3.3 相似三角形判定定理的证明第2课时课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形判定定理的证明，通过复习两角、两边及夹角、三边判定方法导入，引导学生思考证明思路，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以作辅助线、逻辑推理培养几何直观与推理能力，规范几何语言表达，结合矩形相似证明、三角形内点问题等实例提升应用意识。学生能发展数学思维，教师可高效开展探究教学。

第3章　图形的相似 3 相似三角形判定定理的证明 第2课时　 相似三角形判定定理的证明 北师大版（2024） 九年级 数学（上） 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 1 复习导入 判定两个三角形相似的方法有哪些？ 你能对它们进行证明吗？ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 A B C A′ B′ C′ 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. ∵ ∠A =∠A′ ， ∠B =∠B′ ∴△ABC∽△A′B′C′ 几何语言： 你能证明吗？ 可要仔细哟！ 探究新知 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 已知：如图，△ABC和△ A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′， A B C A′ B′ C′ 求证 ：△ABC∽△A'B'C' D E 证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′， 过点D作BC的平行线，交AC于点E， 则∠ADE＝∠B， ∠AED＝∠C， = （平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例） 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 4 F A B C A′ B′ C′ D E 过点D作AC的平行线，交BC于点F， 则= （平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例） ∴= ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形DFCE是平行四边形. ∴DE＝CF. ∴= ∴ == 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 F A B C A′ B′ C′ D E 而∠ADE＝∠B，∠DAE＝∠BAC，∠AED＝∠C ∴△ADE∽△ABC ∵∠A＝∠A′，∠ADE＝∠B＝∠B′，AD＝A′B′ ∴△ADE≌△A′B′C′ ∴△ABC∽△A'B'C' 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 6 A B C A′ B′ C′ 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 几何语言： 你能证明吗？ 可要仔细哟！ ∵∠A =∠A′ ，= ∴△ABC∽△A′B′C′ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 A B C A′ B′ C′ D E 证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′， 过点D作BC的平行线，交AC于点E， 则∠B＝∠ADE， ∠C＝∠AED， 已知：如图，△ABC和△ A′B′C′中，∠A=∠A′， = ∴△ABC∽△ADE （两角分别相等的两个三角形相似） 求证 ：△ABC∽△A'B'C' 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 A B C A′ B′ C′ D E = ∵， ， = = 而∠A＝∠A′， ∴△ADE≌△A′B′C′ ∴△ABC∽△A'B'C' 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. 几何语言： A B C A′ B′ C′ ∵= = ∴△ABC∽△A′B′C′ 你要如何 证明呢？ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 A B C A′ B′ C′ 求证 ：△ABC∽△A'B'C' D E 证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′， AE＝A′C′ 连接DE. 已知：如图，△ABC和△ A′B′C′中， = = ∵，AD = A′B′，AE＝A′C′ ， ∴= 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 A B C A′ B′ C′ D E 而∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△ADE （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似） ∴= 又=， ∴= ∴= ∴， ∴△ADE≌△A′B′C′ ∴△ABC∽△A'B'C' 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 总结 综上，我们证明了三角形相似的三个判定定理。 定理 两角分别相等的两个三角形相似。 定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 定理 三边成比例的两个三角形相似。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 应用举例 【例1】如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F。求证：△ABF∽△EAD。 【方法指导】根据两角对应相等的两个三角形相似可解。 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∠D＝90°，∴∠BAF＝∠AED。 ∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°。 ∴∠AFB＝∠D， ∴△ABF∽△EAD。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 【例2】如图，D为△ABC内一点，连接BD，AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，连接DE。求证：△DBE∽△ABC。 【方法指导】由已知条件∠ABD＝∠CBE，所以∠DBE＝∠ABC，要证得△DBE∽△ABC，有一对角相等，可再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可得△CBE∽△ABD，即得成比例的线段，则可证明。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 【例2】如图，D为△ABC内一点，连接BD，AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，连接DE。求证：△DBE∽△ABC。 证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD， ∴△CBE∽△ABD， ∴ =即＝ 。 ∵∠CBE＝∠ABD，∴∠DBE＝∠ABC。 又∵ ＝ ，∴△DBE∽△ABC。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 随堂练习 1．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值 ( ) A．只有1个 B．可以有2个 C．有2个以上但有限 D．有无数个 B 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD＝2，DE＝1， 则BC的长为_____。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 3．如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分线分别与AC，AB交于点D，E，连接BD。求证：△ABC∽△BDC。 证明：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD。∴∠ABD＝∠BAC＝40°。 ∵∠ABC＝80°，∴∠DBC＝40°。 ∴∠DBC＝∠BAC。 ∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 4．如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别是三边上的点，AE＝BF＝CD，△ABC与△DEF相似吗？请证明。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 解：△ABC∽△DEF。 证明如下：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°。 ∵AE＝CD＝BF，∴AF＝BD＝CE。 ∴△EAF≌△FBD≌△DCE(SAS)。 ∴EF＝DF＝DE。即△DEF是等边三角形。 又∵△ABC是等边三角形，∴△ABC∽△DEF。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 $