微专题01 垂径定理的四大题型（专项训练）数学北师大版九年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题01垂径定理的四大题型 题型一利用垂径定理求线段的长 题型二利用垂径定理求平行弦问题 垂径定理的四大题型 题型三利用垂径定理求同心圆问题 题型四利用垂径定理求解实际问题 德点量请 题型一利用垂径定理求线段的长 味方法 核心技巧：构建直角三角形，利用勾股定理。 1.关联三要素：遇到弦、弦心距、半径（或直径）问题时，立即联想垂径定理，它提供了垂直与平分的关 系。 2.构建直角三角形：由半径（斜边）、弦的一半（一条直角边）和弦心距（另一条直角边）构成一个直角三 角形，这是解题的核心图形。 3.列方程求解：在构建的直角三角形中，使用勾股定理2=卫+（号(r为半径，d为弦心距，1为弦长） 建立方程。通常已知其中两个量，即可解出第三个。 *关键*：准确找出或作出“垂直于弦的直径”，这是构造直角三角形的起点。 1.(25-26九年级上西藏拉萨.期末)如图，已知00的半径为10cm,弦AB=16cm,则圆心O到弦AB的 距离0C的长是 B 2.(25-26九年级上全国期末)如图，⊙0的直径AB=10,弦CD⊥AB于点E,AE=2,则弦CD的长 为 1/9 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26九年级上山东潍坊月考)如图，在O0中将弧AB沿弦AB翻折经过圆心O交弦BE于点 F,BF=2EF,AB=2V7,则BE长为 4.(25-26九年级上·湖南长沙月考)如图，AB,AC是O0两条互相垂直的弦，OD⊥AB于点D, OE⊥AC于点E,连接DE,若AB=6,AC=8,则DE的长为 B 5.(2025九年级上·全国·专题练习)己知A,B为⊙0上的两点，C为弦AB的中点，过点C的直径交⊙0于 点D,E,若AB=8,OD=5,则CD的长为 6.(25-26九年级上江苏宿迁期中)如图，AB是O0的直径，CD是⊙0的弦，CD⊥AB于点E,点F在 ⊙O上且CF=CA,连接AF, F E B D (I)求证：AF=CD; (②)连接BD,若AE=2,AF=8,求BD的长. 7.(25-26九年级上·北京期末)如图，AB是⊙0的直径，弦CD⊥AB于点E,且E为OA中点，CD=6. 2/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求⊙0的半径r的长； (2)过C作DA的垂线段交DA延长线于F,求AF的长 8.(25-26九年级上江苏扬州月考)如图，OA=0B,AB交⊙0于点C,D,OE是半径，且0E1AB于 点F D E (1)求证：AC=BD; (2)若CD=8,EF=1,求00的半径. 题型二利用垂径定理求平行弦问题 啸方法 核心技巧：利用弦心距建立等量与关系。 1.明确核心：平行弦的弦心距相等。这是连接两条弦的桥梁。 2.分别构建直角三角形：对每条弦，分别利用垂径定理，将其半径r、弦长的一半、弦心距d置于同一个直 角三角形中。 3.联立方程求解：由于两弦的弦心距相等（平行）且半径相同（同圆或等圆），可列出关于弦长、距离的方 程组。常设未知数，通过勾股定理联立求解。 关键：当平行弦在圆心同侧时，两弦间距为弦心距之差；在圆心异侧时，两弦间距为弦心距之和。据此可 建立方程。 1.(24-25九年级上·黑龙江绥化期中)已知⊙0的半径为13，弦AB∥CD,AB=24,CD=10,则两弦之 间的距离为」 2.(25-26九年级上河南许昌期中)已知在⊙0中有两条平行弦AB∥CD,AB=12,CD=16,⊙0的半 径是10，则AB与CD间的距离是 3.(25-26九年级上河南新乡·月考)己知o0的半径为6cm,弦AB∥CD,且AB=6√2cm,CD=6V3cm ,则AB与CD之间的距离为一 3/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(2025浙江杭州模拟预测)如图，A,B,C,D在O0上，AB/CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F, 与CD交于点E,已知O0半径为5. (1)若AB=6,CD=8,求EF的长； (2)若CD=46,且EF=BF,求弦AB的长； 5.(25-26九年级上全国·期末)如图，在以点0为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O)中，大圆的 弦AB交小圆于点C,D. (I)求证：AC=BD. (②)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=6，,且圆心O到直线AB的距离为3，求AC的长. 题型三利用垂径定理求同心圆问题 啸方法 核心技巧：利用公共弦心距构建桥梁。 1.识别公共量：同心圆中，与同一弦（或平行弦）垂直的弦心距是连接两个圆半径的关键公共量。 2.分别构建直角三角形：在两个圆中，分别对涉及的弦使用垂径定理，构建出以各自半径R、r为斜边，公 共弦心距和半弦长号、业为直角边的两个直角三角形。 3. 联立勾股定理：在两个直角三角形中分别应用勾股定理，得到方程：R2=卫+（廷）2与2=P+(但2) 2。通过消去公共弦心距d或已知弦长，即可建立R、六、、之间的关系并求解。 关键：公共弦心距是联系不同圆中相关量的核心。 1.(24-25九年级上陕西西安·月考)如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍， 大圆的弦AB和小圆交于C,D两点，若AC=CD=4,则小圆半径是」 4/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C D B "o 2.(24-25九年级·浙江杭州·)如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形ABCD的边AB和CD分别是两 圆的弦，则矩形ABCD面积的最大值是一· D 3.(17-18九年级上浙江台州期末)如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截 得的一组圆弧.已知每个台阶宽度为32cm(即相邻两弧半径相差32cm),测得AB=200cm,AC-BD=40cm, 则弧AB所在的圆的半径为 cm CA R D 4.(2025福建模拟预测)综合与实践。 主题活 探究窗花图案的几何知识 动 窗花的历史可以追溯到汉代，当时人们用各种材料制作薄片，通过镂空雕刻的艺术形式创造出各种图案， 户上作为装饰.随着造纸术的发明和普及，纸张逐渐成为窗花的主要材料，使得窗花艺术得到更广泛的发 图1的窗花寓意着团圆平安，欢乐祥和. 文化背 景 D B B 图1 图2 图3 图4 实践探 从图1的窗花图案中可抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（如图2），我们称这种图形为“环花”，设直线 5/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 究 花”从左到右依次交于点A,B,C,D. 探究1：写出图2中线段AB与CD的数量关系： ;小明经过观察认为当直线1不经过中心O: 3),结论仍然成立；请给出证明. 探究2：若图3中AD=8,BC=4,且大圆面积是小圆面积的3倍，求大圆半径的长. 拓展迁 探究3：将两个同心圆替换成两个菱形，如图4，点O是这两个菱形对角线的公共交点，AB‖EF且F,B MN 移 H四点均在对角线FH上，直线1不经中心O,与两个菱形从左到右依次交于点M,,P,Q,求 的 0 D 0E11, B :AE=DE,BE =CE, :AE-BE DE -CE :AB =CD. ABIEF,NRFH, G .四边形NRFB是平行四边形， ∴NR=FB,∠NRM=∠BFR, 同理可得，PT=DH,∠DHT=∠PTQ, :四边形ABCD与四边形EFGH均为菱形，O为它们的中心， .OF =OH OB=OD,GHIEF, .FB=DH,∠PQT=∠NMR,∠DHT=∠BFR, ∴.NR=PT,∠NRM=∠PTQ, :.△MNR≌AOPT(AAS), .MN PO, 6/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 MN=1. PO 题型四利用垂径定理求解实际问题 味方法 核心技巧：抽象为圆模型，定位弦与直径。 1.建模：将实际问题中的物体（如拱桥、管道截面）抽象为圆或圆弧，确定圆心、半径。 2.定位三要素：找出实际问题中的“宽度”（弦长）、“深度”或“高度差”（常与弦心距相关）以及半径。 通常将弦水平放置便于思考。 3.构造直角三角形：利用垂径定理，将半径、弦的一半、弦心距（或半径与高度的差）放入同一个直角三 角形中。 4.列方程求解：在直角三角形中应用勾股定理建立方程。关键在于用己知的“宽度”和“高度”正确地表 示出直角三角形的三条边。 关键：正确识别并画出包含半径、半弦、弦心距的直角三角形是解题的突破口。 1.(25-26九年级上·湖北黄冈·期中)“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具.明朝科学家徐光启在《农 政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理.如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知 圆心O始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度CD为1米（即水 面下方部分圆上一点距离水面的最大距离，D在圆上，OD⊥AB于点C).求该圆的半径. 车 0 B 2.(2025九年级上，全国.专题练习)一座圆弧形拱桥的示意图如图所示，己知桥拱的水面跨度AB=80m, 桥拱到水面的最大高度DF=20m. D (1)圆弧形桥拱的半径是 m (②)现有一艘宽60m,船舱顶部为长方形且高出水面9m的轮船要经过这里，这艘轮船能顺利通过吗？ 3.(25-26九年级上浙江衢州·期中)如图，己知一座圆弧形拱桥，圆心为点0，桥下水面宽度AB=16m, 过O作OC1AB于点D,CD=4m. 7/9 6学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M E A G D H B 0 (1)求该圆弧形拱桥的半径： (2)现有一艘宽MW=10m，船舱顶部高出水面MG=3m的货船要经过这座拱桥（船舱截面为长方形），请通 过计算说明该货船能否顺利通过， 4.(25-26九年级上河北邯郸期中)如图是放于水平桌面上的带底座的鱼缸，其主体部分的纵截面是弓形 AMB,开口部分AB与桌面平行，将一玻璃棒斜放进鱼缸（鱼缸内无水），使恰在弧AMB的中点M处，发 现AM=AB,将玻璃棒竖立起来(MN⊥AB)时，测得MN=39cm· 777777777777777777777 (I)∠BAM= o,AB=cm; (②)求半径OA的长： (3)若向鱼缸内加水，使水面的宽度为48cm,直接写出此时鱼缸内水的深度 5.(2025·江苏无锡·二模)如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离L=40m, 弓形的高度S=10m, E (1)计算桥拱圆弧所在圆的半径： (②)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，AB为船身宽，为保证安全，点A、B与其正上方拱桥 线上的对应点E、F的距离均应不小于2m,某日，测得拱顶C点高出水面15m,现有一艘货轮露出水面部 分的高度为13.2m,AB=14m.该货轮每增加货物10吨，船身就会下降0.1m,请问要保证该货轮安全通过 大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？ 8/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.(2025·河南郑州一模)如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O,直径AB是河底线，弦CD是 水位线，CD∥AB,AB=20米，∠BAD=15°， 1-150 (I)求CD的长. (2)一艘船要经过该桥洞，矩形MNPQ是该船水面以上部分的截面简化示意图，宽NP为10米，高P9为2 米.受天气影响，若该船随水面上升1米，请判断该船能否通过该桥洞，并说明理由. 9/9 微专题01 垂径定理的四大题型 题型一 利用垂径定理求线段的长 核心技巧：构建直角三角形，利用勾股定理。 1. 关联三要素：遇到弦、弦心距、半径（或直径）问题时，立即联想垂径定理，它提供了垂直与平分的关系。 2. 构建直角三角形：由半径（斜边）、弦的一半（一条直角边）和弦心距（另一条直角边）构成一个直角三角形，这是解题的核心图形。 3. 列方程求解：在构建的直角三角形中，使用勾股定理r2 = d2 + (l)2（r为半径，d为弦心距，l为弦长）建立方程。通常已知其中两个量，即可解出第三个。 **关键**：准确找出或作出“垂直于弦的直径”，这是构造直角三角形的起点。 1．（25-26九年级上·西藏拉萨·期末）如图，已知的半径为，弦，则圆心O到弦的距离的长是 ． 【答案】/6厘米 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理；由垂径定理得，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵圆心O到弦的距离为， ∴， ∴， 由勾股定理得：； 故答案为：． 2．（25-26九年级上·全国·期末）如图，的直径，弦于点，，则弦的长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了圆的性质、勾股定理．掌握圆的垂径定理是解题的关键．根据垂径定理知直径找垂直连半径，构造直角三角形，运用勾股定理解题即可． 【详解】解：如图，连接． ∵的直径，， ∴，，． ∵， ∴． 在中，由勾股定理，得， ∴． 故答案为：8． 3．（25-26九年级上·山东潍坊·月考）如图，在中将弧沿弦翻折经过圆心交弦于点，则长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．如图，连接，过点O作交于T，连接．证明是等边三角形，设，再利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作交于T，连接． 由翻折的性质可知，垂直平分线段， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 设，则， 在中，， ，由勾股定理，得 在中， ， ， ， ， 故答案为；6． 4．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图，，是两条互相垂直的弦，于点，于点，连接．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．利用垂径定理求出、的长度，结合勾股定理得出的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在中，， 故答案为： 5．（2025九年级上·全国·专题练习）已知A，B为上的两点，C为弦的中点，过点C的直径交于点D，E，若，，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理. 先根据垂径定理和勾股定理求得，再分类讨论，结合图形求解即可． 【详解】解：如图1，连接， ∵点C为弦的中点，是的直径，， ∴，，又 ∴， ∴； 同理，如图2，则； 综上，长为或. 故答案为：或． 6．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的直径，是的弦，于点E，点F在上且，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆的弧、弦关系及垂径定理的应用，解题的关键是利用弧与弦的对应关系、垂径定理结合勾股定理计算线段长度． （1）通过直径与弦垂直的性质、弧的等量关系，推导弦的相等关系； （2）连接、，利用垂径定理得，结合勾股定理列方程求半径，再计算的长度． 【详解】（1）证明：∵是的直径，， ， ， ， ， ； （2）解：连接、， 则， ∵且， ∴， ∵是的直径，是的弦，于点 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 即的长是． 7．（25-26九年级上·北京·期末）如图，是的直径，弦于点，且为中点，． (1)求的半径的长； (2)过作的垂线段交延长线于，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆的基本性质，特别是垂径定理及其推论，同时结合直角三角形的勾股定理，直角三角形中所对边是斜边的一半；解题的关键是灵活运用垂径定理得到弦心距与弦长的关系，并利用勾股定理建立方程求半径；对于第二问，通过直角三角形中所对边是斜边的一半的灵活应用转化条件，再结合勾股定理求解． （1）连接，由垂径定理可得，由为中点得，在中利用勾股定理列出关于半径的方程求解； （2）由，求得，，相互垂直平分，可得，，等边对等角得出，，在中，利用所对边是斜边的一半，求得的长． 【详解】（1）解：连接， ∵直径 ∴ 又∵为中点 ∴ 在中， 即 解得或（舍） （2）解：连接， 由（1）得 ∵， ∴， ∵为中点，且 ∴ ∴ ∴ 又∵垂直平分， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵在中，， ∴ 8．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，掌握垂径定理和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）由垂径定理得到，由等腰三角形的性质得到，再根据线段的和差即可证明结论； （2）如图：连接，设的半径是r，则，由垂径定理得到，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图：连接， 设的半径是r，则， ∵， ∴， ∵， ∴，解得： ， ∴的半径是． 题型二 利用垂径定理求平行弦问题 核心技巧：利用弦心距建立等量与关系。 1. 明确核心：平行弦的弦心距相等。这是连接两条弦的桥梁。 2. 分别构建直角三角形：对每条弦，分别利用垂径定理，将其半径r、弦长的一半、弦心距d置于同一个直角三角形中。 3. 联立方程求解：由于两弦的弦心距相等（平行）且半径相同（同圆或等圆），可列出关于弦长、距离的方程组。常设未知数，通过勾股定理联立求解。 关键：当平行弦在圆心同侧时，两弦间距为弦心距之差；在圆心异侧时，两弦间距为弦心距之和。据此可建立方程。 1．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）已知的半径为，弦，，，则两弦之间的距离为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理，掌握相关知识是解题的关键．需分两弦在圆心同侧和异侧两种情况计算距离，利用垂径定理和勾股定理分别求出弦和弦到圆心的距离，再计算两条弦之间的距离即可． 【详解】解：如图，当弦和在圆心同侧时，作于F，交于E，连接，， ， ， ，， ，， 的半径为， ， ，, ，， ； 如图，当弦和在圆心异侧时，作于F，交于E，连接，， ， ， ，， ，， 的半径为， ， ， ，， ； 综上所述，两弦之间的距离为或， 故答案为：或． 2．（25-26九年级上·河南许昌·期中）已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是 ． 【答案】或 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点作于点，交于点．    ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点作于点，延长交于点．   ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是． 综上可知与间的距离是或． 故答案为：或． 3．（25-26九年级上·河南新乡·月考）已知的半径为，弦，且，，则与之间的距离为 ． 【答案】或 【分析】由于弦，需分两种情况讨论：当与在圆心同侧时，距离为圆心到两弦距离之差；当在圆心两侧时，距离为圆心到两弦距离之和，利用垂径定理和勾股定理求出圆心到各弦的距离． 【详解】过点作于点，则为中点，连接， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 过点作于点，则为中点， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 如图所示，当与在圆心同侧时，与之间的距离为； 如图所示，当与在圆心两侧时，与之间的距离为． 故答案为：或． 4．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5． （1）若，，求的长； （2）若，且，求弦的长； 【答案】（1）7；（2）8 【分析】（1）连接AO和DO，由垂径定理得，再由勾股定理求出OF的长，同理求出OE的长，即可求出EF的长； （2）连接BO和DO，先由垂径定理和勾股定理求出OE的长，设，在中，利用勾股定理列式求出x的值，得到BF的长，即可求出AB的长． 【详解】解：（1）连接AO和DO， ∵，且EF过圆心， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理， ， ∴； （2）如图，连接BO和DO， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ，解得，（舍去）， ∴， ∴． 5．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦交小圆于点C，D． (1) 求证：． (2) 若大圆的半径，小圆的半径，且圆心 O 到直线的距离为 3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）过点O作于点E，根据垂径定理，垂直平分和，即，，进而即可得出结论； （2）连结，利用勾股定理计算和的长度，进而求的长度． 【详解】（1）证明：如图，过点 O 作于点E． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：如图，连接． ∵， ∵， 题型三 利用垂径定理求同心圆问题 核心技巧：利用公共弦心距构建桥梁。 1. 识别公共量：同心圆中，与同一弦（或平行弦）垂直的弦心距是连接两个圆半径的关键公共量。 2. 分别构建直角三角形：在两个圆中，分别对涉及的弦使用垂径定理，构建出以各自半径R、r为斜边，公共弦心距d和半弦长l1、l2为直角边的两个直角三角形。 3. 联立勾股定理：在两个直角三角形中分别应用勾股定理，得到方程： R2 = d2 + (l1)2与r2 = d2 + (l2)2。通过消去公共弦心距d或已知弦长，即可建立R、r、l1、l2之间的关系并求解。 关键：公共弦心距是联系不同圆中相关量的核心。 1．（24-25九年级上·陕西西安·月考）如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 ． 【答案】 【分析】过O点作于H点，连接、，如图，根据垂径定理得到，，设，则，再利用双勾股得到，然后解方程求出r即可． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 【详解】解：过O点作于H点，连接，如图，则 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或r（舍去）， 即小圆半径是， 故答案为：． 2．（24-25九年级·浙江杭州·）如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ． 【答案】16 【分析】过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD，根据面积之间的关系得出S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD，从而得出S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大，过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD，利用三角形的面积公式即可求出S△AOD的最大值，从而求出结论． 【详解】解：过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD ∴AO=2，OD=4，四边形APND和四边形PBCN为矩形，PN⊥CD， ∴OM=AP 根据垂径定理可得：点P和点N分别为AB和CD的中点， ∴S矩形APND=S矩形ABCD ∵△AOD的高OM等于矩形APND的宽，△AOD的底为矩形APND的长 ∴S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD ∴S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大 过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD（当且仅当OD⊥OA时，取等号） ∴S△AOD=AO·h≤AO·OD=×2×4=4 故S△AOD的最大值为4 ∴S矩形ABCD的最大值为4÷=16 故答案为：16． 3．（17-18九年级上·浙江台州·期末） 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm 【答案】134 【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32， ∵OE⊥AB， ∴AE=EB=100cm， 在RT△OAE中， 在RT△OCE中，， 则 解得：r=134． 故答案为：134． 4．（2025·福建·模拟预测）综合与实践． 主题活动 探究窗花图案的几何知识 文化背景 窗花的历史可以追溯到汉代，当时人们用各种材料制作薄片，通过镂空雕刻的艺术形式创造出各种图案，贴在窗户上作为装饰．随着造纸术的发明和普及，纸张逐渐成为窗花的主要材料，使得窗花艺术得到更广泛的发展．如图1的窗花寓意着团圆平安，欢乐祥和． 实践探究 从图1的窗花图案中可抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形(如图2)，我们称这种图形为“环花”，设直线l与“环花”从左到右依次交于点A，B， C， D． 探究1：写出图2中线段与的数量关系：____________；小明经过观察认为当直线l 不经过中心O时(如图3)，结论仍然成立；请给出证明． 探究2：若图3中，且大圆面积是小圆面积的3倍，求大圆半径的长． 拓展迁移 探究3：将两个同心圆替换成两个菱形，如图4，点O是这两个菱形对角线的公共交点， 且F，B，D，H 四点均在对角线上，直线l不经中心O，与两个菱形从左到右依次交于点M，N，P，Q，求的值． 【答案】探究1：；结论仍然成立，证明见解析；探究2：；探究3：1 【分析】探究1：根据，，再利用线段的和差即可求解；过点作于点，利用垂径定理得到，，再利用线段的和差即可证明； 探究2：同理探究1得：，，连接，设，根据大圆面积是小圆面积的3倍，得到，在中，，即，在中，，即，由此建立方程求解即可； 探究3：连接，过点作交于点，过点作交于点，利用平行四边形的判定得到是平行四边形，得出，，同理可得，，再利用菱形的性质证明，推出，即可得出答案． 【详解】探究1： 解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：（相等） 当直线l 不经过中心O时(如图3)，结论仍然成立，证明如下： 如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴． 探究2： 同理探究1得：，， ∵， ∴，， 连接， 设， 则大圆面积为，小圆面积为， ∵大圆面积是小圆面积的3倍， ∴，即， 在中，，即， 在中，，即， ∴，即， 解得（负值舍去）， ∴，即大圆的半径长为； 探究3： 解：如图，连接，过点作交于点，过点作交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 同理可得，，， ∵四边形与四边形均为菱形，为它们的中心， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 题型四 利用垂径定理求解实际问题 核心技巧：抽象为圆模型，定位弦与直径。 1. 建模：将实际问题中的物体（如拱桥、管道截面）抽象为圆或圆弧，确定圆心、半径。 2. 定位三要素：找出实际问题中的“宽度”（弦长）、“深度”或“高度差”（常与弦心距相关）以及半径。通常将弦水平放置便于思考。 3. 构造直角三角形：利用垂径定理，将半径、弦的一半、弦心距（或半径与高度的差）放入同一个直角三角形中。 4. 列方程求解：在直角三角形中应用勾股定理建立方程。关键在于用已知的“宽度”和“高度”正确地表示出直角三角形的三条边。 关键：正确识别并画出包含半径、半弦、弦心距的直角三角形是解题的突破口。 1．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离，D在圆上，于点C）．求该圆的半径． 【答案】该圆的半径为5米 【分析】本题考查了用勾股定理解三角形，利用垂径定理求值，垂径定理的实际应用等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用垂径定理得出米，再用表示出米，从而可利用勾股定理得出关于的方程求解． 【详解】解：设圆的半径为r米． ∵于点C， ∴米． ∵米， ∴米． 在中，， ∴， 解得， ∴该圆的半径为5米． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）一座圆弧形拱桥的示意图如图所示，已知桥拱的水面跨度，桥拱到水面的最大高度． (1)圆弧形桥拱的半径是______； (2)现有一艘宽，船舱顶部为长方形且高出水面的轮船要经过这里，这艘轮船能顺利通过吗？ 【答案】(1) (2)能顺利通过 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用． （1）设拱桥所在圆的圆心为点，过点作于点，连接，在中用勾股定理求的长； （2）设拱桥所在圆的圆心为点，连接，则点在上．作弦交于点，使得，连接，在中，用勾股定理求出，再求的长，比较与的大小，即可求解 【详解】（1）如图，点是桥拱所在圆的圆心．过点作于点，连接， 由垂径定理知，是的中点， 设半径是， 由勾股定理，得， 即 解得 桥拱的半径为 故答案为：． （2）这艘轮船能顺利通过．理由如下： 如图，设拱桥所在圆的圆心为点，连接，则点在上．作弦交于点，使得，，连接 由（1），得 在中， ， 这艘轮船能顺利通过． 3．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）如图，已知一座圆弧形拱桥，圆心为点，桥下水面宽度，过作于点，． (1)求该圆弧形拱桥的半径； (2)现有一艘宽，船舱顶部高出水面的货船要经过这座拱桥（船舱截面为长方形），请通过计算说明该货船能否顺利通过． 【答案】(1)10米 (2)不能顺利通过，理由见解析； 【分析】本题考查了垂径定理，点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）边接，设半径为，在中，利用求得答案即可； （2）连接， 依题意可知，，然后先求得，然后利用勾股定理求得，然后判断一下是否在圆外，即可判断出答案． 【详解】（1）解： 连接，如图所示： ∵，， ∴， 设半径为，在中，，， ∴， ∴， 答：拱桥圆弧的半径是10米． （2）解：该货船不可以顺利通过，理由如下： 连接，如图所示： 依题意可知， ∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∵， ∴， ∵，此时点在圆外， ∴该货船不可以顺利通过． 4．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图是放于水平桌面上的带底座的鱼缸，其主体部分的纵截面是弓形，开口部分与桌面平行，将一玻璃棒斜放进鱼缸（鱼缸内无水），使恰在弧的中点M处，发现，将玻璃棒竖立起来（）时，测得． (1)________，_______； (2)求半径的长； (3)若向鱼缸内加水，使水面的宽度为，直接写出此时鱼缸内水的深度． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）设圆心为，连接．根据垂径定理及其推论，求的度数，的长即可． （2）根据求得，解即可求解． （3）分圆心在水面上方和下方两种情形分类讨论即可． 【详解】（1）解：如图，设圆心为，连接． 点在弧的中点， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ∵ ， 即； （2）解：由（1）得， ， ， ，． 在中， ， （3）解：①当圆心在水面上方，水面宽为时， 则，． 连接， 此时交于点，如图所示， 鱼缸内水的深度即为的长度． 设，由（2）得，即圆的半径为26， ，则， 在中， 根据勾股定理得，， ， 解得（舍去）， ，即鱼缸内水的深度为； ②当圆心在水面下方，水面宽为时， 则， ． 连接， 此时交于点，如图所示， 鱼缸内水的深度即为的长度． 设， 在中， 根据勾股定理得，， ， 解得（舍去）， ， ， 即鱼缸内水的深度为； 故鱼缸内水深为或． 5．（2025·江苏无锡·二模）如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离，弓形的高度． (1)计算桥拱圆弧所在圆的半径； (2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，为船身宽，为保证安全，点、与其正上方拱桥线上的对应点、的距离均应不小于．某日，测得拱顶点高出水面．现有一艘货轮露出水面部分的高度为，．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降，请问要保证该货轮安全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？ 【答案】(1) (2)需要提前增加货物，至少需要增加120吨 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，利用垂径定理可得，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值即可解答； （2）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，连接交于点，由题意得四边形是矩形，则有，利用垂径定理得到，进而利用勾股定理求出的长，计算可得货轮露出水面部分的高度应不超过，再结合货轮露出水面部分的实际高度，比较大小得出需要提前增加货物的结论，再结合题意计算增加货物的重量即可． 【详解】（1）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、， 由题意得，，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 桥拱圆弧所在圆的半径为． （2）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，连接交于点， 由题意得，四边形是矩形， ， ， ， 由（1）得，， ， ， 要保证该货轮安全通过大桥，则货轮露出水面部分的高度应不超过， ， 需要提前增加货物， 由题意得，至少需要增加吨， 答：要保证该货轮安全通过大桥，需要提前增加货物，至少需要增加120吨． 6．（2025·河南郑州·一模）如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径是河底线，弦是水位线，，米，． (1)求的长． (2)一艘船要经过该桥洞，矩形是该船水面以上部分的截面简化示意图，宽为10米，高为2米．受天气影响，若该船随水面上升1米，请判断该船能否通过该桥洞，并说明理由． 【答案】(1)米 (2)该船能通过该桥洞，见解析 【分析】（1）由垂径定理可知，易得米，，于是，（米），再由可得答案； （2）如图（1），延长交于点F，交半圆O于点H，则米，米，由（1）易得米，则米， 【详解】（1）解：如图（1），过点O作于点E，则，． 连接，则米，，当箱子随水面上升1米，点H到线段的距离为2米，求出当木箱刚好通过该桥洞时，的长度，若该长度小于2，则此木箱能通过该桥洞，否则不能． ， （米）， （米）； （2）解：该船能通过该桥洞．理由如下： 如图（1），延长交于点F，交半圆O于点H，则米，米， 由（1）易得米， 米， 若该船随水面上升1米，则点H到线段的距离为2米， 若该船刚好能通过该桥洞，情形如图（2），过点O作于点G， 延长交半圆O于点H，连接， 则米，米． 在中，由勾股定理得（米）． 米． ， 该船能通过该桥洞． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $