第2章一元二次方程学情自测试卷2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学一元二次方程单元复习卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合劳动教育、文化传承、社会热点等现实情境，适配单元学情自测，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|定义、根的判别式、矩形边长应用|第7题劳动实践园地，体现用数学眼光观察现实世界| |填空题|6/18|根与系数关系、甲流病毒传播模型|第16题甲流传染问题，培养模型意识| |解答题|8/72|解方程、配方法、剪纸礼盒利润|23题剪纸礼盒销售，融合文化传承与应用意识；20题配方法发展数学思维|

第2章一元二次方程学情自测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：A. 方程的未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； B. 方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程，符合题意； C. 方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D. 方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意． 2．若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解两个一元二次方程，利用两个方程解相同的条件，计算与的和，得到二者的数量关系． 【详解】解：对于方程， ， 对于方程， 变形得 ， 直接开方得 ， 整理得 ， 两个方程的解相同， ， 即． 3．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】C 【分析】设矩形两条邻边长分别为，，由根与系数的关系可知，即可求解． 【详解】解：设矩形两条邻边长分别为，， ，是方程的两个根， 由根与系数的关系得． 矩形的周长为． 4．已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 【答案】C 【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】解：设， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 5．k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．必有实根 B．有两个不相等的实根 C．无实根 D．不能确定根的情况 【答案】A 【分析】计算根的判别式，配方后判断其取值范围，即可确定方程根的情况． 【详解】解：一元二次方程为， ，，， ． 为实数， ，即． 方程必有实根． 6．若实数，满足，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由题意可得,是一元二次方程的两个不相等实数根，利用多项式对应系数相等得到的值，再结合满足方程变形，计算的值判断正负，即可得到结果. 【详解】解：∵ ，且，， ∴ 是方程的两个不相等的实数根， ∴ ， 对比系数得 ， 又∵ ， ∴ ， 则， 把代入得 ， ∴ ，. 7．如图，为落实劳动教育，学校计划用总长为米的篱笆，在两面足够长的垂直围墙的墙角处，围出一块平方米的矩形劳动实践园地．若设矩形的一边长为米，则列出的方程式（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设矩形的一边长为米，则另一边长为米， 根据题意得． 8．为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单循环比赛的规则，计算总比赛场数列方程，用到的是计数去重的思路，即可得到符合题意的方程． 【详解】解：依题意，共有个队参赛，每两支队伍之间赛一场，每支队伍需要和除自身外的支队伍比赛， 又∵ 两队之间进行一场比赛， ∴ 实际总比赛场数为， 已知总比赛为36场， 因此列方程得，符合题意的为选项A. 9．甲、乙两种品牌的智能机器人采摘苹果，它们原来每分钟采摘的个数相同，现它们都提高采摘速度，其中甲品牌智能机器人连续两次提速的百分率都是，乙品牌智能机器人一次性提速的百分率是．提速后甲品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数是乙品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数的倍，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出原来的采摘个数，根据甲品牌智能机器人连续两次提速的百分率都是列出，再根据乙品牌智能机器人一次性提速的百分率是列出，最后根据提速后甲品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数是乙品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数的倍列出方程求解即可． 【详解】设甲、乙原来每分钟采摘苹果的个数为，其中， 根据题意列方程：， ，两边约去得：， 展开整理得：， 因式分解得：， 解得，（舍）， 答：的值为． 10．已知某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，当每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少元．要使每盆的盈利达到20元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“总盈利每盆总株数平均单株盈利”，分别表示出每盆总株数和平均单株盈利，即可列出方程． 【详解】解：设每盆多植株， ∵原来每盆植3株， ∴现在每盆总株数为株， ∵每增加1株，平均每株盈利减少元， ∴增加株后，平均单株盈利为元， ∵要求每盆盈利达到20元， ∴列出方程为 ． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 1 【分析】根据方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，二次项系数不为，像这样的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ，且 ， 解得． 12．如果一元二次方程有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义，可得二次项系数不为0，再结合方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，求解两个不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：方程是一元二次方程， ． 方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 综上可得，实数的取值范围是且． 13．已知是一元二次方程的一个根，则___________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，得到满足的等式，将所求代数式提取公因式变形后，利用整体代入法计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根 ∴将代入方程得移项整理得 ∴． 14．已知，是方程的两个根，则__________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出、，整体代入代数式求值． 【详解】解：，是方程的两个根， 则，， 故． 15．已知三个实数a，b，c满足，，且，则c的最小值为_____． 【答案】 【分析】将用含和的代数式表示，代入得到关于的一元二次方程，利用一元二次方程有实根时判别式非负，结合求出的取值范围，即可得到的最小值． 【详解】解：由得 ， 将代入得 ， 整理得 ， 两边同除以得 ， 因为为实数，所以关于的一元二次方程有实数根，判别式， 即 ， 因式分解得 ， 因为已知， 所以， 即 故的最小值为． 16．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有25人感染了“甲流病毒”，则第三轮传染后，共有_______人感染了“甲流病毒”． 【答案】125 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据两轮感染的总人数25即可列出方程求解，再计算三轮传染后的总感染人数即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 根据题意，得， 解得：或(舍去)， 三轮传染后总感染人数为， 故答案为：125． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．已知是方程的一个根，试求的值． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴． 18．解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）解： ， 或， ∴，； （2）解： ， 或， ∴，； （3）解：， ， ， ， ， ∴． 19．已知关于的一元二次方程（为常数），若该方程的一次项系数是二次项系数与常数项和的2倍，判断这个方程根的情况，并求方程的根． 【答案】方程有两个不相等的实数根，根为和． 【分析】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式及求解，解题的关键是先根据条件求出的值，再分析根的情况并解方程． 先根据“一次项系数是二次项系数与常数项和的2倍”列方程求出的值，再代入方程确定其形式，通过根的判别式判断根的情况，最后解方程． 【详解】解：方程的各项系数： 二次项系数：（由一元二次方程定义，，即）， 一次项系数：， 常数项：， 根据题意可得：， 解得：， 将代入原方程，得： ， 整理得：， ， 所以方程有两个不相等的实数根， ， 综上，方程有两个不相等的实数根，根为． 20．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 【答案】(1) (2)常数的值为或 (3)最大值为 【分析】（1）把所求式子变形为，再仿照例题求解即可； （2）把多项式变形为，根据多项式的最小值为得到方程，解方程即可得到答案； （3）根据题意可推出，再仿照例题求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的最小值是． （2）解： ， ， ， 关于的二次多项式的最小值为， 关于的二次多项式（为常数）有最小值为， ， ，即， 解得，， 常数的值为或； （3）解：， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为． 21．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式，代入系数解不等式得到的范围； （2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开进行代换，得到关于的一元二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解． 【详解】（1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又， ． 22．某公司计划生产1200件新产品，现有甲、乙两家厂都具备加工能力．已知甲厂单独加工完成这批新产品比乙厂单独加工完成这批新产品少用10天；甲厂每天加工数量比乙厂每天加工数量多10件．求： (1)甲、乙两厂每天分别加工多少件产品？ (2)如果公司要求甲乙两家工厂合作完成这批新产品的加工任务，那么至少需要多少天？（不满1天的，以1天时间计算） 【答案】(1) 甲厂每天加工40件产品，乙厂每天加工30件产品 (2) 至少需要18天 【分析】（1）以两厂单独加工的时间差为等量关系列分式方程求解； （2）先计算合作工作效率，再结合总工作量求工作时间，按要求取整． 【详解】（1）解：设乙厂每天加工件产品，则甲厂每天加工件产品 由题意得： 两边同乘，得 化简得 整理得 解得， ∵每天加工数量为正数 ∴不符合题意，舍去 经检验，是原方程的解，且符合题意 ∴ 答：甲厂每天加工40件产品，乙厂每天加工30件产品． （2）解：甲乙合作每天加工数量为（件） 所需时间为（天） ∵不满1天按1天计算， ∴ 至少需要18天 答：至少需要18天． 23．西安非遗关中剪纸享誉四方，某文创店铺售卖两款剪纸礼盒：礼盒甲、礼盒乙．已知礼盒甲每件售价比礼盒乙贵元．上一周，礼盒甲销售总额为元，礼盒乙销售总额为元，且两款礼盒销售量相等． (1)上一周，礼盒甲、乙的销售单价分别是多少元？（列分式方程求解） (2)本周店铺开展促销，礼盒甲每降价元，销量增加件；礼盒乙每件提价元，销量和上周一样．调整价格后，两款礼盒总销售额比上周多元，求礼盒甲每件降价多少元？ 【答案】(1) 礼盒甲的销售单价为元，礼盒乙的销售单价为元 (2) 礼盒甲每件降价元 【分析】（1）利用两款礼盒销售量相等的等量关系列分式方程求解； （2）结合价格调整后总销售额的变化关系列方程求解． 【详解】（1）解：设上一周礼盒乙的销售单价为元，则礼盒甲的销售单价为元， ∵两款礼盒销售量相等， ∴，解得， 检验：当时，， 故是原分式方程的解且符合实际意义， ∴ 礼盒甲的销售单价为（元）． 答：上一周礼盒甲的销售单价为元，礼盒乙的销售单价为元． （2）解：∵上周礼盒乙的销售额为元，单价为元， ∴上周两款礼盒的销售量均为（件）， 设礼盒甲每件降价元， ∵调整价格后两款礼盒总销售额比上周多元， ∴， 整理得 ， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：礼盒甲每件降价元． 24．为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元． (1)求年到年这种药剂价格的年平均下降率； (2)该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格． 【答案】(1) 年到年这种药剂价格的年平均下降率为 (2) 该药剂在年的价格为元 【分析】（1）设年到年这种药剂价格的年平均下降率为，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列出算式求解即可． 【详解】（1）解：设年到年这种药剂价格的年平均下降率为， 解得 ，（不符合题意，舍去） ． 答：年到年这种药剂价格的年平均下降率为． （2）解：（元） 答：该药剂在年的价格为元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第2章一元二次方程学情自测试卷 一、单选题（每题3分，共30分) 1.下列方程中，是一元二次方程的是() A.2x+3=4-xB.x2-3x+1=0 C.x2-2y+4=0 D.x2+3= 2.若关于x的一元二次方程x-mx-川)= 的解也是(x-3=b(a≠0)的解，则m 与n满足的数量关系为() A m+n=3 B m+n=6 C.m+n=6a D.m+n=6b 3.已知矩形的两条邻边长是方程x2-10x+24=0的两个根，则矩形的周长是() A.10 B.12 C.20 D.24 4.已知实数a,6清足0+2沙(0+25-3列=10，则d2+25的值为（) A.5或-2 B.-5或2 c.5 D.2 5.k为实数，则关于x的一元二次方程x2-(k+Dx+k=0的根的情况是() A.必有实根 B.有两个不相等的实根 C.无实根 D.不能确定根的情况 6.若实数a,b(a≠b 满足2-2a-2=0,-2b-2=0,则() A.a+b=2,a2+2b>0 B.a+b=2,a2+2b<0 C.a+b=-2,a2+2b>0 D.a+b=-2,a+2b<0 7,如图，为落实劳动教育，学校计划用总长为8米的篱笆，在两面足够长的垂直围墙的墙 角处，围出一块7平方米的矩形劳动实践园地.若设矩形的一边长为x米，则列出的方程 式() 试卷第1页，共3页 JLLULIIIIL A8-)=7Bx4-)=7 c.x8-2=7D.2x(8-)-7 8.