专题04 利用勾股定理求最短路径问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 聚焦勾股定理应用，通过“立体展开→平面转化→直角三角形构造”的系统方法，分类突破圆柱、长方体、阶梯及构造类最短路径问题，培养空间观念与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心解法|立体图形展开为平面，构造直角三角形用勾股定理|从立体到平面的转化思想，建立空间与平面的联系| |题型归纳|4典例+12变式|圆柱沿母线展开，长方体分3种展开比较，阶梯展开为矩形，构造对称点化折线为直线|每种题型对应特定展开策略，体现问题转化的推理能力| |压轴挑战|12综合题|多几何体组合、多圈展开、代数问题几何化|综合应用四类模型，提升复杂问题解决的应用意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04利用勾股定理求最短路径问题的四类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、圆柱中的最短路径模型 题型二、长方体中的最短路径模型 题型三、阶梯中的最短路径模型 题型四、构造直角三角形中的最短路径模型 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 夙通法通法一明晰核心懈法，助力能力迁移 题型特征：涉及几何体（如圆柱、长方体、台阶）表面或内部两点间最短距离，需将立体图形展开为平 面图形。 -解题方法：确定起点和终点，沿棱或母线展开曲面，构造直角三角形，利用勾股定理计算展开图中两点 间的线段长度（即最短路径）。 -易错提醒：展开方式不唯一，需比较不同展开方式下的路径长度；忽略路径是否经过侧面或底面：计算 时混淆立体图中的线段与展开图中的对应边。 刁题型归纳一精讲典型题法，寿尖解题报基 题型一、圆柱中的最短路径模型 典例1.(25-26八年级下广东广州期末)如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高AB为4，BC是上底的 直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到C,则爬行的最短距离是 1/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 题型模版 1特征：圆柱表面从一点到另一点的最短路径，需将侧面展开成矩形，走直线。 2方法：沿母线剪开圆柱侧面，展开为矩形，利用勾股定理求两点间直线距离（水平弧长，垂直高度）。 变式11，(25-26七年级下陕西西安期末)如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径B-4 元，高BC=10, P为BC的中点.一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为 B 变式1-2.(25-26八年级下·河南安阳阶段检测)如图①，一个圆柱的底面周长为12cm,高为16cm,用 根绳子从点A出发绕侧面一周到点B,则绳长至少为多少？ (① ② 解：圆柱①的侧面沿AB剪开，展开图如图②所示. 在△ABC中，∠C=°，AC=cm,BC=cm,则运用“”可求AB= cm 由“ ”可知，绳子的最短长度就是线段一的长，即绳长至少为 cm 变式1-3.(2425八年级上广东深圳阶段检测)如图，已知圆柱底面的周长为12cm,圆柱的高为8cm, 在圆柱的侧面上，过点A,C嵌有一圈长度最短的金属丝. 2/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Y 图1 图2 图3 (I)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是 (2)如图1，该金属丝长度最短需要 cm (3)如图2，若将金属丝从点B绕四圈到达点A,则所需金属丝最短长度是多少？ (4)如图3，圆柱形玻璃杯的高9cm,底面周长为l6cm,在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时一 只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿lCm,且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最 短路程是多少？（杯壁厚度不计） 题型二、长方体中的最短路径模型 典例2.(25-26八年级下·广西桂林阶段检测)如图为一个长4cm,宽2cm,高lcm的实心长方体，一只 蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对面顶点G处，最短路线长为」 题型模版 1特征：长方体表面从一点到另一点的最短路径，需展开不同侧面成平面，比较各路径。 2方法：分情况展开相邻两个面（共3种），化为平面矩形，用勾股定理求各直线距离，取最小值。 变式2-1.(25-26八年级上湖南岳阳阶段检测)如图，长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点 3/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B离点C的距离是5Cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短路程是 cm 5cm B 20cm A 15cm 10cm 变式2-2.(2026八年级下全国专题练习)如下图，长方体的长为10，宽为8，高为6，点B与点C的距 离为2，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B.求蚂蚁需要爬行的最短距离. 6 10 变式2-3.(25-26八年级上安徽宿州阶段检测)如图，长方体的长、宽、高分别为2,4,3，A,D为 长方体的两个顶点， 3 A 2 (1)求点A到点D之间的距离： (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点A爬到点D,求爬行的最短路程. 题型三、阶梯中的最短路径模型 典例3.(25-26八年级上广东深圳阶段检测)如图是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为 20dm,3dm,2dm,A和B是这个三级台阶两个相对的顶点，则沿台阶面由A到B的最短路程是 4/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型模版 1.特征：阶梯表面从一端到另一端的最短路径，将阶梯侧面展开成平面矩形。 2方法：把阶梯的竖直面与水平面依次展开，拼成一个矩形（总高为阶梯总高，总宽为各台阶宽度之和）， 用勾股定理求对角线。 变式3-1.(25-26八年级上贵州贵阳期中)如图，六块完全相同的长方体砖整齐地摆放在一起，其中 AE=2.DE=4.BC=5 若一只蚂蚁要从点A处爬到点B处，则蚂蚁爬行的最短距离是 变式3-2.(25-26八年级上贵州期末)【问题情境】 贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四 级台阶每一级的长、宽、高分别为l5dm,3dm,2dm,如图1所示.A和B是这个四级台阶两个相对的端点， 若点A处有一只蚂蚁，它想到点B处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？ (1)数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接AB,经 过计算得到AB长度即为最短路程，则AB= dm 【变式探究】 (2)如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是10cm,高是l5cm,一只蚂蚁从点A出发沿着 玻璃杯的侧面到与点A相对的点B处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 (3)如图4，在(2)的条件下，在杯子内壁离杯底6cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子 外壁，离杯子上沿3Cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程是多少厘米？（杯 壁厚度不计) 5/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15 15 20 15 单位：dm 图1 图2 图3 图4 变式33.(25-26八年级上河南郑州期中)综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20dm,3dm,2dm,A和B是这个三级台阶两个相对的端点，若A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的 食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到B点的最短路程是多少？ (1)同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接AB,经过计算得到 AB长度即为最短路程，则AB= dm 【变式探究】 (2)如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点A出发 沿着玻璃杯的侧面到与点A相对的点B处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 (3)如图4，圆柱形玻璃杯高为l4cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此 时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程 是多少厘米？（杯壁厚度不计） 20 20 蚂蚁 蜂蜜 B 单位：dm 图1 图2 图3 图4 题型四、构造直角三角形中的最短路径模型 典例4.(25-26八年级下·安徽蚌埠期中)综合与实践 6/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【项目主题】 几何模型在最短路径问题中的应用 【项目准备】 求代数式V+3+V2-+2的最小值，2+3可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边， V12-x)}+22 是直角边分别是12-x和2的直角三角形的斜边.因此，构造两个直角三角形，使它们的一 个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时BC=x+12-x=12,AB=3,CD=2. 原问题就变成“点E在线段BC的何处时，AE+DE的值最小？” B 图1 图2 图3 解决方法：如图2，连接AD,交BC于点E',此时当点E与点E'重合时，AE+DE的值最小，依据为 ① ,将AB延长至点F,使得BF=② (填线段)，连接DF,则 AF=AB+BF=3+2=5,BC=DF=12,易求得AD=_③一，即AE+DE的最小值为AD的长. (1)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ① ②】 ③1 【项目应用】 (2)如图3，一条河的两岸平行，河宽5km,A村庄到河岸的垂直距离为2km,B村庄到河岸的垂直距离为 3水m,且A,B之间的水平距离为12km.现计划在河上建一座垂直于河岸的桥P№，使得从A到B的路程 最短，求出这个最短路程的长 题型模版 1.特征：通过作垂线或平移，将军饮马问题转化为勾股定理求两点间最短距离。 2方法：作对称点化折线为直线，构造直角三角形，利用勾股定理求最短路径长（两点间线段最短）。 变式41.(25-26八年级上陕西西安阶段检测)如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作 AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x. 7/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (I)用含x的代数式表示AC2+CE的长； (2)请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小，最小值是多少？ 6)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式V?+4+2-x+9的最小值。 变式42.(25-26八年级上河南新乡期末)某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问 题探索与分析. 【提出问题】已知0<x<1,求V+r++(-x的最小值. 【分析问匙】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为V+天和+(-x的 线段，将代数求和转化为线段求和问题. 【解决问题】(1)如图，我们可以构造出边长为1的正方形ABCD,P为BC边上的动点，设BP=x,则 CP=1-x,则1+x2+V1+1-x)= B D (2)在4)的条件下，已知0<x<1,请结合图形求1+r+V+-的最小值， 【应用拓展】(3)直接写出9+x+9+(3-x 的最小值为 变式43.(25-26八年级下·浙江绍兴期中)著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是 8/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题 比如V匠+F的几何意义是以a,b为直角边的直角三角形斜边长，故当0<x<3求NP+9+V3-x+1的 最小值时，可数形结合构造两个分别以x,3和3-x,1为直角边的直角三角形（如图），∠B=∠D=90°， AB=3,BP=x,CD=1,DP=3-x,由勾股定理知AP=+9,CP=V3-+1,细心观察发现 BP与DP的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得， 当A、P、C三点共线（点P位于4、C之间）时，VF+9+V3-+1的最小值为线段4C的长. 11→ 1→ P'3-xD B x P(P)3-x B X P ▣D ①根据上述方法，求V+9+V3-x+1的最小值（线段4C的长）. ②根据上述规律和结论，请构图求代数式V+9+⑧-+9的最小值（其中0<x<8); (3)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中x>0): ①解方程： V36-x2+V64-x2=10 ②求代数式x+4+16-V+1的最大值. 