专题03 弧、弦、圆心角的关系九大题型专项训练（题型专练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 以九大题型为框架，系统整合弧、弦、圆心角关系的概念辨析、计算证明及综合应用，提炼解题逻辑链与转化方法，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|1典例+3变式|强调同圆前提，区分弦与弧符号，总结易错结论|从概念本质出发，建立关系成立的前提认知| |角度计算|1典例+3变式|等弦/弧转化圆心角，结合等腰三角形与周角计算|概念应用于角度推导，体现转化思想| |弧度数求解|1典例+3变式|劣弧度数=圆心角度数，优弧用360°减劣弧|深化弧与圆心角的定量关系| |线段/周长/面积计算|各1典例+3变式|等弧→等弦，拆分图形为等腰三角形计算|从定性到定量，综合几何直观与运算能力| |比较/倍数/证明/综合|各1典例+3变式|同圆中圆心角-弧-弦大小关系，方程思想证倍数，推理模板证相等|知识横向联结，提升综合应用与逻辑推理能力|

专题03 弧、弦、圆心角的关系九大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 弧、弦、圆心角关系的概念辨析 题型02 利用弧、弦、圆心角关系求角度 题型03 利用弧、弦、圆心角关系求弧的度数 题型04 利用弧、弦、圆心角关系求线段长 题型05 利用弧、弦、圆心角关系求周长或面积 题型06 利用弧、弦、圆心角关系比较大小 题型07 弧、弦、圆心角中的倍数关系 题型08 弧、弦、圆心角关系中的证明问题 题型09弧、弦、圆心角关系中的综合问题 ▌题型01 弧、弦、圆心角关系的概念辨析 1. 判断对错第一准则：必须有同圆或等圆前提，缺少则命题错误。 2. 区分符号：是线段弦，是弧，不可混用。 3. 劣弧只能和劣弧对比，不能用劣弧等于优弧；无特殊说明，弧默认劣弧。 4. 易错结论速记： · 等弦一定对等劣弧；等弧一定对等弦、等圆心角； · 半径不同的两个圆，圆心角相等，弧、弦绝不相等。 【典例1】下列说法中，正确的是（　　） A．等弦所对的弧相等 B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等 【答案】B． 【分析】根据题意画出符合已知条件的图形，再逐个判断即可． 【详解】解：A．如图， 弦AB＝弦AB，但是所对的两段弧不相等，故本选项不符合题意； B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，故本选项符合题意； C．如图， ∠AOB＝∠COD，但是弦AB和弦CD不相等，故本选项不符合题意； D．如图， 弦AB＝弦AB，但是圆心角∠ADB和∠ACB不相等，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，如果其中有一对量相等，那么其余两对量也分别相等． 【变式1-1】下列说法正确的个数有（　　） ①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等；⑤等弧所对的圆心角相等 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B． 【分析】根据半圆，等圆，等弧等知识一一判断即可． 【解答】解：①半圆是弧，正确； ②面积相等的两个圆是等圆，正确， ③所对的弦长相等的两条弧是等弧，错误，可能一条是优弧，一条是劣弧 ④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等，错误，应该同圆或等圆中． ⑤等弧所对的圆心角相等，正确． 故选：B． 【点睛】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，半圆，等圆，等弧等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式1-2】如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，CE＝DE，则下列说法错误的是（　　） A． B．OE＝BE C．CA＝DA D．AB⊥CD 【答案】D． 【分析】先利用垂径定理的推论可得AB⊥CD，，，从而可得AC＝AD，再连接OC，BC，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CE＝DE， ∴AB⊥CD，，， ∴AC＝AD， 故A、C、D不符合题意； 连接OC，BC， ∵OC≠CB，AB⊥CD ∴OE≠BE， 故B符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，熟练掌握垂径定理的推论是解题的关键． 【变式1-3】如图所示，在中，，则在①；②；③；④中，正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可． 【详解】解：在⊙O中，， ，故①正确； 为公共弧， ，故④正确； ，故②正确； ，故③正确； 综上分析可知，正确的有4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了弧，弦、圆心角之间的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． ▌题型02 利用弧、弦、圆心角关系求角度 解题必备 1. 转化逻辑：等弦 / 等劣弧 对应圆心角相等。 2. 基础角度工具： ① 所有半径相等， 为等腰三角形，等边对等角； ② 一周圆心角总和，平角，三角形内角和。 3. 标准书写依据：在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等。 解题步骤 1. 标出图中等弦、等弧； 2. 转化得到相等圆心角； 3. 结合等腰三角形、周角列算式 / 方程计算； 4. 无说明只求劣弧对应的圆心角。 【典例2】如图，点A、B、C、D在上，，点B是的中点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据弧，弦，圆心角的关系，易得，再根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 点B是的中点， ， ， ， ， ． 【变式1-1】如图，已知是的弦，且，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质． 根据弧、弦、圆心角之间的关系，可得，从而得到，再根据等边对等角的性质求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式1-2】如图，是的直径，是的弦，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 由，可求得，继而可求得的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1-3】如图，是的两条直径，是劣弧的中点，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据“同弧或等弧所对的弦长相等，对的圆心角也相等”求得，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质求解即可． 【详解】解：如下图，连接，    ∵是劣弧的中点，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． ▌题型03 利用弧、弦、圆心角关系求弧的度数 解题必备知识点 1. 核心公式：劣弧度数 = 其所对圆心角的度数；半圆 = 180°，整圆 = 360°。 2. 优弧度数计算：优弧度数 = 360° − 对应劣弧度数。 通用解题方法 1. 已知圆心角，直接得到弧的度数； 2. 已知弦相等，先推圆心角相等，再得出弧度数相等； 3. 多条弧相加总和为 360°，可设未知数解方程求单段弧度数。 【典例3】（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，以为圆心，为半径画分别交，于点，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解决问题的关键．连接，先根据等腰三角形的性质得出，由可得，则，根据三角形外角的性质得，然后根据三角形内角和定理计算出的度数，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 【变式1-1】（2026·江苏南京·一模）如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质得出，由四边形内角和为，根据可得出，根据圆心角和弧之间的关系即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 则的度数为． 【变式1-2】（24-25九年级上·全国·单元测试）已知，是的直径，弦，，则的度数是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了考查了圆的有关性质，等腰三角形的有关性质，平行线的性质，根据题意画图分情况分析即可，熟练掌握知识点的应是解题的关键． 【详解】如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵弦， ∴ ， ∴ ∴的度数是； 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵弦， ∴ ， ∴ ∴的度数是； 综上可知：的度数是或， 故选：． 【变式1-3】如图，已知为 的直径，CD是的弦，、的延长线交于点E，且． (1)若，求的度数； (2)若的度数是的度数的m倍，则m＝ ． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据得到，根据等腰三角形底角相等得，再根据三角形的外角定理得到，从而得到，再通过三角形外角定理即可得到的度数． （2）根据圆弧度数比等于对应的圆心角之比即可得到答案． 【详解】（1）解：如下图所示，连接， 由题意得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴， ∵, ∴； （2）解：∵对应的圆心角，对应的圆心角， ∴． 【点睛】本题考查圆的性质和三角形外角定理，解题的关键是熟练掌握圆的相关知识和三角形外角定理． ▌题型04 利用弧、弦、圆心角关系求线段长 解题必备知识点 1. 核心推理链：同圆 / 等圆中，等圆心角 等弧 等弦； 2. 辅助线常用：连接圆心与圆上点，得到相等半径。 解题步骤 1. 证明两条弧 / 两个圆心角相等； 2. 直接推出两条对应弦长度相等； 3. 结合等腰三角形、线段和差计算未知弦长。 已知图象过点、函数值相等类题目，同样适用代入法建立方程计算。 【典例4】如图，点A在半圆O上，BC是直径，．若AB＝2，则BC的长为 　 　． 【答案】． 【分析】连接OA，由圆心角，弦，弧的关系可得OA⊥BC，结合等腰直角三角形的性质可求解OB的长，进而可求解BC的长． 【详解】解：连接OA， ∵，BC是直径， ∴OA⊥BC， ∵OA＝OB，AB＝2， ∴OA＝OB， ∴BC＝2OA． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆周角，弦，弧的关系，等腰直角三角形的性质，求解OA，OB的长是解题的关键． 【变式1-1】如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝90°，AB，BC＝1，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【分析】过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E连接AC．证明△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE，EC，AC，可得结论． 【解答】解：过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E连接AC． ∵∠AOC＝90°， ∴∠ABC（360°﹣90°）＝135°， ∴∠ABE＝45°， ∵∠E＝90°，AB， ∴AE＝EB＝1， ∵BC＝1， ∴EC＝2， ∴AC， ∴OA＝OCAC． 故选：C． 【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【变式1-2】如图，点C是直径的三等分点，点D是弧的三等分点，若直径，则的长为 ． 【答案】 【分析】过D作于E，求出，解直角三角形求出、的长度，求出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，过D作于E， 则， ∵点C是直径的三等分点，直径， ∴，，， ∴， ∵点D是弧的三等分点， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和直角三角形的性质，能求出和半径的长度是解此题的关键． 【变式1-3】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，和是的直径，弦，若弦的长为，求弦的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题关键． 连接，根据平行线的性质，得、，通过等腰三角形的性质，推得，利用圆心角、弧、弦的关系即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ，， ， ， ， ． ▌题型05 利用弧、弦、圆心角关系求周长或面积 解题必备 1. 核心转化：同圆内等圆心角→等弦，多边形所有边长全部相等。 2. 周长计算规则：多边形周长 = 单条弦长 × 相等弦的数量，只算外围轮廓线段，内部重合线段不计。 3. 面积计算规则： ① 由多条等弦、半径围成四边形 / 三角形，拆分为多个全等等腰三角形； ② 总面积 = 单个等腰三角形面积 × 三角形个数； ③ 利用等弧等弦推出图形全等，割补转化为简单三角形计算。 4. 禁忌：圆心角存在倍数，但弦长无直接倍数，不可直接乘除弦长。 解题步骤 1. 根据弧 / 圆心角相等，证明所有围成图形的弦全部相等； 2. 将图形拆分为多个以半径为腰的等腰三角形； 3. 利用等腰三角形、勾股定理求出单条边长与单个三角形面积； 4. 求和算出多边形周长、总面积。 【典例5】如图，已知⊙O的半径等于1cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且，则四边形ABCD的周长等于（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 【答案】B． 【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦间的关系证得△AOD、△OCD、△COB是等边三角形，然后由等边三角形的性质求得线段AD、DC、CB与已知线段OA间的数量关系． 【解答】解：如图，连接OD、OC． ∵（已知）， ∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB（在同圆中，等弧所对的圆心角相等）； ∵AB是直径， ∴∠AOD+∠DOC+∠COB＝180°， ∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°； ∵OA＝OD（⊙O的半径）， ∴△AOD是等边三角形， ∴AD＝OD＝OA； 同理，得 OC＝OD＝CD，OC＝OB＝BC， ∴AD＝CD＝BC＝OA， ∴四边形ABCD的周长为：AD+CD+BC+AB＝5OA＝5×1cm＝5cm； 故选：B． 【变式1-1】如图，A、B是半径为3的⊙O上的两点，若∠AOB＝120°，C是的中点，则四边形AOBC的周长等于　 　． 【答案】12． 【分析】通过等弧所对的圆心角相等和∠AOB＝120°，得到△AOC和△BOC都是等边三角形，再求出四边形AOBC的周长． 【解答】解：∵C是的中点 ∴∠AOC＝∠BOC，而∠AOB＝120° ∴∠AOC＝∠BOC＝60° ∴△AOC和△BOC都是等边三角形 ∴OA＝OB＝CA＝CB＝3 所以四边形AOBC的周长等于12． 故填12． 【变式1-2】如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（　　） A．25 B．25 C． D． 【答案】D． 【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC＝∠BOC＝60°，易得△OAC和△OBC都是等边三角形，即可解决问题． 【解答】解：连OC，如图， ∵C是的中点，∠AOB＝120°， ∴∠AOC＝∠BOC＝60°， 又∵OA＝OC＝OB， ∴△OAC和△OBC都是等边三角形， ∴S四边形AOBC＝2． 故选：D． 【变式1-3】如图，在半径为1的⊙O上任取一点A，连续以1为半径在⊙O上截取AB＝BC＝CD，分别以A、D为圆心A到C的距离为半径画弧，两弧交于E，以A为圆心O到E的距离为半径画弧，交⊙O于F．则△ACF面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【分析】连OA，OB，AD，DF，过A作AG⊥CF于G点，由AB＝OA＝OB＝1，得到∠AOB＝60°，弧AB的度数＝60°，而AB＝BC＝CD，得弧ABD的度数＝3×60°＝180°，所以AD为⊙O的直径，∠CFA＝60°；再由AN＝AF＝OE，则AD平分NF，EF过O点，弧FD＝弧FA，得到△FAD为等腰直角三角形，可得FAAD，在Rt△AGF中，GFAF，AGGF，在Rt△AGC中，CG＝AG，最后利用三角形的面积公式即可求出△ACF面积． 【解答】解：连OA，OB，AD，DF，过A作AG⊥CF于G点，连OE交⊙O于N，连AN，如图， ∵AB＝OA＝OB＝1， ∴△OAB为等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴弧AB的度数＝60°， 又∵AB＝BC＝CD， ∴弧AB＝弧BC＝弧CD， ∴弧ABD的度数＝3×60°＝180°， ∴AD为⊙O的直径，∠CFA＝60°， ∵AN＝AF＝OE，∴AD平分NF，∴EF过O点， ∴弧FD＝弧FA， ∴△FAD为等腰直角三角形， ∴∠FCA＝∠FDA＝45°，FAAD， 在Rt△AGF中，GFAF，AGGF， 在Rt△AGC中，CG＝AG， ∴S△ACFCF•AG（）． 故选：D． ▌题型06 利用弧、弦、圆心角关系比较大小 解题必备（仅限同圆 / 等圆） 1. 圆心角越大，所对劣弧度数越大，所对弦越长； 2. 劣弧越长，对应圆心角越大，弦越长；弦越长，对应劣弧越大； 3. 不同圆无法直接比较弧、弦大小，必须看半径。 解题方法 1. 先判断是否为同圆 / 等圆，不是则无法直接比较； 2. 转化为比较圆心角度数，度数大则弧、弦更大。 【典例6】如图，在⊙O中，如果2，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（　　） A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＞2AC D．AB＜2AC 【答案】D． 【分析】取弧AB的中点D，连接AD，BD，则22，由已知条件2，得出，根据圆心角、弧、弦关系定理的推论得到AD＝BD＝AC，又在△ABD中，根据三角形三边关系定理得出AD+BD＞AB，即可得到AB＜2AC． 【详解】解：如图，取弧AB的中点D，连接AD，BD，则22， ∵2， ∴， ∴AD＝BD＝AC． 在△ABD中，AD+BD＞AB， ∴AC+AC＞AB，即AB＜2AC． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、三角形的三边关系及应用，解本题的关键在充分利用数形结合思想． 【变式1-1】如图，在⊙O中，已知，则AC与BD的关系是（　　） A．AC＝BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不确定 【答案】A． 【分析】由，得到，于是推出，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴AC＝BD． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，正确的理解圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 【变式1-2】如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果，那么AB+CD与EF的大小关系是（　　） A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD＞EF D．大小关系不确定 【答案】C． 【分析】在弧EF上取一点M使弧EM＝弧CD，推出弧FM＝弧AB，根据圆心角、弧、弦的关系得到AB＝FM，CD＝EM，根据三角形的三边关系定理求出FM+EM＞FE即可． 【详解】解：如图，在弧EF上取一点M使弧EM＝弧CD， 则弧FM＝弧AB， ∴AB＝FM，CD＝EM， 在△MEF中，FM+EM＞EF， ∴AB+CD＞EF． 故选：C． 【变式1-3】如图,AB是⊙O的直径,P是AB上一点,C、D分别是圆上的点,且∠CPB=∠DPB,=,试比较线段PC、PD的大小关系. 【答案】见解析 【分析】连接OC、OD，根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等得∠BOC=∠BOD，即可根据SAS证得△OPC≌△OPD，则PC=PD可以证得． 【详解】PC=PD. 连接OC、OD, 则∵=, ∴∠BOC=∠BOD, 又OP=OP,OC=OD, ∴△OPC≌△OPD, ∴PC=PD. 【点睛】考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定与性质，证明∠BOC=∠BOD是解题的关键. ▌题型07 弧、弦、圆心角中的倍数关系 解题必备知识点 1. 同圆中，圆心角的倍数 = 对应劣弧度数的倍数；弦长度无直接倍数关系； 2. 所有圆心角相加总和为 360°，可建立一元一次方程求解。 解题流程 1. 设较小圆心角度数为，倍数大的圆心角表示为； 2. 根据图形列出全部圆心角相加 = 360°； 3. 解出，求出各圆心角、对应弧度数； 4. 由弧相等推出对应弦相等。 【典例7】如图，在⊙O中，AB是直径，CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，求证：2． 【分析】首先推出DE⊥OC，求出∠EDO＝90°，根据ODOCOE，求出∠DEO＝30°，求出∠EOC，根据OC⊥AB，求出∠BOC＝90°，求出∠BOE＝30°，即可求出答案． 【详解】证明：∵AB⊥OC，DE∥AB， ∴DE⊥OC， ∴∠EDO＝90°， ∵D为OC中点， ∴ODOCOE， ∴∠DEO＝30°， ∴∠EOC＝90°﹣30°＝60°， ∵OC⊥AB， ∴∠AOC＝90°， ∴∠BOE＝90°﹣60°＝30°， 即∠BOE＝30°，∠COE＝60°， ∴2． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，和30度角的直角三角形，利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数是解答此题的关键． 【变式1-1】如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，若∠AOB是锐角，且∠AOB＝2∠BOC，则下列结论正确的是（　　）个 ①AB＝2BC；②2；③∠ACB＝2∠CAB；④∠ACB＝∠BOC． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C． 【分析】首先取的中点D，连接AD，BD，由∠AOB＝2∠BOC，易得AD＝BD＝BC，继而证得AB＜2BC，又由圆周角定理，可得∠AOB＝4∠CAB，∠ACB＝∠BOC＝2∠CAB． 【详解】解：取的中点D，连接AD，BD， ∵∠AOB＝2∠BOC， ∴2，故②正确， ∴， ∴AD＝BD＝BC， ∵AB＜AD+BD， ∴AB＜2BC．故①错误， ∵∠AOB＝2∠BOC，∠BOC＝2∠CAB， ∴∠AOB＝4∠CAB， ∵∠AOB＝2∠ACB， ∴∠ACB＝∠BOC＝2∠CAB，故③④正确． 故选：C． 【点睛】此题考查了弧、弦与圆心角的关系以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 【变式1-2】圆的一条弦把圆分为度数比为1：3的两条弧，则弦心距与弦长的比为（　　） A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．1：2 【答案】D． 【分析】根据已知条件得到弦所对的圆心角∠AOB360°＝90°；求得△AOB是等腰直角三角形，过O作OC⊥AB于C，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：弦AB将⊙O分成了度数比为1：3两条弧． 则弦所对的圆心角∠AOB360°＝90°； ∴△AOB是等腰直角三角形， 过O作OC⊥AB于C， ∴OCAB， ∴弦心距与弦长的比为1：2， 故选：D． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在解答此类问题时要注意是在“同圆或等圆中”才适用，这是此类问题的易错点． 【变式1-3】如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且3，则弦AC与弦BC的关系是（　　） A．AC＝3BC B．ACBC C．AC＝（1）BC D．AC＝BC 【答案】C． 【分析】如图，过点O作OD⊥AB，交AC于D，连接BD，OC，证明△CDB是等腰直角三角形，且AD＝BD，设CD＝CB＝x，则AD＝BDx，计算AC和BC的比可得结论． 【详解】解：如图，过点O作OD⊥AB，交AC于D，连接BD，OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵3， ∴∠AOC＝135°， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO＝22.5°， ∵OD是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD＝22.5°， ∴∠CDB＝∠CBD＝45°， 设CD＝CB＝x，则AD＝BDx， ∴， ∴AC＝（1）BC． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆心角和弧的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，常通过作辅助线构建等腰直角三角形是解本题的关键． ▌题型08 弧、弦、圆心角关系中的证明问题 解题必备推理模板 1. 证明弦相等：先证弧相等 / 圆心角相等； 2. 证明弧相等：先证弦相等 / 圆心角相等； 证明圆心角相等：先证弦相等 / 弧相等。 【典例8】如图，在中，弦、于点E，且．求证：．    【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 【分析】本题考查圆的相关性质，解题的关键是利用在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等这一性质进行推理。 先根据已知弦相等得出弧相等，再通过弧的运算得到，最后根据弧与弦的关系得出弦相等。 【详解】略 【变式1-1】如图，在中，，以为直径的分别交于点E，F．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”证明即可． 【详解】证明：∵， ∴ ∴ ， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】如图，在⊙O中，OA、OB是半径，OA⊥OB，C、D是的三等分点，OC、OD分别交AB于点E、F，求证：AE＝CD＝BF． 【答案】见详解； 【分析】由于C、D是弧AB的三等分点，易得∠AOC＝∠DOB，又OA＝OB＝OC，易证得△AOC≌△OCD，可得∠ACO＝∠OCD，易知∠AEC＝∠OCD，因此∠ACO＝∠AEC，即AE＝BF＝CD． 【详解】解：连接AC、BD，如图所示： ∵C，D是的三等分点， ∴AC＝CD＝BD，∠AOC＝∠COD，OA＝OC＝OD， 在△ACO与△DCO中，， ∵∴△ACO≌△DCO（SAS）， ∴∠ACO＝∠OCD． ∵∠OEF＝∠OAE+∠AOE＝45°+30°＝75°，∠OCD＝75°， ∴∠OEF＝∠OCD， ∴CD∥AB， ∴∠AEC＝∠OCD， ∴∠ACO＝∠AEC， ∴AC＝AE， 同理，BF＝BD． 又∵AC＝CD＝BD， ∴AE＝CD＝BF． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键． 【变式1-2】如图，在中，为的中点，于点，于点 (1)求证：． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：如图，连接 为的中点， ， ， 平分． 又，， ． (2) 【分析】（1）根据弧、圆心角的关系得平分．进而利用角平分线的性质定理即可得证． （2）连接由，得 ．进而得．利用度直角三角形的性质得，进而根据勾股定理得，从而即可求得．同理，可得，于是即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接 由（1）得， ， ． ∵， ∴， ． ， 在中，， ， ． 同理，可得， ． 【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，角平分线的性质定理，勾股定理，30度直角三角形的性质及直角三角形的两锐角互余，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系，角平分线的性质定理及勾股定理是解题的关键． ▌题型09 弧、弦、圆心角关系中的综合问题 解题必备整合考点 概念辨析、角度计算、弧度数求解、线段证明、倍数与大小比较综合考查。 通用解题步骤 1. 标记图形中相等半径、相等弦、相等弧； 2. 利用圆心角、弧、弦等量关系做条件转化； 3. 结合等腰三角形、周角、线段和差计算； 4. 证明步骤必须注明前提 “同圆 / 等圆”。 【典例9】如图，为半圆的直径，点C、D在半圆上． (1)若，求和的大小； (2)若点C、D在半圆上运动，并保持弧的长度不变，（点C、D不与点A、B重合）．试比较和的大小． 【答案】(1)；； (2)见详解． 【分析】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系，圆周角定理等知识点，解题的关键是正确的利用三者之间的关系． （1）根据弧和圆心角之间的关系可以得到圆周角的大小； （2）利用相等的弧所对的圆周角相等可以判断圆周角的大小关系． 【详解】（1）解：连接，如图： ， ， ， ， ， ， （2）解：连接，如图： 若，则， 则，即， 又， ， ； 若，同理可证； 若，同理可证． 【变式1-1】如图，AB是⊙O的直径，点C，E都在⊙O上，OC⊥AB，2，DE∥AB交OC于点D，延长OC至点F，使FC＝OC，连接EF． （1）求证：CD＝OD． （2）若⊙O的直径是4，求EF的长． 【答案】（1）见详解； （2）2． 【分析】（1）连接OE、CE，如图，利用2得到∠COE＝2∠AOE＝60°，则可判定△OCE为等边三角形，接着证明DE⊥OC，然后根据等边三角形的性质得到结论； （2）先利用勾股定理计算出DE，然后在Rt△EFD中利用勾股定理计算EF． 【详解】（1）证明：连接OE、CE，如图， ∵OC⊥AB， ∴∠AOC＝90°， ∵2， ∴∠COE＝2∠AOE， ∴∠COE＝60°， 而OE＝OC， ∴△OCE为等边三角形， ∵DE∥AB，OC⊥AB， ∴DE⊥OC， ∴CD＝OD； （2）解：∵⊙O的直径是4， ∴OE＝OC＝CF＝2，CD＝OD＝1， 在Rt△ODE中，DE， 在Rt△EFD中，EF2． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了等边三角形的判定与性质． 【变式1-2】如图，正方形内接于，为弧中点，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求点到的距离． 【答案】(1) 四边形是正方形， ， 为弧的中点， ， ∴， ， 是等腰三角形． (2) 【分析】（1）先由正方形的性质得，再结合为弧的中点，得出，则，故，即可作答． （2）先证明是线段的垂直平分线，再结合勾股定理得，算出，，则，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，连接并延长交于点， ，， 是线段的垂直平分线， 四边形是正方形， ， ∵， ， ∴， 则， ∴， ， ， 即点到的距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）小明在完成作业“如图1，，、是以点为圆心的的三等分点，弦分别交于点，求证：”的基础上，做了如下尝试如图2“把改为，其他不变”，证明成功后，大胆猜想：“如图3，，、是以点为圆心的的三等分点，弦分别交于点，求证：”．请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程． 【答案】 尝试：证明：如图，连接、， 是的三等分点，， ，， ． ， ． ， ， ． 在中，， ， ． 同理可证， 结合， ． 猜想：证明：如图，连接、， 是的三等分点，， ，， ． ， ． ， ， ． 在中，， ， ． 同理可证， 结合， ． 【分析】尝试：当时，先根据弧的三等分性质得到等弧，进而推出等弦；再通过等腰三角形内角计算，证明，得出，同理证明，最终得到； 猜想：同理，对的情况，通过计算等腰三角形的内角，证明，得出，同理，结合等弧对等弦的性质完成证明． 【详解】尝试： 略 猜想： 略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 弧、弦、圆心角的关系九大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 弧、弦、圆心角关系的概念辨析 题型02 利用弧、弦、圆心角关系求角度 题型03 利用弧、弦、圆心角关系求弧的度数 题型04 利用弧、弦、圆心角关系求线段长 题型05 利用弧、弦、圆心角关系求周长或面积 题型06 利用弧、弦、圆心角关系比较大小 题型07 弧、弦、圆心角中的倍数关系 题型08 弧、弦、圆心角关系中的证明问题 题型09弧、弦、圆心角关系中的综合问题 ▌题型01 弧、弦、圆心角关系的概念辨析 1. 判断对错第一准则：必须有同圆或等圆前提，缺少则命题错误。 2. 区分符号：是线段弦，是弧，不可混用。 3. 劣弧只能和劣弧对比，不能用劣弧等于优弧；无特殊说明，弧默认劣弧。 4. 易错结论速记： · 等弦一定对等劣弧；等弧一定对等弦、等圆心角； · 半径不同的两个圆，圆心角相等，弧、弦绝不相等。 【典例1】下列说法中，正确的是（　　） A．等弦所对的弧相等 B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等 【变式1-1】下列说法正确的个数有（　　） ①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等；⑤等弧所对的圆心角相等 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，CE＝DE，则下列说法错误的是（　　） A． B．OE＝BE C．CA＝DA D．AB⊥CD 【变式1-3】如图所示，在中，，则在①；②；③；④中，正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 ▌题型02 利用弧、弦、圆心角关系求角度 解题必备 1. 转化逻辑：等弦 / 等劣弧 对应圆心角相等。 2. 基础角度工具： ① 所有半径相等， 为等腰三角形，等边对等角； ② 一周圆心角总和，平角，三角形内角和。 3. 标准书写依据：在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等。 解题步骤 1. 标出图中等弦、等弧； 2. 转化得到相等圆心角； 3. 结合等腰三角形、周角列算式 / 方程计算； 4. 无说明只求劣弧对应的圆心角。 【典例2】如图，点A、B、C、D在上，，点B是的中点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，已知是的弦，且，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，是的直径，是的弦，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，是的两条直径，是劣弧的中点，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． ▌题型03 利用弧、弦、圆心角关系求弧的度数 解题必备知识点 1. 核心公式：劣弧度数 = 其所对圆心角的度数；半圆 = 180°，整圆 = 360°。 2. 优弧度数计算：优弧度数 = 360° − 对应劣弧度数。 通用解题方法 1. 已知圆心角，直接得到弧的度数； 2. 已知弦相等，先推圆心角相等，再得出弧度数相等； 3. 多条弧相加总和为 360°，可设未知数解方程求单段弧度数。 【典例3】（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，以为圆心，为半径画分别交，于点，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·江苏南京·一模）如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·全国·单元测试）已知，是的直径，弦，，则的度数是（   ） A． B． C． D．或 【变式1-3】如图，已知为 的直径，CD是的弦，、的延长线交于点E，且． (1)若，求的度数； (2)若的度数是的度数的m倍，则m＝ ． ▌题型04 利用弧、弦、圆心角关系求线段长 解题必备知识点 1. 核心推理链：同圆 / 等圆中，等圆心角 等弧 等弦； 2. 辅助线常用：连接圆心与圆上点，得到相等半径。 解题步骤 1. 证明两条弧 / 两个圆心角相等； 2. 直接推出两条对应弦长度相等； 3. 结合等腰三角形、线段和差计算未知弦长。 已知图象过点、函数值相等类题目，同样适用代入法建立方程计算。 【典例4】如图，点A在半圆O上，BC是直径，．若AB＝2，则BC的长为 　 　． 【变式1-1】如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝90°，AB，BC＝1，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，点C是直径的三等分点，点D是弧的三等分点，若直径，则的长为 ． 【变式1-3】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，和是的直径，弦，若弦的长为，求弦的长． ▌题型05 利用弧、弦、圆心角关系求周长或面积 解题必备 1. 核心转化：同圆内等圆心角→等弦，多边形所有边长全部相等。 2. 周长计算规则：多边形周长 = 单条弦长 × 相等弦的数量，只算外围轮廓线段，内部重合线段不计。 3. 面积计算规则： ① 由多条等弦、半径围成四边形 / 三角形，拆分为多个全等等腰三角形； ② 总面积 = 单个等腰三角形面积 × 三角形个数； ③ 利用等弧等弦推出图形全等，割补转化为简单三角形计算。 4. 禁忌：圆心角存在倍数，但弦长无直接倍数，不可直接乘除弦长。 解题步骤 1. 根据弧 / 圆心角相等，证明所有围成图形的弦全部相等； 2. 将图形拆分为多个以半径为腰的等腰三角形； 3. 利用等腰三角形、勾股定理求出单条边长与单个三角形面积； 4. 求和算出多边形周长、总面积。 【典例5】如图，已知⊙O的半径等于1cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且，则四边形ABCD的周长等于（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 【变式1-1】如图，A、B是半径为3的⊙O上的两点，若∠AOB＝120°，C是的中点，则四边形AOBC的周长等于　 　． 【变式1-2】如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（　　） A．25 B．25 C． D． 【变式1-3】如图，在半径为1的⊙O上任取一点A，连续以1为半径在⊙O上截取AB＝BC＝CD，分别以A、D为圆心A到C的距离为半径画弧，两弧交于E，以A为圆心O到E的距离为半径画弧，交⊙O于F．则△ACF面积是（　　） A． B． C． D． ▌题型06 利用弧、弦、圆心角关系比较大小 解题必备（仅限同圆 / 等圆） 1. 圆心角越大，所对劣弧度数越大，所对弦越长； 2. 劣弧越长，对应圆心角越大，弦越长；弦越长，对应劣弧越大； 3. 不同圆无法直接比较弧、弦大小，必须看半径。 解题方法 1. 先判断是否为同圆 / 等圆，不是则无法直接比较； 2. 转化为比较圆心角度数，度数大则弧、弦更大。 【典例6】如图，在⊙O中，如果2，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（　　） A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＞2AC D．AB＜2AC 【变式1-1】如图，在⊙O中，已知，则AC与BD的关系是（　　） A．AC＝BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不确定 【变式1-2】如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果，那么AB+CD与EF的大小关系是（　　） A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD＞EF D．大小关系不确定 【变式1-3】如图,AB是⊙O的直径,P是AB上一点,C、D分别是圆上的点,且∠CPB=∠DPB,=,试比较线段PC、PD的大小关系. ▌题型07 弧、弦、圆心角中的倍数关系 解题必备知识点 1. 同圆中，圆心角的倍数 = 对应劣弧度数的倍数；弦长度无直接倍数关系； 2. 所有圆心角相加总和为 360°，可建立一元一次方程求解。 解题流程 1. 设较小圆心角度数为，倍数大的圆心角表示为； 2. 根据图形列出全部圆心角相加 = 360°； 3. 解出，求出各圆心角、对应弧度数； 4. 由弧相等推出对应弦相等。 【典例7】如图，在⊙O中，AB是直径，CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，求证：2． 【变式1-1】如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，若∠AOB是锐角，且∠AOB＝2∠BOC，则下列结论正确的是（　　）个 ①AB＝2BC；②2；③∠ACB＝2∠CAB；④∠ACB＝∠BOC． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】圆的一条弦把圆分为度数比为1：3的两条弧，则弦心距与弦长的比为（　　） A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．1：2 【变式1-3】如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且3，则弦AC与弦BC的关系是（　　） A．AC＝3BC B．ACBC C．AC＝（1）BC D．AC＝BC ▌题型08 弧、弦、圆心角关系中的证明问题 解题必备推理模板 1. 证明弦相等：先证弧相等 / 圆心角相等； 2. 证明弧相等：先证弦相等 / 圆心角相等； 证明圆心角相等：先证弦相等 / 弧相等。 【典例8】如图，在中，弦、于点E，且．求证：．    【变式1-1】如图，在中，，以为直径的分别交于点E，F．求证：． 【变式1-2】如图，在⊙O中，OA、OB是半径，OA⊥OB，C、D是的三等分点，OC、OD分别交AB于点E、F，求证：AE＝CD＝BF． 【变式1-2】如图，在中，为的中点，于点，于点 (1)求证：． (2)若，，求四边形的面积． ▌题型09 弧、弦、圆心角关系中的综合问题 解题必备整合考点 概念辨析、角度计算、弧度数求解、线段证明、倍数与大小比较综合考查。 通用解题步骤 1. 标记图形中相等半径、相等弦、相等弧； 2. 利用圆心角、弧、弦等量关系做条件转化； 3. 结合等腰三角形、周角、线段和差计算； 4. 证明步骤必须注明前提 “同圆 / 等圆”。 【典例9】如图，为半圆的直径，点C、D在半圆上． (1)若，求和的大小； (2)若点C、D在半圆上运动，并保持弧的长度不变，（点C、D不与点A、B重合）．试比较和的大小． 【变式1-1】如图，AB是⊙O的直径，点C，E都在⊙O上，OC⊥AB，2，DE∥AB交OC于点D，延长OC至点F，使FC＝OC，连接EF． （1）求证：CD＝OD． （2）若⊙O的直径是4，求EF的长． 【变式1-2】如图，正方形内接于，为弧中点，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求点到的距离． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）小明在完成作业“如图1，，、是以点为圆心的的三等分点，弦分别交于点，求证：”的基础上，做了如下尝试如图2“把改为，其他不变”，证明成功后，大胆猜想：“如图3，，、是以点为圆心的的三等分点，弦分别交于点，求证：”．请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 弧、弦、圆心角的关系九大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 弧、弦、圆心角关系的概念辨析 题型02 利用弧、弦、圆心角关系求角度 题型03 利用弧、弦、圆心角关系求弧的度数 题型04 利用弧、弦、圆心角关系求线段长 题型05 利用弧、弦、圆心角关系求周长或面积 题型06 利用弧、弦、圆心角关系比较大小 题型07 弧、弦、圆心角中的倍数关系 题型08 弧、弦、圆心角关系中的证明问题 题型09弧、弦、圆心角关系中的综合问题 ▌题型01 弧、弦、圆心角关系的概念辨析 【典例1】【答案】B． 【变式1-1】【答案】B． 【变式1-2】【答案】D． 【变式1-3】【答案】D ▌题型02 利用弧、弦、圆心角关系求角度 【典例2】【答案】B 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】【答案】B 【变式1-3】【答案】C ▌题型03 利用弧、弦、圆心角关系求弧的度数 【典例3】【答案】B 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】D 【变式1-3】 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据得到，根据等腰三角形底角相等得，再根据三角形的外角定理得到，从而得到，再通过三角形外角定理即可得到的度数． （2）根据圆弧度数比等于对应的圆心角之比即可得到答案． 【详解】（1）解：如下图所示，连接， 由题意得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴， ∵, ∴； （2）解：∵对应的圆心角，对应的圆心角， ∴． 【点睛】本题考查圆的性质和三角形外角定理，解题的关键是熟练掌握圆的相关知识和三角形外角定理． ▌题型04 利用弧、弦、圆心角关系求线段长 【典例4】【答案】． 【变式1-1】【答案】C． 【变式1-2】【答案】 【变式1-3】 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题关键． 连接，根据平行线的性质，得、，通过等腰三角形的性质，推得，利用圆心角、弧、弦的关系即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ，， ， ， ， ． ▌题型05 利用弧、弦、圆心角关系求周长或面积 【典例5】【答案】B． 【变式1-1】【答案】12． 【变式1-2】【答案】D． 【变式1-3】【答案】D． ▌题型06 利用弧、弦、圆心角关系比较大小 【典例6】【答案】D． 【变式1-1】【答案】A． 【变式1-2】【答案】C． 【变式1-3】 【答案】见解析 【分析】连接OC、OD，根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等得∠BOC=∠BOD，即可根据SAS证得△OPC≌△OPD，则PC=PD可以证得． 【详解】PC=PD. 连接OC、OD, 则∵=, ∴∠BOC=∠BOD, 又OP=OP,OC=OD, ∴△OPC≌△OPD, ∴PC=PD. 【点睛】考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定与性质，证明∠BOC=∠BOD是解题的关键. ▌题型07 弧、弦、圆心角中的倍数关系 【典例7】 【分析】首先推出DE⊥OC，求出∠EDO＝90°，根据ODOCOE，求出∠DEO＝30°，求出∠EOC，根据OC⊥AB，求出∠BOC＝90°，求出∠BOE＝30°，即可求出答案． 【详解】证明：∵AB⊥OC，DE∥AB， ∴DE⊥OC， ∴∠EDO＝90°， ∵D为OC中点， ∴ODOCOE， ∴∠DEO＝30°， ∴∠EOC＝90°﹣30°＝60°， ∵OC⊥AB， ∴∠AOC＝90°， ∴∠BOE＝90°﹣60°＝30°， 即∠BOE＝30°，∠COE＝60°， ∴2． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，和30度角的直角三角形，利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数是解答此题的关键． 【变式1-1】【答案】C． 【变式1-2】【答案】D． 【变式1-3】【答案】C． ▌题型08 弧、弦、圆心角关系中的证明问题 【典例8】    【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 【分析】本题考查圆的相关性质，解题的关键是利用在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等这一性质进行推理。 先根据已知弦相等得出弧相等，再通过弧的运算得到，最后根据弧与弦的关系得出弦相等。 【详解】略 【变式1-1】 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”证明即可． 【详解】证明：∵， ∴ ∴ ， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】 【答案】见详解； 【分析】由于C、D是弧AB的三等分点，易得∠AOC＝∠DOB，又OA＝OB＝OC，易证得△AOC≌△OCD，可得∠ACO＝∠OCD，易知∠AEC＝∠OCD，因此∠ACO＝∠AEC，即AE＝BF＝CD． 【详解】解：连接AC、BD，如图所示： ∵C，D是的三等分点， ∴AC＝CD＝BD，∠AOC＝∠COD，OA＝OC＝OD， 在△ACO与△DCO中，， ∵∴△ACO≌△DCO（SAS）， ∴∠ACO＝∠OCD． ∵∠OEF＝∠OAE+∠AOE＝45°+30°＝75°，∠OCD＝75°， ∴∠OEF＝∠OCD， ∴CD∥AB， ∴∠AEC＝∠OCD， ∴∠ACO＝∠AEC， ∴AC＝AE， 同理，BF＝BD． 又∵AC＝CD＝BD， ∴AE＝CD＝BF． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键． 【变式1-2】 【答案】(1) 证明：如图，连接 为的中点， ， ， 平分． 又，， ． (2) 【分析】（1）根据弧、圆心角的关系得平分．进而利用角平分线的性质定理即可得证． （2）连接由，得 ．进而得．利用度直角三角形的性质得，进而根据勾股定理得，从而即可求得．同理，可得，于是即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接 由（1）得， ， ． ∵， ∴， ． ， 在中，， ， ． 同理，可得， ． 【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，角平分线的性质定理，勾股定理，30度直角三角形的性质及直角三角形的两锐角互余，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系，角平分线的性质定理及勾股定理是解题的关键． ▌题型09 弧、弦、圆心角关系中的综合问题 【典例9】 【答案】(1)；； (2)见详解． 【分析】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系，圆周角定理等知识点，解题的关键是正确的利用三者之间的关系． （1）根据弧和圆心角之间的关系可以得到圆周角的大小； （2）利用相等的弧所对的圆周角相等可以判断圆周角的大小关系． 【详解】（1）解：连接，如图： ， ， ， ， ， ， （2）解：连接，如图： 若，则， 则，即， 又， ， ； 若，同理可证； 若，同理可证． 【变式1-1】 【答案】（1）见详解； （2）2． 【分析】（1）连接OE、CE，如图，利用2得到∠COE＝2∠AOE＝60°，则可判定△OCE为等边三角形，接着证明DE⊥OC，然后根据等边三角形的性质得到结论； （2）先利用勾股定理计算出DE，然后在Rt△EFD中利用勾股定理计算EF． 【详解】（1）证明：连接OE、CE，如图， ∵OC⊥AB， ∴∠AOC＝90°， ∵2， ∴∠COE＝2∠AOE， ∴∠COE＝60°， 而OE＝OC， ∴△OCE为等边三角形， ∵DE∥AB，OC⊥AB， ∴DE⊥OC， ∴CD＝OD； （2）解：∵⊙O的直径是4， ∴OE＝OC＝CF＝2，CD＝OD＝1， 在Rt△ODE中，DE， 在Rt△EFD中，EF2． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了等边三角形的判定与性质． 【变式1-2】 【答案】(1) 四边形是正方形， ， 为弧的中点， ， ∴， ， 是等腰三角形． (2) 【分析】（1）先由正方形的性质得，再结合为弧的中点，得出，则，故，即可作答． （2）先证明是线段的垂直平分线，再结合勾股定理得，算出，，则，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，连接并延长交于点， ，， 是线段的垂直平分线， 四边形是正方形， ， ∵， ， ∴， 则， ∴， ， ， 即点到的距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式1-3】 【答案】 尝试：证明：如图，连接、， 是的三等分点，， ，， ． ， ． ， ， ． 在中，， ， ． 同理可证， 结合， ． 猜想：证明：如图，连接、， 是的三等分点，， ，， ． ， ． ， ， ． 在中，， ， ． 同理可证， 结合， ． 【分析】尝试：当时，先根据弧的三等分性质得到等弧，进而推出等弦；再通过等腰三角形内角计算，证明，得出，同理证明，最终得到； 猜想：同理，对的情况，通过计算等腰三角形的内角，证明，得出，同理，结合等弧对等弦的性质完成证明． 【详解】尝试： 略 猜想： 略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $