2.2.2直线的两点式方程（2知识点+5题型）讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.2.2 直线的两点式方程 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 直线的两点式方程 1.推导过程 由点斜式方程，得 y-y1=(x-x1)， 即=(x1≠x2，y1≠y2). 2.经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 =，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式. 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时，不能用两点式方程表示. (2)两点式方程与这两个点的顺序无关. (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等. 知识点2 直线的截距式方程 1.我们把方程+=1叫做直线的截距式方程，简称截距式.直线与x轴的交点(a，0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b. 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距都存在且不为0，可以直接代入截距式方程求解，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示. (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图. 思路方法总结 1.求经过两点的直线的方程 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程. (2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程. 2.应用截距式方程的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法求解即可. (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直. (3)要注意截距式方程的逆向应用. 3.线的截距式方程是两点式方程的特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点，记为(a，0)，(0，b))，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较为方便，直线与坐标轴围成的三角形的面积S=|a|·|b|. 典例·举一反三 题型一 两点式方程 1．过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 2．已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 3．写出一个过和的直线的两点式方程 . 4．已知的顶点坐标是为的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 5．三角形的三个顶点是． (1)求边所在的直线方程； (2)求边上的高所在的直线方程； (3)求经过两边和中点的直线的方程． 题型二 截距式方程 6．经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 7．经过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程可能为（   ） A． B． C． D． 8．过点，且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程为 ． 9．求符合下列条件的直线方程： (1)直线过点，且斜率为； (2)直线过点，且横截距为纵截距的两倍. 10．（1）已知过点（1，－1）的直线在轴上的截距比在轴上的截距大，求此直线的方程； （2）求过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍的直线方程. 题型三 两点式方程和截距式方程的理解 11．下列说法正确的是（    ） A．方程表示过点且斜率为k的直线 B．直线与y轴的交点为，其中截距 C．在x轴、y轴上的截距分别为a、b的直线方程为 D．方程表示过任意不同两点，的直线 12．下列四个命题：其中正确命题的个数是（    ） ①经过定点的直线都可以用方程表示； ②经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示； ③两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线； ④经过定点的直线都可以用方程表示． A．0 B．1 C．2 D．3 13．经过两点的直线方程可以表示为（    ） A． B． C． D． 14．已知直线l过点，，则（    ） A．直线l的倾斜角为150° B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量为 D．直线l的截距式方程为 15．下列说法中不正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若直线过点，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点 C．过，两点的直线的方程为 D．直线在轴上的截距为2 题型四 根据方程求面积大小 16．过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 17．若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．已知直线l经过点和点． (1)求直线l的截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 19．已知两点，直线为线段AB的垂直平分线，求： (1)直线的方程； (2)直线与坐标轴所围成的三角形的面积. 20．在中，，B，C两点分别在x轴与y轴上，且直线在y轴上的截距为1，直线的倾斜角为.求： (1)直线的方程； (2)的面积S. 题型五 直线与坐标轴的面积最值问题 21．已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 22．已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为 . 23．已知定点. (1)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)若直线过点且交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，记的面积为（为坐标原点），求的最小值，并求此时直线的方程. 24．已知直线过定点，且交轴正半轴于点､交轴正半轴于点.点为坐标原点. (1)若的面积为，求直线的方程； (2)求的最小值，并求此时直线的方程； (3)求的最小值，并求此时直线的方程. 25．设直线l的方程为 (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. (3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.2 直线的两点式方程 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 直线的两点式方程 1.推导过程 由点斜式方程，得 y-y1=(x-x1)， 即=(x1≠x2，y1≠y2). 2.经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 =，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式. 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时，不能用两点式方程表示. (2)两点式方程与这两个点的顺序无关. (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等. 知识点2 直线的截距式方程 1.我们把方程+=1叫做直线的截距式方程，简称截距式.直线与x轴的交点(a，0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b. 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距都存在且不为0，可以直接代入截距式方程求解，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示. (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图. 思路方法总结 1.求经过两点的直线的方程 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程. (2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程. 2.应用截距式方程的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法求解即可. (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直. (3)要注意截距式方程的逆向应用. 3.线的截距式方程是两点式方程的特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点，记为(a，0)，(0，b))，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较为方便，直线与坐标轴围成的三角形的面积S=|a|·|b|. 典例·举一反三 题型一 两点式方程 1．过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用直线方程的两点式写出直线方程即可. 【详解】因为直线过点，，所以直线方程为， 故选：B. 2．已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 【答案】C 【分析】根据两点式方程可得直线经过两点，，进而判断AD，再将两点式化为斜截式：，即可判断B，得到直线的斜率为，即可判断C. 【详解】由题意，直线经过两点，，故AD错误， 将两点式化为斜截式：，故B错误， 直线的斜率为，所以直线的倾斜角为锐角，故C正确. 故选：C. 3．写出一个过和的直线的两点式方程 . 【答案】（答案不唯一，四种形式写出一种即可）. 【分析】根据两点式方程的定义计算可得. 【详解】经过点和点直线两点式方程是：或. 故答案为：（答案不唯一，四种形式写出一种即可）. 4．已知的顶点坐标是为的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出点的坐标，再根据两点式方程即可得解； （2）先求出直线的斜率，再根据点斜式方程即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 故的方程是，即； （2）因为直线的斜率， 所以经过点且与直线平行的直线方程为，即. 5．三角形的三个顶点是． (1)求边所在的直线方程； (2)求边上的高所在的直线方程； (3)求经过两边和中点的直线的方程． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】(1) 根据截距式即可求解； (2)根据高所在的直线方程的斜率与斜率乘积为，利用点斜式求解即可； (3)求出分别和的中点，再根据直线的两点式即可求解. 【详解】（1）根据题意可知， 则根据直线截距式可得，即； （2）设高所在的直线方程的斜率为，直线斜率为， 由(1)知直线斜率为，根据高所在的直线方程的斜率与斜率乘积为， 即，则可得，再由点斜式可得， 即； （3）设和中点分别为， 则由， 所以 则根据两点式可得直线方程为， 即. 题型二 截距式方程 6．经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】分别讨论截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，将点代入求解即可. 【详解】当直线在轴和轴上截距都为0时，设直线方程为，将点代入解得， 此时直线方程为， 当直线在轴和轴上截距相等且不为0时，设直线方程为，将点代入解得， 此时直线方程为， 所以满足题意的直线方程为或， 故选：B 7．经过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况，结合条件求直线方程. 【详解】若直线过原点，直线方程为； 若直线的斜率为1，直线方程为；若直线的斜率为，直线方程为． 故直线方程为或或． 故选：ABD． 8．过点，且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程为 ． 【答案】和 【分析】根据截距是否为0，由待定系数法即可求解. 【详解】当在x轴、y轴上的截距为0时，设直线方程为，代入，可得 ，故，此时直线方程为， 当截距均不为0时，设直线方程为，将代入可得，解得， 故直线方程为，即， 综上可得满足条件的直线方程有：和， 故答案为：和 9．求符合下列条件的直线方程： (1)直线过点，且斜率为； (2)直线过点，且横截距为纵截距的两倍. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由直线的点斜式方程求解即可. （2）分截距为0和不为0两种情况求解. 【详解】（1）因为直线过点，且斜率为， 所以，化简可得：. （2）当横、纵截距都是0时，设直线的方程为. ∵直线过点， ∴，即直线的方程为. 当截距均不为0时，设直线的方程为. ∵直线过点， ∴，解得，即直线方程为. 综上，所求直线方程为或. 10．（1）已知过点（1，－1）的直线在轴上的截距比在轴上的截距大，求此直线的方程； （2）求过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍的直线方程. 【答案】（1）或；（2）或. 【分析】（1）由题可设直线在x轴上的截距，可得直线方程，结合条件即得； （2）分截距为零和不为零两种情况讨论即可. 【详解】（1）设直线在轴上的截距为， 则在轴上的截距为， 由题意可知且， 则此直线的方程为. 又此直线过点（1，－1）， 所以，解得或， 故所求的直线方程为或， 可化为或. （2）①当在轴、轴上的截距都是0时，设所求直线方程为， 将（－5，2）代入中，得， 此时直线方程为，即； ②当在轴、轴上的截距都不是0时，设所求直线方程为， 将（－5，2）代入中，得， 此时直线方程为， 综上所述，所求直线方程为或. 题型三 两点式方程和截距式方程的理解 11．下列说法正确的是（    ） A．方程表示过点且斜率为k的直线 B．直线与y轴的交点为，其中截距 C．在x轴、y轴上的截距分别为a、b的直线方程为 D．方程表示过任意不同两点，的直线 【答案】D 【分析】分别由直线的点斜式方程、直线在轴上的截距、直线的截距式方程、两点式方程的变形逐一核对，即可求解. 【详解】对于A中，由表示过点且斜率存在，且不含点的直线，所以A不正确； 对于B中，直线与y轴交于一点，其中截距不是距离，截距为点的坐标，其值可正可负可为0，所以B不正确； 对于C中，当直线经过原点时，此时直线在坐标轴上的截距都是，不能表示为，所以C不正确； 对于D中，方程为直线的两点式方程的变形，可以表示过任意两点，的直线，所以D正确. 故选：D. 12．下列四个命题：其中正确命题的个数是（    ） ①经过定点的直线都可以用方程表示； ②经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示； ③两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线； ④经过定点的直线都可以用方程表示． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由直线方程的四种特殊形式的适用范围逐一核对四个命题得答案. 【详解】①经过定点的直线当斜率存在时可以用方程表示，当斜率不存在时用方程，①错误； ②经过任意两个不同的点，白的直线都可以用方程表示，②错误； ③两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线；③正确； ④经过定点且垂直于轴的直线不能用方程表示，④错误； 故选：B. 13．经过两点的直线方程可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线两点式方程可得答案. 【详解】当经过的直线不与轴、轴平行时， 所有直线均可以用表示， 由于可能相等，也可能相等， 所以只有选项C满足包括与轴、轴平行的直线． 故选：C． 14．已知直线l过点，，则（    ） A．直线l的倾斜角为150° B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量为 D．直线l的截距式方程为 【答案】ABD 【分析】先求出直线l的斜率，由直线的倾斜角和斜率及直线的方向向量间的关系可判断A，C；由直线的两点式、截距式可判断B，D. 【详解】因为直线l过点，，所以直线l的斜率为，倾斜角为150°，故A正确，C不正确； 直线l的两点式方程为，整理易得截距式方程为，所以B，D正确． 故选：ABD. 15．下列说法中不正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若直线过点，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点 C．过，两点的直线的方程为 D．直线在轴上的截距为2 【答案】ACD 【分析】根据倾斜角与斜率关系，点斜式，斜截式，两点式判断各项正误即可. 【详解】对于A，当倾斜角为锐角，斜率为正；当倾斜角为钝角时，斜率为负，故A错误； 对于B，直线方程为，即，显然在直线上，故B正确； 对于C，当或时不能使用两点式写方程，故C错误； 对于D，直线，令，， 则直线在轴上的截距为，故D错误. 故选：ACD. 题型四 根据方程求面积大小 16．过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点斜式求得直线的方程，求得直线与坐标轴的交点坐标，从而求得三角形的面积. 【详解】依题意得直线的方程为，即， 则直线与坐标轴的交点分别为， 所以． 故选：B 17．若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由题意可设直线的方程为：，则满足关系式，化简得，对进行分类讨论即可求解. 【详解】由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线：，， 又点在直线上，所以，， 又三角形的面积为16，所以，， 所以，整理得； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 综上所述：满足题意的直线为：，共有4条. 故选：D. 18．已知直线l经过点和点． (1)求直线l的截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）根据两点式直线写出直线方程，再转化为截距式； （2）由（1）得出直线在两坐标轴上的截距，然后直接计算三角形面积． 【详解】（1）由已知得直线l的两点式方程为， 即， 整理得． 所以截距式方程为． （2）由（1）知直线l在两坐标轴上的截距分别为4和8， 所以围成的图形的面积为． 19．已知两点，直线为线段AB的垂直平分线，求： (1)直线的方程； (2)直线与坐标轴所围成的三角形的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用中点坐标和直线垂直的斜率关系，结合点斜式即可得解. （2）求出直线与坐标轴的交点坐标，进而求出三角形面积. 【详解】（1）点，则线段的中点为 ，直线的斜率， 于是直线的斜率为，其方程为，即. （2）由（1）知，直线交轴于点，交轴于点， 所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积. 20．在中，，B，C两点分别在x轴与y轴上，且直线在y轴上的截距为1，直线的倾斜角为.求： (1)直线的方程； (2)的面积S. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）应用两点式求直线，点斜式求直线； （2）由（1）得、、，进而可得的面积，即可求结果. 【详解】（1）因为直线在y轴上的截距为1，所以其过点， 所以直线的方程为：，化简得. 由已知直线的斜率为：， 所以直线的方程为：，化简得. （2）由（1）知：直线为，令，得，故. 直线为，令，得，故， 所以. 题型五 直线与坐标轴的面积最值问题 21．已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设直线分别交、轴于点、，则，，可得出直线的截距式方程为，结合已知条件可得出，利用基本不等式可求得面积的最小值. 【详解】不妨设直线分别交、轴于点、，则，， 所以，直线的截距式方程为，因为点在直线上，则， 由基本不等式可得，可得，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的面积的最小值为. 故选：C. 22．已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为 . 【答案】 【分析】由题意可设直线，分别求出两点坐标，即可表示出的面积，再由均值不等式即可求出答案. 【详解】设直线l的方程为，令，得，令，得. 则和坐标轴的交点为，. 所以， 可得的面积为，当且仅当，即等号成立； 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是设出直线的方程并求出两点坐标. 23．已知定点. (1)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)若直线过点且交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，记的面积为（为坐标原点），求的最小值，并求此时直线的方程. 【答案】(1)或 (2)， 【分析】（1）截距相等时，要考虑到截距为和不为两种情况分类讨论； （2）设直线方程为点斜式，表示直角三角形的面积，通过基本不等式即可求得最值. 【详解】（1）当截距为时，设直线方程为， 因为直线过点，则， 解得， 所以直线方程为； 当截距相等且不为时，设直线方程为， 因为直线过点，则代入直线方程得，， 则直线方程为. 所以直线方程为或. （2）由题意可知，直线的截距不为，且斜率存在且， 设直线方程为， 令，；令， 则， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为，此时的直线方程为. 24．已知直线过定点，且交轴正半轴于点､交轴正半轴于点.点为坐标原点. (1)若的面积为，求直线的方程； (2)求的最小值，并求此时直线的方程； (3)求的最小值，并求此时直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由直线过定点可得，由 得，联立方程组，解得值，即可求解； （2）展开后利用基本不等式，即可求解； （3）由三点共线，可得，然后利用向量的数量积的坐标表示及基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设，，， 则直线的方程为， 由直线过定点可得 ， 由 得， 由解得， 所以直线的方程为，即. （2）      ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时直线的方程为，即. （3）因为三点共线， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时直线的方程为，即. 25．设直线l的方程为 (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. (3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 【答案】(1)或. (2) (3)面积的最小值是6，此时直线l的方程为 【分析】 （1）根据直线过原点、直线与不过原点两种情况进行分类讨论，由此求得直线的方程. （2）将直线方程化为斜截式，再结合不经过第二象限列不等式组，解不等式组求得实数的取值范围. （3）根据两点的位置确定的坐标以及的取值范围，求得面积的表达式，结合的取值范围，结合基本不等式，求得面积的最小值与此时直线l的方程. 【详解】（1）当直线过原点时满足条件，此时,解得,化为. 当直线不过原点时，则直线斜率为-1，故,解得,可得直线的方程为:. 综上所述，直线的方程为或. （2）, ∵不经过第二象限,∴,解得. ∴实数的取值范围是. （3）令,解得,解得; 令,解得,解得或. 综上有. ∴ , 当且仅当时取等号. ∴(为坐标原点)面积的最小值是6，此时直线方程，即 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $