25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过复习导入呈现具体方程，引导学生计算两根之和与积并观察规律，搭建从具体实例到抽象结论的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于注重学生自主探索与推理能力培养，通过求根公式和因式分解两种推导方法引导学生参与规律发现与验证，结合例3求两根平方和等实例培养模型意识与应用意识，帮助学生形成严谨思维，也为教师提供清晰教学路径，提升教学效率。

25.2 降次—解一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 第25章 一元二次方程 人教版九年级（上） 1 1. 熟练掌握一元二次方程根与系数的关系. (重点) 2. 通过创设一定的问题情境，注重由学生自己探索，让学生参与两根之和与两根之积的规律发现、完成归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程.(难点) 素养目标 一元二次方程 两 根 x1 x2 x² - 8x + 1 = 0 x2 - 2x - 1 = 0 x2 + 3x - 4 = 0 4+ x1 + x2 =？ x1·x2 =？ 1+ 4 1 填一填，然后想一想如何验证你发现的规律. 8 1 2 - 1 -4 1 -3 -4 复习导入 观察求根公式 它有什么特点？ 由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发？ 分析：整体上看，两个根分别是 “m＋n” 和 “m－n” 的形式，而且式子 “n” 中含有根号，这种形式的式子相加可以消去“ n ”，相乘可以去掉 “n”中的根号，从而使形式简洁. 思考1： 探究点：一元二次方程的根与系数的关系 新知探究 所以 x1＋x2＝ 因为 x1＝ ，x2＝ . x1·x2＝ ＝ . 探究点：一元二次方程的根与系数的关系 新知探究 思考2： 我们知道，如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的左边可以分解因式为 a(x - x1)(x - x2)，那么方程 ax2 + bx + c = 0 的两个根为 x1 和 x2. 反过来，如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个根为 x1 和 x2， 那么上面的关系还能通过什么方法得出？ 探究点：一元二次方程的根与系数的关系 新知探究 ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)， 即 ax2 + bx + c = ax2 - a(x1 + x2) x + ax1·x2 ， 由此可得 - a(x1 + x2) = b，ax1·x2 = c 因此 探究点：一元二次方程的根与系数的关系 新知探究 【归纳总结】 由此得出，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个 根 x1，x2 与其系数 a，b，c 有如下关系: 探究点：一元二次方程的根与系数的关系 新知探究 例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两个根 x1，x2 的和与积. (1) x2 – 6x – 15 = 0； 解：(1) x1 + x2 = – (–6) = 6，x1 x2 = -15. (2) 3x2 + 7x - 9 = 0； (3) 5x – 1 = 4x2. (2) x1 + x2 = − ， x1 x2 = = −3. (3) 方程化为 4x2 - 5x + 1 = 0， 所以 x1 + x2 = − = ，x1 x2 = . 探究点：一元二次方程的根与系数的关系 新知探究 例2 已知关于 x 的方程 5x2 + kx - 6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值. 解：设方程的两根分别是 x1，x2，其中 x1 = 2. 所以 x1 · x2 = 2x2 = ， 即 x2 = 由于 x1 + x2 = 2 + = ， 解得 k = -7. 答：方程的另一个根是 ，k 的值为 -7. 探究点：一元二次方程的根与系数的关系 新知探究 变式：已知关于 x 的方程 3x2 - 18x + m = 0 的一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值. 解：设方程的两根分别是 x1，x2，其中 x1= 1. 所以 x1 + x2 = 1 + x2 = 6， 即 x2 = 5 . 由于 x1·x2 = 1×5 = ， 解得 m = 15. 答：方程的另一个根是 5，m 的值为 15. 探究点：一元二次方程的根与系数的关系 新知探究 例3 不解方程，求方程 2x2 + 3x - 1 = 0 的两根的平方和、倒数和. 解：根据根与系数的关系可知 探究点：一元二次方程的根与系数的关系 新知探究 【知识拓展】常见的求值式子如下： 探究点：一元二次方程的根与系数的关系 新知探究 13 1.设 x1，x2 为方程 x2 - 4x + 1 = 0 的两个根，则 (1) x1 + x2 = ； (2) x1·x2 = ； (3) ； (4) (x1 - x2)2 = . 4 1 14 12 归纳：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入. 【练一练】 探究点：一元二次方程的根与系数的关系 新知探究 【练一练】2. 已知 x1，x2 是方程 x2 - x - 2026 = 0 的两个实数根，则代数式 x13 - 2026x1 + x22 的值是 ( ) A. 4053 B. 4052 C. 2026 D. 1 A x12-x1-2026=0 x12 -2026= x1 x13-2026x1+x22 x1(x12-2026)+x22 x12+x22 (x1+x2)2-2x1x2 x2-x-2026=0 x1+x2=1，x1x2 =-2026 4053 探究点：一元二次方程的根与系数的关系 新知探究 定义 根与系数的关系 如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根分别是 x1，x2，那么 _____________,_____________ 应用前提 方程有实数根，即_____________ 应用 Δ=b2 - 4ac≥0 课堂小结 1. [教材变式]不解方程，求下列方程两个根的和与积. (1)x2＋4x－1＝0； 解：x1＋x2＝－4，x1x2＝－1. (2)2x2＋4x＋1＝0； 解：x1＋x2＝－4，x1x2＝－1. 解：x1＋x2＝－2，x1x2＝. (3)6x2－x＝2x2＋3. 解：原方程化为一般形式得4x2－x－3＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝－. 解：原方程化为一般形式得4x2－x－3＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝－. 当堂反馈 2. [高频易错]已知关于x的方程x2＋(2k＋1)x＋ k2－k＋1＝0有两个实数根. (1)求k的取值范围； 解：∵方程有两个实数根， ∴Δ＝(2k＋1)2－4(k2－k＋1)≥0，解得k≥. 解：∵方程有两个实数根， ∴Δ＝(2k＋1)2－4(k2－k＋1)≥0，解得k≥. 当堂反馈 (2)若该方程有两个实数根x1，x2，且(x1＋1)(x2＋1) ＝11，求k的值. 解：∵x1＋x2＝－2k－1，x1x2＝k2－k＋1， (x1＋1)(x2＋1)＝11， ∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＝11，即k2－k＋1－2k－1＋1＝11. 整理得k2－3k－10＝0，解得k1＝－2，k2＝5. ∵k≥，∴k＝5. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $