第二章一元二次函数、方程和不等式单元试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学人教A版必修一第二章单元卷，覆盖一元二次函数、方程和不等式核心知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，结合实际情境与逻辑推理，适配单元复习，落实数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|8|不等式解集（题1）、基本不等式求最值（题4）|基础巩固，考查数学抽象能力| |多选|3|一元二次不等式参数关系（题9）|辨析推理，培养逻辑思维| |填空|3|最值（题12）、恒成立问题（题14）|简洁应用，体现数学运算| |解答|5|实际应用（题15草坪施肥）、综合最值（题16）|生活情境建模，落实数学语言表达；逻辑推理（题17参数求解），发展理性精神|

高中数学人教A版必修一第二章一元二次函数、方程和不等式 一、单选题 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知x，y为正实数，且，则 的最小值为（    ） A．2 B． C． D．9 5．已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 7．已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 8．已知，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D． 10．关于的不等式（）的解集可以是（   ） A． B． C． D． 11．已知关于的不等式的解集为，则（    ） A．有最大值 B． C． D．的解集为 三、填空题 12．若，则的最大值为______． 13．若正数满足，则的最小值为__________. 14．若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是______． 四、解答题 15．现有25块边长为1m的正方形草皮，要把这些草皮铺成一个矩形草坪，并在矩形草坪的四周种植花卉，要求花卉带的宽度相同且为1m.若每月给花卉施肥需要耗费肥料，给草坪施肥需要耗费肥料.求每月给花卉带和草坪施肥最少需要耗费多少肥料？    16．已知，，且. (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 17．已知关于的不等式的解集为或． (1)求，的值； (2)已知，，且，求的最小值． 18．某学校引入种植类劳动教育课程，打算围成如图所示的四块全等的长方形田地种植不同种类的蔬菜，其中一面可以利用原有的墙（足够长），其他各面需要用篱笆围成，设其中一块田地为矩形. (1)若每块田地的面积为，要使围成四块田地的篱笆总长最小，应该设计田地的长和宽各为多少？ (2)现有40m长的篱笆，要使每块田地的面积最大，应该设计田地的长和宽各为多少？ 19．已知，且. (1)求的最小值； (2)求的取值范围； 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版必修一第二章一元二次函数、方程和不等式 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D B C A D C AC ABD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】根据一元二次函数的因式分解和不等式的性质求解一元二次不等式的解即可. 【详解】因为，所以. 所以，所以或. 所以不等式的解集为. 故选：B. 2．C 【分析】利用作差比较法求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 3．D 【分析】利用“1”的代换及均值不等式计算可求解． 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即时取等号． 故选：D. 4．B 【分析】利用乘“1”法即可求出最值. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立. 故选：B. 5．C 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以函数的最大值为. 故选：C. 6．A 【分析】原不等式即，解出，即可求解. 【详解】原不等式即，解得，所以， 所以解集为． 故选：A. 7．D 【分析】由题可得.，然后由基本不等式可得 【详解】因为，所以. ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故选：D 8．C 【分析】根据不等式的性质依次判断各项的正误即可. 【详解】A：若，则，错； B：若时，，错； C：由，，同向相加，不等式符号方向不变知，对； D：若，则，错. 故选：C 9．AC 【分析】根据题中不等式取两边且是大于等于号判断二次函数的开口方向，即可判断选项A；根据题意由韦达定理可得，代入不等式，根据即可判断选项B；根据，代入不等式求解，即可判断选项C；根据，代入不等式，根据即可判断选项D. 【详解】关于的不等式的解集为， 所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确； 且方程的两根为、4， 由韦达定理得，解得. 对于B，，由于，所以， 所以不等式的解集为，故B不正确； 对于C，因为，所以，即， 所以，解得或， 所以不等式的解集为，故C正确； 对于D，，故D不正确. 故选：AC. 10．ABD 【分析】根据给定条件，分类求解不等式，进而判断得解. 【详解】不等式中，当时，，解得，A可能； 当时，不等式化为，解得， 当时，不等式化为，若，则；B可能； 若，则或；若，则或， C不可能，D可能. 故选：ABD 11．ABD 【分析】根据不等式的解集可得，且，，据此可逐项判断求解. 【详解】对于A，因为不等式的解集为，所以，， 二次函数的图象开口向下，因此有最大值，故A正确； 对于BC，，3是关于的一元二次方程的两根， 则，所以，，则，故B正确，C错误； 对于D，不等式即为， 即，即， 解得（舍去）或， 所以，故D正确； 故选：ABD. 12．16 【分析】法一：利用均值不等式的变形公式求解即可； 法二：利用均值不等式求解即可. 【详解】法一：因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为16. 法二：因为，所以，， 由均值不等式可得，从而， 当且仅当，即时取等号． 所以的最大值为16. 故答案为：16 13．25 【分析】由，得到，再利用“1”的代换求解. 【详解】解：因为正数满足， 所以， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为25， 故答案为：25 14． 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解此不等式即可得的取值范围． 【详解】因为正实数满足，即，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号． 因此的最小值为4， 又恒成立，所以，解得， 即实数的取值范围是． 故答案为：. 15．488kg. 【分析】设矩形草坪的长为，宽为，得到，表达出每月给花卉带和草坪施肥需要耗费肥料为，由基本不等式求出答案. 【详解】设矩形草坪的长为，宽为，由题意草坪的面积为， 花卉带的面积为， 所以每月给花卉带和草坪施肥需要耗费肥料为 ， 由基本不等式得， 当且仅当时等号成立，故每月给花卉带和草坪施肥需要耗费肥料最少为488kg. 16．(1)16； (2)16； (3)9. 【分析】（1）（2）利用基本不等式求出最小值. （3）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】（1），，解得，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值16. （2），，解得，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值16. （3），由，得， 则，当且仅当时取等号， 所以汉时，取得最小值9. 17．(1) (2)． 【分析】（1）根据题意可知，的根为，2，利用韦达定理可求，的值； （2）结合（1）可得，则，展开后利用基本不等式可求的最小值． 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为或， 所以，的根为，2， 则即． （2）， ， 当且仅当，即时取得最小值， 所以的最小值为． 18．(1)=6m，=4m (2)=5m，= 【分析】（1）设长为，宽为，则围成四块田地的篱笆总长为，然后由基本不等式可得答案； （2）设长为，宽为，则，然后由基本不等式可得答案. 【详解】（1）设长为，宽为， 则围成四块田地的篱笆总长为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故应设计田地的长为6m，宽为4m时，可使围成四块田地的篱笆总长最小； （2）设长为，宽为，则，即， 所以，当且仅当时等号成立， 故应设计田地的长为5m，宽为时，可使每块田地的面积最大. 19．(1)16 (2) 【分析】（1）利用基本不等式求出最小值. （2）根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即得范围. 【详解】（1）由，得，当且仅当，即，时取等号. 则，而，解得，所以的最小值为16. （2）由，，得， 因此， 当且仅当，即，时取等号， 所以的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $