第一章 空间向量与立体几何 单元试卷01-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 空间向量与立体几何单元复习卷，覆盖向量运算、空间位置关系、体积与角度计算，适配高二单元检测，通过多地区真题变式培养空间观念、推理能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|向量垂直、空间向量表示、二面角|结合正方体、正四面体模型，基础与中档题梯度分布| |填空题|3题15分|基底坐标转换、向量模长|动态动点问题，考查空间想象与转化能力| |解答题|5题77分|四点共面证明、面面垂直、二面角范围|多面体情境综合应用，分层设问，如第19题含探究性二面角取值，培养创新意识|

第一章 空间向量与立体几何限时训练卷01 （限时120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）若向量，，且，则的值是（     ） A． B．5 C．3 D． 【答案】B 【分析】由条件结合空间向量共线定理可得，列方程求，由此可得结论. 【详解】因为，所以存在实数，使得， 又，， 所以，，， 解得，，， 因此. 2．（25-26高二上·河南开封·阶段检测）如图，在三棱锥中，，，，点在线段OA上，且，为线段BC的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量线性运算直接求解即可. 【详解】. 故选：B 3．（25-26高二上·江苏南通·期末）设点、、，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点的坐标，可得出、的坐标，利用空间向量数量积的坐标运算可得出的值. 【详解】由题意可得，所以，， 所以. 故选：C. 4．（25-26高二上·重庆·期中）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量平行六面体法则可得，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】由题意可知：，， 则， 因为， 则 ， 所以. 故选：C. 5．（25-26高二上·浙江衢州·期中）已知正四面体的棱长为1，动点在平面上运动，且满足，则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】由四点共面推得，再以为基底进行向量运算可得. 【详解】动点在平面上运动，且不共线， 则存在实数，使. 即， 所以. 又， 不共面， 由空间向量基本定理可知，故， 解得.即. 因为四面体正四面体，且棱长为. 所以，. 所以 . 故选：C. 6．（25-26高一下·浙江温州·期中）如图，正方体棱长为4，点是棱的中点，点分别是线段的中点，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离，再结合棱锥的体积公式求解. 【详解】以为原点，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，，. 所以，，. 在中，，， 所以. 又，，. 设平面的法向量为，则 ，取可得. 所以点到平面的距离为：. 所以. 7．（2026·安徽蚌埠·二模）已知正方体中，是的中点，则平面与平面的夹角余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴, 建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、，则，， 设平面的一个法向量为， 所以，取，可得， 易知平面的一个法向量为，则， 故平面与平面的夹角余弦值是. 8．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，分别在上，且，则（   ）    A．至多与之一垂直 B．是的公垂线 C．与相交 D．与异面 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，写出相应的点坐标，求出相应向量的坐标，利用向量法判断两条直线的位置关系即可. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 由，则， 所以， 因为，所以，又与无公共点，所以，故C，D错误； 由， 且， 所以，故A错误，B正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一下·宁夏银川·期末）下列命题为真命题的是（　　） A．已知，则 B．已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为 C．“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件 D．已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心 【答案】CD 【详解】对于A：，, 所以，A错误； 对于B：因为，，所以向量 与的夹角余弦值为，B错误； 对于C：“存在实数，使”可以推出“与共面”， “与共面”不一定能推出“存在实数，使”， 因为当共线但与不共线时，与共面成立， 但不存在实数，使，C正确； 对于D：因为，所以， 即，即， 所以共面且有公共点，所以点在平面内，取中点， 则有，同理取中点，则有， 所以为的重心，D正确. 10．（25-26高一下·重庆·期末）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面，，点为棱的中点，则（    ）    A． B．平面 C． D．点到平面的距离为 【答案】BCD 【分析】根据空间向量运算，线面平行判定定理、线面垂直判定定理、面面垂直性质定理的应用，对各个选项进行推理判断. 【详解】连接正方形对角线交于，则是、的中点， 在A选项中，，其中，又是中点，是中点， 是的中位线，故， 因此整理可得：与选项表达式不符，A错误， 在B选项中，由中位线性质得，又平面， 平面，可得平面，B正确， 在C选项中，由平面，平面，得， 正方形对角线互相垂直，故，，平面， 所以平面，平面，故，C正确， 在D选项中，由平面，平面， 可得平面平面，两平面交线为， 点到平面的距离等于点到交线的距离， ，，故，到直线的距离等于的长度， ，因此点到平面的距离为，D正确.    11．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）在棱长为2的正方体中，点P满足，且，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则平面 B．若，则 C．若，则P到平面的距离为 D．若，时，直线与平面所成角为，则 【答案】AD 【分析】利用面面平行判断线面平行，即可判断A，建系后写出相关点的坐标，对于B，利用向量的数量积的坐标公式计算即可判断；对于C，利用空间中点到平面的距离公式计算即可：对于D，由条件求得，利用线面角的向量求法得到，借助于函数的单调性即可求得的范围. 【详解】连结，，，由可知，点在线段上， 因为，平面，平面，所以平面， 同理平面，且，且，平面， 所以平面平面，平面，所以平面，故A正确； 如图以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 对于B，，， 则，得， 所以，，， 故不与垂直，故B错误； 对于C，时，，又，， 设平面的法向量为，则， 故可取，又， 则到平面的距离为，故C错误； 对于D，当，时，，则， 又由C已得平面的法向量为， 则， 当时，， 当时，， 因在上单调递减，则，则有， 则，则当时，，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·甘肃庆阳·期末）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是________． 【答案】 【分析】根据空间向量的基本定理、向量的线性运算及向量相等求解即可. 【详解】由题意可知. 设， 所以，解得，则， 则以为基底时的坐标是． 13．（25-26高二上·河南南阳·期末）已知是两两垂直的单位向量，则________________． 【答案】3 【分析】根据向量模的运算公式，结合向量数量积的运算律运算求解即可 【详解】解：因为是两两垂直的单位向量， 所以， 所以 故答案为：3． 14．（25-26高三下·北京·阶段检测）如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点．则棱锥的体积为___________．当时，长度为___________ 【答案】 【分析】利用等体积法计算得三棱锥的体积；建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标表示求出点坐标，进而求出长度. 【详解】在棱长为1的正方体中，是棱上的动点， ，因此棱锥的体积； 以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，于是， 由，得，解得，因此， 所以长度为. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知为空间的9个点，且，，，，，，， 求证： (1)四点共面，四点共面； (2)； (3). 【答案】(1) 因为，，所以，，共面， 所以四点共面． 因为，，所以，，共面， 所以四点共面． (2) ， 所以. (3) . 【分析】（1）由得到，，共面，进而得到四点共面；同理可证四点共面. （2）根据空间向量的线性运算得到，进而得到向量平行. （3）根据空间向量的线性运算即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 16．（25-26高二上·河北·阶段检测）如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，，设.    (1)证明：； (2)设，用表示与. 【答案】(1)证明见解析 (2)；； 【分析】（1）利用三角形相似可得：,结合向量的线性运算求解即可；（2）利用向量的线性运算求解即可. 【详解】（1）因为在四棱锥中，四边形是等腰梯形，， 所以,，所以,所以，即, 由图可得； （2）由图可得； 由于，所以 所以； 17．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知空间三点，，． (1)求线段中点的坐标，和线段的长度； (2)求直线和直线夹角的余弦值； (3)若点在直线上，且，求点的坐标． 【答案】(1)线段中点的坐标为，线段的长度为， (2)直线和直线夹角的余弦值为， (3)点的坐标为. 【分析】（1）由中点公式求的中点，再求的坐标，由此可求的长度； （2）由已知求，，再由向量夹角公式求，由此可求结论； （3）设，根据，求出的坐标，再由向量垂直数量积等于列方程求得的值即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以线段中点的坐标为， 由已知， 所以， 所以线段的长度为， （2）因为，，， 所以，， 所以， 所以直线和直线夹角的余弦值为， （3）因为，，， 所以， 因为点在直线上， 设， ， ， 因为，所以， 所以， 解得：，故， 所以点的坐标为. 18．（25-26高二下·天津河东·期末）如图，在多面体中，平面平面，四边形为矩形．四边形中，，，，，为的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成夹角的大小； (3)点在线段上，当与平面所成角的大小为时，求的长． 【答案】(1)由四边形为矩形，得，而平面平面， 平面平面平面，则平面， 又平面，所以平面平面. (2) (3) 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理及判定定理推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. （3）令，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法列式求解. 【详解】（1）略 （2）由平面，得直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，则， 因此是平面的一个法向量，而是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 解得，所以平面与平面的夹角大小为. （3）由（2）得，由点在线段上，， 即，则点，而， 设平面的法向量为，则，取，得， 而，直线与平面所成角的大小为， 因此，解得， 即点与点重合，所以. 19．（25-26高一下·山东济宁·期末）如图所示，在四棱锥中，和都垂直于平面，，平面分别交侧棱，于点E，F，且平面． (1)证明：E为的中点； (2)已知点M为内（含边界）不与A，D重合的一点，且． （ⅰ）证明：平面平面； （ⅱ）若，求二面角的取值范围． 【答案】(1)证：因为平面，平面平面，平面，所以. 因为平面，平面，所以， 又平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以. 四边形为平行四边形，故且， ，所以为中点. (2)(i)因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. (ii) 【分析】（1）通过线面垂直证明为平行四边形，并利用相似三角形证明中点. （2）(i)利用线面垂直证明面面垂直. (ii)通过建立空间直角坐标系求解轨迹，并利用法向量求解二面角范围. 【详解】（1）略 （2）(i)略 (ii) 建立如图空间直角坐标系. 设，所以为等边三角形. ，，，，，. 设，，，因为，所以. 在以为圆心，的半圆上， 因为直线为，所以与半圆交， 同理直线与半圆交， 故. 因为，，所以平面法向量且， 设，则且， 解得. 平面法向量. 所以二面角余弦值. 因为，所以，. 所以，所以. 2 / 18 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何限时训练卷01 （限时120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）若向量，，且，则的值是（     ） A． B．5 C．3 D． 2．（25-26高二上·河南开封·阶段检测）如图，在三棱锥中，，，，点在线段OA上，且，为线段BC的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏南通·期末）设点、、，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·重庆·期中）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A．1 B．3 C． D． 5．（25-26高二上·浙江衢州·期中）已知正四面体的棱长为1，动点在平面上运动，且满足，则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 6．（25-26高一下·浙江温州·期中）如图，正方体棱长为4，点是棱的中点，点分别是线段的中点，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C．6 D．8 7．（2026·安徽蚌埠·二模）已知正方体中，是的中点，则平面与平面的夹角余弦值是（   ） A． B． C． D． 8．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，分别在上，且，则（   ）    A．至多与之一垂直 B．是的公垂线 C．与相交 D．与异面 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一下·宁夏银川·期末）下列命题为真命题的是（　　） A．已知，则 B．已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为 C．“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件 D．已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心 10．（25-26高一下·重庆·期末）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面，，点为棱的中点，则（    ）    A． B．平面 C． D．点到平面的距离为 11．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）在棱长为2的正方体中，点P满足，且，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则平面 B．若，则 C．若，则P到平面的距离为 D．若，时，直线与平面所成角为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·甘肃庆阳·期末）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是________． 13．（25-26高二上·河南南阳·期末）已知是两两垂直的单位向量，则________________． 14．（25-26高三下·北京·阶段检测）如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点．则棱锥的体积为___________．当时，长度为___________ 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知为空间的9个点，且，，，，，，， 求证： (1)四点共面，四点共面； (2)； (3). 16．（25-26高二上·河北·阶段检测）如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，，设.    (1)证明：； (2)设，用表示与. 17．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知空间三点，，． (1)求线段中点的坐标，和线段的长度； (2)求直线和直线夹角的余弦值； (3)若点在直线上，且，求点的坐标． 18．（25-26高二下·天津河东·期末）如图，在多面体中，平面平面，四边形为矩形．四边形中，，，，，为的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成夹角的大小； (3)点在线段上，当与平面所成角的大小为时，求的长． 19．（25-26高一下·山东济宁·期末）如图所示，在四棱锥中，和都垂直于平面，，平面分别交侧棱，于点E，F，且平面． (1)证明：E为的中点； (2)已知点M为内（含边界）不与A，D重合的一点，且． （ⅰ）证明：平面平面； （ⅱ）若，求二面角的取值范围． 2 / 18 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $