3.3《相似三角形判定定理的证明》第2课时 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形判定定理的证明，以《海岛算经》历史情境启航，通过回顾定义和平行判定法搭建学习支架，引导学生从已知方法过渡到“构造全等+转化相似”的新证法探究。 其亮点在于融入中国古代数学智慧增强文化自信，以“构造全等+转化相似”为主线，通过类比推理和逻辑递进培养学生推理能力，结合实际应用实例深化转化思想。学生能提升几何证明素养，教师可依托结构化流程高效教学。

第三章 图形的相似 第3课 相似三角形判定定理的证明 新版北师大数学九年级上册 第2课时 相似判定定理的证明(本课时为选修课) 学习目标 1.通过回顾相似三角形的定义及平行判定法,经历两角分别相等的两个三角形相似的证明过程,掌握“构造全等+转化相似”的几何证明方法. 2.通过类比第一个定理的证明思路,自主探究并完成两边成比例且夹角相等、三边成比例的两个三角形相似的证明,体会类比思想在几何证明中的应用. 3.通过对比三个判定定理证明方法的异同,深化对几何证明转化思想的理解,感受中国古代数学的智慧,增强文化自信. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 《海岛算经》原名《重差》,是刘徽为了解释“九数”中“重差”之名而作,开始被附于刘徽注《九章算术》之后,唐初将其分离而另行单本.因第一题是测量海岛高远问题，所以改称为《海岛算经》,这就是古代中国对相似应用的成果. 相似三角形的三个判定定理在证明思路有什么内在联系和区别？ 问题1:相似三角形的定义是什么？相似三角形的对应角、对应边有什么性质？ 三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形的对应角相等,对应边成比例. 问题构建 问题2:我们还学习了一个判定三角形相似的关联定理是什么？ 平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似. 追问1：要证明两个三角形相似，目前我们有哪两种方法？ ①利用定义证明（三角相等,三边成比例）；②利用平行判定法证明 问题3:如果没有平行线,只有两个角相等,我们能证明这两个三角形相似吗？这就是我们今天要解决的第一个问题. 问题构建 问题4:已知在△ABC 和△A´B´C´中,∠A=∠A´,∠B=∠B´.要证明△ABC∽△A´B´C´,我们没有平行线,怎么才能用上刚才的平行判定法呢？ 在△ABC中构造一个与△A´B´C´全等的三角形,同时让这个三角形与△ABC相似,这样就能通过全等+相似的转化来证明. 追问1:在△ABC的边AB上截取AD=A´B´，过点D作 BC 的平行线,交AC于点E.此时△ADE和△ABC有什么关系？为什么？ △ADE∽△ABC.因为DE∥BC,根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似. 问题构建 追问2:现在我们需要证明△ADE和△A´B´C´全等，已经有了AD=A´B´,∠A=∠A´，还需要什么条件？ 还需要一组角相等,或者一组边成比例且夹角相等.我们可以证明∠ADE=∠B´ 追问3:为什么∠ADE=∠B' 因为DE∥BC,所以∠ADE=∠B（两直线平行，同位角相等）,又因为已知∠B=∠B´,所以∠ADE=∠B´. 追问4:现在我们能证明△ADE≌△A´B´C´了吗？依据是什么？ 能.依据是ASA（角边角）全等判定定理：∠A=∠A´，AD=A´B´，∠ADE=∠B´ 问题构建 追问5:既然△ADE∽△ABC，且△ADE≌△A´B´C´，那么△ABC和△ A´B´C´有什么关系？ △ABC∽△A´B´C´.因为全等是特殊的相似，相似具有传递性. 追问6:请同学们反思总结下解决本题的思路？ 转化思想 构造全等三角形 证明构造的三角形与原三角形相似 证明构造的三角形与已知三角形全等 利用相似的传递性得出结论 问题构建 问题5:刚才我们证明了两角分别相等的两个三角形相似.现在我们要证明“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，能不能用同样的“构造全等+转化相似”的方法呢？ 可以.我们还是在△ABC中构造一个与△A´B´C´全等的三角形，再证明它与△ABC相似 追问1:已知在△ABC和△A´B´C´中,∠A=∠A´,.我们还是在AB上截取AD=A´B´，过点D作DE∥BC交AC于点E.此时△ADE和△ABC有什么关系？能得到什么比例式？ △ADE∽△ABC.能得到 问题构建 追问2:已知，且AD=A´B´，我们可以把这两个比例式联系起来吗？能得到什么结论？ 可以.把AD=A´B´代入第一个比例式,得到 又因为,所以，由此可得AE=A´C´ 追问3:现在我们有AD=A´B´,∠A=∠A´,AE=A´C´,能证明△ADE≌△ A´B´C´吗？依据是什么？ 能.依据是SAS（边角边）全等判定定理 最后我们能得出:△ABC∽△A´B´C´ 这个定理的证明思路和第一个定理几乎一样,只是在证明全等时用了不同的全等判定定理,这体现了类比思想在几何证明中的强大作用. 协作破冰 问题6:现在我们要证明最后一个定理：三边成比例的两个三角形相似.还是用“构造全等+转化相似”的方法,这次我们怎么构造呢？ 我们在△ABC的边AB、AC上分别截取AD=,AE=,连接DE 追问1:已知 ，且AD= ，AE= 我们能得到什么比例式？ 追问2:根据这个比例式和公共角∠BAC=∠DAE，我们能得到什么结论？依据是什么？ △ABC∽△ADE.依据是我们刚刚证明的“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似” 协作破冰 追问4:已知且AD= ,我们能把这两个比例式联系起来吗？能得到什么结论？ 可以.把AD= 代入第一个比例式,得到又因为 ，所以=由此可得DE= . 追问3:由△ABC∽△ADE，我们能得到什么新的比例式？ 追问5:现在我们有AD= AE= DE= 能证明△ADE≌△ A´B´C´吗？依据是什么？ 能.依据是SSS（边边边）全等判定定理 最后我们能得出△ABC∽△A´B´C´ 教师示范 我们用同样的核心方法,证明了三个相似三角形的判定定理.而且我们发现，证明后面的定理时,可以直接用前面已经证明过的定理,这就是数学知识的“生长性”，几何的证明正如中国的思想,百家争鸣,百花齐放.请大家阅读课本P78-79页关于“两角相等的两个三角形相似”的证明方法. 显然,这个证法借助了第1课时的平行相似,但较麻烦. 教师示范 问题7:三个定理的证明过程有什么相同和不同之处？ 不同之处：证明全等时用的全等判定定理不同,以及证明构造的三角形与原三角形相似时用的相似判定定理不同. 定理1:用ASA证明全等,用平行判定法证明相似 定理2:用SAS证明全等,用定理1证明相似 定理3:用SSS证明全等,用定理2证明相似 相同之处 不同之处 转化思想 构造全等三角形 证明构造的三角形与原三角形相似 证明构造的三角形与已知三角形全等 利用相似的传递性得出结论 巩固拓展 追问:为什么证明定理2时不用平行判定法,而用定理1？证明定理3时不用定理1,而用定理2？ 因为这样更简便.数学证明总是追求用最简单、最直接的方法得出结论.而且这也体现了数学知识的逻辑体系：后面的知识建立在前面知识的基础之上 现在我们已经严谨地证明了相似三角形的三个判定定理.回到我们开头的重差术，刘徽就是利用“两角分别相等的两个三角形相似”,通过测量影子的长度,计算出了太阳的高度.这说明了什么？ 说明了严谨的数学证明是实际应用的基础.没有这些定理的证明,相似三角形的应用就只是经验之谈,而有了证明,它就成为了可以信赖的科学工具. 当堂检测 1.下列说法中,正确的是（ ） A.有一个角相等的两个等腰三角形相似 B.两边成比例且有一个角相等的两个三角形相似 C.有一个角为100°的两个等腰三角形相似 D.三边成比例的两个三角形不一定相似 C A选项：有一个角相等的两个等腰三角形,这个角可能是顶角也可能是底角,不一定相似. B选项：必须是两边成比例且夹角相等,才一定相似. C选项：100°的角只能是等腰三角形的顶角,所以两个等腰三角形的三个角都分别相等,一定相似. D选项：三边成比例的两个三角形一定相似,这是我们今天证明的定理. 当堂检测 2.在△ABC和△DEF中,AB=4,AC=5,BC=6,DE=8,DF=10,EF=______时，△ABC∽△DEF 要使△ABC∽△DEF,需要三边成比例,即 .代入数值计算，解得EF=12 当堂检测 3.如图,在等边三角形ABC中,D、E、F分别是三边上的点,AE=BF=CD,那么△ABC与△DEF相似吗？请证明你的结论. 证明∵ △ABC是等边三角形， ∴ AB=BC=CA，且 ∠A=∠B=∠C=60°① 又已知：AE=BF=CD，设其长度为x 由AB=BC=CA,可得： AF=AB−BF=AB−x BD=BC−CD=BC−x CE=CA−AE=CA−x ∵ AB=BC=CA， ∴ AF=BD=CE② 当堂检测 3.如图,在等边三角形ABC中,D、E、F分别是三边上的点,AE=BF=CD,那么△ABC与△DEF相似吗？请证明你的结论. 现在考虑 △AEF、△BFD、△CDE： 在△AEF与△BFD中： AE=BF（已知） AF=BD（由②） ∠A=∠B=60°（由①） ∴△AEF≅△BFD（SAS）同理,可证： △BFD≅△CDE（SAS） ∴ △AEF≅△BFD≅△CDE即EF=FD=DE ∴ △DEF是等边三角形 又∵△ABC也是等边三角形， 二者三个角均等于60°,即对应角相等， 根据“两三角形对应角相等，则两三角形相似” ∴ △ABC∼△DEF 反思总结 1.今天我们用“构造全等+转化相似”的方法证明了三个相似三角形判定定理,你认为这种方法的核心是什么？它还可以用来证明哪些几何定理？ 2.回顾三个定理的证明顺序,为什么我们要先证明“两角分别相等”，再证明“两边成比例且夹角相等”，最后证明“三边成比例” ？这个顺序可以调换吗？为什么？ 3.通过今天的学习,你对“几何证明” 有了哪些新的认识？你觉得几何证明的价值是什么？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第82页 第4,5题 二、素养类作业 课本第82页 第8题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $