第一章 勾股定理 章综合复习 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了勾股定理及其逆定理的核心内容，通过知识结构框架将直角三角形性质、勾股定理验证与应用、逆定理判定及勾股数等知识点串联，明确勾股定理与逆定理的区别联系，帮助学生构建逻辑清晰的知识网络。 其亮点在于采用“基础巩固-综合应用-拓展提升”的分层复习策略，如通过长方体表面最短路径问题（例3）培养几何直观与空间观念，结合折叠问题（例9、10）渗透方程思想发展推理能力，分类讨论高的位置（例11）强化逻辑思维。这种设计让学生逐步提升解决实际问题的能力，教师也能通过典型例题精准突破重难点，提高复习效率。

第一章 勾股定理 章综合复习 数学北师大版八年级上册 北 东 60° 西 南 B A 本章知识结构 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理的应用条件：在直角三角形中才可以运用. 一、勾股定理 知识要点提炼 二、直角三角形性质 直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． A D B C 在 Rt△ABC中, ∠ACB=90°,CD⊥AB ∴ AC×BC= AB×CD 知识要点提炼 勾股定理 三、勾股逆定理与勾股数 勾股数 知识要点提炼 由勾股定理演变的结论 A B a c b C 分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． 知识要点提炼 四、勾股定理与勾股逆定理的比较 知识要点提炼 (1)在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． (2)常见的类型： ①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． 五、勾股逆定理的应用 知识要点提炼 平面展开﹣最短路径问题 (1)根据题意把立体图形展开成平面图形． (2)确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短． (3)在平面图形上构造直角三角形解决问题． 五、勾股逆定理的应用 知识要点提炼 例1 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15. (1)求AB的长． (2)求BD的长． 考点一 勾股定理及其应用 重点知识巩固 考点一 勾股定理及其应用 例1 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15. (1)求AB的长； (2)求BD的长． 重点知识巩固 对于本题类似的模型： 若已知两直角边求斜边上的高常需结合面积的两种表示法起来考查，若是同本题(2)中两直角三角形共一边的情况，还可利用勾股定理列方程求解． 考点一 勾股定理及其应用 总结 重点知识巩固 例2 某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则地毯的长为 m，购买这种地毯至少需要 元． 考点二 勾股定理及其应用2 分析 根据勾股定理可求得水平直角的边长． 从而根据地毯的面积乘以每平方米的价格即可得到所需的钱数． 重点知识巩固 考点二 勾股定理及其应用2 例2 某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则地毯的长为 m，购买这种地毯至少需要 元． 重点知识巩固 考点三 勾股定理中最短路径问题 ① ② ③ 重点知识巩固 考点三 勾股定理中最短路径问题 ① ② 重点知识巩固 考点三 勾股定理中最短路径问题 ∴沿路径走路径最短，最短路径长为5. 总结：化折为直：长方体中求两点之间的最短距离，展开方法有多种，一般沿最长棱展开，距离最短． ③ 重点知识巩固 例4 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？答： .(填“能”或“不能”) 考点四 勾股定理实际应用 分析：连接AC，由勾股定理求出AC的长度，然后进行比较，即可得到答案． 重点知识巩固 例5 在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°方向相距1000米的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处.(1)此时快艇航行了多少米(即AB 的长)？ (2)距离哨所多少米（即OB的长） ？ 北 东 O A B 60° 45° C 考点四 勾股定理实际应用 重点知识巩固 例5 在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°方向相距1000米的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处.(1)此时快艇航行了多少米(即AB 的长)？ (2)距离哨所多少米（即OB的长） ？ 北 东 O A B 60° 45° C 考点四 勾股定理实际应用 重点知识巩固 例6 下列各组数中，不是勾股数的是 （ ） A.3，4，5． B.4，5，6． C.5，12，13 ． D.6，8，10． B D 考点五 勾股定理的逆定理及其应用 重点知识巩固 考点五 勾股定理的逆定理及其应用 重点知识巩固 例9 如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求△ABE的面积． 考点六 勾股定理与折射问题 重点知识巩固 例10 如图，将AB=10cm，AD=8cm的长方形纸片ABCD，沿过顶点A的直线AP为折痕折叠时，顶点B与边CD上的点Q重合． (1)求线段DQ的长； (2)求线段PQ的长． 考点六 勾股定理与折叠问题 重点知识巩固 考点六 勾股定理与折叠问题 例10 如图，将AB=10cm，AD=8cm的长方形纸片ABCD，沿过顶点A的直线AP为折痕折叠时，顶点B与边CD上的点Q重合． (1)求线段DQ的长； (2)求线段PQ的长． 重点知识巩固 勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定理求出未知边，这时往往要列出方程求解． 考点六 勾股定理与折叠问题 方法总结 重点知识巩固 例11 在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且 AD＝12，求△ABC的周长． 考点七 勾股定理特殊做题方法 分析：在不确定三角形形状的情况下， 高AD可在三角形内也可在三角形外， 可分两种情况解答，不妨画出两种 情况的示意图分别如右边图①图② 重点知识巩固 例11 在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且 AD＝12，求△ABC的周长． 考点七 勾股定理特殊做题方法 重点知识巩固 例11 在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且 AD＝12，求△ABC的周长． 解：当高AD在△ABC外部时， 如图②.同理可得 BD＝16，CD＝9. ∴BC＝BD－CD＝7， ∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC的周长为42或60． 考点七 勾股定理特殊做题方法 重点知识巩固 例12 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=14cm，AC=50cm.点P从A出发沿AB方向以1cm/s的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度向终点C运动，点P，Q两点同时出发，设点P的运动时间为t秒.(1)求BC的长； (2)当t=4时，求P、Q两点之间的距离； (3)当AP=CQ时，求t的值． 考点七 勾股定理特殊做题方法 P Q C B A 重点知识巩固 考点七 勾股定理特殊做题方法 P Q C B A 例12 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=14cm，AC=50cm.点P从A出发沿AB方向以1cm/s的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度向终点C运动，点P，Q两点同时出发，设点P的运动时间为t秒.(1)求BC的长； (2)当t=4时，求P、Q两点之间的距离； (3)当AP=CQ时，求t的值． 重点知识巩固 考点七 勾股定理特殊做题方法 P Q C B A 例12 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=14cm，AC=50cm.点P从A出发沿AB方向以1cm/s的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度向终点C运动，点P，Q两点同时出发，设点P的运动时间为t秒.(1)求BC的长； (2)当t=4时，求P、Q两点之间的距离； (3)当AP=CQ时，求t的值． 重点知识巩固 北 东 60° 西 南 B A $