第2章 一元二次方程单元测试卷 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

2026-2027学年九年级数学上册一元二次方程 单元测试卷 （卷面总分 150分 考试用时：120分钟） 一、单项选择题（每题3分，共24分） 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知关于的一元二次方程满足，那么下列四个判断中正确的是（     ） A．该方程一定有两个相等的实数根； B．该方程一定有两个不相等的实数根： C．该方程一定有一个实数根为； D．该方程一定有一个实数根为． 3．若、是方程的两个实数根，则的值为（     ） A．2026 B．2 C． D． 4．某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 5．对于任意4个实数定义一种新的运算，例如：，则关于的方程的根的情况为（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无实数根 6．已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 7．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于的方程是倍根方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 二、填空题（每题3分，共30分） 9．已知是关于的方程的一个根，则________． 10．下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 11．若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 12．方程的解是_________________． 13．已知为实数，，则的值为______． 14．关于x的方程有实数根，则k的取值范围是_________． 15．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为___________． 16．已知关于的一元二次方程的两个实数根均为整数，请写出一个满足条件的的值：_______． 17．调查发现：某病毒人传人，3人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有75人感染，假设每轮每人传染的人数相同，则每轮每人传染__________人． 18．如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是_______． 三、解答题（共96分） 19．（本题12分）解方程： (1) (2) (3) (4) 20．（本题8分）已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程为一元一次方程并求出此方程的根． (2)当取何值时，此方程为一元二次方程并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 21．（本题8分）新运算：，例如：．若关于x的方程有两个不相等的实数根，解答下列各题： (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解此方程． 22．（本题8分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根； (2)若，是该方程的两个根，且，求的值． 23．（本题8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 24．（本题10分）为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元． (1)求年到年这种药剂价格的年平均下降率； (2)该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格． 25．（本题10分）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设． (1)的长用含的代数式表示为 m； (2)现要围成面积为的花圃能行吗？若能，请求出长方形的边长；若不能，请说明理由． 26．（本题10分）某商店销售一种商品，每件进价40元．当售价定为50元时，每天可售出100件；售价每提高1元，日销售量减少2件．设售价为x元，日销售量为y件． (1)求y与x的函数关系式； (2)若日利润为1800元，求售价x的值． 27．（本题10分）列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 28．（本题12分）如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ， ． （用含t的代数式表示）； (2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． (4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年九年级数学上册一元二次方程单元测试卷》 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D D C A B C 1．B 【详解】解：A、方程分母含有未知数，是分式方程，不符合一元二次方程定义，故选项不符合题意； B、对去括号、移项、合并同类项，得，符合一元二次方程定义，故选项符合题意； C、未说明，当时方程不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、对去括号、移项、合并同类项，得，是一元一次方程，故选项不符合题意． 2．C 【详解】解：∵ 把代入一元二次方程， 可得左边 ， 又∵ 已知， ∴ 左边=右边，即一定是该方程的一个实数根，因此C正确，D错误； 判断根的个数：由得， 根的判别式， 说明方程可能有两个相等实数根，也可能有两个不相等实数根，因此A、B错误． 综上，正确选项为C． 3．D 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴. 4．D 【详解】解：四月份产量为25万个， 五月份产量为万个， 六月份产量为万个． ∵第二季度总产量为91万个，∴． 5．C 【详解】解：根据新运算的定义，得，整理得 ∵ ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根； 6．A 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴由根的定义得，， 由根与系数的关系得，， 化简第一个因式：， 化简第二个因式：， ∴原式， 代入，得：原式． 7．B 【详解】解：设方程的两个根分别为和，且．根据一元二次方程根与系数的关系可得： 由①得：，即． 将代入②得： 化简得：． 两边同乘（）得：． 8．C 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，∴． 9． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴，即， ∴． 10．①④/④① 【详解】解：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程． ①，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； ②，含有和两个未知数，不符合一元二次方程的定义； ③，分母中含有未知数，不符合一元二次方程的定义； ④，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； 综上所述，是一元二次方程的有①④． 11． 【详解】解：∵， ∴， 设， 则方程可化为 ∵关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴， ∴， ∴一元二次方程必有一个实数根为． 12．， 【详解】解：由方程可得，解得， ． 13．3 【详解】解：设，则原方程化为：，． 或．或． 当y=3时，，即，Δ=，原方程有解， 当y=-2时，，即，Δ=，原方程无解， 故答案为：． 14． 【详解】解：当，即时，原方程变形为，解得，有实数根，符合要求； 当，即时，原方程是一元二次方程， ∵方程有实数根，∴根的判别式， 化简得，解得， 即此时的范围是且； 综上，的取值范围是． 15． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为腰长时， ∵另两边是方程的两个根，∴其中一个根为， 设另一根为， 由根与系数的关系得，解得，此时三角形三边长为， ∵，不满足三角形三边关系， ∴这种情况，舍去； ②当为底边长时， ∵另两边是等腰三角形的两腰，为方程的两个根， 设腰长为， 由根与系数的关系得，解得，此时三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系，∴． 16．1（答案不唯一） 【详解】解：设一元二次方程的两个实数根为， 则，， ∵两根均为整数，对进行整数因数分解，取，满足， 此时，即，解得． 满足条件的还可以为等，任意写出一个正确值即可． 17．4 【详解】解：每轮每人传染的人数为，由题意，得：， 解得或（舍去）；答：每轮每人传染4人； 故答案为：4． 18． 【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：小路的宽是． 19．(1)，；(2)，；(3)，；(4)，． 【详解】（1）解：， ∴，∴，∴，∴， 即或 解得，． （2），∴，∴ 即或 解得，． （3） ∵，，， ∴ ∴，． （4）， ∴ 即或 解得，． 20．(1)，方程的根为 (2)；二次项系数为，一次项系数为，常数项为 一次项系数，常数项的定义，即可解答． 【详解】（1）解：∵原方程为一元一次方程，∴， 解得：； 当时，方程为，解得． （2）解：∵原方程为一元二次方程，∴， 解得：， 故时，此方程为一元二次方程；该方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 21．(1)；(2) 【详解】（1）解：根据新定义，方程整理为：，即，     ∵此方程有两个不相等的实数根， ，解得：， 的取值范围为． （2）解：当时，方程整理为：，即， ，，， ． 22．(1)另一个实数根为；(2)或 【详解】（1）解：设该方程的另一个实数根为m， 由根与系数的关系得，解得，∴另一个实数根为； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴， ∵，∴， ∴， ∴， ∴， 解得或； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 综上所述，a的值为或． 23．(1)证明：∵该方程是关于的一元二次方程，∴ ∴该方程有两个不相等的实数根，即有两个实数根； (2)解：可以，理由如下： 由求根公式得， ∴， ∵为整数，且方程的两个实数根都为正整数， ∴为正整数 ∴为整数，且 ∵为整数，∴的可能取值为， 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，不符合要求； 当时，，不符合要求 ∴该方程的两个实数根可以都为正整数． （2）先由求根公式求出，，则为正整数，故为整数，且，则的可能取值为，，再分别代入求解即可． 【详解】（1）略；（2）略； 24．(1)年到年这种药剂价格的年平均下降率为； (2)该药剂在年的价格为元 【详解】（1）解：设年到年这种药剂价格的年平均下降率为， ，∴ ，∴， 解得 ，（不符合题意，舍去） ． 答：年到年这种药剂价格的年平均下降率为． （2）解：（元） 答：该药剂在年的价格为元． 25．(1) (2)解：不能，理由如下： 根据题意，得， 整理，得， 解得， 当时，，不符合题意， 答：不能围成面积为的花圃． （2）根据题意，列方程求得方程的根，检验即可得到答案． 【详解】（1）解：设，则；（2）略． 26．(1)（，且x为整数）；(2) 【详解】（1）解：， ∵日销量不能为负数，即，∴， ∴y与x的函数关系式为（，且x为整数）． （2）解：∵单件利润为元，销售量为件， ∴ 整理得：， ，解得， ∵，∴． 27．(1)360个；240个；(2)80 【详解】（1）解：设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个． 根据题意，得． 化为整式方程，得， 解方程，得． 经检验，是原方程的解．则． 答：每名工人每日加工甲种腊肉礼盒360个，每名工人每日加工乙种腊肉礼盒240个． （2）解：工人总数为：（人）． 根据题意，得． 整理得． 解得，（舍去）． 答：的值为80． 28．(1)；；(2)1秒后； (3)解：不能，理由如下： 当的面积等于时，则， 整理，得， ∴， ∴方程没有实数根， 故的面积不能等于； (4)当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 【详解】（1）解：由题意，得，∴； （2）解：∵，，，∴的面积， 解得或， 当时，（不符合题意，舍去）； ∴， 答：1秒后，的面积等于； （3）略； （4）解：当点运动到点时，秒； 由题意，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，∴当时，随着的增大而增大， ∵，∴当时，的值最大为； 故当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上册一元二次方程 单元测试卷 (卷面总分150分考试用时：120分钟) 一、单项选择题（每题3分，共24分） 1.下列方程是关于x的一元二次方程的是() A.gtx B.3(x+1)2=2(x+1) C.ax2+bx+c=0 D.x(x+2)=x2-1 2.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0,那么下列四个判断中正确的 是() A.该方程一定有两个相等的实数根：B.该方程一定有两个不相等的实数根： C.该方程一定有一个实数根为x=1；D.该方程一定有一个实数根为x=-1. 3.若a、B是方程x2+2x-2026=0的两个实数根，则Q·B的值为（) A.2026 B.2 C.-2 D.-2026 4.某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个.设该厂五、六月份平均每月的增 长率为x,则下面所列方程正确的是() A.251+x2=91 B.25+25(1+x)+25(1+2x)=91 C.25(1+2x)=91 D.25+25(1+x)+25(1+x)2=91 5.对于任意4个实数a,b,c,d定义一种新的运 ab=ad-bc,例如：16 c d 42=4×6-2x1=2,则 x 4 关于x的方程 =0的根的情况为() 2x-4 A.只有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无实数根 6.已知m,n是方程x2+2025x+7=0的两个根，则(m2+2024m+6)(n2+2026n+8)=() A.2017 B.2018 C.2019 D.2020 7.如果关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则 称这样的方程为“倍根方程”，若关于x的方程px2+2x+g=0是倍根方程，则pg的值为() A.名 B.8 C.2 D.4 8.若方程(m+1)xm-+mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是() A.m=1 B.m=-1 C.m=3 D.m=-1或m=3 试卷第1页，共6页 二、填空题（每题3分，共30分） 9.已知m是关于x的方程x2+2x-3=0的一个根，则2m2+4m+5= 10.下列方程，是一元二次方程的有」 ①3x2+x=20,②22-3y+4=0,③x2-1=4,④x2=0. 11.若关于x的一元二次方程m2+bx+2=0(a≠0)有一个实数根为x=2026,则一元二次方程 a(x-1)+bx-b+2=0必有一个实数根为 12.方程x2-x=0的解是 13.已知x为实数，(x2+2x)2-（x2+2x)-6=0,则x2+2x的值为 14.关于x的方程(k+)x2+2x-1=0有实数根，则k的取值范围是 15.等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2-10x+k=0的两个根，则k的值为 16.己知关于x的一元二次方程x2+mx-6=0的两个实数根均为整数，请写出一个满足条件的m的 值： 17.调查发现：某病毒人传人，3人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有75人感染， 假设每轮每人传染的人数相同，则每轮每人传染 人. 18.如图，在长为100m,宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上 花卉，且花圃的面积是3600m,则小路的宽是 三、解答题（共96分） 19.(本题12分)解方程： (1)x2-2x-8=0 (2)x(x-3)=x-3 (3)x2-3x+1=0 (4)x2-6x-7=0 试卷第2页，共6页 20.(本题8分)已知关于x的方程k2-1)x2-(k+)x-2=0. (1)当k取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根 (2)当k取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、 常数项 21,（本题8分)新运算：a*b=a2-2a-3b,例如：3*5=32-2×3-3×5=-12，若关于x的方程 x*m=5有两个不相等的实数根，解答下列各题： (1)求m的取值范围： (2)当m=7时，用配方法解此方程. 22.(本题8分)己知关于x的一元二次方程x2-2ar-3a+1=0有两个不相等的实数根， (1)若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根： (2)若a,B是该方程的两个根，且a2+B2=26,求a的值. 23.(本题8分)已知关于x的一元二次方程mx2-(2m-3)x+m-3=0. (1)求证：该方程有两个实数根： (2)若m为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由. 试卷第3页，共6页 24.(本题10分)为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低.2024年这种药剂价 格为100元，2026年该药剂价格为49元， (1)求2024年到2026年这种药剂价格的年平均下降率： (2)该制药厂计划2027年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与2024年到2026年的平均下降率相 同，求该药剂在2027年的价格. 25.(本题10分)如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m)围成中间隔 有一道篱笆的长方形花圃.设AD=xm。 (I)AB的长用含x的代数式表示为m: (2)现要围成面积为48的花圃能行吗？若能，请求出长方形的边长：若不能，请说明理由. N 26.(本题10分)某商店销售一种商品，每件进价40元.当售价定为50元时，每天可售出100件： 售价每提高1元，日销售量减少2件.设售价为x元(x>50),日销售量为y件. (I)求y与x的函数关系式： (2)若日利润为1800元，求售价x的值. 试卷第4页，共6页 27.(本题10分)列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙 种腊肉礼盒数量的1.5倍.某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20 人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个. (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增，该厂一方面对所有工人重新分配：m名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加 工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加m个，每名 工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加2m个.已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000 个，求m的值. 试卷第5页，共6页 28.(本题12分)如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm,BC=4cm,点Q从点A开始沿AB 边向点B以lcm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当P运动到 C时，两点停止运动.设运动时间为t秒， (I)填空：BQ=,PB=-·(用含t的代数式表示)： (2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2? (3)在(1)中，△PBQ的面积能否等于7cm2？试说明理由. (④)点P、Q运动几秒后，△PBQ的面积最大？最大值为多少？ C P B 试卷第6页，共6页《2026-2027学年九年级数学上册一元二次方程单元测试卷》 参考答案 题号 3 4 5 6 7 8 答案 B D D C A B 1.B 【详解】解：A、方程分母含有未知数，是分式方程，不符合一元二次方程定义，故选项不 符合题意； B、对3(x+1)2=2(x+1)去括号、移项、合并同类项，得3x2+4x+1=0,符合一元二次方 程定义，故选项符合题意： C、未说明a≠0，当a=0时方程不是一元二次方程，故选项不符合题意： D、对x(x+2)=x2-1去括号、移项、合并同类项，得2x+1=0,是一元一次方程，故选项 不符合题意. 2.C 【详解】解：，把x=1代入一元二次方程r2+bx+c=0(a≠0)， 可得左边=a12+b1+c=a+b+c, 又己知a+b+c=0, .左边=右边，即x=1一定是该方程的一个实数根，因此C正确，D错误： 判断根的个数：由a+b+c=0得b=-(a+c), 根的判别式△=b2-4ac=(a+c2-4ac=(a-c2≥0， 说明方程可能有两个相等实数根，也可能有两个不相等实数根，因此A、B错误。 综上，正确选项为C 3.D 【详解】解：，a,B是方程x2+2x-2026=0的两个实数根， aB=-2026 1 -2026. 4.D 【详解】解：四月份产量为25万个，五月份产量为25(1+x)万个，六月份产量为251+x)2 万个 :第二季度总产量为91万个，.25+25(1+x)+251+x)2=91. 5.C 答案第1页，共9页 【详解】解：根据新运算的定义，得4， =x(x-4)-4×2=0,整理得x2-4x-8=0 2x-4 ,'△=(-4)2-4×1×(-8)=16+32=48>0 该一元二次方程有两个不相等的实数根： 6.A 【详解】解：：m,n是方程x2+2025x+7=0的两个根， .由根的定义得m2+2025m+7=0,n2+2025n+7=0, 由根与系数的关系得m+n=-2025,mn=7, 化简第一个因式：m2+2024m+6=(m2+2025m+7)-m-1=-m-1, 化简第二个因式：n2+2026n+8=n2+2025n+7)+n+1=n+1, .原式=（-m-1)(n+l)=-mn-m-n-1=-mn-(m+n)-1, 代入m+n=-2025,mn=7得：原式=-7-（-2025)-1=2017. 7.B 【详解】解：设方程px2+2x+q=0的两个根分别为m和2m,且p≠0.根据一元二次方程 m+2m=-20 根与系数的关系可得： m.2m=9② 2 2 由①得：3m=-二，即m=- p 3p 将m= 代入②得：2× 3p 3p p 8=9 化简得：9pp 两边同荣p2(p*0)得：网多 8.C 【详解】解：，方程(m+1)xm-+mx+1=0是关于x的一元二次方程， 8a-3 9.11 【详解】解：，m是关于x的方程x2+2x-3=0的一个根， 答案第2页，共9页 .m2+2m-3=0,即m2+2m=3, .2m2+4m+5=2(m2+2m)+5=2×3+5=11. 10.①④/④① 【详解】解：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程。 ①3x2+x=20,只含有一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方 程的定义： ②2x2-3y+4=0,含有x和y两个未知数，不符合一元二次方程的定义： ③x-1=4,分母中含有未知数，不符合一元二次方程的定义： ④x2=0,只含有一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的 定义： 综上所述，是一元二次方程的有①④. 11.x=2027 【详解】解：，a(x-1)+bx-b+2=0, .a(x-1)2+b(x-1)+2=0, 设m=x-1, 则方程a(x-1)2+b(x-1)+2=0可化为am2+bm+2=0 :关于x的一元二次方程2+br+2=0(a≠0)有一个实数根为x=2026, ∴.关于m的一元二次方程am2+bm+2=0(a≠0)有一个实数根为m=2026, .2026=x-1, .x=2027, .一元二次方程a(x-1)2+bx-b+2=0必有一个实数根为x=2027. 12.x=0,x2=1 【详解】解：由方程x2-x=0可得x(x-1)=0,解得x=0,x2=1. 13.3 【详解】解：设x2+2x=y,则原方程化为：y2-y-6=0,.(y-3)(y+2)=0, .y-3=0或y+2=0.∴.y=3或-2. 当y=3时，x2+2x=3,即x2+2x-3=0,F22-4×1×(-3)=16>0,原方程有解， 当=2时，x2+2x=-2,即x2+2x+2=0,F22-4×1×2=-4<0,原方程无解， 答案第3页，共9页 故答案为：3. 14.k≥-2 【详解】解：当k+1=0,即k=-1时，原方程变形为2x-=0,解得x=分有实数根，符 合要求： 当k+1≠0，即k≠-1时，原方程是一元二次方程， 方程有实数根，∴.根的判别式△=2-4(k+1)(-1)≥0， 化简得4k+8≥0，解得k≥-2， 即此时k的范围是k≥-2且k≠-1： 综上，k的取值范围是k≥-2. 15.25 【详解】解：分两种情况讨论： ①当3为腰长时， :另两边是方程x2-10x+k=0的两个根，.其中一个根为3， 设另一根为a, 由根与系数的关系得3+a=10,解得a=7,此时三角形三边长为3,3,7， ,3+3=6<7,不满足三角形三边关系， 这种情况，舍去 ②当3为底边长时， ,另两边是等腰三角形的两腰，为方程x2-10x+k=0的两个根， 设腰长为b, 由根与系数的关系得b+b=10,解得b=5,此时三角形三边长为3,5,5， 3+5>5,满足三角形三边关系，∴.k=5×5=25. 16.1(答案不唯一) 【详解】解：设一元二次方程x2+mx-6=0的两个实数根为x,x2, 则%=白6，名+5=”怎m 1 ,两根均为整数，对6进行整数因数分解，取x=2,x2=-3,满足xx2=2×(-3)=-6, 此时x+x2=2+(-3)=-1,即-m=-1,解得m=1. 满足条件的m还可以为-1,5，-5等，任意写出一个正确值即可， 17.4 【详解】解：每轮每人传染的人数为x,由题意，得：3(x+1)2=75, 答案第4页，共9页 解得x=4或x=6(舍去)：答：每轮每人传染4人： 故答案为：4. 18.5m 【详解】解：设小路宽为xm,则种植花草部分的面积等于长为(100-2x)m,宽为(50-2x)m的 矩形的面积， 依题意得：(100-2x)50-2x)=3600, 解得：x=5,x2=70(不合题意，舍去)， 答：小路的宽是5m. 190x=4,本=-2：②x=3,x=1:6x=3+5,5=3-5 :(4)x=7,x2=-1. 2 【详解】(1)解：x2-2x-8=0, .x2-2x=8,.x2-2x+1=8+1,∴(x-12=9,.x-1=+3, 即x-1=3或x-1=-3 解得x=4,x2=-2. (2)x(x-3)=x-3,.x(x-3)-(x-3)=0,∴.(x-3)(x-1)=0 即x-3=0或x-1=0 解得x=3,x2=1. (3)x2-3x+1=0 a=1,b=-3,c=1, △=b2-4ac=(-3)2-4=5 ∴x=-b±VB-4ae_3±V5 2a 2 “x=3+ -3-V5 2 (4)x2-6x-7=0, ∴.（x-7)(x+1)=0 即x-7=0或x+1=0 解得x=7,x2=-1. 20.(1)k=1,方程的根为x=-1 (2)k≠±1：二次项系数为k2-1,一次项系数为-k-1,常数项为-2 一次项系数，常数项的定义，即可解答。 答案第5页，共9页 k2-1=0 【详解】(1)解：原方程为一元一次方程， k+1≠0 解得：k=1: 当k=1时，方程为-2x-2=0,解得x=-1. (2)解：，原方程为一元二次方程，.2-1≠0， 解得：k≠±1， 故k≠±1时，此方程为一元二次方程：该方程的二次项系数为k2-1,一次项系数为-k-1, 常数项为-2， 21.(1)m>-2:(2)x=3W3+1,x2=-3V3+1 【详解】(1)解：根据新定义，方程x*m=5整理为：x2-2x-3m=5,即 x2-2x-3m-5=0, :此方程有两个不相等的实数根， ∴.△=(-2)2-4×1×(-3m-5)=12m+24>0,解得：m>-2, ∴.m的取值范围为m>-2. (2)解：当m=7时，方程x*7=5整理为：x2-2x-3×7=5,即x2-2x=26, ∴.x2-2x+1=26+1,.(x-1=27,x-1=±27， x1=3W3+1,x2=-3V3+1. 22月-个实数根为写：回2或- 1 2 【详解】(1)解：设该方程的另一个实数根为， 1 m= m+1=2a 由根与系数的关系得 m1=-3a+1'解得 5 2 5,“另一个实数根为-5 Q=- (2)解：，α，B是该方程的两个根， ∴.a+B=2a,ap=-3a+1, a2+B2=26,.（a+B)}2-2aB=26, ∴.(2a2-2(-3a+1)=26, ∴.2a2+3a-14=0, ∴.(2a+7)(a-2)=0, 7 解得a=2或a=-2 答案第6页，共9页 当a=2时，△=（-2a)-4(-3a+1)=（-4)-4×(-6+1)=36>0,满足题意： 当a=号，A-(2a-4〔-3a+)-2x(引-43x3)-330.满足题， 综上所述，a的值为2或- 23.(1)证明：，该方程是关于x的一元二次方程，∴.m≠0 :△=(2m-3)2-4m(m-3)=4m2-12m+9-4m2+12m=9>0 该方程有两个不相等的实数根，即有两个实数根： (2)解：可以，理由如下： 由求根公式得x=(2m-3)±v9_(2m-3)士3 2m 2m ·x=2m-3+3 1.5-2m-3-3-1-3 2m 2m m ,m为整数，且方程的两个实数根都为正整数， 1-3为正整数 m 3为整数，且1-3>0 m m ,m为整数，∴.m的可能取值为±1，±3 当m=-1时，x2=4,两根为1和4，均为正整数： 当m=-3时，x2=2,两根为1和2，均为正整数； 当m=1时，x2=-2,不符合要求： 当m=3时，x2=0,不符合要求 ∴该方程的两个实数根可以都为正整数 (2)先由求根公式求出x=1,5=2m3-3=1-3,则1-3为正整数，故3为整数，且 2m m m m 1-3>0,则m的可能取值为士1，士3，再分别代入求解即可。 【详解】(1)略：(2)略： 24.(1)2024年到2026年这种药剂价格的年平均下降率为30%： (2)该药剂在2027年的价格为34.3元 【详解】(1)解：设2024年到2026年这种药剂价格的年平均下降率为x, 100(1-x)2=49,.(1-x)}2=0.49,.1-x=0.7, 答案第7页，共9页 解得x=0.3=30%,x2=1.7(不符合题意，舍去). 答：2024年到2026年这种药剂价格的年平均下降率为30%. (2)解：49×(1-30%)=34.3（元） 答：该药剂在2027年的价格为34.3元. 25.(1)(24-3x) (2)解：不能，理由如下： 根据题意，得x(24-3x)=48, 整理，得x2-8x+16=0, 解得x=x2=4, 当x=4时，AB=24-12=12>10,不符合题意， 答：不能围成面积为48m的花圃. (2)根据题意，列方程求得方程的根，检验即可得到答案。 【详解】(1)解：设AD=xm,则AB=(24-3x)m;(2)略. 26.(1)y=200-2x(50<x≤100，且x为整数)：(2)x=70 【详解】(1)解：y=100-2(x-50)=200-2x, ,日销量不能为负数，即200-2x≥0，∴.x≤100， ∴y与x的函数关系式为y=200-2x(50<x≤100，且x为整数). (2)解：，单件利润为(x-40)元，销售量为(200-2x)件， ∴.（x-40)(200-2x)=1800 整理得：-2x2+280x-8000=1800, x2-140x+4900=(x-70)=0,解得x=70, ,x≤100，.x=70. 27.(1)360个：240个：(2)80 【详解】(1)解：设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒x个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼 盒1.5x个. 根据题意，得1440_14400-=20. x1.5x 化为整式方程，得14400×1.5-14400=20×1.5x, 解方程，得x=240. 答案第8页，共9页 经检验，x=240是原方程的解，则1.5x=360 答：每名工人每日加工甲种腊肉礼盒360个，每名工人每日加工乙种腊肉礼盒240个， (2)解：工人总数为：1400+1400=10（人）. 240360 根据题意，得(100-m)(360+2m)+m(240+m)=36000 整理得m2-80m=0. 解得m=80,m2=0(舍去). 答：m的值为80. 28.(1)(5-t)cm;2tcm:(2)1秒后： (3)解：不能，理由如下： 当aPB的面积等于7cm时，则5-)-21=7， 整理，得2-51+7=0， .△=（-5-4×1×7=-3<0， ∴方程没有实数根， 故△PBQ的面积不能等于7cm2; (4)当P、Q运动2秒后，△PBQ的面积最大，最大为6cm2 【详解】(1)解：由题意，得AQ=tcm,PB=2icm,.BQ=AB-AQ=(5-t)cm; (2)解：：∠B=90°，B0=(5-)cm,PB=2Cm,÷△PB0的面积=5-)-21=4， 解得t=1或t=4, 当1=4时，BP=2×4=8>4(不符合题意，舍去)： ∴.t=1, 答：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2; (3)略： 4 (4)解：当点P运动到点C时，t=二=2秒： 2 ·抛物线的开口向下，对称轴为直线1=三， :当1<时，S随若1的增大而增大， ,0≤1≤2，当t=2时，S的值最大为-22+5×2=6： 故当P、Q运动2秒后，△PBQ的面积最大，最大为6cm2. 答案第9页，共9页