1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

数学 必修第一册 1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 明学习目标 知结构体系 课标 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定 要求 2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定， 全称量词命题 否定规则 重点 重点：全称量词命题与存在量词命题的否定， 存在量词命题 应用 难点 难点：根据全称量词命题与存在量词命题求参数 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 含量词的命题的否定 B.3x∈R,都有x2-x十1>0 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 C.]x∈R,都有x2-x+1≤0 形式 Vx∈M,p(x) D.以上均不正确 3x∈M,b(x) 2.命题“习x>0,2x2=5.x-1”的否定是( 否定形式 A.x>0,2x2≠5.x-1 全称量词命题的否定是 结论 B.Vx≤0,2x2=5x-1 存在量词命题的否定是 C.3x>0,2.x2≠5.x-1 [即学即练] D.3x≤0,2x2=5.x-1 1.命题“Hx∈R,都有x2一x十1>0”的否定是()：3.命题：“有的三角形是直角三角形”的否定是： A.Vx∈R,都有x2-x十1≤0 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一全称量词命题的否定 对点训练 [典例1]写出下列全称量词命题的否定： (1)所有能被2整除的整数都是偶数： :1.命题“Vx∈R,x2-x十1=0”的否定为() (2)每一个三角形的三个顶点在同一个圆上； A.Hx∈R,x2-x+1≠0 (3)任何实数x都是方程5.x-12=0的根. B.3x∈R,x2-x+1=0 听课记录 C.3x∈R,x2-x+1≠0 D.]x氏R,x2-x十1≠0 2.命题“对任意的x∈R,x3一2x十1≤0”的否定是 A.不存在x∈R,x3-2x+1≤0 B.存在x∈R,x3-2.x+1≤0 C.存在x∈R,x3-2.x+1>0 D.对任意的x∈R,x3-2.x十1>0 /规律方法/… 题点二存在量词命题的否定 全称量词命题否定的关注点 [典例2]写出下列存在量词命题的否定，并判 (1)全称量词命题p:Hx∈M,p(x),它的否 断其否定的真假。 定：]x∈M,7p(x). (1)某些梯形的对角线互相平分； (2)全称量词命题的否定是存在量词命题，对 (2)存在k∈R,函数y=kx十b随x值的增大而 省略全称量词的全称量词命题可以补上量词 减小； 后进行否定： (3)3x,y∈Z,使得W2x+y=3. 18 第一章集合与常用逻辑用语 听课记录 题点三全称量词命题与存在量词命题的综合 应用 [典例3]已知命题p:3x∈R,x2十2x十a=0, 命题q:Vx{女0<≤号}2-a<0.命题p 和命题g至少有一个为真命题，求实数a的取 值范围 听课记录 /方法技巧/ 存在量词命题否定的关注点 (1)存在量词命题的否定是全称量词命题，写 命题的否定时要分别改变其中的量词和判断 词.即p:3x∈M,p(x),它的否定：Hx∈M, p(x). (2)存在量词命题的否定是全称量词命题，对 /方法技巧/ 省略存在量词的存在量词命题可补上量词后 解决含有量词的命题求参问题的思路 进行否定 (1)全称量词命题求参的问题，常以一次函数 二次函数等为载体进行考查，一般在题目中会 对点训练 出现“恒成立”等词语.解决此类问题时，可构 1.命题“存在x∈R,使得x2+2x<1”的否定是 造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分 离参数法求参数范围 A.对任意x∈R,都有x2十2x>1 (2)存在量词命题求参数范围的问题中常出现 B.对任意x∈R,都有x2十2x≥1 “存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存 C.存在x∈R,使得x2十2x>1 在满足条件的参数，然后利用条件求参数范 D.存在x∈R,使得x2十2x≥1 围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假 2.写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定 设不成立.解决有关存在量词命题的参数的取 的真假. 值范围问题时，应尽量分离参数 (1)p:3x>1,使x2-2x-3=0; 对点训练 (2)p:有些素数是奇数； (3)p:有些平行四边形不是矩形， 已知命题p:Hx∈{x|一3≤x≤2}，都有x∈ {xa-4≤x≤a十5}，且p是假命题，求实数 a的取值范围 19 数学 必修第一册 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.设命题p:习n∈N,n2>2m,则p为 ( B.命题p,q都是真命题 A.Vn∈N,n2>2m C.命题p,一q都是真命题 B.3n∈N,n2≤2 D.命题p,一q都是假命题 C.Hn∈N,n2≤2n 4.已知命题p:Hx∈{x|1≤x≤2}，x2一a≥0，命题 D.3n∈N,n2=2m q:3x∈R,x2十2ax十4=0，若命题p和命题g 2.命题“Vx∈R,彐n∈N*,使得n≥x2”的否定形 ; 都是真命题，则实数α的取值范围是 ( 式是 ( A.{aa≤-2或a≥3} A.Vx∈R,3n∈N,使得n<x2 B.{aa<-2或1≤a≤2} B.Hx∈R,Hn∈N*,使得n<x2 C.{aa≥1} C.3x∈R,]n∈N*,使得n<x2 D.{aa≥2 D.]x∈R,Hn∈N*,使得nx2 5.已知p:x>1或x<-3,q:x>a(a为实数).若 一q的一个充分不必要条件是一p,则实数a的 3.已知命题p:3x∈R,x一2>√x,命题q:Hx∈ 取值范围是 R,x2>0,则 ( 温馨提示 请做课时分层检测（八） A.命题p,q都是假命题 章末综合提升 【知识网络构建】 确定性 概念 元素与集合的关系—元素的特性 互异性 无序性 自然语言 表示方法 列举法 集合 描述法 子集 ACB或B2A 集合A中有n个元素，其子集个数为2 真子集：A三B或B2A 集合间的基本关系 相等集合A=B:ACB且BSA 空集☑ 集合与常用逻辑用语 并集一AUB={xxEA,或x∈B) 集合的基本运算 交集一AnB={x|x∈A,且x∈B} 补集一CuA=(xx∈U,且x华A} p是q的充分条件一p→g 充分条件、必要条件 充要条件 p是q的必要条件一q→P p是g的充要条件一p一q 常用逻辑用语 全称量词命题：Vx∈M,p(x) 全称量词H 全称量词命题的否定：3xEM,p(x) 存在量词命题：3x∈M,p(x) 存在量词3 存在量词命题的否定：x∈M,p(x) 20素养演练·提升技能 2.解 令y=x2十4x-1,x≥1，则y=(x+1 a-4xa十5}， 1.AB 易知card(AUB)=card(A) 2)2 5≥(1+2)2 -5=4,因为Hx≥1，不！ card(B) card(A∩B).A∩B 也就 是 ∫a 等式x2十4x -1>m恒成立，所以只要m< 4≤一3解得-3≤a≤1， 1a十5≥2， 集合A与集合B没有公共元素，A 是真命 4即可.所以所求m的取值范周是{nn 即实数a的取值范周是{a一3a1}. 题：A二B,也就是集合A中的元素 都是 :素养演练·提升技能 合B中的元素B是真命题：A华B, 对点训练 [将“]”改写成“”，“>”改写为“” A中至少有 个元素不是集合B 的 解 命题“3x∈R,x2 即可，故选C.门 元素，因此A中的元素的个数有可能多 命题， B中的元素的个数，C 是假命题；A 4r十a=0”为真2.D将”改写为“3”3”改写为“ 再否定结论可得命题的否定为“]x∈R, 就是集合A中的元素与集合B中的元素完 ∴.方程x2一4x十a=0存在实数根， 则△=（一4）2 4a≥0，解得a4. Hn∈N”,使得nx2”.故选D.] 全相同，但两个集合中的元素个数相同，并 来养餐整：提野接酯四是0 3.C 不意味着它们的元素相同，D是假命题. 14.D「若命题力：/x∈{x1x2},x2一a 2.C a+a2b-a2 一a方+0+力=a“（a十b) ,1.D「①真命题，如当x=一1时，x0:②真 ≥0为真命题，则ax2在x∈{x1x a(a+b)+(a+b)=(a+b)(a2 -a+1). 命题，1既不是合数，也不是素数：③真命 +1= 2}时恒成立，a1 因为对任意的a∈R,a a 题，如x=,x2=√5为无理数，故远D.] 若命题q:3x∈R,x2+2ax+4=0为真命 (a-)+>0, 2.A [对于p,由于是存在量词命题，当x一1 题，则△=(2a)2一16≥0，解得a一2或 a≥2.，命题一p和命题g都是真命题， 所以a3十a2b-a2 时，x一x十1=1≥0成立，故p是真命题；i -ab-a-b= 对于g,(-2)2<(-3)2,但一2<一3不成 解得a≥2.] 立，故q是假命题. 1a一2或a≥2， 因此：“a士b-0”是"a3+a6-a2-ab十a十3.C'[B,D是存在量词命题，故应排除；对于5.{aa≥1} [由题意得，p:一3x1 b=0”的充要条件.] 3.C[由已知，p:{x-2x≤10}，由p是q A,二次函数y=ax2+bx十c(a<0)的图象 g:xa.因为一g的一个充分不必要条件 的充要条件得{x 开口向下，也应排除，故远C 是一p,所以{x 一3x1}年{xx≤a}, -2x≤10} m≤x≤4+m,m>0},因此4.A ,p是假命题，.方程x2十4x十a=0i 所以a≥1.故答案为{aa≥1}.」 ,2,解得m=6.] 没有实数根，即△=16-4a0,.a>4] 5.aa3 24+m=10, 4,B若“xa-1或x>a+1”是“r>2或x 对于任意3，工4恒成立，题型 章末综合提升 即大于3的数恒大于a,所以a3.门 1”的必要不充分条件，则 「.'a∈A,b∈A,x=a十b 1.5.2 全称量词命题和存在 所以x=2,3,4,5,6,8,.B中有6个 {81,且等号不同时成主，即0 量词命题的否定 元素 必备知识·自主梳理 2. 易知A={1,2},又AUB={0,1,2}, a1. 5.m=-2[函数y=x2+mx+1的图象关3x∈M,7(x)Hx∈M,p(x) 存在 所以集合B可以是：{0}，{0,1}，{0,2}，{0， 量词命题 全称量词命题 .2. 于直线工=1对称，则-公=1，即m=一2即学即练 3.3或 L当n+2=5时，m=3,M={1,5, 反的当”2时，则函数y2+mx+ 写量词，否定结论，变为存在量词 13},符合题意： 命题. 当n2十4=5时，n=1或n=一1. 1的图象关于直线x一1对称，] 2.A 存在量词命题的否定是全称量词！ 若m=1,M={1,3,5},符合题意；若m 1.5.1 全称量词与存在量词 命题. 一1，则m十2=1，不满足元素的互异性，故 必备知识·自主梳理 :3.所有的三角形都不是直角三角形 命题： m=3或1.] x∈M,p(x) “有的三角形是直角三角形”是存在量词命14.5[当x=0,y=0时，x一y=0:当x=0,y=1 1.H 全称量词 2.3 存在量词 3x∈M,p(x) 题，其否定是全称量词命题，即所有的三角 时，x一v= 1:当x=0,y=2时，x一v= -21 即学即练] 形都不是直角三角形.门 当x=1,y=0时，x-y-1;当x=1,y=1时， 1. 「命题①Q含有全称量词，命题③可以：关键能力·合作探究 -v=0:当x=1,y=2时，x一y 1:当x= 叙述为“任意一个三角形的内角和都是：典例 解(1)存在一个能被2整除的整， 2,y=0时，x一y=2:当x=2,y=1时，x一y 180”,故三个都是全称量词命题.门 数不是偶数： 1:当x一2，y一2时，x一y=0.根据集合中元 (2)存在一个三角形，它的三个顶，点不在同 2.①②③ ④ 素的互异性知，B中元素有0， 1, -2,1,2, 一个圆上 关能舅容探哭 5个，」 (3)存在实数x不是方程5.x-12-0的根，：题型 [典例的，解可以改写为“所有的凸多对点训练 1.D「因为P={xx>4},则CRP={xx 1.C「厂根据全称量词命题的否定是存在量词 边形的外角和等于360°”，故为全称量词 4},所以Q三(CRP).] 命题 命题，所以“Hx∈R,x x+1=0”的否定2.D (2)含有存在量词“有的”，故是存在量词 为“]x∈R,x -x+1≠0”. 「由x2-3x十2=0得x=1或x=2, A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4}, 命题 2.C[命题“对任意的x∈R,x3-2x十1≤0” .满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}， (3)含有全称量词“任意”，故是全称量词 的否定是“存在x∈R,x3一2x十1>0”. {1,2,4},{1,2,3,4}. 命题 [典例2] 解 (1)任意一个梯形的对角线都：3.A「因为全集U-{x0<x<9},A={x1 对点训练 不互相平分，命题的否定为真命题， <xa},若非空集合A二U,则只需 解(1)全称量词命题.表示为Hn∈N, (2)对任意k∈R,函数y kx十b不随x值 712≥0. 的增大而减小，命题的否定为假命题， al即1<a≤9.] a9, (2)存在量词命题，月一次函数，它的图象： (3)命题的否定是“Hx,y∈Z,W√2x十y≠ 过原，点 3”.当x=0,y=3时，W2x+y=3,因此命 4.aa<-2,或2≤a<1}[因为a<1,所 (3)全称量词命题.H二次函数，它的图象！ 的否定是假命题 以2aa十1，所以B≠⑦.画数轴如图 的开口都向上 点训练 所示 「典例21 解(1)是全称量词命题，因为1.B 命题“存在x∈R,使得x2十2x1”为 Hx∈N,2x十1都是奇数，所以该命题是真： 在量词命题，该命题的否定为对任意x∈ 命题 2aa+1-012aa+1d (2)是存在量词命题.因为不存在x∈R,使！ R,都有x十2x≥1.] 由BA知，a十1-1或2a≥1 2群 (1)b:/x>1,x”-2x-3≠0.（假） 二1=0成立，所以该命题是假命题 (2)p:所有的素数都不是奇数.（假）. 解之得a<-2或a≥2· 对点训练 (3)一：所有的平行四边形都是矩形. 由已知a<1,所以a<-2或，≤a<1, 解(1)因为一1∈Z,且(-1)3=一1<1， (假) [典例3]解若命题p:]x∈R,x2十2x十 所以“]x∈Z,x3<1”是真命题. 即所求a的取值范周是{aa<一2，或1 (2)由有序实数对与平面直角坐标系中的 a=0为真命题，则△=22-4a≥0，∴.a≤1. 点的对应关系知，它是真命题， 若命题q:Hx∈ 0≤x≤立}i a<1}. (3)因为0∈N,02=0,所以命题“Hx∈N, !题型三 x2>0”是假命题. 0为真命题，则a≥x,即a≥(x2)mx1.AC 全集U={0,1,2,3,4},A={0, [典例3]解令y=x2十4x1,x∈R,则 .a24 y=(x十2)一5≥-5，因为Hx∈R,不等 式x2十4x-1>m恒成立，所以只要m 的真子集个数为2一1=7，故远A、C,] ∴p,g均为假命题时 1 无解即⑦，2. 「由集合P={x2x4},Q={x1 一5即可.所以所求m的取值范是{nn 4 x<3},可得(CRP)∩Q={xx2或x 其补集为R, 属 4}∩{x1x<3}={x1<x2},故 远C 1.解令y=一x2十4x一1，因为y=一x2十1 p,q至少有一个为真命题时，实数a的取 值范图为R 4x-1=-(x-2)2+3≤3，又因为3x∈对点训练 3.B[由题意，集合M-{x∈Z一1d 2}={x∈Z0x3}={0,1,2,3},N R,-x4x-1>n有解，所以只要n小 解因为一力是假命题，所以力是真命题，， {xx=2k十1，k∈N},所以阴影部分表示 y的最大值即可，所以所求n的取值范！ 又Hx∈{x -3≤x≤2}，都有x∈{xa-4! 图是{mm<3}. ≤x≤a+5},所以{x-3≤x≤2}二{x 的集合为(CN)∩M={0,1,2},有3个 元素。 258