25.2.4一元二次方程的根与系数的关系学课件2026-2027学年数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过回顾求根公式和判别式，以“两根与系数还有其他关系吗”的问题搭建学习支架，引导学生从旧知自然过渡到韦达定理的探究。 其亮点在于采用“计算观察—猜想归纳—严谨证明—应用拓展”的探究路径，通过求根公式推导及因式分解验证培养推理能力，课堂练习涵盖代数式求值、参数问题等提升应用意识。学生能发展逻辑思维与创新意识，教师可借助清晰结构高效开展教学。

第25章 一元二次方程 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 （人教版）九年级 上 01 教学目标 02 新知导入 03 新知讲解 04 课堂练习 05 课堂小结 06 板书设计 01 教学目标 01 02 03 理解一元二次方程根与系数关系的推导过程，熟记韦达定理公式； 掌握定理成立的前提条件（Δ=b²-4ac>0）；能不解方程，利用根系关系求两根和、两根积、含两根的代数式的值，能简单检验方程根的正确性、求解简单参数问题. 经历“计算观察一猜想归纳一严谨证明一应用拓展”的探究过程， 提升从特殊到一般的归纳推理能力、代数逻辑证明能力，体会数形 结合、整体代入的数学思想。 在自主探究与合作交流中感受数学规律的简洁性与统一性，培养严 谨的数学思维习惯；通过定理的推导与应用，增强学习代数知识的 兴趣，提升自主探究、合作解题的自信心。 02 新知导入 1. 一元二次方程的求根公式是什么？ 【想一想】方程的两根x1和x2与系数a、b、c还有其他关系吗？ 2. 如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？ 对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0). b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根. 03 新知讲解 思考 观察求根公式 x=，它有什么特点？由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发？ 03 新知讲解 思考 (1)公式完全由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的系数__________构成，无需额外运算即可表示方程的根； a，b，c (2)“±”符号决定了方程在有实数根时，通常有两个根x1＝______________，x2＝______________； (3)通过对两个根进行代数运算，你能得到根与系数有怎样的关系吗？ 03 新知讲解 思考 整体上看，两个根分别是“m+n”和“m−n”的形式，而且式子“n”中含有根号，这种形式的式子相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号，从而使形式简洁. 03 新知讲解 思考 因为 ， ， 所以 += + = · = = −， = = . 由此得出，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，与其系数a，b，c有如下关系： += − = 03 新知讲解 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0 的左边可以分解因式为 a(x–x1)(x–x2)，那么方程 ax2+bx+c=0 的两个根为 x1和 x2. 反过来，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根为 x1和 x2，那么 ax2+bx+c = a(x–x1)(x–x2)， 即 ax2+bx+c = ax2–a(x1+x2)x+ax1x2 . 由此可得 –a(x1+x2)=b，ax1x2=c . 因此 x1+x2= – ，x1x2= . 03 新知讲解 一元二次方程的根与系数的关系 若 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）的两个根， 则 x1+x2= – ，x1x2= . 注意事项 （使用前提） 方程先化为一般式，确定 a，b，c . a ≠ 0 b2–4ac ≥ 0 03 新知讲解 试一试 设 x1，x2 为方程 x2 - 4x + 1 = 0 的两个根，则 (1) x1 + x2 = ； (2) x1·x2 = ； (3) ； (4) . 4 1 14 12 求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入. 归纳 03 新知讲解 例5 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 ，的和与积： (1)－6x－15 = 0；(2)+7x－9 = 0(3). 解：(1) ， . (2) ，. (3)方程化为 ， 所以 ，. 03 新知讲解 常见的求值式子如下： 04 课堂练习 1．设方程x2＋x－2＝0的两个根为α，β，那么α＋β－αβ的值等于(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 C 2. 若x1，x2 是方程x2－2mx+m2－m－1=0 的两个根，且x1+x2=1－x1x2，则m的值为( ) A. －1 或2 B. 1 或－2 C. －2 D. 1 D 04 课堂练习 3．已知关于x的一元二次方程x2－3x＋k＋1＝0，它的两根之积为－4，则k的值为(　　) A．－1 B．4 C．－4 D．－5 4．已知关于x的一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一根为(　　) A．2 B．3 C．4 D．8 D C 04 课堂练习 5.关于 x 的方程 x2+px+q=0 的根为 x1=1+，x2=1–，则 p=_____，q=_____. 6.已知方程 5x2+kx–6=0 的一根是2，则另一根是_____， k=_____. – 2 – 1 – – 7 04 课堂练习 7. 已知 x1，x2 是方程 2x2 + 2kx + k - 1 = 0 的两个根，且(x1 + 1)(x2 + 1) = 4. （1）求 k 的值； （2）求 (x1 - x2)2 的值. 解：(1)根据根与系数的关系，得 ∴(x1 + 1)(x2 + 1) = x1x2 + (x1 + x2) + 1 = 解得 k = -7. (2)∵ k = -7，∴ 则 05 课堂小结 一元二次方程 +bx +c=0 (a≠0)的根与系数的关系 x1+x2 =﹣ x1x2 = 06 板书设计 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系： Thanks! $