第2章一元二次方程检测卷-2026-2027学年苏科版 数学九年级上册

**基本信息** 苏科版九年级上册第2章一元二次方程单元卷，覆盖概念、解法及应用，注重基础巩固与创新思维，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|根的定义、解法选择、应用题建模|结合反比例函数、新定义运算，考查抽象能力| |填空题|6题|一般形式、根与系数关系、判别式|融入平行四边形性质，体现几何直观| |解答题|6题|四种解法、实际应用、新定义证明|含“友好方程”探究（创新意识）、利润问题（模型意识）|

第2章一元二次方程检测卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（2024） 一、单选题 1．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．或2 B． C．2 D．0 2．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 3．下列一元二次方程的根可以根据计算得出的是（    ） A． B． C． D． 4．用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（   ） A．B． C． D． 5．若是关于的一元二次方程的解，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 6．设，是方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．若关于x的一元二次方程，系数a，b，c满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 8．由于春季气温回暖，某服装店从3月份开始对冬装进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价1000元的冬装，优惠后实际仅需490元，设该店冬装原本打x折，则有（   ） A． B． C． D． 9．在反比例函数中，当时，随的增大而减小，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A．7 B．6 C．5 D．3 10．对于实数m，n，现定义一种运算“*”如下：，若，则实数x的值为（   ） A．3或 B．或8 C．8 D．3 二、填空题 11．将一元二次方程化成一般形式为______． 12．若一元二次方程的两个根为，则的值是_____________． 13．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________ 14．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，在平行四边形中，已知，，则对角线长的最大整数值为______． 15．某省城市之间进行足球比赛，实行主客场双循环比赛，即所有参赛球队彼此间进行两场比赛，结果一共进行了场比赛，设共有支足球队参加比赛，那么列出的方程是______． 16．对于任意实数a，b，定义．若，则a的值为____． 三、解答题 17．解方程： (1) (2) (3) (4) 18．如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为288平方米．求车道的宽？ 19．已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 20．如图，设计师要给长城风景画安装上一个四周宽度相等的空白画框，制成一个矩形工艺品后进行销售，该工艺品的长为，宽为． (1)若该工艺品中间风景画的面积为，此时空白画框的宽度是多少？ (2)已知该工艺品的成本是元／件，若以元／件销售，则每天可售出件．该公司决定降价销售该工艺品，根据销售经验，销售单价每降低元，每天可多售出件，则当该公司把销售单价降低多少元时，每天所获利润为元？ 21．定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”___________； (2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根___________，___________；根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为___________，证明你的结论； (3)已知关于x的方程的两根是．请利用（2）中的结论，写出关于x的方程的两根． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C A B D C B D 1．B 【分析】根据一元二次方程的解的定义，只需将代入方程中得到关于m的方程，然后解方程，结合一元二次方程的定义即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，且， 整理，得且， 解得． 2．B 【分析】根据“两次降价后的价格原价（降价百分率）”找等量关系，即可列出正确方程． 【详解】解：由题意得，方程为． 3．A 【分析】根据求根公式确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：根据求根公式可得， 可得， 所以对应的一元二次方程为． 4．C 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，按照配方法的步骤，先移项，再整理二次项，随后配方得到完全平方形式，对比选项即可得到正确结果．熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 【详解】解：∵原方程为 ， 移项得 ， 提取二次项系数得 ， 对括号内配方，给括号内加上一次项系数一半的平方 ，等式变形得， ， 整理得 ． 故选：C． 5．A 【分析】由一元二次方程解的定义，将代入方程，整理变形即可求出的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的解， ∴将代入方程得， 即， ． 6．B 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴． 7．D 【分析】根据，，得到当时，满足一元二次方程，即可得出结果. 【详解】解：∵系数a，b，c满足，， ∴当时，使一元二次方程成立， 即方程的解为，. 8．C 【分析】设该店冬装原本打x折，根据折上折的优惠规则，结合原价和最终实际售价，找出等量关系列出方程即可． 【详解】解：设该店冬装原本打x折． ∵打折时，打x折表示现价为原价的． 又∵本题为两次折扣相同的“折上折”，需要连续两次按计算价格． ∴原价1000元经过两次打折后价格为． ∵优惠后实际价格为490元， ∴可得方程． 9．B 【分析】本题考查了反比例函数的性质和一元二次方程根的判别式．结合反比例函数的性质和一元二次方程根的判别式确定的取值范围，再找出符合条件的整数并求和，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数中，当时，随的增大而减小 ∴ ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴ 即 解得 ∴ 又∵为整数 ∴可取1，2，3 ∴满足条件的整数的值之和为 故选：B． 10．D 【分析】根据新定义分两种情况计算：当时，；当时，；分别求解即可． 【详解】解：若， 则当时，， 整理得， 解得（舍去）或， 当时，， 解得（舍去）， 综上，， 故选：D． 11． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式． 将一元二次方程化为一般形式，需通过移项使方程右边为0，并按降幂排列左边各项． 【详解】解：， 移项得， 故答案为：． 12．10 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据一元二次方程根与系数的关系可得，，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，， ∴， 故答案为：10． 13． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根，由此列出关于的不等式求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 故答案为：． 14．10 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，平行四边形的性质以及三角形三边关系． 先根据根与系数的关系求出方程的两根之和与两根之积，得到，，，再根据平行四边形的性质，以及三角形三边关系解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，， ∴，， ∴，， 在平行四边形 中，对角线的长度满足，即 ． ∴长的最大整数值为10． 故答案为：10． 15． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有支足球队参加比赛，在主客场双循环赛制下，每两支球队之间需进行场比赛，单循环比赛的场数为，双循环比赛场数为单循环的倍，因此总比赛场数为，然后列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设有支足球队参加比赛，在主客场双循环赛制下，每两支球队之间需进行场比赛.单循环比赛的场数为，双循环比赛场数为单循环的倍，因此总比赛场数为， ∴列出的方程为， 故答案为：． 16． 【分析】根据定义的运算规则，将 代入公式，得到关于 的方程，然后解该一元二次方程． 本题考查了新定义计算，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由定义，， 所以 ． 给定 ， 因此 ， 即 ． 解得． 故答案为：． 17．(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】（1）用配方法解一元二次方程； （2）用提取公因式法因式分解解一元二次方程； （3）用公式法解一元二次方程； （4）用十字相乘法因式分解解一元二次方程． 【详解】（1）解： 即或 解得，． （2） 即或 解得，． （3） 这里，， ∴ ∴，． （4） 即或 解得，． 18．车道宽为米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意表示出停车位总占地长和宽，再根据停车位总占地面积为平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：观察图形可知，车道的宽为米，则停车位总占地长为米，宽为米， 根据题意，得， 整理得，即， 解得，（舍去）． 答：车道宽为米． 19．(1)证明：∵， ∴一元二次方程有实数根． (2) 【分析】（1）计算出即可证明； （2）求出方程的解，代入即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， 解得． 20．(1)空白画框的宽度为； (2)该公司把销售单价降低元或元时，每天所获利润为元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设画框(空白部)的宽度为，根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可； （2）设该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为元，根据总利润等于单件利润乘以销售量，列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设空白画框的宽度为，根据题意列方程得： ， 解得：，， 当时，不符合题意， ． 答：空白画框的宽度为． （2）解：设该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为元，根据题意列方程得： ， 解得：，， 答：该公司把销售单价降低元或元时，每天所获利润为元． 21．(1) (2)，，原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数，证明见详解 (3)， 【分析】本题考查了新定义下一元二次方程根与系数的关系及求根公式的运用． （1）根据“友好方程”的定义写出对应的友好方程即可； （2）因式分解法求出每个方程的两个实数根，原方程与“友好方程”的根得出规律，再用求根公式去验证即可； （3）先根据“友好方程”的根的特点得出，即的两根为，，将待求方程变形为，把看作整体即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，一元二次方程的“友好方程”为， 故答案为：． （2）解：一元二次方程的“友好方程”为， 解得，， 根据以上结论，的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数， 证明如下：∵一元二次方程的两根为，， “友好方程”的两根为，， ∴， ， ∴，， 即原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数． 故答案为：，，原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数． （3）解：∵方程的两根是， ∴该方程的“友好方程”，即的两根为，， 则，即中或， ∴该方程的解为，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $