第一章 空间向量与立体几何 单元试卷02-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 空间向量与立体几何单元复习卷，整合多地区期末/阶段检测真题，通过选择、填空、解答题（58+15+77分）系统考查空间向量运算、立体几何证明与计算，适配高二单元复习，注重数学眼光、思维与语言的综合培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|空间向量坐标（题1）、基底表示（题6）、线面关系（题9）|基础巩固，结合空间观念考查数学眼光| |填空题|3题/15分|向量分解（题12）、长度计算（题13）、动态范围（题14）|能力提升，通过推理能力体现数学思维| |解答题|5题/77分|夹角计算（题15）、线面平行证明（题17）、二面角与距离（题19）|创新应用，融合模型观念，符合高考综合命题趋势|

第一章 空间向量与立体几何限时训练卷02 （限时120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·福建漳州·期末）已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据z轴上点的特点，结合空间两点间距离公式进行求解即可. 【详解】因为点M在z轴上，所以设点M的坐标为， 因为点M到点与到点的距离相等， 所以， 两边同时平方，解得，所以点M的坐标为. 2．（25-26高二上·四川达州·期末）在正四棱锥中，E为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形法则即可求解. 【详解】. 故选：D 3．（25-26高一下·广东深圳·期末）设为实数，空间向量，，则以下说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】根据空间向量共线与垂直的坐标表示，逐一检验即可. 【详解】对于A，当时，，显然不存在实数使得，故A错误； 对于B，当时，，显然不存在实数使得，故B错误； 对于C，当时，，，故C正确； 对于D，当时，，，故D错误. 4．（25-26高二上·北京朝阳·期末）如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据空间向量数量积运算求得正确答案. 【详解】依题意可知, . 故选：B 5．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）向量、不平行，则存在两个非零常数、，使是、、共面的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，结合共面向量与向量运算的性质，可得答案. 【详解】充分性证明：由不平行，则可作为所在平面内的一组基底， 由，则必定共面，所以充分性成立； 必要性证明：由共面，且不平行，当共线时，， 则不存在两个非零常数，使得，所以必要性不成立. 综上，该条件是充分非必要条件. 故选：A. 6．（25-26高一下·海南海口·阶段检测）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则向量可用基底表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量基本定理将向量表示成关于的线性组合，结合题设得到方程组，求解即得关于基底的表达式. 【详解】依题意，设， 整理得， 因是空间的一个单位正交基底，且， 则有，解得， 故有. 7．（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）如图，在斜三棱柱中，，，，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过条件证明平面 ，建系，求得直线方向向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】 设 ， 由知： ，， 又，平面 ， 所以平面 ， 以 为原点，为轴，过在平面 内作为轴，为 轴建立空间直角坐标系， 又， 可得 ，，，，， 则 ， ， 设直线与直线所成角为， 则. 即与 所成角的余弦值为 . 8．（25-26高三下·江苏南通·开学考试）已知三棱柱的棱长均为2，在底面内的射影为的中心，则到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据题意结合等边三角形和棱柱的性质求解棱柱的高，然后建立空间直角坐标系，确定的坐标，进而求解平面的法向量，最后利用点到平面距离公式求解. 【详解】由三棱柱的所有棱长均为， 可得为边长为的等边三角形，侧棱. 设在底面内的投影为，则平面， 由的边长，可得高，   则到顶点的距离.   在中，. 如图所示，取的中点为原点，以直线为轴，直线为轴， 过点且垂直于底面的直线为轴建立空间直角坐标系， 可得，，，， 故，，. 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以到平面的距离. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二上·四川德阳·期末）下列命题正确的有（    ） A．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则； B．若非零向量，，满足，，则有； C．若是空间的一个基底，对空间任意一点，若；则，，，四点共面； D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】AD 【分析】根据空间向量基本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此分别分析判断即可 【详解】A：若，不共线，则在空间中取与，都垂直的非零向量， 则可作为空间向量的一组基底，与已知矛盾，故，因此本选项说法正确； B：当时， 显然， 因此，，但，所以本选项说法不正确； C：因为，所以，，，四点不共面，因此本选项说法不正确； D：假设共面，则由平面向量基本定理可知共面， 与是空间的一个基底矛盾，假设不成立， 所以也是空间的一个基底，所以本选项说法正确. 故选：AD 10．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为与的交点．若，，，则下列说法正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据空间向量基本定理、空间向量的数量积知识进行逐项计算即可. 【详解】由题意可知，， 对于A：，故A正确； 对于B，因为，所以 所以，故B错误； 对于C:，故C错误； 对于D:，故D正确． 故选：AD 11．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）如图，正方体的棱长为1，是棱上的动点（含端点），则（     ） A．直线和所成的角为 B．三棱锥的体积为定值 C．二面角的平面角的大小为 D．点满足，，，若，则平面 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角空间向量法计算判断A；根据等体积法的等高等底可判断B；根据面面角空间向量法计算可判断C；证明面面平行，根据面面平行的性质可判断D. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则， 对于A，， 故，故， 即直线和所成的角为，故A错误； 对于B，三棱锥的体积转化为三棱锥的体积， 三棱锥的底面积为定值， 因为平面平面，所以到平面高不变，体积为定值，故B正确； 对于C，设平面法向量为， ，因为， 所以，所以令，得， 所以平面法向量为， 取平面法向量为， 设二面角为， 则， 所以二面角的大小为，故C正确； 对于D，若，则，则点在线段上， 因平面平面，且平面平面，平面平面， 故， 因为平面，平面， 故平面， 同理可证平面， 因为平面，平面，且， 故有平面平面， 又因为平面，所以平面，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·福建龙岩·期中）如图，在平行六面体中，，记向量，若向量，则______. 【答案】 【详解】在平行六面体中，， 则， 而向量，且不共面， 所以，. 13．（25-26高二下·江苏泰州·期中）在平行六面体中，已知，，，，则的长度为________. 【答案】 【分析】利用空间向量模长公式，将体对角线向量分解为三条棱向量的和，平方展开后代入模长与夹角计算数量积，最后开方得到结果. 【详解】在平行六面体中，， . 因为，， ， 所以，即. 14．（2026高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是______． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，由异面直线夹角公式可得方程，求出答案 【详解】平面平面，与均为等腰直角三角形， 且，，则， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， ，则，， 设，与为异面直线，故， ，，， 则，， 所以，解得， 所以，， 因为异面直线与成的角， 所以， 故，， 其中，故，又， 解得， ，故 线段长的取值范围是. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二上·海南海口·阶段检测）已知空间三点，，，设，． (1)求与的夹角的余弦值； (2)求； (3)若向量与互相垂直，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据A、B、C三点坐标求出向量的坐标，再利于向量夹角公式即可计算其夹角的余弦； （2）求出的坐标，再利用向量模的计算公式即可求解； （3）利用向量垂直，它们的数量积为零即可求解． 【详解】（1）由题意，，， ∴， 即与的夹角的余弦值为； （2）由题意，， ； （3）∵， ， ∵与垂直， ∴，即， ∴或． 16．（25-26高二上·湖北·阶段检测）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的线性运算法则计算求解； （2）先利用已知条件求出相关向量数量积，运用向量加减法运算求出，再通过向量数量积运算求解． 【详解】（1），． ． 点为的中点， ． （2）， ， ， ． 17．（25-26高二下·河南信阳·期末）在四棱锥中，，，，，，，分别为线段和的中点. (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的正弦值； 【答案】(1)连接，因为为中点，所以， 又，，所以且，所以四边形为平行四边形， 又，，所以四边形为正方形，所以，， 又因为，，所以，所以， 又因为，分别为线段和的中点，所以，所以， 又，平面，所以平面. (2) 【分析】(1)通过线面垂直判断方法求解. (2)建立空间直角坐标系后通过求解法向量来求面面角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）因为，，所以，所以，由(1)知， 又，平面，所以平面，又，，所以， 所以，，两两垂直，以为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，则， 由（1）知平面，所以平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为， 所以， 所以， 所以平面与平面夹角的正弦值为. 18．（2026·江苏南京·三模）如图，在四棱锥中，，，15，25. (1)求证：面； (2)求证：二面角是直二面角； (3)在平面上求点，使面. 【答案】(1)如图所示： 连接BD，取BD的中点O，连接PO，因为，， 所以的外接圆的圆心为BD的中点，即点O，也为点P在底面ABCD上的射影，则平面ABCD， 因为平面ABCD，所以，又因为，满足所以， 又，所以面； (2)以A为原点，以AB，AD分别为x，y轴，建立空间直角坐标系：则 易得，则，设，则， 因为，所以，解得，则 所以， 设平面PBC的一个法向量为则，即， 令，则，所以， 设平面PCD的一个法向量为则，即， 令，则，所以， 因为，所以，则平面平面PDC，所以二面角是直二面角； (3). 【分析】（1）连接BD，取BD的中点O，连接PO，易得平面ABCD，从而，再由得到，然后利用线面垂直的判定定理证明； （2）以A为原点，以AB，AD分别为x，y轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面PBC和平面PDC，利用向量法求解； （3）根据面，得到，设，由求解. 【详解】（1）如图所示： 连接BD，取BD的中点O，连接PO， 因为，， 所以的外接圆的圆心为BD的中点，即点O， 也为点P在底面ABCD上的射影，则平面ABCD， 因为平面ABCD,所以， 又因为，满足 所以，又， 所以面； （2）以A为原点，以AB，AD分别为x，y轴，建立空间直角坐标系： 则 易得，则， 设，则 ，因为， 所以，解得， 则 所以， 设平面PBC的一个法向量为 则，即 令，则， 所以， 设平面PCD的一个法向量为 则，即 令，则， 所以， 因为，所以， 则平面平面PDC，所以二面角是直二面角； （3）因为面，所以，设， 则， 因为， 所以， 解得， 则. 19．（2026·天津北辰·二模）如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别为线段和的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求直线与直线间的距离. 【答案】(1)证明：（方法一）连接，如图所示： 因为，且四边形为矩形， 所以， 又因为，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （方法二）因为，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示空间直角坐标系： 可得，，，， ，，，， 平面的一个法向量为， ，， ∵平面. ∴平面. (2) (3). 【分析】（1）（方法一）连接，由中位线的定义可得，由线面平行的判定定理即可得证；（方法二）以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，利用空间向量法证明即可； （2）利用空间向量法求解即可； （3）利用空间向量法，转化为求点E到直线的距离. 【详解】（1）略 （2）由（1）的方法二可知： ，，. 设平面的一个法向量为， 则， 取，可得，， 所以， 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（1）的方法二可知： ，，， ，∴. 则直线与直线间的距离转化为点E到直线的距离， . 所以直线与直线间的距离为. 2 / 19 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何限时训练卷02 （限时120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·福建漳州·期末）已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·四川达州·期末）在正四棱锥中，E为的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·广东深圳·期末）设为实数，空间向量，，则以下说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 4．（25-26高二上·北京朝阳·期末）如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 5．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）向量、不平行，则存在两个非零常数、，使是、、共面的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 6．（25-26高一下·海南海口·阶段检测）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则向量可用基底表示为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）如图，在斜三棱柱中，，，，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三下·江苏南通·开学考试）已知三棱柱的棱长均为2，在底面内的射影为的中心，则到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二上·四川德阳·期末）下列命题正确的有（    ） A．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则； B．若非零向量，，满足，，则有； C．若是空间的一个基底，对空间任意一点，若；则，，，四点共面； D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为与的交点．若，，，则下列说法正确的是（　　）    A． B． C． D． 11．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）如图，正方体的棱长为1，是棱上的动点（含端点），则（     ） A．直线和所成的角为 B．三棱锥的体积为定值 C．二面角的平面角的大小为 D．点满足，，，若，则平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·福建龙岩·期中）如图，在平行六面体中，，记向量，若向量，则______. 13．（25-26高二下·江苏泰州·期中）在平行六面体中，已知，，，，则的长度为________. 14．（2026高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是______． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二上·海南海口·阶段检测）已知空间三点，，，设，． (1)求与的夹角的余弦值； (2)求； (3)若向量与互相垂直，求的值． 16．（25-26高二上·湖北·阶段检测）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 17．（25-26高二下·河南信阳·期末）在四棱锥中，，，，，，，分别为线段和的中点. (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的正弦值； 18．（2026·江苏南京·三模）如图，在四棱锥中，，，15，25. (1)求证：面； (2)求证：二面角是直二面角； (3)在平面上求点，使面. 19．（2026·天津北辰·二模）如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别为线段和的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求直线与直线间的距离. 2 / 19 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $