第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元试卷01-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦一元二次函数、方程和不等式，通过基础巩固与能力提升的梯度设计，适配高中数学单元复习，强化数学思维与推理能力及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|解不等式、基本不等式、命题真假判断等|单选1基础解不等式，多选10结合基本不等式判断最值，体现层次性| |填空题|3题15分|不等式解集、整数解问题|13题通过不等式组整数解之和考查分类讨论，强化数学思维| |解答题|5题77分|比较大小、实际应用、方程根分布等|16题种植园利润模型（应用意识），17题方程根的分布（逻辑推理），契合核心素养|

第二章 一元二次函数、方程和不等式限时训练卷01 （限时120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高一上·全国·专题训练）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·北京石景山·二模）已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江西·期中）若不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·重庆九龙坡·期末）已知正数 满足 ，则 的最小值为（    ） A．4 B．7 C．8 D．9 6．（25-26高三上·陕西·阶段检测）若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·重庆·期末）使命题“，”是假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）关于的一元二次方程有两个不相等实数根，.若，则的值是（    ） A． B． C． D．不存在 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·宁夏中卫·期末）下列说法中，错误的是（    ） A．若，则 B．当时，的最小值是 C．若，则 D．不等式解集为或 10．（2026高三·全国·专题练习）（多选）设正实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 11．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知不等式，下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高一下·上海杨浦·期中）若关于的不等式的解集为空集，则的值为__________． 13．（25-26高一上·上海·开学考试）若关于的不等式组的所有整数解之和为12，则的取值范围是__________． 14．（25-26高一上·陕西渭南·期末）若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是________. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一上·上海·阶段检测）(1)已知都是实数，比较与的大小． (2)求解不等式组 16．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）某种植园种植某菌类的年固定成本为3万元，每产出x吨该菌类需另外投入成本万元，该菌类可以每吨6万元的价格全部售完，设种植园种植该菌类年利润（利润=销售额-成本）为万元，当种植园产出该菌类2吨时，年利润为1万元. (1)求年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：吨）的函数关系式； (2)年利润是否有最大值？最大值是多少？此时产量是多少？ 17．（25-26高一上·全国·专题训练）求的取值范围，使得关于的方程. （1）有两个都大于的实数根； （2）至少有一个正实数根. 18．（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知关于实数的一元二次不等式的解集为，其中. (1)证明：为定值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 19．（25-26高一上·全国·专题训练）已知函数，解关于的不等式． 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式限时训练卷01 （限时120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高一上·全国·专题训练）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， ，解得． 2．（2026·北京石景山·二模）已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】举出反例可判断BCD，根据不等式的基本性质，可判断A，进而得到答案． 【详解】对于A，由，两式相加得，故A正确； 对于B，令，满足， 此时，，故B错误； 对于C，令，满足， 此时，，故C错误； 对于D，令，满足， 此时，，故D错误. 3．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将用和表示出来，再利用不等式的性质求出的取值范围. 【详解】设，所以解方程得：， 由不等式性质可知：①，②，①+②得，即. 故选：A 4．（25-26高一上·江西·期中）若不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的解集为，得到，，代入求解. 【详解】由题意知，且， 所以，， 不等式即， 即， 解集为. 故选：B 5．（25-26高二下·重庆九龙坡·期末）已知正数 满足 ，则 的最小值为（    ） A．4 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据给定条件，用表示并代入目标式，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由正数 满足 ，得， 因此，当且仅当时取等号， 所以时， 取得最小值8. 6．（25-26高三上·陕西·阶段检测）若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式得到的最小值，再结合题意建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当时取等，此时解得， 而，可得，解得，故C正确. 故选：C 7．（25-26高二下·重庆·期末）使命题“，”是假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为不等式恒成立问题，对参数进行分类讨论求出充要条件，然后分析即可得出结论. 【详解】命题“，”是假命题等价于“，”是真命题， 即，不等式恒成立， 当时，则不等式化简为恒成立， 当时，不等式恒成立， 则等价于，解得， 综上所述命题“，”是真命题的充要条件是 即命题“，”是假命题的充要条件是， 若要找命题“，”是假命题的充分不必要条件， 则只需要找的真子集，由选项知只有是的真子集. 8．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）关于的一元二次方程有两个不相等实数根，.若，则的值是（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】根据二次方程的解，利用根与系数关系，可得关于的方程，解方程即可. 【详解】由一元二次方程有两个不相等实数根，， 得，即， 且， 所以， 解得， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·宁夏中卫·期末）下列说法中，错误的是（    ） A．若，则 B．当时，的最小值是 C．若，则 D．不等式解集为或 【答案】ACD 【详解】当时，，但，故A错误； 当时，， 当且仅当即时取等号， 此时，故的最小值是，B正确； 若，则，故C错误； 不等式解集为或，故D错误. 10．（2026高三·全国·专题练习）（多选）设正实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】ABC 【分析】结合已知条件，利用基本不等式及其变形逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，由基本不等式，代入得，即， 当且仅当时等号成立，所以最大值为，故A正确； 对于B，，由基本不等式， 故，当且仅当时等号成立， 所以最小值为，故B正确； 对于C，，由选项A知， 故，即， 当且仅当时等号成立，所以最大值为，故C正确； 对于D，，由选项A知，故， 则， 即最小值为，不是，故D错误. 11．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知不等式，下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据一元二次不等式的解集求解、二次函数的性质、一元二次方程的根等知识逐项计算即可. 【详解】对于A，时，不等式为， 化简得，令， 解得，即或， 所以不等式的解集为，所以A正确； 对于B，当时，不等式变为，恒成立，所以也符合，B错误； 对于C，令，因为不等式对恒成立， 且是关于的一次函数，所以只需满足且即可. 由恒成立，由，解得，C正确； 对于D，若恰有一个整数使得不等式成立，则，又因为， 所以使不等式成立的整数. 设对应的两个根为，则. 所以，解得，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高一下·上海杨浦·期中）若关于的不等式的解集为空集，则的值为__________． 【答案】 【分析】先化简分式不等式，由解集为空集，可知与的根必须重合，否则不等式总能在两零点之间取到异号区间． 【详解】不等式，移项得， 解得，且， 若解集为空集，则与的根必须重合， 故，的根应为，于是解得 13．（25-26高一上·上海·开学考试）若关于的不等式组的所有整数解之和为12，则的取值范围是__________． 【答案】或 【分析】先求解不等式组得到解集，再根据整数解的和为12确定所有可能的整数解集合，进而推导的取值范围. 【详解】由，得； 当时，所有的整数解为，所以； 当时，所有的整数解为，所以； 综上，的取值范围是或. 14．（25-26高一上·陕西渭南·期末）若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【分析】不等式在上恒成立，则需区间都落在解集内，这等价于要求与开区间没有交集，从而得出的取值范围. 【详解】由化简得：， 不等式等价于， 解得 要使此不等式对任意恒成立， 则区间必须完全包含在解集中， 等价于与开区间的交集为空集， 区间在左侧，即，解得， 区间在右侧，即，解得， 当，则与必有交集，不满足条件， 综上，实数的取值范围是或， 故答案为： 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一上·上海·阶段检测）(1)已知都是实数，比较与的大小． (2)求解不等式组 【答案】(1)当时， ;当或时， . (2) 【详解】（1）由 ，当且仅当时，等号成立， 所以当时， . 所以当或时， . （2）由 得 所以 或 ； 由 ，移项通分得 即 ，所以，解得， 由， 所以不等式组的解是. 16．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）某种植园种植某菌类的年固定成本为3万元，每产出x吨该菌类需另外投入成本万元，该菌类可以每吨6万元的价格全部售完，设种植园种植该菌类年利润（利润=销售额-成本）为万元，当种植园产出该菌类2吨时，年利润为1万元. (1)求年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：吨）的函数关系式； (2)年利润是否有最大值？最大值是多少？此时产量是多少？ 【答案】(1) (2)年利润有最大值，最大值是，此时产量是吨. 【分析】（1）根据“年利润=年销售收入- 固定成本-另外投入成本”求得； （2）结合二次函数的性质以及基本不等式即可求得分段函数的最大值. 【详解】（1）由题可知，当时，总成本为，故有，解得. 因此当时，； 当时，. 综上，. （2）当时，，所以在上单调递增， 所以当时，在处取得最大值，最大值为. 当时，. 当且仅当，即时，等号成立. 因为满足， 所以当时，在处取得最大值，最大值为. 综上，年利润有最大值，最大值是，此时产量是吨. 17．（25-26高一上·全国·专题训练）求的取值范围，使得关于的方程. （1）有两个都大于的实数根； （2）至少有一个正实数根. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设，根据题意，得到，求解，即可得出结果； （2）分方程有一正一负根，方程有两正根，方程有一正根和一个根，三种情况，分别求解，即可得出结果. 【详解】（1）设，若原方程的两根都大于， 则有，即， 即，解得：； （2）分三种情况： ①若方程有一正一负根，需，求得； ②若方程有两正根，需，即， 解得：； ③若方程有一正根和一个根，需，解得，此时有正根. 综上所述，的范围是. 【点睛】本题主要考查由一元二次方程根的分布情况求参数，属于常考题型. 18．（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知关于实数的一元二次不等式的解集为，其中. (1)证明：为定值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1) 因为实数的一元二次不等式的解集为， 所以，是方程的两个实数根， 所以，，即， 所以，且，即为定值 (2) (3) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解与对应方程的根的关系得，，再整体代换即可证明； （2）根据基本不等式“1”的用法求解即可； （3）由题知，，进而代入化简整理得，再结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，且， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为 （3）因为，所以， 因为，所以，即，， 所以 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为 19．（25-26高一上·全国·专题训练）已知函数，解关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】先对不等式进行化简变形，再分与讨论，进而对两根的大小进行讨论，最后合并求解． 【详解】不等式等价于， 即， 当时，不等式可化为，解得，解集为； 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为，： 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或． 综上所述， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或． 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $