第一章 勾股定理【章末复习】-课件-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理章末复习，涵盖定理内容、逆定理、勾股数及应用，从必背公式定理入手，通过基础填空选择巩固知识，再过渡到综合解答题与数学思想应用，构建从基础到进阶的学习支架。 其亮点在于融合割补法等验证方法、转化与方程思想，结合梯子问题、赵爽弦图等实例，培养几何直观与推理能力。通过易错点总结和分层练习，助力学生提升解题能力，为教师提供系统高效的复习教学资源。

北师大版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月25日 章末复习 第一章 勾股定理 北师大版八年级上册 第一章 勾股定理 全章同步练习题 本章核心考点：掌握勾股定理内容、推导过程、适用条件，熟练运用勾股定理求直角三角形边长；掌握勾股定理的逆定理，判定直角三角形；会解决折叠、最短路径、航海、面积等实际应用问题，是初中几何计算核心重点、期末必考重难点。 全章核心公式与定理（必背） 1. 勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 若直角三角形两直角边长为$$a、b$$，斜边长为$$c$$，则：$$a^2+b^2=c^2$$。 2. 勾股定理变形公式 $$a^2=c^2-b^2，b^2=c^2-a^2$$（已知斜边和一直角边，求另一直角边） 3. 勾股定理逆定理：若三角形三边长$$a、b、c$$满足$$a^2+b^2=c^2$$，则这个三角形是直角三角形，且$$c$$为斜边、最大边。 4. 勾股数：满足勾股定理的三个正整数，常见勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17。 5. 核心前提：勾股定理只适用于直角三角形，非直角三角形不能直接使用。 一、基础填空题（每题4分，共20分） 1. 直角三角形两直角边为6、8，则斜边为________。 2. 直角三角形斜边为13，一直角边为5，则另一直角边为________。 3. 若三角形三边长为5、12、13，则该三角形是________三角形。 4. 勾股定理的适用图形是________。 5. 常见勾股数3、4、5的倍数________、________、________也是勾股数。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 下列各组数中，是勾股数的是（） A. 1、2、3 B. 2、3、4 C. 5、12、13 D. 4、5、6 2. 已知直角三角形两直角边长为3、4，则斜边长为（） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 三角形三边长为6、8、10，则该三角形的面积为（） A. 20 B. 24 C. 30 D. 48 4. 下列说法正确的是（） A. 任意三角形都满足勾股定理 B. 勾股定理可求任意三角形边长 C. 勾股数必须是正整数 D. 钝角三角形满足$$a^2+b^2=c^2$$ 5. 直角三角形斜边最长，依据是（） A. 两边之和大于第三边 B. 勾股定理 C. 两点之间线段最短 D. 无法确定 三、解答应用题（共60分） 1.（20分）已知Rt△ABC中，∠C=90°， （1）a=9，b=12，求斜边c； （2）c=25，a=7，求直角边b。 2.（20分）判断下列三角形是否为直角三角形： （1）三边长为7、24、25； （2）三边长为4、5、6。 3.（20分）一架梯子长25米，斜靠在墙上，梯子底端离墙7米，求梯子顶端距离地面的高度。 四、参考答案与详细解析 填空题答案 1. 10 2. 12 3. 直角 4. 直角三角形 5. 6、8、10 选择题答案 1.C 2.A 3.B 4.C 5.B 解答题详细解析 1. 解： （1）∵ ∠C=90°，由勾股定理得： $$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$$ （2）由勾股定理变形得： $$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24$$ 答：（1）斜边c长15；（2）直角边b长24。 2. 解： （1）最大边为25， $$7^2+24^2=49+576=625，25^2=625$$ $$7^2+24^2=25^2$$，满足勾股逆定理，是直角三角形。 （2）最大边为6， $$4^2+5^2=16+25=41，6^2=36$$ $$4^2+5^2 eq6^2$$，不是直角三角形。 3. 解： 由题意得：梯子为斜边c=25m，底端距墙直角边a=7m，设墙高为b。 $$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24$$ 答：梯子顶端距离地面高度为24米。 五、易错点总结 1. 乱用定理：勾股定理只适用于直角三角形，非直角三角形绝对不能使用； 2. 斜边找错：计算时必须以最长边作为斜边c，判定直角三角形优先验证最大边的平方； 3. 公式记混：求直角边用平方差开根号，求斜边用平方和开根号，极易颠倒； 4. 勾股数误区：勾股数必须是正整数，小数、分数即使满足公式也不是勾股数； 5. 审题疏漏：应用题未找准直角，默认直角三角形，导致建模错误。 学习思路 学习内容 学习方法 直角三角形的性质 直角三角形的判定 应用 勾股定理的应用 勾股定理的逆定理 数形结合思想 勾股定理 特殊到一般 “算两次” 逆向思考 化归思想 一、勾股定理 验证方法：测量、数格子、等面积法 内容：直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方. 勾股定理 符号表示：如果用a,b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度，那么a2+b2=c2 勾股定理 A B C ∟ a b c 较长的直角边 较短的直角边 斜边 勾 股 弦 几何语言： 在Rt△ABC中 ，若∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 则a2+b2=c2. 验证方法(依据面积相等列等式进行验证) 拼接法 = = = 割补法 运用勾股定理解决实际问题的一般思路： 实际问题 确定所求线段在直角三角形中 抽象出几何图形 求得线段长 数学建模 确定直角边和斜边 回归 勾股定理 6 考点1 勾股定理 （第1题） 1. 如图，在四边形 中， ， ， ，，则 的长为( ) B A. 20 B. 25 C. 35 D. 30 返回 中考考法 7 （第2题） 2. 如图，在长方形 中， ， ，将此长 方形折叠，使点与点 重合，折 痕为，则 的长度为( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 8 3. ［2025烟台期中］有一个边长为1的正方形，经过一次“生 长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，如图①，其中三 个正方形围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后， 如图②.如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你计 算“生长”了10次后的图形中所有正方形的面积之和为( ) A ① ② A. 11 B. 55 C. 66 D. 返回 中考考法 9 考点2 直角三角形的判定 4. 下列由三条线段，，构成的三角形 中： ；，， ； ；， ， 为大于1的整数 ，其中是直角三角形的是( ) B A. ①④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③ 返回 中考考法 10 5. 如图，在 的网格中，每个小正方 形的边长均为1，点，， 都在格点上， 则下列结论错误的是( ) C A. B. C. 的面积为10 D. 点到直线 的距离是2 返回 中考考法 11 6.如图，在四边形中， ， ，，， . （1）连接，求 的长； 【解】因为在中， ， ，，所以 ，所以 . 中考考法 12 （2）求 的面积. 因为，， ， 所以 ， 所以是直角三角形，且 ， 所以 的面积为 . 返回 中考考法 13 考点3 勾股数 7. 法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如 的方程，显然，这个方程有无数组解.我们把满 足该方程的正整数的解称为勾股数.如 就是一组 勾股数. （1）请你再写出两组勾股数：________，_______________ _________； （答案不唯一） 中考考法 14 （2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊哲学家柏拉图 曾指出：如果表示大于1的整数，， ， ，那么以，， 为三边长的三角形为直角三角形， 即 为勾股数.请你加以说明. 【解】因为，所以 为勾股数. 返回 中考考法 15 考点4 勾股定理的应用 8.如图，搬运师傅将滑轮固定在高为 的楼顶上.师傅在楼底水平面上距离楼房 9米的处拉紧绳子（绳长 ），并标记， 然后沿方向向前走7米到 处，拉紧绳 子（绳长），量得绳长比绳长 长5米，求楼的高度 . 中考考法 16 【解】设米，则 米. 在 中， ，在 中， 解得.所以. 所以楼的高度 为12米. ，所以 ， 返回 中考考法 17 思想1 转化思想 （第9题） 9.如图，这是一个台阶的示意图，每 一层台阶的高是、长是 、 宽是，一只蚂蚁沿台阶从点 出 发爬到点 ，其爬行的最短线路的长 度是_____ . 130 返回 中考考法 18 思想2 方程思想 （第10题） 10.［2025泰州期中］如图，已知三角形 纸片， ， ， ，沿过点 的直线将纸片折叠，使 点落在边上的点 处；再折叠纸片， 使点与点重合，折痕与的交点为 ， 则 的长是___. 中考考法 19 （第10题） 【点拨】由折叠的性质可得 ， ，， .因为 ，所以 ，所以 ，所以 .设 ，则.在 中，由 勾股定理得，即 ，解得 ，所以 . 返回 中考考法 20 思想3 数形结合思想 11.我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理， 创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.如 图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小 正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积 为25，每个直角三角形两直角边的和为7，求中间小正方形 的边长. 中考考法 21 【解】设直角三角形的两直角边中较长边为 ， 较短边为，所以大正方形的面积为 .由 题意得， .因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ，所以小正方形的边长为1. 返回 中考考法 22 思想4 分类讨论思想 12.如图，点为直线上的一个动点， 于 点，于点，点在点 右侧，并且点 ，在直线的同侧，， ， 当长为多少时， 为直角三角形？ 中考考法 23 【解】过点作于点 ， 则易得四边形 为长方形，所以 ， ，所以 .由勾股定理得， ，.当 时，点在点 的左侧，此时 .由勾股定理得 中考考法 24 ，所以 ， 解得 ； 当 时，点在线段 上，此时 . 中考考法 由勾股定理得 ，所以 ， 解得 ； 当 时，易知点在线段 上， 此时 . 由勾股定理得 ，所以 中考考法 ， 所以,所以 . 综上，当长为6或4或时， 为直 角三角形. 返回 中考考法 $