夙压轴挑战一支克高难压热，安政思维上很 一、单选题 1.(25-26八年级下·河北唐山期末)如图，在一张边长为5cm的正方形纸板ABCD上，放着一根长方体 木块，已知木块的较长边与AD平行且相等，横截面是一个边长为lm的正方形，一只蚂蚁从点A出发， 9/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 翻过木块到达点C处，则蚂蚁爬行的最短路径长为() B A.12cm B.5v3cm c.(5+26)em D.74cm 2.(25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末)如图，一个圆柱形食品盒高为10cm,底面圆的周长为 12cm,点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，那么 蚂蚁需要爬行的最短路程是() B √61cm 2v34cm A.13cm B C.8cm D 3. (25-26八年级下·广东江门期末)公园里一根长方体石柱如图所示，若一只蚂蚁以2Cm/s的速度从点A 爬到点B,最快需要多长时间() 30cm,B 30cm刀 80cm ! A.57s B.50s C.47s D.40s 二、填空题 4.(25-26八年级上四川达州阶段检测)如图，A和B是一个三级台阶两个相对的端点，点A处有一只 10/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 蚂蚁想到点B处去吃可口的食物.若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为8,3和2，则这只蚂蚁沿着台 阶面爬行的最短路程为， 5.(25-26八年级上·河南阶段检测)如图，在底面周长约为6米的华表柱上，有一条雕龙从柱底点A处 沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方点C处，华表柱上刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在华表柱 上的巨龙至少为 米」 B 6.(25-26八年级上江苏盐城期末)数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当0<x<12时，求 代数式V+4+2-+9的最小值”，其中+4可看作两直角边分别为x和2的Rt4CP的斜边长， V2-+9可看作两直角边分别是12-x和3的Rt△BDP的斜边长.于是将问题转化为求AP+BP的最 小值，如图所示，当AP与BP共线时，AP+BP为最小.请你解决问题：当0<x<T时，则代数式 √2+1+V(7-x+9的最小值是 2 12-x D 3 E 三、解答题 7.(25-26八年级上·河南郑州阶段检测)如图是放在地面上的一个无盖的长方体形盒子，长、宽、高分 11/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 别为4cm,4cm,6cm,一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的侧面爬到盒顶的点B,蚂蚁要爬行的最短行程是 多少？ 4cm 4cm 6cm 8. (25-26八年级上江苏泰州阶段检测)如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人 员上下油罐使用.为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手.旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成 50 两段，该平台的长度约为1m,若油罐高约18m,油罐底面圆直径约为3m,且顶处的扶手位置处于底面 扶手正对面上 (1)若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为9m,求旋梯的扶手长度的最小值. (2)若平台在旋梯中间偏上的某位置，求旋梯的扶手长度的I最小值.（本题(1）(2)中π≈3) 9.(25-26八年级上辽宁沈阳期中)如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表 C ABB A ABCD 面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面 和而 爬行；②沿面 ABB A BCCB AADD ABCD 和而 爬行：③沿面 和面 爬行 3cm P 16cm B B B M 12cm 9cm 图1 图2 12/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形： AB=4,BC=2,BB=1 (2)若 请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点 的食物(P是长方体的顶点，P=3cm),请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少 10.(24-25八年级下·山东德州阶段检测)叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下 问题.请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）· ② ③ 5cm C (1)如图①，正方体的棱长为 ，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点处： (2)如图②，长方体的长和宽都为5cm,高为6cm,一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到 C 点处： (3)如图③，长方体的长、宽、高分别是6cm、5cm和3cm，一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬 到长方体上和A相对的顶点B处. 11.(24-25八年级上山西运城期中)学科实践 【驱动任务】某校为推进素质教育发展，成立了科技模型社团.学期末，该社团将创作的作品邮寄给希望 小学，让更多的同学感受科技带来的魅力.现需将不同的模型装入纸箱打包，然后邮寄。 【包装准备】 如图，根据模型的尺寸，现准备两种纸箱，第一种长方体纸箱，尺寸规格为25cm×l6cm×16cm;第二种长 方体纸箱，尺寸规格为38cm×35cm×2lcm,其中该纸箱有两个扣手，尺寸规格为2cm×4cm,并且扣手到 所在面相对两条边的距离相等 16cm 25cm 21cm ▣2cm 4cm 35cm 16cm 38cm 13/15 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【问题解决】 (I)如图1，当使用第一种纸箱时，若从顶点A到顶点B需贴胶带，则胶带的最短长度为_Cm (②)如图2，将两个第二种长方体纸箱捆绑在一起，现需要在点C和点D之间按照如图所示的方式拉一条绳 子固定，请画出长度最短的部分展开图，并求这根绳子的最短长度，（提示：需考虑扣手的大小） 16cm B 25cm 21cmC白 35cm 16cm 38cm 38cm 图1 图2 如图，连接，，易得 CE DE ∠CED=90° 由愿可得CE=2×4+2×)×(38-4)=42(cm.D5=21+35=561cm 2 在Rt△CDE中，由勾股定理，得CD=VCE+DE=V422+56=70(cm)】 所以，这根绳子的最短长度为70cm. 12.(25-26八年级上·山东青岛期中)“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先 阅读以下材料，然后解答问题， (I)赵爽弦图：4个全等的直角三角形与一个小正方形EFGH拼成一个大正方形ABCD,其中 AB=c,AF=a,BF=b,请你利用图形验证勾股定理. EH FG (2)求代数式+3+12-x+2的最小值， 分析：√P+3和V2-+2是勾殷定理的形式，+3是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边， 14/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V2-x'+2是直角边分别是12-x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和aDEF, 并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时 CF=x+12-x=12,AC=3,DF=2,问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点 间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值. E✉ 12-x B(E)12-xF 2 D D 图1 图2 图3 【模型应用】 （山)代数式V+3+V2-+2的最小值为 (2)变式训练：利用图3，求代数式V?+4+V5-x+P 的最小值。 15/15 专题04 利用勾股定理求最短路径问题的四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、圆柱中的最短路径模型 题型二、长方体中的最短路径模型 题型三、阶梯中的最短路径模型 题型四、构造直角三角形中的最短路径模型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及几何体（如圆柱、长方体、台阶）表面或内部两点间最短距离，需将立体图形展开为平面图形。 - 解题方法：确定起点和终点，沿棱或母线展开曲面，构造直角三角形，利用勾股定理计算展开图中两点间的线段长度（即最短路径）。 - 易错提醒：展开方式不唯一，需比较不同展开方式下的路径长度；忽略路径是否经过侧面或底面；计算时混淆立体图中的线段与展开图中的对应边。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、圆柱中的最短路径模型 典例1．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高为4，是上底的直径，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到，则爬行的最短距离是________． 【答案】5 【分析】根据圆柱的性质、两点之间线段最短以及勾股定理解题． 【详解】解：如图，圆柱体的侧面展开图如下，蚂蚁从点出发，沿着线段爬行时，距离最短； 由题意知，，为圆柱体底面周长的一半，即， ∴， 即爬行的最短距离是． 题型模版 1.特征：圆柱表面从一点到另一点的最短路径，需将侧面展开成矩形，走直线。 2.方法：沿母线剪开圆柱侧面，展开为矩形，利用勾股定理求两点间直线距离（水平弧长，垂直高度）。 变式1-1．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径，高，为的中点．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为_________． 【答案】13 【分析】将圆柱侧面展开，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵为的中点，高， ∴， 将圆柱侧面展开，如图所示： ∵这个圆柱的底面圆的直径为， ∴在侧面展开图中，，， ∴在中，， 即一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短距离为13． 变式1-2．（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）如图①，一个圆柱的底面周长为，高为，用一根绳子从点A出发绕侧面一周到点B，则绳长至少为多少？ 解：圆柱①的侧面沿剪开，展开图如图②所示． 在中，______，______，_______，则运用“________”可求_______． 由“_______”可知，绳子的最短长度就是线段______的长，即绳长至少为________． 【答案】90；12；16；勾股定理；20；两点之间，线段最短；；20 【分析】根据题干图结合勾股定理和“两点之间，线段最短”作答即可． 【详解】解：圆柱①的侧面沿剪开，展开图如图②所示． 在中，，，，则运用“勾股定理”可求． 由“两点之间，线段最短”可知，绳子的最短长度就是线段的长，即绳长至少为20． 变式1-3．（24-25八年级上·广东深圳·阶段检测）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是_____． (2)如图1，该金属丝长度最短需要______． (3)如图2，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (4)如图3，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了求最短路径(勾股定理的应用)以及两点之间线段最短，画出正确的侧面展开图是解题关键； （1）根据过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝，两点之间线段最短，即可判断； （2）由展开图可知：，求出；即可求解； （3）若将金属丝从点绕四圈到达点，则所需金属丝最短长度是以周长及高为直角三角形的斜边长的4倍；据此即可求解； （4）将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，求出；根据，即可求解； 【详解】（1）解：∵过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝，两点之间线段最短， ∴将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是； （2）解：由展开图可知：， ∴； 该金属丝长度最短需要，即； （3）解：若将金属丝从点绕四圈到达点，则所需金属丝最短长度是以周长及高为直角三角形的斜边长的4倍； ∵， ∴所需金属丝最短长度是； （4）解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 则，， ∴， ∵底面周长为， ∴， ∴； ∵， ∴蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是； 题型二、长方体中的最短路径模型 典例2．（25-26八年级下·广西桂林·阶段检测）如图为一个长，宽，高的实心长方体，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对面顶点处，最短路线长为___________． 【答案】 【分析】长方体展开是长方形，根据题意可知，蚂蚁爬的路径有三种可能，根据两点之间线段最短，利用勾股定理计算解答． 【详解】解：蚂蚁由点沿长方体的表面爬行到点，有三种方式，分别展开成平面图形如下： 如图1，， 如图2，， 如图3，， ， 沿图2的方式爬行路线最短，最短路线长为 ． 题型模版 1.特征：长方体表面从一点到另一点的最短路径，需展开不同侧面成平面，比较各路径。 2.方法：分情况展开相邻两个面（共3种），化为平面矩形，用勾股定理求各直线距离，取最小值。 变式2-1．（25-26八年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是_______． 【答案】25 【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理．由题意得：①当把长方体沿正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可． 【详解】解：由题意得： ①当把长方体沿正面和右侧进行展开时，如图所示： ，， ∴在中，； ②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示： ，， ∴在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B， 需要爬行的最短距离是25， 由长方体的特征可得其他路径必定比①②两种更远，故不作考虑； 故答案为：25． 变式2-2．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，长方体的长为10，宽为8，高为6，点与点的距离为2，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点．求蚂蚁需要爬行的最短距离． 【答案】 【分析】本题考查了最短路径问题，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键； 根据不同的切割方式可以有不同的路径，分别求出蚂蚁需要爬行的路程，最后比较大小即可． 【详解】解：将长方体的两个面展开，连接． 分三种情况： ①如图①，； ②如图②，； ③如图③，． ， 蚂蚁需要爬行的最短距离是． 变式2-3．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点． (1)求点到点之间的距离； (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，求最短路径，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）如图1，标记顶点，，连接，，根据勾股定理先算出的长，再利用勾股定理计算出的长即可． （2）在平面内两点之间线段最短，分别把长方体中蚂蚁所走的路线放到前面和上面、前面和右面、左面与上面同一个平面内，根据勾股定理计算出的长进行比较即可． 【详解】（1）解：如图1，标记顶点，，连接，． 在中，， ∴． 在中，， ∴． 即点到点的距离为． （2）将长方体中含有，两点的平面展开成平面图． 如图2所示，， 如图3所示，， 如图4所示，， 因为， 所以一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，爬行的最短路程为． 题型三、阶梯中的最短路径模型 典例3．（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）如图是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为A和B是这个三级台阶两个相对的顶点，则沿台阶面由A到B的最短路程是 _________ ． 【答案】 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 则沿台阶面由A到B的最短路程是． 题型模版 1.特征：阶梯表面从一端到另一端的最短路径，将阶梯侧面展开成平面矩形。 2.方法：把阶梯的竖直面与水平面依次展开，拼成一个矩形（总高为阶梯总高，总宽为各台阶宽度之和），用勾股定理求对角线。 变式3-1．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，六块完全相同的长方体砖整齐地摆放在一起，其中．若一只蚂蚁要从点A处爬到点B处，则蚂蚁爬行的最短距离是__________________． 【答案】13 【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题，画出展开图，然后利用勾股定理求出其对角线的长度，即可求得最短路程． 【详解】解：由题意，得蚂蚁爬行的最短路径为，如图所示． 因为， 则， 所以，即蚂蚁爬行的最短距离为13． 故答案为： 变式3-2．（25-26八年级上·贵州·期末）【问题情境】 贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？ （1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）厘米；（3）； 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：（1）台阶平面展开图为长方形，长，宽， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 变式3-3．（25-26八年级上·河南郑州·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；（3）蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为． 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 答：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程25厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 题型四、构造直角三角形中的最短路径模型 典例4．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）综合与实践 【项目主题】 几何模型在最短路径问题中的应用 【项目准备】 求代数式的最小值，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，，．原问题就变成“点E在线段的何处时，的值最小？” 解决方法：如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为_____①_____，将延长至点F，使得_____②_____（填线段），连接，则，，易求得_____③_____，即的最小值为的长． (1)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①__________；②__________；③__________． 【项目应用】 (2)如图3，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A，B之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到B的路程最短，求出这个最短路程的长． 【答案】(1)①两点之间，线段最短；②；③13 (2) 【分析】本题考查轴对称的性质，勾股定理，能够掌握最短路径的解题思路是解题的关键． （1）根据题意填空即可； （2）连接，将沿的方向平移，使点Q平移至点P的位置，点B的对应点为，当点A，P，共线时，有最小值，最小值为，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为①两点之间，线段最短，将延长至点F，使得②，连接，则，，易求得③，即的最小值为的长． （2）解：如图，连接，将沿的方向平移，使点Q平移至点P的位置，点B的对应点为，连接，则，， 当点A，P，共线时，有最小值，最小值为， 过点A作交其延长线于点E， 到的垂直距离为，，， ， ， 从A到B的最短路程是． 题型模版 1.特征：通过作垂线或平移，将军饮马问题转化为勾股定理求两点间最短距离。 2.方法：作对称点化折线为直线，构造直角三角形，利用勾股定理求最短路径长（两点间线段最短）。 变式4-1．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．    (1)用含的代数式表示的长； (2)请问点满足什么条件时，的值最小，最小值是多少？ (3)根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值． 【答案】(1) (2)、、三点共线 (3) 【分析】本题考查了勾股定理，两点之间线段最短，数形结合是解题的关键． （1）根据题意，，，设，得到，利用勾股定理求解即可； （2）连接，根据，得到当、、三点共线时，的值最小； （3）根据，构造，，，，当、、三点共线时，最小，最小值为，延长到点，过点作于点，则四边形是长方形，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：，设， ， ，，，， ，， ； （2）连接， ， 当、、三点共线时，的值最小． 故点满足的条件为、、三点共线； （3）如图所示，根据，构造，，，， 当、、三点共线时，最小，最小值为， 延长到点，过点作于点， 则四边形是长方形， ，，， ， 即的最小值为． 变式4-2．（25-26八年级上·河南新乡·期末）某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问题探索与分析． 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】（1）如图，我们可以构造出边长为1的正方形，P为边上的动点，设则，则__________________； （2）在（1）的条件下，已知，请结合图形求的最小值； 【应用拓展】（3）直接写出的最小值为_________． 【答案】（1）PA ， PD；（2）（3）7 【分析】本题考查勾股定理，利用轴对称解决线段和最小的问题： （1）利用勾股定理，即可得出结果； （2）作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则，此时的值最小，且，即的最小值为的长， 利用勾股定理求出的长即可； （3）构造一个长方形，使两边长，，点P为边上一动点，设，则，作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则，此时的值最小，且，即的最小值为的长，利用（1）的方法进行求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得：； 故答案为：；； （2）作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则， 此时的值最小，且， 即的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为， ∴的最小值为； （3）如图，构造一个长方形，使两边长，，点P为边上一动点，设，则，作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则， 此时的值最小，且， 即的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为7， ∴的最小值为7． 变式4-3．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以a，b为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以x，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当A、P、C三点共线（点P位于A、C之间）时，的最小值为线段的长． (1)根据上述方法，求的最小值（线段的长）． (2)根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； (3)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 【答案】(1)5 (2)10 (3)①；②5 【分析】（1）构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长； （2）构造以、和、为直角边的两个直角三角形，拼接成共边线段长为的图形，过其中一个直角三角形的顶点作平行线构造新的直角三角形，利用勾股定理计算出共线时的线段长度，即为代数式的最小值； （3）①构造以为公共直角边，斜边分别为、的两个直角三角形，结合已知等式判断出大三角形为直角三角形，利用面积法或两边平方的代数方法求解的值； ②构造两个直角三角形表示出代数式中的两个根式，利用三角形三边关系“两边之差小于第三边”，确定三点共线时差值取得最大值，再构造直角三角形用勾股定理计算该最大值 【详解】（1）解：如图，作与， 且使，，，，， 则，， 连接交于点，则， 过作交延长线于，则，，， 在中，， 故的最小值为5； （2）解：如图，作与， 且使，，，，， 则，， 连接交于点，则， 过作交延长线于，则，，， 在中，， 故的最小值为10； （3）解：①如图，作与，且使，，， 则，，， 在中，，即为直角三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图（3），作与，使，，， 则， 过点作于，连接，则，，，， 在中，由三边关系得：， 如图， 当、、三点共线时，有最大值为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发，翻过木块到达点处，则蚂蚁爬行的最短路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将木块的表面展开，利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：将蚂蚁经过的表面展开如下： 由题意可知，，， 由勾股定理可得，． 2．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，一个圆柱形食品盒高为10cm，底面圆的周长为12cm，点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，那么蚂蚁需要爬行的最短路程是（     ） A．13cm B． C．8cm D． 【答案】B 【分析】将圆柱侧面展开，构建直角三角形，确定两直角边的长度，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将圆柱侧面沿过点的母线展开，如图所示： ∵圆柱底面周长为，高为，点为对侧中点， ∴在展开图中，点到点的水平距离为底面周长的一半，即， 点到底面的垂直距离为高的一半，即， ∴由勾股定理，得蚂蚁爬行的最短路程为 ． 3．（25-26八年级下·广东江门·期末）公园里一根长方体石柱如图所示，若一只蚂蚁以的速度从点爬到点，最快需要多长时间（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况：①当把长方体沿正面和上面（或后面和下面）进行展开时，②当沿长方体的正面和右面（或后面和左面）进行展开时，利用勾股定理求出最短路径，进而可求出最快爬行的时间． 【详解】解：①当把长方体沿正面和上面（或后面和下面）进行展开时： 蚂蚁以的速度从点爬到点需要； ②当沿长方体的正面和右面（或后面和左面）进行展开时： ， 蚂蚁以的速度从点爬到点需要； ∵， ∴最快需要． 二、填空题 4．（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）如图，和是一个三级台阶两个相对的端点，点处有一只蚂蚁想到点处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为，和，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为________________． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题．用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 【详解】解：如图， 三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长， 即． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·河南·阶段检测）如图，在底面周长约为6米的华表柱上，有一条雕龙从柱底点A处沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方点C处，华表柱上刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在华表柱上的巨龙至少为______米． 【答案】20 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在华表柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， ∵底面周长约为米，柱身高约米， 米，（米）， （米）， 故雕刻在华表柱上的巨龙至少为（米）， 故答案为：20． 6．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示，当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，仿照例题，可以看作两直角边分别是x和1的的斜边长，可以看作两直角边分别是和3的的斜边长，问题转化为求的最小值，利用两点之间线段最短和勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，可以看作两直角边分别是x和1的的斜边长，可以看作两直角边分别是和3的的斜边长， 故问题转化为求的最小值，则当与共线时，有最小值，最小值为的长， 则，，，，， ∴， ∴， ∴代数式的最小值是． 故答案为：． 三、解答题 7．（25-26八年级上·河南郑州·阶段检测）如图是放在地面上的一个无盖的长方体形盒子，长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的侧面爬到盒顶的点，蚂蚁要爬行的最短行程是多少？ 【答案】最短行程是 【分析】此题考查了勾股定理—最短路径问题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．根据题意分两种情况，分别作图，利用勾股定理列式计算，进行求解，然后比较即可． 【详解】解：如图所示，连接即为所求路线， 根据题意：，， ∵在中， ∴根据勾股定理，， 如图所示，连接即为所求路线， 根据题意：，， ∵在中， ∴根据勾股定理，， ∵ ∴ ∴最短行程是． 8．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上下油罐使用．为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手．旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，该平台的长度约为．若油罐高约，油罐底面圆直径约为，且顶处的扶手位置处于底面扶手正对面上． (1)若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为，求旋梯的扶手长度的最小值． (2)若平台在旋梯中间偏上的某位置，求旋梯的扶手长度的最小值．（本题（1）（2）中） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）由题意得，将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度，即最小，进而通过勾股定理即可求解； （2）由题意得，将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度，即最小，进而通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，如下， 将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度最小，如下图， ∵油罐底面圆直径约为， ∴， ∵， ∴， ∴旋梯的扶手长度 ； （2）解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，如下， 将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度最小，如下图， ∵油罐底面圆直径约为， ∴， ∵， ∴， ∴旋梯的扶手长度 ． 9．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 【答案】(1)见解析 (2)沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5 (3)蚂蚁需爬行的最短路程是 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）根据爬行方式作图即可； （2）根据勾股定理求出三种方式的路程，比较即可； （3）根据（2）画出最短路径，进而计算即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：①； ②； ③； 可知沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5； （3）解：由（2）可知，最短路径的两条直角边应为最长边及较短两边和， 如图： 则蚂蚁需爬行的最短路程是． 10．（24-25八年级下·山东德州·阶段检测）叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问题．请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）． (1)如图①，正方体的棱长为，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点处； (2)如图②，长方体的长和宽都为，高为，一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到点处； (3)如图③，长方体的长、宽、高分别 是、和，一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬到长方体上和相对的顶点处． 【答案】(1)蚂蚁需要爬行的最短路程为； (2)蚂蚁爬行的最短路程为； (3)蚂蚁爬行的最短路程是． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，找出最短路径，用勾股定理来解决路径长，在进行实数大小比较是解题关键． （1）将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求即可； （2）分两种情况讨论：①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求，②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求比较两种方法之下的，确定最短的即可． （3）将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示，在中，由勾股定理得 ； （2）解：分两种情况讨论： ①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示，有． ②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示． 因为， 所以最短路程为，即最短路程为． （3）解：将长方体按下列三种方案展开： 第一种；如图④， , ∴根据勾股定理得 ； 第二种：如图⑤， ,； ∴根据勾股定理得 第三种：如图⑥， ,． ∴根据勾股定理得 ， 蚂蚁爬行的最短路程是． 11．（24-25八年级上·山西运城·期中）学科实践 【驱动任务】某校为推进素质教育发展，成立了科技模型社团．学期末，该社团将创作的作品邮寄给希望小学，让更多的同学感受科技带来的魅力．现需将不同的模型装入纸箱打包，然后邮寄． 【包装准备】 如图，根据模型的尺寸，现准备两种纸箱，第一种长方体纸箱，尺寸规格为；第二种长方体纸箱，尺寸规格为，其中该纸箱有两个扣手，尺寸规格为，并且扣手到所在面相对两条边的距离相等． 【问题解决】 (1)如图1，当使用第一种纸箱时，若从顶点A到顶点B需贴胶带，则胶带的最短长度为_______． (2)如图2，将两个第二种长方体纸箱捆绑在一起，现需要在点C和点D之间按照如图所示的方式拉一条绳子固定，请画出长度最短的部分展开图，并求这根绳子的最短长度．（提示：需考虑扣手的大小） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面展开图——最短路径问题，勾股定理，理解转化思想是解题的关键． （1）根据题意，分三种情况展开长方体，再由勾股定理求出线段长比较大小即可得到答案． （2）将长方体展开，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：分三种展开方式求解： ①前与右：； ②左与后：； ③前与下：； ∵， ∴胶带的最短长度为：， 故答案为：． （2）如图所示为长度最短的部分展开图： 如图，连接，，易得． 由题可得． 在中，由勾股定理，得． 所以，这根绳子的最短长度为． 12．（25-26八年级上·山东青岛·期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． （1）赵爽弦图：4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，其中，请你利用图形验证勾股定理． （2）求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为_______________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值． 【答案】（1）证明见详解；模型应用：（1）；（2） 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据等积法可进行求证； 模型应用：（1）根据题意及勾股定理可进行求解； （2）同理，根据题中的方法构造图形，进而根据勾股定理可求最小值． 【详解】解：（1）由图及题意可知： 大正方形的面积为，小正方形的面积为，四个直角三角形的面积为， ∴， 整理得：； 模型应用：（1）由题意得：线段即为的最小值， ∴由勾股定理可得：； 即的最小值为； 故答案为； （2）如图，由题意可构造如下三角形， ∴线段即为的最小值， ∴， 即的最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $