得，即，双曲线的离心率． 方法二：因为为中点，，则，所以， 又直线与直线分别为双曲线的两条渐近线， 得，所以，， 所以，故．故选：C． 二、多选题 9．若双曲线的方程为，则（    ） A．的焦距为 B．的渐近线方程为 C．的离心率为 D．的虚轴长为2 答案：AD 分析：根据双曲线的性质对每个选项进行判断即可. 解析：因为双曲线的方程为，所以，所以， 所以的焦距为，所以A正确； 的渐近线方程为，所以B错误； 的离心率为，所以C错误； 的虚轴长为，所以D正确. 故选：AD. 10．已知双曲线，则（    ） A． B．双曲线的实轴长为 C．双曲线的渐近线方程为 D．当双曲线的离心率等于其虚轴长时， 答案：ABD 分析：根据双曲线标准方程的特点，可得双曲线C的焦点在x轴上，由此确定.对照确定的值，依次判断选项，可得正确答案. 解析：选项A：依题意可得双曲线C的焦点在x轴上，所以所以选项A正确； 选项B、C：对照焦点在x轴上的双曲线的标准方程：，知.所以双曲线的实轴长为；双曲线的渐近线方程为：，即.所以选项B正确，选项C错误； 选项D：双曲线的离心率等于虚轴长时，，则，所以，解得.所以选项D正确. 故选：ABD. 11．已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（  ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 答案：BC 分析：设点，根据求得判断A；求出点的坐标，利用两点距离求出，根据双曲线定义求出，即可判断B；结合B选项，利用余弦定理求得，则为钝角，即可判断C；由得，即可判断D． 解析：设点．因为双曲线，所以，，，． 对于A，，所以，所以点到轴的距离为4，错误． 对于B，将代入得，则． 由双曲线的对称性，不妨取点的坐标为，得． 由双曲线的定义得，所以，正确． 对于C，结合B选项，在中，， 且，则为钝角，所以为钝角三角形，正确． 对于D，由，得，且， 所以，所以，错误． 故选：BC 三、填空题 12．设为双曲线的左､右焦点，若点在双曲线C上，且，则 . 答案：13 分析：利用双曲线的定义式求出的值，结合双曲线上的点的性质进行取舍即得. 解析：因点在双曲线上，故，由题意，， 当点在双曲线右支上时，， 故得，因，符合题意； 当点在双曲线左支上时，， 故得，此时因，不合题意. 故 故答案为：13. 13．双曲线的动弦所在直线过定点，则中点的轨迹方程是 ． 答案： 分析：设，利用点差法即可求解. 解析：设， 由，则，两式相减得， 故，即，即．故答案为：. 14．已知双曲线的两个焦点分别为，点在双曲线上，且，则的周长为 ，面积为 . 答案： 12 6 分析：根据双曲线的定义可得，结合求得，即可求得的周长，再利用余弦定理和三角形面积公式可求其面积. 解析： 根据题意，， 因为，由， 可得，则的周长为； 在中，根据余弦定理， ， 则， 故 故答案为：12；6. 四、解答题 15．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，根据下列条件分别求双曲线的标准方程. （1）渐近线方程为，且过点； （2）与双曲线的离心率相同，与共焦点. 分析：（1）设出双曲线的方程，代入已知点即可得到方程；（2）根据题意得到双曲线的离心率为，焦点为，，由，，即可得到参数值. 解析：（1）设双曲线的方程为， 将点代入可得，故双曲线的方程为， 故双曲线的方程为. （2）由题意可知双曲线的离心率为，焦点为，，所以可设双曲线的标准方程为，则，，解得， 所以双曲线的标准方程为. 点睛：这个题目考查了双曲线的标准方程的求法，一般需要求出a,b，c的关系式，再由三者的关系式得到参数值. 16．已知双曲线的焦距为，离心率为． (1)求C的方程； (2)若A是C的左顶点，直线与C交于P，Q两点，求的面积． 分析：（1）根据给定条件，求出即可. （2）求出点到直线的距离，再联立直线与双曲线方程求出弦长即可求出三角形面积. 解析：（1）依题意，双曲线的半焦距，由离心率，解得，， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知双曲线的左顶点，点到直线的距离， 由消去得，解得，， 则，所以的面积. 17．已知双曲线，，为双曲线的左、右焦点． (1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程； (2)设点是上第一象限内的点，，求x的值． 分析：（1）先把双曲线方程变形为标准方程，可得，根据曲双曲线的性质得到顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程； （2）根据题中向量的数量积公式列等式，解得x的值. 解析：（1）由题意得， 可得，，， 故顶点坐标为，，焦点坐标，， 离心率为，渐近线为； （2）设，则， 点Q在第一象限，，且，， ， 解得， ． 18．已知双曲线：的右焦点为，右顶点为，为坐标原点，且. (1)求的方程； (2)过点的直线与的右支交于，两点，记的左顶点为，证明：. 分析：（1）根据条件确定的值，可得双曲线的标准方程. （2）方法1：设的方程为，代入双曲线方程，利用韦达定理，可得，，表示，化简可得，问题得证. 方法2：若直线斜率不存在时，可得点坐标，利用判断；若直线斜率存在时，设其方程为，代入双曲线方程，利用韦达定理，可得，，表示出，化简得，问题得证. 解析：（1）由，可得，即，则， 所以的方程为. （2）如图： 方法1：由题意知，的斜率不为0， 可设的方程为，，. 由可得， 则，，. 由题意知，则，， ，所以. 方法2：若的斜率不存在，可得，.由题意知， 则，，，则. 若的斜率存在，可设的方程为，，. 由可得， 则，，. ，， 则 ，所以. 19．已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 分析：（1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程； （2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案； （3）设直线的方程为，联立方程组消元得到通过韦达定理有，，结合，化简得，解得或，当和时，分别分析直线的方程，进而求得定点； 解析：（1）因为，， 所以，故的标准方程为· （2） 设，，根据题意易得. 因为是上的两点，所以 两式相减得，即 因为，， 所以 所以直线的方程为 经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. （3）证明：依题意可设直线的方程为. 由，得 则，， ，由（2）知， 因为，所以 即 即 即，得，解得或. 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点 故直线过定点 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $