1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定（导学案）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦全称量词命题与存在量词命题的否定，通过概念填空回顾命题否定的基本概念，结合探究问题引导学生对比原命题与否定命题的类型转化，搭建从命题基础到否定规则的学习支架，帮助学生理解改写规律。 以问题链驱动探究，通过例题与分层题型（基础改写、真假判断、参数范围）强化规则应用，结合错题反思设计培养学生逻辑推理素养，提升数学语言表达的严谨性，助力学生形成有理有据的推理习惯，适合教师开展分层教学与效果评估。

1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定（导学案） 1、掌握全称量词命题、存在量词命题的否定形式，能写出两类命题的否定并判断真假，理解命题否定的规律，发展逻辑推理素养。 2、通过对比、归纳探究命题否定改写规则，区分原命题与否定命题真假关系，熟练完成自然语言与数学命题的转化，提升归纳辨析能力。 3、体会逻辑数学语言的严谨规范，养成有理有据、细致严谨的推理习惯，感受逻辑用语在数学表达中的实用价值。 重点：掌握全称、存在量词命题否定改写规则，分清量词互换与结论否定，能准确写出两类命题的否定并判断真假。 难点：易混淆仅否定结论与完整否定形式，复杂条件命题改写易漏改量词，区分原命题与否定命题真假对立关系。 阅读教材，完成以下问题： 【1】概念填空 1．如果p是一个命题，则“p不成立”也是一个命题，叫作p的________，记作________，读作“________”． 2．一般地，命题“，”的否定是“________”．也就是说，存在量词命题的否定是________命题． 3．一般地，命题“，”的否定是“________”．也就是说，________命题的否定是存在量词命题． 探究一、全称量词命题的否定 问题1：我们如何对一个命题进行否定呢？一个命题和它的否定之间是什么关系呢？ 思考1：写出下列命题的否定： （1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数； （3） ， 问题2：这几个命题是什么类型的命题？它们的否定是什么类型的命题？ 探究二、存在量词命题的否定 思考2：写出下列命题的否定： (1)存在一个实数的绝对值是正数； (2)有些平行四边形是菱形； (3)， 问题3：这几个命题是什么类型的命题？它们的否定是什么类型的命题？ 【例3】写出下列全称量词命题的否定： (1)所有能被3整除的整数都是奇数； (2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上； (3)对任意，的个位数字不等于3。 【例4】写出下列存在量词命题的否定： (1)； (2)有的三角形是等边三角形； (3)有一个偶数是素数。 【例5】写出下列命题的否定，并判断真假： (1)任意两个等边三角形都相似； (2)。 【题型1：全称量词命题与存在量词命题的否定】 1、全称命题：的否定是（　　） ． ． ． ．以上都不正确 2、设，集合为偶数集，若命题，则（　　） ． ． ． ． 3、写出下列命题的否定 （1）； （2）任意奇数的平方还是奇数； （3）每个平行四边形都是中心对称图形； （4）. （5）； 【题型2：命题否定的真假判断】 1、写出下列命题的否定，并判断其真假. (1)对于所有的实数方程必有实数根； (2)任意一个实数乘以-1都等于它的相反数； (3)矩形的对角线相等。 【知识点拨】 当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假， 当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真。 2、写出下列命题的否定，并判断真假． （1）正方形都是菱形； （2），使； （3），有； （4）集合是集合或集合的子集． 【题型3：根据命题否定的真假求参数】 1、已知命题“函数的图象和轴至多有一个公共点”是假命题，求实数的取值范围。 2、已知.若的否定为假命题，求实数的取值范围。 【知识点拨】 求解含有量词的命题中参数范围的策略： (1)对于全称量词命题“(或)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值（或最小值），即(或)。 (2)对于存在量词命题“(或)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数的最小值（或最大值），即(或)。 3、已知命题“”为假命题，求实数的取值范围 4、已知命题，若的否定为假命题，求实数的取值范围 一、单选题 1．已知命题p：，，则（    ） A．：，，且为真命题 B．：，，且为真命题 C．：，，且为假命题 D．：，，且为假命题 2．已知命题，则命题p的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．命题“，”的否定是（     ） A．， B．， C．， D．， 4．命题 “ ” 的否定为（    ） A． B． C． D． 5．若命题p:“”.使命题p为假命题的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．若命题“，”为假命题，则a的范围是（   ） A． B． C． D． 7．命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上都不对 8．已知命题p：，，命题q：，，则（  ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 二、多选题 9．下列命题正确的是（   ） A．命题“”的否定是“” B．“至少有一个，使成立”是全称量词命题 C．“”是真命题 D．“”的否定是真命题 10．已知命题，，命题，，则（   ） A．是真命题 B．是假命题 C．和都是真命题 D．和都是假命题 11．下列是全称量词命题的否定的有（   ） A．存在一个能被2整除的整数不是偶数 B．存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上 C．存在实数不是方程的根 D．没有一个平行四边形是菱形 三、填空题 12．命题“任意奇数的平方还是奇数”的否定是______． 13．已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是_____________ 14．若命题“”的否定是真命题，则实数的取值范围是______． 四、解答题 15．写出下列命题的否定： (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)0； 它们与原命题在形式上有什么变化？ 16．写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)某些梯形的对角线互相平分； (2)存在，函数随x值的增大而减小； (3)，使得． 17．已知命题，若p的否定是假命题，求实数m的取值范围． 18．已知：，，若命题是真命题，求实数的取值范围. 19.已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定（导学案）（解析版） 1、掌握全称量词命题、存在量词命题的否定形式，能写出两类命题的否定并判断真假，理解命题否定的规律，发展逻辑推理素养。 2、通过对比、归纳探究命题否定改写规则，区分原命题与否定命题真假关系，熟练完成自然语言与数学命题的转化，提升归纳辨析能力。 3、体会逻辑数学语言的严谨规范，养成有理有据、细致严谨的推理习惯，感受逻辑用语在数学表达中的实用价值。 重点：掌握全称、存在量词命题否定改写规则，分清量词互换与结论否定，能准确写出两类命题的否定并判断真假。 难点：易混淆仅否定结论与完整否定形式，复杂条件命题改写易漏改量词，区分原命题与否定命题真假对立关系。 阅读教材，完成以下问题： 【1】概念填空 1．如果p是一个命题，则“p不成立”也是一个命题，叫作p的________，记作________，读作“________”． 2．一般地，命题“，”的否定是“________”．也就是说，存在量词命题的否定是________命题． 3．一般地，命题“，”的否定是“________”．也就是说，________命题的否定是存在量词命题． 【答案】 1、 否定 非p ； 2、 ， 全称量词； 3、 ， 全称量词 探究一、全称量词命题的否定 问题1：我们如何对一个命题进行否定呢？一个命题和它的否定之间是什么关系呢？ 【答案】一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假。 思考1：写出下列命题的否定： （1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数； （3） ， 【答案】（1）存在一个矩形不是平行四边形； （2）存在一个素数不是奇数； （3）， 问题2：这几个命题是什么类型的命题？它们的否定是什么类型的命题？ 【答案】是全称量词命题，它们的否定是存在量词命题。 探究二、存在量词命题的否定 思考2：写出下列命题的否定： (1)存在一个实数的绝对值是正数； (2)有些平行四边形是菱形； (3)， 【答案】（1）所有实数的绝对值都不是正数 （2）每一个平行四边形都不是菱形 （3）， 问题3：这几个命题是什么类型的命题？它们的否定是什么类型的命题？ 【答案】是全称量词命题，它们的否定是存在量词命题。 【例3】写出下列全称量词命题的否定： (1)所有能被3整除的整数都是奇数； (2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上； (3)对任意，的个位数字不等于3。 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，进行否定时，将改为，再对结论进行否定即可。 解： (1)该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数。 (2)该命题的否定：存在一个四边形的四个顶点不在同一个圆上。 (3)该命题的否定：，的个位数字等于3. 【例4】写出下列存在量词命题的否定： (1)； (2)有的三角形是等边三角形； (3)有一个偶数是素数。 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，进行否定时，将改为，再对结论进行否定即可。 解： (1)该命题的否定：。 (2)该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形。 (3)该命题的否定：任意一个偶数都不是素数。 【例5】写出下列命题的否定，并判断真假： (1)任意两个等边三角形都相似； (2)。 解： （1）该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似。 因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似。因此这是一个假命题。 （2）该命题的否定：. 因为对任意，所以这是一个真命题。 【题型1：全称量词命题与存在量词命题的否定】 1、全称命题：的否定是（　　） ． ． ． ．以上都不正确 【答案】 2、设，集合为偶数集，若命题，则（　　） ． ． ． ． 【答案】 3、写出下列命题的否定 （1）； （2）任意奇数的平方还是奇数； （3）每个平行四边形都是中心对称图形； （4）. （5）； 解： (1) 。 (2)存在一个奇数，它的平方不是奇数。 (3)存在一个平行四边形不是中心对称图形。 (4). （5）. 【题型2：命题否定的真假判断】 1、写出下列命题的否定，并判断其真假. (1)对于所有的实数方程必有实数根； (2)任意一个实数乘以-1都等于它的相反数； (3)矩形的对角线相等。 解： (1)存在实数使得方程没有实数根.真命题. (2)存在一个实数乘以-1不等于它的相反数.假命题. (3)有的矩形的对角线不相等.假命题. 【知识点拨】 当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假， 当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真。 2、写出下列命题的否定，并判断真假． （1）正方形都是菱形； （2），使； （3），有； （4）集合是集合或集合的子集． 解：（1）命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题． （2）命题的否定：，有． 因为当时，，所以“有”是假命题． （3）命题的否定：，使． 当时，，所以“，使”是真命题． （4）命题的否定：集合既不是集合的子集也不是集合的子集，假命题． 【题型3：根据命题否定的真假求参数】 1、已知命题“函数的图象和轴至多有一个公共点”是假命题，求实数的取值范围。 解： 全称量词命题“函数的图象和轴至多有一个公共点”的否定形式为“函数的图象和轴有两个公共点”。 由“命题为真，其否定为假；命题为假，其否定为真”可知，这个否定形式的命题是真命题。 由二次函数的图象易知 解得所以实数的取值范围是 2、已知.若的否定为假命题，求实数的取值范围。 解： ∵的否定为假命题，∴为真命题， 即，恒成立。 ∴，恒成立。 易知，的最小值为0，∴， 即实数的取值范围是(－∞，0]. 【知识点拨】 求解含有量词的命题中参数范围的策略： (1)对于全称量词命题“(或)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值（或最小值），即(或)。 (2)对于存在量词命题“(或)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数的最小值（或最大值），即(或)。 3、已知命题“”为假命题，求实数的取值范围 解： ∵命题“”为假命题， ∴它的否定命题：“”为真命题。 即关于的方程有实数根， 当时，方程化为，显然有解； 当时，应满足解得且； 综上可知，实数的取值范围是 4、已知命题，若的否定为假命题，求实数的取值范围 解：因为的否定为假命题， 所以命题：为真命题， 可化为， 即成立，只需即可， 故实数的取值范围为. (本题也可利用二次函数的图象的顶点在轴上方，转化为对应方程进行解题) 一、单选题 1．已知命题p：，，则（    ） A．：，，且为真命题 B．：，，且为真命题 C．：，，且为假命题 D．：，，且为假命题 【答案】D 【分析】先根据全称命题的否定规则写出，再通过配方法判断原命题的真假，进而得到的真假，结合选项得出答案. 【详解】全称命题的否定为特称命题， 故命题的否定为. 对二次函数，配方得，对任意，， 因此恒成立，即命题为真命题。 根据命题与否定的真假性相反，为假命题。 综上，，且为假命题。 2．已知命题，则命题p的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】由全称命题的否定知，命题p的否定为：，. 3．命题“，”的否定是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据特称命题的否定规则，更换量词、否定结论且保留原变量取值范围即可求解。 【详解】存在量词命题（特称命题）的否定规则为：特称命题的否定为全称量词命题, 命题“，”的否定是:“”. 4．命题 “ ” 的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】全称命题和存在命题的否定规则为“改量词，否结论”。 【详解】将存在量词改为全称量词，同时否定结论“”为“”. 所以原命题否定形式为“”，对应选项为D. 5．若命题p:“”.使命题p为假命题的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】为真命题，由根的判别式得到不等式，求出，得到答案。 【详解】为真命题， 故需满足，解得， 故使命题p为假命题的实数的取值范围为. 故选：C 6．若命题“，”为假命题，则a的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先写出命题的否定，然后求解即可。 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题， 因为当时， 所以. 故选：B 7．命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】是假命题，则为真命题，即有实数根，分类讨论与时的情况即可。 【详解】当时，即有实数根，解得，故符合要求； 当时，即有，解得且； 综上所述，. 故选：B. 8．已知命题p：，，命题q：，，则（  ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【详解】令，则显然成立，是真命题，是假命题， 当时，，故命题是假命题，是真命题． 二、多选题 9．下列命题正确的是（   ） A．命题“”的否定是“” B．“至少有一个，使成立”是全称量词命题 C．“”是真命题 D．“”的否定是真命题 【答案】AD 【分析】根据特称命题的否定判断A，根据全称命题及特称命题定义判断B，根据全称命题及特称命题的真假判断C，D. 【详解】命题“”的否定是“”，A选项正确； “至少有一个，使成立”是特称量词命题，B选项错误； 当时，，，C选项错误； 当时，，所以“”是假命题，命题的否定是真命题，D选项正确； 故选：AD. 10．已知命题，，命题，，则（   ） A．是真命题 B．是假命题 C．和都是真命题 D．和都是假命题 【答案】AD 【分析】先判断原命题的真假，再得出命题的否定的真假即可判断。 【详解】命题，，当时，，故命题为假命题，则，，为真命题； 命题，，当时，，故命题为真命题，则，，为假命题， 故A，D正确，B，C错误. 故选:AD. 11．下列是全称量词命题的否定的有（   ） A．存在一个能被2整除的整数不是偶数 B．存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上 C．存在实数不是方程的根 D．没有一个平行四边形是菱形 【答案】ABC 【详解】对于A，“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的整数不是偶数”，故A是；对于B，“每一个三角形的三个顶点在同一个圆上”的否定是“存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上”，故B是；对于C，“任何实数都是方程的根”的否定是“存在实数不是方程的根”，故C是；对于D，“有些平行四边形是菱形”的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形，是存在量词命题的否定，故D不是． 【方法总结】 全称量词命题和存在量词命题是互为否定的关系1．总结起来就是“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定． 2．一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 三、填空题 12．命题“任意奇数的平方还是奇数”的否定是______． 【答案】存在一个奇数的平方不是奇数 【分析】利用特称命题与全称命题之间的关系去解决即可 【详解】命题“任意奇数的平方还是奇数”的否定是“存在一个奇数的平方不是奇数” 故答案为：存在一个奇数的平方不是奇数 13．已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是_____________ 【答案】或 【分析】根据特称命题的否定是全称命题，结合原命题和命题的否定的真假关系即可求解. 【详解】由已知命题“存在，使得等式成立”是假命题， 等价于“任意，使得等式成立”是真命题， 又因为，所以，要使，则需或. 所以实数的取值范围为或. 故答案为：或 14．若命题“”的否定是真命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题设是真命题，利用判别式符号列不等式求参数范围. 【详解】原命题的否定是“”，且是真命题， 则，即，解得. 故的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 15．写出下列命题的否定： (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)0； 它们与原命题在形式上有什么变化？ 【答案】（1）所有的矩形都是平行四边形的否定为： 存在一个矩形，它不是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数的否定为： 存在一个素数不是奇数； （3）的否定为：0 16．写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)某些梯形的对角线互相平分； (2)存在，函数随x值的增大而减小； (3)，使得． 【答案】（1）将存在量词命题否定为全称量词命题，然后利用反证法判断其真假； （2）（3）将存在量词命题否定为全称量词命题，举例判断其真假即可。 【详解】（1）该命题的否定：任意一个梯形的对角线都不互相平分． 假设存在梯形的对角线互相对分， 而对角线互相平分的四边形为平行四边形，这与四边形为梯形相矛盾， 所以任意一个梯形的对角线都不互相平分， 所以命题的否定为真命题． （2）该命题的否定：对任意，函数不随x值的增大而减小． 当时，函数随x值的增大而减小，所以命题的否定为假命题． （3）该命题的否定：，． 当，时，， 因此命题的否定为假命题． 17．已知命题，若p的否定是假命题，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】根据题意可知方程有实根，结合判别式运算求解. 【详解】因为p的否定为假命题，所以p为真命题， 即成立，可知方程有实根， 则，解得， 故实数m的取值范围为． 18．已知：，，若命题是真命题，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】因：，，则：，， ∵是真命题，∴当时，显然成立； 当时，，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 19.已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据为真命题分析出，由此求解出的范围，然后取对应范围在实数集下的补集即为结果； （2）考虑命题均为假命题时的取值范围，然后取对应范围在实数集下的补集即为结果. 【详解】（1）若为真命题，则， 所以，所以， 所以命题为假命题时，的取值范围为. （2）当为假命题时，即“ ”为真命题， 所以，所以的取值范围为， 所以当均为假命题时的取值范围为， 所以当命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围为或. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $