第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦一元二次函数、方程和不等式单元核心内容，通过基础巩固、能力提升及创新应用的梯度设计，适配单元复习，融合数学思维与实际情境，助力知识内化与素养发展。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、不等式性质、应用题|结合销售情境（题3）考查建模能力| |多选|3/18|命题判断、不等式解集|综合考查逻辑推理（题9）| |填空|3/15|大小比较、最值、恒成立|基础与能力结合（题13基本不等式）| |解答|5/77|解不等式、证明、应用题|无人机企业工资调整（题17）体现时代性，含参不等式（题19）考查数学思维|

第二章 一元二次函数、方程和不等式限时训练卷02 （限时120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·上海松江·模拟预测）若实数满足，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·专题训练）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A．3 B． C．2 D． 5．（25-26高一上·山东临沂·期中）已知关于x的不等式.对任意恒成立，则k的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 6．（25-26高一上·全国·专题训练）若实数 满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·湖北·阶段检测）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·天津武清·阶段检测）已知，若不等式能成立，则实数的最小值是（   ） A．0 B．1 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·浙江舟山·期中）下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．“”是“”的充要条件 C．若，则的最小值是5 D．不等式对一切实数恒成立，则 10．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）下列结论正确的是（    ） A．若方程没有根，则不等式的解集为 B．若不等式的解集是，则 C．若关于的不等式的解集为，则 D．不等式的解集为 11．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）若实数，，且，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高一上·江西·阶段检测）已知，，则a______b．(填“>”或“<”) 13．（25-26高一上·湖北宜昌·阶段检测）已知，，则的最小值为__________． 14．（25-26高一下·上海·阶段检测）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一上·湖南张家界·期中）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 16．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）（1）若，，，试证：； （2）设、均为正实数，试比较和的大小； （3）实数，满足，，求的取值范围； 17．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 18．（25-26高一上·河北·期中）已知实数满足． (1)分别求出的取值范围和的最大值． (2)求的最大值，并求此时，的值． (3)当，分别为何值时取得最小值？请求出最小值． 19．（25-26高一上·山东德州·期末）已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式限时训练卷02 （限时120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解出集合、，利用交集的定义即可求解. 【详解】已知集合，由，解得，所以， 集合，由，解得或，所以， 因此，即，故C正确. 2．（2026·上海松江·模拟预测）若实数满足，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于ABC，当时，满足，此时，，故A错误，B错误，C错误； 对于D，因为，故D正确. 3．（25-26高一上·全国·专题训练）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，然后通过计算及，即可得出结果. 【详解】设这批台灯的销售单价为x元， 由题意得，即，解得， 因为，所以，这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 4．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据得到，再利用基本不等式即可得到答案. 【详解】由得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 5．（25-26高一上·山东临沂·期中）已知关于x的不等式.对任意恒成立，则k的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】依题意，分和两种情况，结合二次函数的图象列出不等式，求解即得. 【详解】由关于x的不等式.对任意恒成立， 当时，不等式为，显然恒成立，符合题意； 当时，需使，解得, 综上，可得k的取值范围是. 故选：C. 6．（25-26高一上·全国·专题训练）若实数 满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：把用表示化简，再应用基本不等式计算得出最大值；法二：令，再化简应用基本不等式计算得出最大值； 【详解】法一：由实数 满足， 设，解得， 则， 当且仅当，及时等号成立， 所以的最大值为. 法二：令， 则 ， 由得， 故， 当且仅当即即时，取“=”， 故选：D. 7．（25-26高一上·湖北·阶段检测）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先需要分别求解集合和集合，然后根据充分不必要条件的定义，确定集合与集合的关系，进而求出实数的取值范围. 【详解】由得：，∴， 解得：，； 由得：； “”是“”的充分不必要条件，则A是B的真子集， 当时，，不满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，则需满足； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：A. 8．（25-26高二下·天津武清·阶段检测）已知，若不等式能成立，则实数的最小值是（   ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用计算的取值范围，能成立，即转化为. 【详解】，， 所以，所以， ，所以能成立， 令，所以， 所以当时，有最小值0， 所以，在上有最小值0， 能成立，即， 所以实数的最小值是0. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·浙江舟山·期中）下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．“”是“”的充要条件 C．若，则的最小值是5 D．不等式对一切实数恒成立，则 【答案】AC 【详解】对于A，， 因为，所以可知，即，故A正确； 对于B，充分性：若，则且，充分性成立， 必要性：若，当时，可得，即， 当时，可得，即， 综上解集为或，所以必要性不成立，故B错误； 对于C，令，则可变为， 等号当且仅当即，成立，所以原式最小值为5，故C正确； 对于D，当时，不等式为，恒成立， 当时，需满足，解得， 综上，，故D错误． 10．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）下列结论正确的是（    ） A．若方程没有根，则不等式的解集为 B．若不等式的解集是，则 C．若关于的不等式的解集为，则 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】由方程和不等式之间的关系能判断A、B、C，由分式不等式能确定选项D. 【详解】选项A：若方程没有根，则， 故当时，不等式的解集为，故不符合题意；A错误. 选项B：不等式的解集是，则、为方程的根， 则代入得；故B正确； 选项C：当时，不等式变为，则解集不是R，不符合题意； 当时，不等式得解集为R，则，即； 综上，，故C正确； 选项D：不等式，即，解得，故D正确. 故选：BCD 11．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）若实数，，且，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】BD 【分析】根据给定等量关系，应用基本不等式、“1”的代换及柯西不等式求各项对应代数式的最值，注意取值成立条件. 【详解】A：由均值不等式，得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为，错误， B：因为，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，正确， C：由题设， 由，得， 当且仅当，即时取等号，错误， D：设，问题化为，求的最大值， 根据柯西不等式， 所以，当且仅当即时等号成立， 此时，代入，解得，符合的条件， 所以的最大值为，正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高一上·江西·阶段检测）已知，，则a______b．(填“>”或“<”) 【答案】 【分析】对进行分子有理化，然后通过比较分母的大小，从而可得结果. 【详解】， ， 因为，所以， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 13．（25-26高一上·湖北宜昌·阶段检测）已知，，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】利用，结合基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 14．（25-26高一下·上海·阶段检测）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据绝对值三角不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】因为，当且仅当， 即时取等号， 所以， 又对任意，不等式恒成立，所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一上·湖南张家界·期中）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将不等式等价变形后通过因式分解即可求得其解集； （2）将分式不等式化成一元二次不等式求解即得； （3）将不等式等价变形后，根据对应方程的根的判别式小于零，结合图象即得不等式解集. 【详解】（1）因， 则原不等式的解集为； （2）因， 则原不等式的解集为； （3）因， 因方程的判别式，故原不等式的解集为. 16．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）（1）若，，，试证：； （2）设、均为正实数，试比较和的大小； （3）实数，满足，，求的取值范围； 【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析；（3）. 【分析】（1）根据不等式性质判断即可得证； （2）根据作差法进行比较，先对代数式作差得出；再分类讨论即可得出结果. （3）求出，再利用不等式的性质得解. 【详解】（1）因为，， 所以，即，所以， 因为，所以； （2）． 因为，均为正实数，所以． 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，，此时． 综上可得：当时，； 当时，； 当时，； （3）设， 所以， 所以. 由， 由， 所以，即． 17．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 【答案】(1)100 (2)存在， 【分析】（1）由条件“调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资”建立不等关系可求解； （2）根据条件①②建立不等关系，假设存在实数转化为恒成立问题，由基本不等式及一次函数求最值可得结果. 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为 万元, 则 , 整理得 , 解得 , 因为 且 , 所以 , 故 , 所以要使这 名研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资, 调整后的研发人员的人数最少为 100 人. （2）由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资， 得 , 整理得 ; 由条件②技术人员年人均工资不减少, 得 , 解得 假设存在这样的实数 , 使得技术人员在已知范围内调整后, 满足以上两个条件, 即 恒成立， 因为 , 当且仅当 , 即 时等号成立, 所以 , 又因为 , 当 时, 取得最大值 11 , 所以 所以 , 即 , 即存在这样的 满足条件, 其范围为 . 18．（25-26高一上·河北·期中）已知实数满足． (1)分别求出的取值范围和的最大值． (2)求的最大值，并求此时，的值． (3)当，分别为何值时取得最小值？请求出最小值． 【答案】(1)的取值范围都是，的最大值为3． (2)最大值为6，此时或． (3)时取得最小值，最小值为 【分析】（1）由方程有解，可得，求解可得的范围，同理可求得的范围，由基本不等式可求得的最大值． （2）利用，可求得的最大值，由等号成立的条件可求得此时，的值． （3）利用配方法，结合，可求得的范围，进而可求得最小值，由等号成立的条件可求得此时，的值. 【详解】（1），即， 则关于的方程有解，所以， 可得，即． 同理，，故的取值范围都是． ， 所以（当时取等号），即的最大值为3． （2）由，得， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为6，此时或． （3），即， 又，则， 因此， 解得，当且仅当和分别取左右等号； 所以当时取得最小值，最小值为. 19．（25-26高一上·山东德州·期末）已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. (3) 【分析】（1）由题意可得，解出即可. （2）当时，不等式变为一次不等式，当时，对分解因式，讨论根的大小即可得答案. （3）由题意可得，，利用换元法结合函数单调性可得答案. 【详解】（1）当时，则， 即，因式分解可得：， 所以，则不等式的解集为. （2）当时，则为，即， 当时，则， 因式分解可得：， 当时，有，则此时不等式解集为， 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为空集， 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. （3）因为， 所以， 因为， 则，则题目等价于，， 令，因为，所以， 则， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，即， 所以实数a的取值范围为. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $