第1章 特殊平行四边形 易错精练卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形判定与性质，以易错点为核心，通过性质应用、折叠旋转、动态最值等题型构建“概念-推理-应用”方法体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判定与性质|单选1-5、填空10|矩形/菱形/正方形判定条件辨析、等积法求高|从平行四边形到特殊平行四边形的性质递进，判定定理的推导与应用| |折叠与动态几何|单选6-8、填空11-14|折叠对称性质、中位线模型、动点轨迹分析|结合矩形折叠的边长关系、直角三角形动态最值的几何转化| |综合证明与计算|解答16-20|全等证明、勾股定理、四边形存在性探究|特殊平行四边形性质与判定的综合应用，渗透转化与建模思想|

第1章特殊平行四边形易错精练卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（新教材） 一、单选题 1．如图将一张四边形纸片沿两组对边中点连线剪开，得到4张小纸片，用这4张小纸片一定可以拼成一个（     ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 2．如图，在菱形中，，连接对角线，则（     ） A． B． C． D． 3．已知四边形中，，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 4．要判断一个四边形门框是否为矩形，下列测量方法可行的是（   ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量对角线是否相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量三个角是否为直角 5．如图，菱形的周长是16，，则对角线的长是（   ） A．16 B．10 C．8 D．4 6．如图，长方形的长与宽比值为，将点B沿折叠与点G重合，将点C沿折叠与点H重合，则长方形的长与宽的比值为（    ） A．2 B． C． D．3 7．如图，是矩形的对角线，线段的垂直平分线，分别交、于点、，连接．若，，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 8．如图，一束光线射入一块透明的矩形玻璃砖发生折射现象，光的传播路径会发生改变，光线路径为（不在同一条直线上），射入光线与射出光线平行，即．若射入光线与玻璃砖边的夹角度数为，那么射出光线与玻璃砖边夹角度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 二、填空题 10．如图，四边形是菱形，，于点，则____________． 11．如图，形状为直角三角形的木块，斜靠在竖直的墙上，木块顶点在墙面上滑动，另一顶点在地面上滑动，，，，在同一平面内，若，，则木块顶点到墙角的距离的最大值为____________． 12．如图，在矩形中，，，是的中点，是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点落在处，当时，的长为______． 13．如图，将矩形的长边增加宽边增加 得到一个面积为147的正方形．则原矩形的面积是____________． 14．如图①，点是矩形各边和对角线上一动点，若点从边上的一点开始移动，设点运动的路程为，，与的函数关系如图②所示，则矩形的周长为_______ 15．如图，已知四边形是边长为的正方形，为上一点，且，为射线上一动点，过点作于点，交直线于点．当时， ______；在点运动过程中， 的最小值为________． 三、解答题 16．如图，在矩形中，点E，F在上，且，连接．求证：． 17．如图，已知，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)在图1中，以为对角线作平行四边形； (2)在图2中，以为对角线作正方形； (3)在图3中，作菱形，其中点D，E，F在边，，上． 18．如图，在菱形中，E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：． (2)若，且，求的长． 19．如图，在菱形中，，点是边上的一点，将沿折叠得，射线交边于点． (1)如图1，求的度数． (2)求证：． (3)如图2，取边的中点，连结，，当时，求的值． 20．如图，四边形是正方形，点是边（不与点，点重合）上的一点，，且交正方形外角的平分线于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，分别为，的中点，连接和相交于点，连接，．试判断四边形的形状，并说明理由； (3)若点是边（不与点，点重合）上的一点，直接写出，，三边满足什么数量关系时，四边形是平行四边形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第1章特殊平行四边形易错精练卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D A B D D B A A A 1．