为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场 比赛，累计比赛36场.设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是() A.2x(x-)=36 B.x(x-1)=36 C.2x(x+)=36 D.x(x+1)=36 9.甲、乙两种品牌的智能机器人采摘苹果，它们原来每分钟采摘的个数相同，现它们都提 高采摘速度，其中甲品牌智能机器人连续两次提速的百分率都是x,乙品牌智能机器人一 次性提速的百分率是2x.提速后甲品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数是乙品牌智 能机器人平均每分钟采摘的苹果个数的8倍，则x的值为（）· A.0.2 B.0.3 c.0.5 D.1 10.已知某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，当每盆植3株时，平均每株盈 利4元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少0.5元.要使每盆的盈利达到20元，每盆 应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是() A.(x+34-0.5x)=20 B.(x+3)4+0.5x)=20 c.(x+4)3-0.5x)=20 D.（x+14-0.5x)=20 二、填空题（每题3分，共18分） 1.已知关于x的方程(k+)x"-3x+1= 是一元二次方程，则的值为一 12.如果一元二次方程x+2x-4=0有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是 试卷第2页，共3页 13.己知a是一元二次方程x2+3x-1=0的一个根，则2a+6a= 14.已知，是方程-3x-8=0的两个根，则+巧+5 15.已知三个实数a,b,c满足a+2b-4c=0,ab=2c,且c>0,则c的最小值为 16.甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳 为主要表现.在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过 两轮传染后共有25人感染了“甲流病毒”，则第三轮传染后，共有」 人感染了“甲 流病毒”. 三、解答题（每题9分，共72分） 17.已知a是方程g-2026x+1=0的一个根，试求d-2025a- 2026的值. 18.解方程： a1)2-5x=0 (2-7x+6=0 6)(x+3}=2x+5 19.已知关于x的一元二次方程 k+)2-2+k-2=0k为常数)，若该方程的一次项 系数是二次项系数与常数项和的2倍，判断这个方程根的情况，并求方程的根. 20.配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化 为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变形中，并结合 非负数的意义来解决一些问题.先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题. 例：求代数式广+4少+6 的最小值。 解：广+4y+6=y+4y+4+2=0+2}+2 因为0+2≥0，所以0+2y+2≥2，所以+4y+6的最小值是2. (1)代数式x2-4x+3的最小值为_ 试卷第3页，共3页 (2)关于x的二次多项式x2-4a+2a2+a-6(a为常数)有最小值为-9，求常数a的值. ®已知实数，y满足+号+y-3=0,求x-2y的受大位。 21.若关于的-一元=次方程-2k++:+2=0 两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围： ②已知方程的两个实数根分别为“，B,且a+B+)=1B,求k的值 22.某公司计划生产1200件新产品，现有甲、乙两家厂都具备加工能力.己知甲厂单独加 工完成这批新产品比乙厂单独加工完成这批新产品少用10天；甲厂每天加工数量比乙厂每 天加工数量多10件，求： (1)甲、乙两厂每天分别加工多少件产品？ (2)如果公司要求甲乙两家工厂合作完成这批新产品的加工任务，那么至少需要多少天？ (不满1天的，以1天时间计算) 23.西安非遗关中剪纸享誉四方，某文创店铺售卖两款剪纸礼盒：礼盒甲、礼盒乙.己知 礼盒甲每件售价比礼盒乙贵100元.上一周，礼盒甲销售总额为9000元，礼盒乙销售总额 为6000元，且两款礼盒销售量相等. (1)上一周，礼盒甲、乙的销售单价分别是多少元？（列分式方程求解） (2)本周店铺开展促销，礼盒甲每降价12元，销量增加1件：礼盒乙每件提价40元，销量和 上周一样.调整价格后，两款礼盒总销售额比上周多600元，求礼盒甲每件降价多少元？ 24.为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低.2024年这种药剂价格为 100元，2026年该药剂价格为49元. (1)求2024年到2026年这种药剂价格的年平均下降率： (2)该制药厂计划2027年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与2024年到2026年的平均 下降率相同，求该药剂在2027年的价格， 试卷第4页，共3页