第三章 图形的相似【章末复习】 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了图形的相似的核心知识，涵盖成比例线段、平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质及位似图形，通过知识框架图将基础概念、定理与应用串联，构建从概念到推理再到变换的完整知识网络。 其亮点在于采用“概念辨析-易错警示-分层训练”的复习策略，如针对面积比与相似比的关系设置对比题，结合“测量鼓楼高度”情境题培养数学思维与应用意识，帮助学生精准掌握重点，教师可通过分层练习实现个性化复习，提升复习效率。

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 北师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第三章 图形的相似 章末复习 2026年8月2日 第三章 图形的相似 综合同步练习题 第三章 图形的相似 综合同步练习 （排版、分值、题型和前后所有章节习题完全统一） 章节核心知识点梳理 一、成比例线段 1. 线段的比：在同一长度单位下，两条线段长度的比值叫做线段的比，比值为正数，无单位。 2. 成比例线段定义：四条线段$$a、b、c、d$$，若满足$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$$，则称四条线段成比例。 3. 比例基本性质 ① 基本式：$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \iff ad=bc$$； ② 合比、分比、等比性质（化简求值常用）。 4. 黄金分割：点C分线段AB，使$$AC^2=AB\cdot BC$$，黄金比$$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$$。 二、平行线分线段成比例（核心定理） 1. 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2. 推论（三角形专用）：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线），所得对应线段成比例。 3. 核心结论：平行截线 → 线段成比例，是证明相似的基础依据。 三、相似三角形的判定（必考重难点） 相似符号：$$\sim$$，对应顶点书写必须对齐 1. 定义判定：对应角相等、对应边成比例的两个三角形相似。 2. 平行判定（A型、X型）：平行于三角形一边的直线与另外两边相交，构成的三角形与原三角形相似。 3. 两角分别相等（AA）：两个角对应相等，三角形相似（最常用、最快）。 4. 两边成比例且夹角相等（SAS）：两组对应边成比例，且夹角相等，三角形相似。 5. 三边成比例（SSS）：三组对应边比值相等，三角形相似。 四、相似三角形的性质 1. 对应线段比 = 相似比：对应边、对应高、对应中线、对应角平分线、周长的比都等于相似比$$k$$。 2. 面积比 = 相似比的平方：$$S_1:S_2=k^2$$（考试最高频易错点）。 3. 对应角相等，对应边成比例。 五、位似图形 1. 定义：相似图形 + 对应顶点连线交于一点 + 对应边平行（特殊的相似）。 2. 性质：位似比=相似比，周长比=位似比，面积比=位似比平方。 3. 坐标位似（原点为中心）：点$$(x,y)$$，位似比$$k$$，对应点$$(kx,ky)$$（同侧）、$$(-kx,-ky)$$（异侧）。 4. 关系：位似一定相似，相似不一定位似。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 已知$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{2}{3}$$，则下列式子正确的是（） A. $$2a=3b$$ B. $$3a=2b$$ C. $$a+b=5$$ D. $$a-b=1$$ 2. 平行线截三角形两边，所得线段关系为（） A. 相等 B. 成比例 C. 无规律 D. 互相垂直 3. 下列条件能判定两个三角形相似的是（） A. 一组角相等 B. 两角分别相等 C. 一组边相等 D. 三边长度相等 4. 两相似三角形相似比为$$3:4$$，则面积比为（） A. 3:4 B. 4:3 C. 9:16 D. 16:9 5. 关于位似图形说法正确的是（） A. 相似一定位似 B. 位似一定相似 C. 位似图形对应边不平行 D. 位似中心唯一在图形外 6. 点$$(2,-3)$$以原点为位似中心，位似比2同侧缩放，对应点坐标为（） A. $$(4,-6)$$ B. $$(1,-1.5)$$ C. $$(-4,6)$$ D. $$(-1,1.5)$$ 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 相似三角形的周长比等于________，面积比等于________。 2. 两角分别相等的两个三角形________。 3. 三角形中位线截得的小三角形与原三角形相似比为________，面积比为________。 4. 位似是________的相似，相似________是位似。 5. 原点位似变换，$$k=-2$$表示图形放大2倍且与原图在原点________。 三、解答计算题（共56分） 1. （12分）比例基础计算： 已知$$\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{4}$$，求$$\dfrac{x+y}{y}$$的值。 2. （14分）相似性质计算： △ABC∽△DEF，相似比为2:3，若△ABC周长为16，面积为12， 求△DEF的周长与面积。 3. （14分）相似证明题： 如图，DE∥BC，求证：△ADE∽△ABC。 4. （16分）坐标位似综合： 已知△ABC顶点$$A(1,2)$$、$$B(3,0)$$、$$C(2,-1)$$， 以原点为位似中心，位似比$$k=2$$作异侧位似变换， （1）求三个顶点对应坐标；（2）求新旧图形面积比。 四、拓展应用题（附加10分） 两个相似三角形面积比为4:9，周长差为6，求两个三角形的周长分别是多少？ --- 参考答案与详细解析 一、选择题 1.B 2.B 3.B 4.C 5.B 6.A 二、填空题 1. 相似比、相似比的平方 2. 相似 3. $$1:2$$、$$1:4$$ 4. 特殊、不一定 5. 异侧 三、解答题 1. 解： 设$$x=3k，y=4k$$$$\dfrac{x+y}{y}=\dfrac{3k+4k}{4k}=\dfrac{7k}{4k}=\dfrac{7}{4}$$ 答：原式值为$$\dfrac{7}{4}$$。 2. 解： 相似比$$k=2:3$$ 周长比=$$2:3$$，面积比=$$4:9$$ 设△DEF周长为$$L$$，面积为$$S$$$$\dfrac{16}{L}=\dfrac{2}{3}$$，解得$$L=24$$$$\dfrac{12}{S}=\dfrac{4}{9}$$，解得$$S=27$$ 答：△DEF周长为24，面积为27。 3. 证明： ∵ $$DE\parallel BC$$ ∴ $$\angle ADE=\angle ABC，\angle AED=\angle ACB$$ 根据两角分别相等的两个三角形相似 ∴ $$\triangle ADE \sim \triangle ABC$$。 4. 解： （1）异侧位似，坐标变换：$$(-2x,-2y)$$$$A'(-2,-4)，B'(-6,0)，C'(-4,2)$$（2）面积比=位似比平方=$$2^2:1=4:1$$ 答：对应顶点坐标为$$A'(-2,-4)、B'(-6,0)、C'(-4,2)$$，面积比为4:1。 拓展题答案 解： 面积比=4:9 → 相似比=周长比=$$2:3$$ 设周长分别为$$2x、3x$$$$3x-2x=6$$，得$$x=6$$$$2x=12，3x=18$$ 答：两个三角形周长分别为12、18。 章节易错点总结 1. 最核心易错：线段、周长、高、中线用原相似比，面积必须平方，考试高频丢分； 2. 相似判定严禁乱用：必须满足AA、SAS、SSS，单一边、一角相等无法判定相似； 3. 位似概念混淆：位似⊂相似，相似不一定位似，只有连线共点、对应边平行才是位似； 4. 坐标位似符号：k正同侧、k负异侧，缩放大小只看绝对值，符号只改变位置； 5. 书写易错：相似三角形对应顶点必须对齐，否则对应边角、比例全部出错。 知识梳理 2 相等 成比例 3 相等 成比例 成比例 相似比 相似比 相似比的平方 4 5 (1) 形状相同的图形 (2) 相似多边形 (3) 相似比：相似多边形对应边的比 1. 图形的相似 ①表象：大小不等，形状相同. ②实质：各对应角相等、各对应边成比例. ◑通过定义 ◑平行于三角形一边的直线 ◑三边成比例 ◑两边成比例且夹角相等 ◑两角分别相等 ◑两直角三角形的斜边和一条直角边成比例 (三个角分别相等，三条边成比例) 2. 相似三角形的判定 ◑对应角相等、对应边成比例 ◑对应高、中线、角平分线的比等于相似比 ◑周长比等于相似比 ◑面积比等于相似比的平方 3. 相似三角形的性质 (1) 测高 测量不能到达两点间的距离，常构造相似三角形求解. (不能直接使用皮尺或刻度尺量的) (不能直接测量的两点间的距离) 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决. (2) 测距 4. 相似三角形的应用 (1) 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫作位似图形，这个点叫作位似中心. 5. 位似 (2) 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；对应线段平行或者在一条直线上. (3) 位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小. A B G C E D F ●P B′ A′ C′ D′ E′ F′ G′ A′ B′ C′ D′ E′ F′ G′ A B G C E D F ●P (4) 平面直角坐标系中的位似 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k；当位似图形在原点异侧时，对应顶点的坐标的比为－k. 核心考点巩固 考点1 成比例线段及相似多边形 1.[西安校级期中] 下列各组长度的线段成比例的是( ) D A.1、2、3、5 B.2、3、6、8 C.3、4、5、6 D.4、3、8、6 返回 考试考法 13 2.下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、 乙、丙、丁，其中是相似图形的为( ) D A.甲和乙 B.乙和丁 C.甲和丙 D.甲和丁 返回 考试考法 14 3.如果线段，，，满足 ，那么下列各式中不成立的是 ( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 15 考点2 相似三角形的性质与判定 4.如图，中，点，分别在边， 上，不一定能判定 的条件是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 16 5.已知，的周长是 周长的一半， ，，则边 上的高等于( ) B A.3 B.6 C.9 D.12 返回 考试考法 17 6.如图，在四边形中，对角线与相交于点 ，且 。已知，，，，则 的 长是____。 15 （第6题） 返回 考试考法 18 （第7题） 7.如图，在中，点，分别在和 上， ，为边上一点，连接交于点 ， 若，，则下列结论: ； ； ； 。其中不成立的是____（填序号）。 ③ 返回 考试考法 19 8.[榆林期中] 如图，在中，请你用尺规作图法在边 上求作 一点，使得 .（保留作图痕迹，不写作法） 解：如图所示，点 即为所求。 （作法不唯一，合理即可） 返回 考试考法 20 9.如图，在中， ，为 上 一点，为线段上一点（不与点，点 重合）， 连接，作，与的延长线交于点 ， 与交于点，连接 。 （1）求证： ； 证明： ， ， 。 又 ， 。 考试考法 21 （2）求证： 。 [答案] , ， 。 又 ， ， ，即 。 返回 考试考法 22 考点3 平行线分线段成比例及黄金分割 （第10题） 10.如图，，， ，则 的长为( ) A A.6 B.8 C.9 D.10 返回 考试考法 23 11.如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金 比，如点,都是线段的黄金分割点。已知 ， 那么_________ 。 （第11题） 返回 考试考法 24 考点4 位似图形 12. 日常生活情境照相机是提升当 代人生活幸福指数的设备之一。如图是其工作原 理图，两条光线与相机透镜的交点 即为位似中 心，底片上的与实物 是位似图 形，且相似比为2，点，的对应点分别为 ， ，若，则 的长为( ) B A.10 B.12 C.14 D.18 返回 考试考法 25 13.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为 ， ，。以点为位似中心，按 在位似中心的异侧 将放大为，放大后点，的对应点分别为点， ，画 出，并写出点， 的坐标。 考试考法 26 解：如图， 即为所求。 ， 。 返回 考试考法 27 考点5 相似三角形的应用 14.如图，小明在时测得某树的影长为 ， 时又测得该树的影长为 ，若两次日照的 光线互相垂直，则树的高度为( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 28 15. 西安鼓楼，位于古 都西安市的中心，是全国重点文物保 护单位，也是西安的标志性建筑。学 校某实践小组根据课堂所学知识，想 实地测量西安鼓楼的高度。如图，测量小组在点处直立一个 高 的标杆，随后小组成员沿直线移动测量。成员小王从点后退 到达点处，此时鼓楼顶端、标杆顶端、点 恰好在一条直线上；小 王从点继续后退到达点处。这时，他在点 处的地面上水平放 考试考法 29 置一个平面镜。成员小李沿方向移动到点 处时，小李刚好在平面 镜内看到鼓楼顶端的像。此时测得 ，小李眼睛与地面的 距离。已知点，，，， 在同一水平直线上，且 ，，均垂直于，求鼓楼 的高度。（平面镜的大小忽略不 计） 考试考法 解：设，由题意得，， ， ，即 ， ， ， 由光的反射定律可知 ， ， ， 考试考法 31 ，即 ， 解得， ， 鼓楼的高度为 。 返回 考试考法 谢谢观看 THANKS $