D 【分析】将四边形绕点H顺时针旋转到四边形，将四边形绕点F顺时针旋转到四边形，将四边形平移到四边形，得到四边形，解答即可． 【详解】解：将四边形绕点H顺时针旋转到四边形， 则， ， 将四边形绕点F顺时针旋转到四边形， 则， ， 将四边形平移到四边形， 得到四边形， 故四边形是平行四边形． 2．A 【分析】菱形的性质：对角相等；四条边相等． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∴． 3．B 【分析】由已知可得四边形是矩形，结合正方形的判定即可求解． 【详解】解：∵四边形中，， ∴四边形是矩形， 若添加条件，则四边形是正方形， 若添加条件或或，无法推出四边形是正方形， ∴只有B选项符合题意． 4．D 【分析】根据矩形的判定定理，判断各选项的测量方法能否推出该四边形是矩形即可． 【详解】解：A、 两组对边分别相等的四边形只能判定为平行四边形，无法确定是矩形，故本选项的测量方法不可行； B、 对角线相等的四边形不一定是矩形，故本选项的测量方法不可行； C、一组对角为直角的四边形，无法推出其余两个角也为直角，不能判定是矩形，故本选项的测量方法不可行； D、四边形内角和为，若三个角为直角，则第四个角为，四个角都为直角的四边形是矩形，故本选项的测量方法可行． 5．D 【详解】解：由菱形各边都相等，当菱形的周长是16时， 菱形边长为4， ∵，， ∴为等边三角形， 则． 6．B 【分析】设，则，根据折叠性质得出四边形为正方形，求出和的长，再根据第二次折叠求出，进而得出的长，最后计算长方形的长宽比． 【详解】解：设， 长方形的长与宽比值为， ， 由折叠可知， ，，， ， 四边形为正方形， ，， ∵长方形 ∴ ∴， ∴点共线， ∴， 同理可得，三点共线， 由折叠可得，， ∴ 长与宽的比值为． 7．A 【分析】根据垂直平分线的性质，可得，设，可以把用的代数式表示出来，再利用勾股定理列方程，求出即可求解本题． 【详解】解： 垂直平分， ， 设， 在矩形中，，， ， ， 解得：， ． 8．A 【详解】解：延长交于点N， ∵， ∴， ∵ 四边形是矩形， ∴ ， ∴， 9．A 【分析】根据旋转的性质，可得，结合正方形的性质证明，则两个正方形重叠部分的面积等于，即正方形面积的四分之一，已知正方形的边长，可据此求出重叠部分的面积． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 根据旋转的性质，， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 则两个正方形重叠部分的面积． 10． 【分析】本题主要考查菱形的性质、勾股定理以及菱形的面积公式.，根据菱形对角线互相垂直平分的性质求出对角线的一半，利用勾股定理求出菱形的边长，最后利用等积法（即面积法）建立等式求解高 的长． 【详解】解：∵四边形 是菱形，，， ∴，，，, 在 中，由勾股定理得： . ∴. ∵， ∴ 解得 ． 11．/ 【分析】取中点，连接，根据直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，由即可得出结果． 【详解】解：取中点，连接， ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的最大值为， 即木块顶点到墙角的距离的最大值为． 12． 或 【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出的长，由中点定义得出的长，根据折叠的性质和平行线的性质证得，从而得出，进而判定四边形为菱形，过点作于点，利用三角形中位线定理求出和的长，分点在点右侧和点在点左侧两种情况，利用勾股定理求出的长，最后利用菱形的面积公式求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 点是的中点， ，由折叠可得，， ，即， ， ， ， 且， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ，过点作于点， 点是的中点，， 是的中位线， ，，当点在点右侧时，如图所示， ，在中，， ， ，解得，当点在点左侧时，如图所示， ，在中，， ， ，解得， 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 13． 【分析】先根据正方形面积求出正方形边长，再用边长减去，分别求出矩形的长和宽，求出矩形面积． 【详解】正方形面积为147， 正方形边长为， ，， ． 14．28 【分析】根据函数图象可知，当时，说明起点为中点；当时，说明到达点，由此可求出的长；当时，说明到达对角线交点，由此可求出及的长，利用勾股定理求出的长，进而求出矩形周长． 【详解】解：由图②可知，当时，，即， ， 四边形是矩形， ， 点到的距离等于点到的距离， 点为的中点， 当时，，即， 此时点与点重合， ， 当时，随的增大而增大，且当时，， 此时，点运动到了对角线交点处， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， 矩形的周长为． 15． 【分析】过点作交于点，先证，根据全等三角形的性质结合已知条件，得到，在中，运用勾股定理，求得；取的中点，过点作交于点，连接，由可知点在以为直径，点为圆心的圆上，作出，并设与交于点，连接，由，可得当点与点重合时，有最小值，最小值为的长，然后运用勾股定理求出和的长，最后求得的长． 【详解】如图1，过点作交于点． 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， ． ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形， ，， ，， ． 在和中， ， ， ， 在中，； 如图2，取的中点，过点作交于点，连接． ， ， 点在以为直径，点为圆心的圆上，作出，并设与交于点，连接， ， 当点与点重合时，有最小值，最小值为的长． 点为的中点，， ， ，， ． 四边形是正方形， ， ， ， 在中，． 在中，， 的半径为， ， ， 即的最小值为． 16．证明：∵四边形为矩形， ∴，， 在和中， ∴， ∴． 【分析】根据矩形的性质可得，，，再根据，即可求证． 【详解】略 17．(1)如图，四边形即为所求： 或 (2)如图，四边形即为所求； (3)如图，四边形即为所求： 【分析】（1）法一：①作中垂线交于点O；②在延长线上截取，则四边形即为所求； 法二：①以点A为圆心，长为半径作弧；②以点C为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点D，则四边形即为所求； （2）①作中垂线，交于点O；②以点O为圆心，长为半径在上截取，则四边形即为所求； （3）①作平分线交于点E；②作中垂线分别交，于点D、F ，则四边形即为所求． 【详解】（1）解：作图依据： 法一：由作图知，，， ∴四边形是平行四边形； 法二：由作图知，，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：作图依据：由作图知，，即，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，即四边形即为所求； （3）解：作图依据：由作图知，，垂直平分， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 18．(1) 证明：∵菱形， ∴， ∴， 又∵E是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明，再结合菱形的性质即可证明； （2）先证明是直角三角形，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵ 四边形是菱形，， ∴， ∴在中， ． 19．(1) (2)证明：如图1，过作交于点． ∵四边形是菱形， ，， 又， ∴四边形是平行四边形， ， ∵将沿折叠得， ，， 又， ， ， ， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 又，， ． (3) 【分析】（1）根据菱形的性质和，得出，根据折叠的性质可得，即可解答． （2）如图1，过作交于点．证明四边形是平行四边形，得出，根据折叠的性质可得，，证出， 再证明四边形是平行四边形，得出，结合，，即可证明． （3）如图2，延长，交于点，作于点．设，．由（2）得．证明，得出．证明，结合（2）中，证明，得出，，由（1）得，从而得，，在中，勾股定理求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ， 又， ， ∵将沿折叠得， ， ． （2）略 （3）解：如图2，延长，交于点，作于点． 设，． 由（2）得． ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． ， 根据折叠可得， ∴， ， ∴， 根据（2）可得， ∴， ∴， ∴， ， ， 根据折叠可得， 根据菱形的性质可得， ， 由（1）得， ，， ， ∴在中，， 即， 解得：， ∴， ． 20．(1)证明：在上截取， 四边形是正方形， ，， ， ，即， 是等腰直角三角形， ， ， 是正方形的外角平分线， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； (2)四边形是平行四边形． 理由如下： 四边形是正方形， ，， ，分别为，的中点， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， 由（1）得， ， 四边形是平行四边形． (3)当时，四边形是平行四边形 【分析】（1）在上截取，结合正方形的性质得到，则，再结合正方形的外角平分线，得到，即可证明，得到； （2）由，分别为，的中点，得到，即可证明，得到，，接着得到，则，最后根据一组对边平行且相等即可得到四边形是平行四边形． （3）根据，得到，即可证明，得到，，接着得到，则，最后根据一组对边平行且相等即可得到四边形是平行四边形． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：当时，四边形是平行四边形． 理由如下： 四边形是正方形， ，， ∵，， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， 由（1）得， ， 四边形是平行四边形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $