第二章直线与圆的方程单元检测卷01-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线与圆的方程，通过基础概念辨析（如直线垂直条件）、综合问题解决（如圆的公切线问题）和创新情境应用（如复数几何意义），分层考查数学抽象、逻辑推理与数学运算素养，适配单元复习能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|直线垂直、方向向量、圆的方程条件|基础概念辨析，如第4题充要条件判断| |多选题|3|圆的性质、直线位置关系|多维度考查，如第9题结合圆的面积与参数范围| |填空题|3|直线夹角、三角形面积、点与圆位置|简洁计算，如第13题坐标法求面积| |解答题|5|位置关系判断、轨迹方程、面积最值|综合应用，如第15题直线与圆位置关系及弦长计算，第18题基本不等式求面积最小值|

人教A版选择性必修一第二章直线与圆的方程单元检测 （能力提升卷01） 一、单选题 1．已知直线与直线互相垂直，则实数（    ） A． B．2 C．或2 D．或-2 2．直线的一个方向向量是（    ）． A． B． C． D． 3．已知两平行直线与之间的距离是，若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知曲线的方程，则“”是“曲线是圆”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知圆与圆有且仅有三条公切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知点，，直线过点且与线段有公共点，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 8．复数满足，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 二、多选题 9．已知圆，，则（   ） A．当时，的面积是 B．实数的取值范围是 C．点在内 D．当的周长最大时，圆心坐标是 10．已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．与直线垂直 B．在轴上的截距为2 C．与圆相离 D．与直线之间的距离为 11．已知直线，，则（    ） A．当时，直线的一个方向向量为 B．若与相互平行，则或 C．若，则 D．若不经过第二象限，则 三、填空题 12．直线与直线的夹角的大小为________． 13．已知的三个顶点、、的坐标分别为、、，则此三角形的面积为______. 14．已知点在圆的外部，则的取值范围是______． 四、解答题 15．已知圆，直线. (1)判断直线与圆的位置关系； (2)若直线与圆交于不同的两点，且，求直线的方程. 16．已知，，． (1)求点的坐标，满足，； (2)若点在x轴上，且，求直线的倾斜角． 17．已知的顶点为、 、 . (1)求边所在直线的方程； (2)求边上的高线所在直线的方程； (3)求的面积. 18．在中，点的坐标为，边上的中线所在直线的方程为，直线的倾斜角为． (1)求点的坐标； (2)过点的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于，两点，求（为坐标原点）面积的最小值． 19．在平面直角坐标系中，，过点作直线l与圆交于不同的两点． (1)若直线l的斜率为1，求； (2)设直线，的斜率分别是，，探索是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《人教A版选择性必修第一册第二章单元检测能力提升卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D A D D D A AB AD 题号 11 答案 CD 1．C 【分析】根据直线间的位置关系列出方程，解之即可求解. 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以，解得或. 故选：C. 2．A 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率即可得解. 【详解】直线的斜率为，则该直线的一个方向向量是， 而选项BCD中对应向量与不共线，因此A是，BCD不是. 故选：A 3．D 【分析】利用两直线平行得到，结合条件，利用两平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】因为直线与平行，则，得到， 所以两平行线为与， 由题有，得到，又，所以，此时两直线不重合，符合题意， 得到， 故选：D. 4．A 【分析】根据二元二次方程表示圆的条件、必要不充分条件的定义可得答案. 【详解】，即， ∴曲线是圆，∴“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 5．D 【分析】根据公切线条数可确定两圆外切，由圆与圆位置关系的判断可构造方程得到，令，代入消元，将问题转化为一元二次方程有解的问题，由此可求得的取值范围. 【详解】由圆方程知：圆心，半径； 由圆方程知：圆心，半径； 圆和圆有且仅有三条公切线，两圆外切， ，即， 设，则，， 即，，解得：， 的取值范围为. 故选：D. 6．D 【分析】作出图形，观察直线与线段的交点从点到点运动时，直线的倾斜角的变化，从而可得出直线的斜率的取值范围. 【详解】如下图所示，直线的斜率为，作直线交线段于点， 当直线从的位置运动到直线的位置时，此时，直线的倾斜角逐渐增大，倾斜角由锐角逐渐增大为直角，，此时； 当直线从直线的位置运动到的位置时，此时，直线的倾斜角逐渐增大，倾斜角由直角逐渐增大为钝角，，此时. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 故选：D. 【点睛】本题考查直线的斜率公式，体现了数形结合的数学思想，属于中等题． 7．D 【分析】将直线的一般方程转化为斜截式方程，求得直线的斜率，进而求得其倾斜角. 【详解】由，得. 直线的斜率为. 设直线的倾斜角为，所以. 因为，所以. 故选：D. 8．A 【分析】根据复数的几何意义，作图，利用点到直线距离公式，可得答案. 【详解】设复数在复平面上的对应点为， 则可表示为复平面上点到的距离， 可表示为复平面上点到的距离， 由题意可知：点在线段的中垂线上，如下图：    线段的中点为，直线的斜率， 则的轨迹方程为，整理可得， 由可表示为点到的距离， . 故选：A. 9．AB 【分析】对于A，整理圆的一般式方程力标准方程，求得圆心与半径，利用圆的面积公式，可得答案； 对于B，整理圆的一般式方程力标准方程，求得圆心与半径，令半径大于零建立不等式，可得答案； 对于C，利用两点距离公式，结合反例，可得答案； 对于D，由题意当圆周长最大，半径则最大，确定参数的值，可得答案. 【详解】对于A，由，则，整理可得， 所以此时方程表示以为圆心，以为半径的圆，其面积为，故A正确； 对于B，由，则， 可得，解得，故B正确； 对于C，由圆，则圆心，半径， 点到圆心的距离为， 当时，，此时点在圆上，故C错误； 对于D，当圆的周长最大时，半径取最大，即，，此时圆心，故D错误. 故选：AB. 10．AD 【分析】由两直线斜率乘积即可判断A；求出在轴上的截距即可判断B；计算圆心到直线的距离即可判断C；由两平行线间的距离公式计算即可判断D. 【详解】由题直线的斜率为，直线的斜率为， 所以，所以与直线垂直，故A正确； 对直线，令，所以在轴上的截距为，故B错误； 因为圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为，则， 所以与圆相交，故C错误； 与直线之间的距离为.故D正确. 故选：AD 11．CD 【分析】代入，根据方向向量定义即可判断A，根据直线平行和垂直与斜率的关系即可判断B,C，将直线方程化简可得，结合一次函数的性质即可判断D. 【详解】对A，当时，，斜率为，则其一个方向向量为， ，A错误； 对B，若与相互平行，则，解得或， 当时，与重合，B错误； 对C，若，则，解得，故C正确； 对D，若不经过第二象限，，即， 则，解得，D正确. 故选：CD 12．/ 【分析】分别求得两直线的倾斜角，进而可求得两直线的夹角. 【详解】直线的斜率不存在，故倾斜角为， 直线的斜率为，故倾斜角为， 所以直线与直线的夹角的大小为. 故答案为：. 13． 【分析】先求的方程，再求A到直线的距离，再求的面积. 【详解】由直线方程的两点式得直线的方程为， 即，由两点间距离公式得， 设点A到的距离为d，即为边上的高，， 则的面积为. 故答案为：. 14． 【分析】化简圆的方程为，得到，求得，再由点在的外部，得出，求得或，即可求解. 【详解】由圆，可得， 则，即，解得， 又由点在的外部， 可得，即，解得或， 综上可得，，即实数的取值范围为. 故答案为：. 15．(1)直线与圆相交； (2)直线的方程为或 【分析】（1）先求出直线l过的定点坐标，判断定点在圆内，则直线l必与圆相交； （2）由圆的半径和弦长求得圆心到直线l的距离，以此列方程求解m的值，即可求出直线l的方程. 【详解】（1）直线，整理得， 令，解得 即直线l过定点. 将P点坐标代入圆C方程得， 故P点在圆C内，直线与圆相交. （2）圆，整理得 即，. 因为， 所以圆心C到直线l的距离为. 又， 所以 故直线的方程为或. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据两直线的垂直关系和平行关系即可求出结果； （2）根据条件可得即可求出结果. 【详解】（1）设， 由已知得， 又，可得， 即．　① 由已知得， 又，可得， 即．　② 联立①②解得， ∴． （2）设， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 解得． ∴， 又∵， ∴轴， 故直线MQ的倾斜角为90°． 17．(1) (2) (3)6 【分析】（1）先求直线的斜率，用点斜式写出直线的方程并化简. （2）根据两直线垂直，确定边上高的斜率，再根据点斜式写出边上的高的方程并化简. （3）利用“割补法”求三角形的面积. 【详解】（1）因为. 所以直线的方程为：即. （2）因为，所以边上的高的斜率为：. 所以边上的高所在的直线为：即. （3）如图：作轴于点，轴于点，则，. 所以. 18．(1) (2)4 【分析】（1）根据直线的倾斜角为得到直线的方程，然后与边上的中线所在的直线方程联立得到点； （2）设直线的方程为，根据点的坐标得到，然后利用基本不等式求最值. 【详解】（1）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 又的坐标为，所以直线的方程为，即． 因为BC边上的中线经过点A，由与联立，解得，， 所以点的坐标为． （2）依题意可设直线的方程为（，），则． 因为，，所以，则， 当且仅当时，等号成立，所以面积的最小值为． 19．(1) (2)是定值，且定值为 【分析】（1）先计算圆心到直线l的距离，再利用垂径定理计算即可； （2）设，与圆方程联立，利用韦达定理化简即可. 【详解】（1）依题意，得直线，即， 则圆心到直线l的距离，所以． （2）依题意，直线l的斜率存在且不为零，设，， 联立，得， 则，， 所以 ， 所以是定值，且定值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $