专题06 一次函数与反比例函数（3年汇编）（四川专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦四川中考一次函数与反比例函数专题，汇编2024-2026年全省多地真题及模拟题，覆盖考情分析、高频考点与综合应用，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|占比约60%|一次函数图象性质（k,b符号判断）、反比例函数k几何意义（矩形面积）、几何变换（旋转平移）|结合物理情境（密度实验、压强公式）、实际应用（销售利润分段函数）| |解答题|占比约40%|函数综合（交点坐标、面积计算）、存在性问题（等腰三角形、平行四边形）|新定义题（倒数点、对称函数）、多函数图象共存判断，贴合四川中考解答题必考趋势|

专题06 一次函数与反比例函数 3年真题1年模拟 考点分类 四川考情（2024-2026） 命题规律 考点 01 一次函数 2026 年：达州、巴中、内江、广安、成都、甘孜、攀枝花（7 地） 2025 年：省卷、德阳、广安、南充（4 地） 2024 年：内江、南充、德阳、省卷、凉山（2 题）、广安（2 题）、自贡、攀枝花（9 地） 以选择题、填空题为主，偶有解答题。① 图象与性质：由 k、b 符号判断图象经过的象限、增减性，或由图象反推 k 取值范围；② 与几何变换结合：直线上的旋转、平移规律题，求点坐标或线段长度；③ 一次函数最值：给定区间求最值、含参讨论；④ 实际应用：行程问题、药物浓度、销售利润等分段函数图象解读 考点 02 反比例函数 2026 年：巴中、广元、宜宾、南充、自贡、泸州、攀枝花、内江、成都（9 地）2025 年：宜宾、成都（2 地）2024 年：泸州、宜宾、自贡、攀枝花、广元、遂宁（6 地） 以选择、填空为主。① k 的几何意义是核心高频考点：过双曲线上点作坐标轴垂线，求矩形 / 三角形面积或反求 k；② 图象与性质：象限分布、增减性比较函数值大小；③ 多函数图象共存判断：反比例与一次函数、二次函数图象同框，由图象特征列不等式求参数范围；④ 实际应用：压强与受力面积、电流与电阻、视野与车速等物理情境建模；⑤ 新定义题："倒数点" 等阅读理解型问题。 考点 03 一次函数与反比例函数综合 2026年全省几乎全覆盖 2025年全省几乎全覆盖 2024年全省几乎全覆盖 四川中考解答题必考、分值最高的板块，几乎每市每年 1 道。① 基础层：联立方程求交点坐标、待定系数法求两个函数解析式；② 面积层：求△AOB 面积、利用 "水平宽 × 铅垂高" 或割补法计算不规则图形面积；③ 存在性层：在坐标轴或直线上找点，使三角形为等腰 / 直角三角形，或构成平行四边形、菱形；④ 几何结合层：与矩形、菱形、等腰直角三角形、圆切线等图形综合（绵阳、德阳、宜宾）；⑤ 创新层：新定义 "对称函数"、数学活动探究题（达州、乐山），考查阅读理解与迁移能力。 考点01 一次函数 1．（2026·四川达州·中考真题）为比较两种物质的密度，物理兴趣小组选取甲、乙两种物体进行实验探究，得到了甲、乙两种物质的图象，如图（，m表示质量，表示密度，V表示体积），下列说法正确的是（     ） A．当甲乙体积相等时，甲的质量是乙的质量的2倍 B．当乙的质量为时，体积为 C．甲物质的密度小于乙物质的密度 D．甲物质的密度等于乙物质的密度 2．（2025·四川·中考真题）函数的图象为(    ) A． B． C． D． 3．（2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点的坐标为，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 4．（2024·四川南充·中考真题）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（    ） A．或0 B．0或1 C．或 D．或1 5．（2024·四川德阳·中考真题）正比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（2026·四川巴中·中考真题）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 8．（2026·四川内江·中考真题）若关于 的方程 的解是负数，且一次函数 中，函数值 随 的增大而减小，则所有满足条件的整数 的值之和是______． 9．（2026·四川广安·中考真题）已知在平面直角坐标系中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，将点向左平移2个单位长度得到点，则点的坐标为_____． 10．（2026·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，设，记，例如，若，则．若点N满足，则所有N点组成的图形面积为_____；已知A是直线（）上一点且位于第一象限，，点P在上，点Q满足，当点P从点O运动到点A时，Q点运动所覆盖的区域面积为，则_____． 11．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，点在直线上，且，连接，，将绕点顺时针旋转到，点的对应点落在直线上，再将绕点顺时针旋转到，点的对应点也落在直线上．如此下去，…，则的纵坐标是______． 12．（2025·四川广安·中考真题）已知一次函数，当时，y的值可以是__________．（写出一个合理的值即可） 13．（2025·四川南充·中考真题）已知直线与直线的交点在轴上，则的值是________． 14．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象经过两点，交轴于点，则的面积为______． 15．（2024·四川凉山·中考真题）如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为______ 16．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为______． 17．（2024·四川广安·中考真题）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为______． 21．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数的值随的增大而增大，请写出一个满足条件的的值________． 18．（2026·四川甘孜·中考真题）图1是某景区的一段游览路线示意图．小聪在观景台1联系小明，发现小明在观景台2，于是沿着游览路线追赶小明．图2中，，分别表示两人到观景台1的路程与追赶时间之间的关系． (1)表示 （“小聪”或“小明”）到观景台1的路程与追赶时间之间的关系； (2)分别求出，的函数解析式； (3)若两人的速度保持不变，小聪能否在到达观景台3前追上小明？请通过计算说明． 19．（2026·四川攀枝花·中考真题）某中学在劳动实践基地开辟了“青春农场”，将土地划分给各班负责．初二（3）班的同学在责任田里种植了有机蔬菜，经过几个月的精心照料，终于迎来了丰收．同学们决定将采摘的新鲜蔬菜拿到学校附近的周末集市销售．卖菜所得款项按每千克0.8元留作下一季的种植基金，余下的捐给福利院．在集市上销售了部分蔬菜后，剩下的每千克降价0.5元，全部售完．销售额与销量之间的关系如图所示，那么该班级本次共捐给福利院多少元？ 20．（2025·四川·中考真题）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升． (1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； (2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． 21．（2024·四川攀枝花·中考真题）如图，折线表示了距离s（米）与时间t（分）之间的函数关系． (1)分别直接写出线段所对应的函数表达式，并注明相应的t的取值范围； (2)请你想象一个符合函数图象的实际情境，并用语言进行描述（不必描述具体的速度）． 考点02 反比例函数 1．（2026·四川巴中·中考真题）函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·四川广元·中考真题）根据压强公式，当压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）成反比例关系．若某物体受力面积增加，则受到的压强比原来减少．设该物体原受力面积为，压力为定值，下列方程正确的是（     ） A．B． C． D． 3．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，一条直线与反比例函数的图象交于A、两点，分别与轴、轴交于C、两点．若，，则的值是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·四川南充·中考真题）反比例函数图象经过，两点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·四川自贡·中考真题）科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强p（单位：）与受力面积S（单位：）存在函数关系．下表是他们实验的几组数据： （单位：） 1 2 4 8 （单位：） 80 40 20 10 则压强（）与受力面积（）之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·四川泸州·中考真题）在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点为“倒数点”．如：，都是“倒数点”．给出下列结论： ①函数的图象上存在2个“倒数点”； ②函数的图象上不存在“倒数点”； ③函数的图象上存在1个“倒数点”； ④若函数的图象上存在“倒数点”，则． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 7．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 8．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（2026·四川广元·中考真题）如图，在中，轴，点为的中点，函数的图象经过，两点，过点作的平行线交轴于点，连接，若的面积为2，则的值为__________． 12．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴，点C是x轴上一点，若的面积为3，则k的值为_________． 13．（2026·四川内江·中考真题）如图，将反比例函数（，）的图象绕点 顺时针旋转，旋转后的图象与 轴交于点，则_________． 14．（2026·四川成都·中考真题）人的视觉机能受运动速度的影响很大．在一定条件下，某人驾驶车辆时的视野f（单位：）与车速v（单位：）之间的关系式是．当车速为时，他的视野为______． 40．（2025·四川成都·中考真题）某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）．与电阻R（Ω）之间的函数关系为，则电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而________（填“增大”或“减小”）． 15．（2024·四川攀枝花·中考真题）已知反比例函数的图象经过点，则k的值为 ___________． 16．（2024·四川广元·中考真题）已知与的图象交于点，点B为y轴上一点，将沿翻折，使点B恰好落在上点C处，则B点坐标为______．    17．（2024·四川遂宁·中考真题）反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第______象限． 考点03 一次函数与反比例函数综合 1．（2026·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（）交于、B两点，与x轴交于点D． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)直接写出不等式的解集； (3)若点P为x轴上的动点，当为直角三角形时，求点P的坐标． 2．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上的一点，若的面积为8，求点的坐标． 3．（2026·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与函数的图象交于点． (1)求，的值； (2)将线段绕点逆时针旋转到，连接，将沿直线平移，当点的对应点恰好落在函数的图象上时，求点的坐标． 4．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，并与反比例函数的图象交于横坐标为的点，过点作轴于点已知． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若是点关于轴的对称点，、分别是轴和线段上的动点，求周长的最小值． 5．（2026·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于 的不等式的解集； (3)已知点是 轴上一点，连接、 ，若 的面积为15，求点的坐标． 6．（2026·四川乐山·中考真题）如图，一次函数 的图象与反比例函数的图象交于、两点，连接、 ． (1)求 、 的值和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 7．（2026·四川眉山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)将直线向下平移12个单位后交反比例函数的图象于，两点，交轴于点，连接，，求的面积． 8．（2026·四川凉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，在射线上取一点B，使得，过点B作轴于点C． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出点B的坐标_______； (3)在x轴上存在一点P，使最小，求点P坐标． 9．（2026·四川广安·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数（m为常数，）在第二，四象限分别交于，两点，点，． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点在坐标轴上，以点，，为顶点的等腰三角形有 个，当点在轴负半轴时，求等腰三角形的面积； (3)如图2，已知函数的大致图象，请结合图象直接写出该函数的两条性质． 10．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围； (3)将一次函数的图象向上平移5个单位长度后，与x轴下方的反比例函数图象交于点P，求的面积． 11．（2026·四川南充·中考真题）如图，一次函数图象与y轴交于点，与x轴交于点，与反比例函数图象交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式． (2)点P在反比例函数第一象限图象上，，求点P的坐标． 12．（2026·四川达州·中考真题）数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系 【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”：当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点． 根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法： 【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1．因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所以它们是“陌生函数” 【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定与的关系时，由函数表达式得，去分母得，因为，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数” 【问题解决】 (1)对于函数①，②，③．其中①与②是“______函数”，①与③是“______函数”； (2)若与是“友好函数”，如图2，当时，的取值范围是______；若与是“相连函数”，则的值为______； (3)如图3，过点的直线、对应的函数分别与（，），（，）是“相连函数”，相连点分别为，，、与轴分别交于，两点，已知，，求的值． 13．（2026·四川成都·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，B两点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为C，D． (1)求线段的长； (2)已知P为y轴正半轴上一点，若为直角三角形，求点P的坐标； (3)如图2，将线段，组成的折线段“”沿x轴正方向平移得到折线段“”，点D，A，C的对应点分别为．与反比例函数的图象交于点E，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点F，与交于点G．试探究：在平移过程中，的值是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由． 14．（2026·四川自贡·中考真题）如图，反比例函数与一次函数的图象相交于，两点，点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式及的值； (2)请直接写出当时的取值范围； (3)点是直线上的一个动点，当时，求点的坐标． 15．（2026·四川泸州·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限的点A，且点A到轴的距离为4． (1)求反比例函数的解析式； (2)将点A向上平移4个单位长度得到点B，点D在轴上，BD与反比例函数的图象交于点C，若，求点D的坐标． 16．（2025·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和． (1)当时，直接写出的取值范围； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向左平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，求的面积． 17．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（2025·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，D为的中点．反比例函数的图象过点D，交于点E． (1)求点D的坐标和k的值； (2)延长 交x轴于点F，求的面积． 19．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，函数和的图象相交于A、B两点． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； 观察图象，不等式的解集为__________； (2)若轴上存在点，使，求点的坐标． 20．（2025·四川巴中·中考真题）如图，直线与双曲线交于两点． (1)求m和直线的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 21．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接，求的面积； (3)点P在y轴上，满足是以为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 22．（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (1)求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数的图象上取两点和； 第二步：分别求出这两个点关于点的对称点_____和______； 第三步：函数关于点的“对称函数”为______． (2)是否存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． 23．（2025·四川乐山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、． (1)求、的值和反比例函数的表达式； (2)若在轴上存在点，使得的面积为6，求的值． 24．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数的图象交于点，射线与反比例函数的图象交于点C，连接． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 25．（2025·四川德阳·中考真题）如图，已知菱形，点在轴上，反比例函数的图象经过菱形的顶点，连接，与反比例函数图象交于点． (1)求反比例函数解析式； (2)求直线的解析式和点的坐标． 26．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，． (1)求一次函数的表达式，并求的面积． (2)连接，在直线上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 27．（2025·四川眉山·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)点P在x轴的负半轴上，且与相似，求点P的坐标． 28．（2025·四川广安·中考真题）如图，一次函数（k，b为常数，）的图象与反比例函数（m为常数，）的图象交于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是． (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)根据函数图象直接写出关于x的不等式的解集． 29．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式． (2)结合图形，请直接写出不等式的解集． (3)点是轴上的一点，若是以为直角边的直角三角形，求的值． 30．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积． 31．（2025·四川南充·中考真题）如图，一次函数与反比例函数图象交于点，． (1)求一次函数与反比例函数的解析式． (2)点在反比例函数第二象限的图象上，横坐标为，过点作轴的垂线，交于点，，求的值． 32．（2025·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集为________； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 33．（2025·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象的一个交点为，与x轴的交点为． (1)求k的值； (2)直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若，求直线的函数表达式； (3)P为x轴上一点，直线交反比例函数的图象于点E（异于A），连接，若的面积为2，求点E的坐标． 34．（2025·四川达州·中考真题）如图，直线与双曲线交于点，点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点P在x轴上，，求点P的坐标． 35．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点． (1)求的值； (2)若，求点坐标； (3)双曲线关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点旋转后与的交点坐标． 36．（2025·四川泸州·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，求的值． 37．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，在边长为4的菱形中，对角线与相交于点E，边在x轴上，，，点C在反比例函数的图象上． (1)求点C，D，E的坐标及反比例函数的解析式； (2)将菱形向右平移，当点E恰好在反比例函数的图象上时，边与函数图象交于点F，求点F到x轴的距离． 38．（2024·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1． (1)求的值及点的坐标． (2)点是线段上一点，点在直线上运动，当时，求的最小值． 39．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)若点P是y轴上一动点，连接．当的值最小时，求点P的坐标． 40．（2024·四川资阳·中考真题）如图，已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数（）的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)若点在一次函数的图象上，直线与反比例函数的图象在第三象限内交于点D，求点D的坐标，并写出直线在图中的一个特征． 41．（2024·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知两点在反比例函数的图象上． (1)求k与m的值； (2)连接，并延长交反比例函数的图象于点C．若一次函数的图象经过A，C两点，求这个一次函数的解析式． 42．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，O为坐标原点，连接，．    (1)求与的解析式； (2)当时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围； (3)求的面积．   43．（2024·四川乐山·中考真题）如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点． (1)求、的值和一次函数的表达式； (2)连接，求点到线段的距离． 44．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； (3)将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值． 45．（2024·四川凉山·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积． 46．（2024·四川内江·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为    (1)求这两个函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集 47．（2024·四川广安·中考真题）如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于，两点．    (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)直线与轴交于点，点是轴上的点，若的面积大于12，请直接写出的取值范围． 48．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上． (1)求，，的值； (2)若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值； (3)过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得与相似，求的值． 49．（2024·四川南充·中考真题）如图，直线经过两点，与双曲线交于点． (1)求直线和双曲线的解析式． (2)过点C作轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标． 50．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直线与反比例函数和的图象分别交于点C，D，且，求点C的坐标． 51．（2024·四川德阳·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点． (1)求的值和反比例函数的解析式； (2)将直线向下平移个单位长度后得直线，若直线与反比例函数的图象的交点为，求的值，并结合图象求不等式的解集． 52．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数．的图象与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标． 53．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出时，的取值范围； (3)过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积． 54．（2024·四川达州·中考真题）如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若点是轴正半轴上的一点．且．求点的坐标． 55．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)P是直线上的一个动点，的面积为21，求点P坐标； (3)点Q在反比例函数位于第四象限的图象上，的面积为21，请直接写出Q点坐标． 1．（2026·四川雅安·一模）如图①所示，E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B以每秒2个单位的速度出发，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止．设点P，Q出发时间为，的面积为S．已知S与t的函数关系图象如图②（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③直线的表达式为；④当时，与相似．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·四川雅安·一模）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．y随x的增大而增大 B．经过一、二、三象限 C．与x轴的交点坐标为 D．可由函数的图象向下平移4个单位得到 3．（2026·四川内江·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为直线交轴于点，以为边作第一个等边三角形，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以为边作第二个等边三角形，交直线于点，…顺次这样作下去，第2026个等边三角形的边长为（    ） A． B． C．4050 D．4052 4．（2026·四川雅安·一模）如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·四川宜宾·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，是等腰直角三角形，其直角顶点在轴正半轴上，点、点在函数的图象上，延长交轴于点．若点的横坐标为4，则的值为（     ） A．2 B．6 C．4 D．8 6．（2026·四川南充·二模）如图，纵坐标分别为，的点，点均在函数（，）的图象上．，分别与轴、轴相切，半径是半径的2倍．若，两点间的距离为，则的值为（   ） A． B．3 C． D．不确定 7．（2026·福建漳州·模拟预测）如图1为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图2所示，则下列说法正确的是（   ） A．I随R的增大而增大 B．当时， C．I与R的函数表达式是 D．当时，I的取值范围是 8．（2026·四川南充·二模）已知某蓄电池的电压为定值，电流与电阻是反比例函数关系，它的图象如图，若当电阻R为时，电流为，则当电阻为时，电流为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·四川乐山·一模）根据物理学中欧姆定律可知，当某电路中电压不变时，该电路中的总电流（单位：A）是该电路中总电阻（单位：）的反比例函数，其图像如图所示．当该电路中总电流大于时，该电路将可能烧坏．为了安全起见，则接入电路的总电阻应不小于（    ） A． B． C． D． 10．（2026·四川成都·二模）关于反比例函数，下列结论正确的是（    ） A．函数图像在第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图像与x轴有交点 D．函数图像关于直线对称 11．（2026·四川南充·一模）日常生活中的“盐水”，是指含有氯化钠的水溶液．如图，用三个点分别表示甲、乙、丙三瓶盐水的浓度与盐水的质量的对应关系（盐水处于不饱和盐水的浓度和状态），其中甲、丙两点恰好在反比例函数（，为常数）的图象上．若甲、乙、丙三瓶盐水中含氯化钠的质量分别为，则其大小关系为（提示盐水的浓度）（   ） A． B． C． D． 12．（2026·四川成都·三模）成都天府绿道要修一段步道，工程总量固定，每天修建的长度米和修建天数天成反比例函数关系．若每天修40米，需要6天完工；若每天修建30米，则需要________天完工． 13．（2026·四川广元·三模）如图，过原点的直线与双曲线 交于两点，点在轴上，且，若 ，则的值为______． 14．（2026·四川成都·三模）已知点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c间的大小关系为________（用“”号连接）． 15．（2026·四川南充·三模）如图，菱形的顶点，在同一双曲线上．若点，则，两点间的距离为________． 16．（2026·四川雅安·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，…在x轴的正半轴上，点，，，…在射线上，直线的表达式为．若点的坐标为，且，，，…均为等边三角形，则的面积为______． 17．（2026·四川成都·三模）已知一次函数的图象不经过第三象限，则k的取值范围是______． 18．（2026·四川内江·二模）已知a、b都是非负数，且，设，则S的最大值是___________． 19．（2026·四川成都·模拟预测）函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“阶方点”．例如：点是函数图像的“阶方点”；点是函数图象的“2阶方点”．若一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个，则__________；若二次函数图像的“阶方点”一定存在，则的取值范围是__________． n20．（2026·四川广元·二模）某文具店举行抽奖活动，盒子中装有5支完全相同的中性笔，笔杆上分别刻有数字：．顾客随机抽取一支，记笔上的数字为a，求使得：以x为自变量的正比例函数经过第一、三象限，且关于x的一元二次方程有实数解的概率是_______． 21．（2026·四川雅安·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点A的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点D是y轴上一点，且的面积为20，求点D坐标． 22．（2026·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数交于点． (1)求b和k的值； (2)点C是x轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点D，连接，若，求的面积； (3)在（2）条件下，一次函数与x轴交于点N，过点B的直线交反比例函数于点P，交x轴于点M，是否存在点P，使得与相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（2026·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接并延长交双曲线于点，点为轴上一动点，点为直线上一动点，连接，求当最小时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点为双曲线上一动点，平面内是否存在一点，使以点为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（2026·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴相交于点，点在反比例函数图象上． (1)求的值及点的坐标； (2)若为等腰直角三角形，，求反比例函数的解析式； (3)过点，的直线与轴交于点，点与点关于点对称，若存在，使得，请直接写出的值． 25．（2026·四川自贡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)请直接写出不等式的解集； (3)点P为反比例函数图象上的一点，若，求点P的坐标． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06一次函数与反比例函数 3年真题1年模拟参考答秦 三年真题分类园 考点01一次函数 1.A 2.A 3.C 4.A 5.A 6.D 1 1.2 8.-2 22\ 34 10.2 4或3 11.2004 12.0(答案不唯一). 5 13.-2 14.9. 15.2√分 1/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 17.（-3,1) 21.1(答案不唯一)· 18.【详解】(1)解：由题意得，当追赶时间为0时，小明到观景台1的路程为1200m,而小聪到观景台 1的路程为0， ∴，由函数图象可知，表示小明到观景台1的路程与追赶时间之间的关系： (2)解：设的函数解析式为 y=kx(k≠0) 把(20,140 代入y=6≠0)得140=20，解得=70。 得 y=70x .的函数解析式为 设的函数解析式为'=x+b(%≠0) 20k2+b=2000 把(0,1200)和(20,2000)代入y=kx+b(k3≠0)得b=1200 k32=40 ∴.b=1200. ·的函数解析式为y=40x+1200 (3)解：小聪能在到达观景台3前追上小明，计算说明如下： 令70x=40x+1200,解得x=40, 在y=70x中，当x=40时，y=2800, ∴.小聪追上小明时所走的路程为2800m, .2800<1200+1800=3000 ∴.小聪能在到达观景台3前追上小明. 19.【详解】解：设销售额为少，销量为x,则降价前的函数表达式为y=, 把10,30 代入，得300=100k 解得k=3, 2/103 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.降价前的函数表达式为y=3x, ∴降价前的单价为3元/千克， ∴.降价后单价为2.5元/千克， 设降价后的函数表达式为y=2.5x+b 把00,30 代入，得300=100×2.5+b 解得b=50, ∴.降价后的函数表达式为y=2.5x+50, 当y=450时，2.5x+50=450, 解得x=160」 ∴.总销量为160千克， “留作下一季的种植基金为0.8×160=128（元）， ∴捐给福利院450-128=322（元）. 答：该班级本次共捐给福利院322元. 20. 【详解】(1)解：当0≤x≤3时，设y与x的函数关系式为y=, 把8) 代入y=c中得9=3张， .k=3 .当0≤x≤3时，y与x的函数关系式为y=3x 当3<x≤11时，设y与x的函数关系式为y=+b, 3a+b=9 把(3,9)和(1,1)代入y=ax+b中得11a+b=1, a=-1 ∴.b=12, 当3<x≤11时，y与x的函数关系式为y=-x+12 3/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 综上，血液中药物浓度上升阶段'与x之间的函数解析式为 =3x(0≤x≤3) 下降阶段》与x之间的函数 关系式是'=-x+12(3<x≤1川) (2)解：在y=3x中，当y=3x=3时，x=1, 在y=-x+12中，当y=-x+12=3时，x=9, 9-1=8小时， 答：成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时. 21.【详解】(1)解：设线段O4对应的函数解析式为 =kH(k≠0) :点(20,90) 在该函数图象上， ∴.20k=900 解得k=45, .线段OA对应的函数解析式为s=45t(0≤t≤20) 由图象可得，线段AB对应的函数解析式为 =900(20<t≤30) [45t(0≤t≤20) 综上： 900(20<t≤30) (2)略解：小明从家步行去图书馆，图书馆距离小明家900米，用时20分钟，然后小明在图书馆看书用 了10分钟，再步行回家，用时15分钟（答案不唯一，符合图象即可）. 考点02反比例函数 1.D 2.D 3.B 4.D 5.C 6.B 4/103 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.D 8.A 9.B 10.C 12.-4 13.18 14.50 40.减小 15.-2 16.(0,4) 17.四/4 考点03一次函数与反比例函数综合 1.(1)解：由题意可把点 @)代入直线y=x+8得：a=1+8=9。 409) .k=1x9=9」 ÷反比例函数解析式为少=9 y=9 x [x=-9「x=1 联立by=x+8,解得：y=-1或y=9· .点B的坐标为(9)； (2)解：由图象及(1)可知：不等式x <x+8的解集为-9<x<0或x>1: P(1,0) (3)解：由题意可设 5/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 把y=0代入直线y=x+8得：0=x+8,解得：x=8, D(-8,0) .4,9) ∴根据两点间距离公式可得：4D=(8-少+(0-9=162，DP2=(+8 AP2=(t-1)2+(0-9)2=(t-1)+81 当△ADP为直角三角形时，则可分： 当∠APD=90°时，由勾股定理可得：DP2+AP2=AD, :+8+-y+81=162 解得。 4=1,42=-8 (不符合题意，舍去)， P.0) 当∠DAP=90°时，由勾股定理可得：AD2+AP2=PD2, ÷+8=-+81+162 解得：1=10， ÷Pi0,o） 综上所述：当a1DP为直角三角形时，点P的坐标为L0)咬0,0) 4 2.(1)解：A(-2,川在反比例函数y=x的图象上， 4 ..n= =-2,则A(-2,-2) -2 “点4(-2，-2列在正比例函数 =kax(k≠0)」 的图象上， 2=kx2列，则k1, ∴正比例函数的解析式为y=x: 6/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 (2)解：联立y=x和y= x,即x2=4,则x=2 .B(2,2) ,△ABC 的面积为8，即 ACOA+SACOB=S.ABC 0cx2+2)=8 0C=4, ,点C是y轴正半轴上的一点， ·点C的坐标为 0,4) 3.(4)解：将点C(a,2)代入y=中，得2a=4 4 解得a=2, ÷c22) 将C(2,2)代入y=2x+b中，得6=1： 1 (2)由(1)知y=21 x+1, 令x=0得y=1:令y=0得x=-2, ,B(0,1I),A(-2,0) .OB=1,OA=2. 过点D作DE⊥x轴于点E, 由旋转得AD=AB,∠DAB=90° 7/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠ADE=∠BAO=90°-∠DAE, 又：∠AED=∠BOA=90°， :△ADE≌aBA0(AMS) ..AE=OB=1,DE=0A=2 :D(-32) :直线AB的解析式为y=2x+1,平移后DEAB, 1 ·设直线DE解析式为y=2x+m, 3 将点D(32)代入，得2+m=2, 解得m=2 1,7 ÷直线DB解析式为y=2x+ 2 174 令2x+2x 解得x=1或x=-8(舍去)，， 4 y==4 1 .E(1,4) 4.(1)解：由题意得，将x=1代入y=x+bb>0),则y=1+b, :P%1+) :PA⊥x轴 :10).PA=1+b 对于一次函数y=x+b(b>0),当y=0时，x+b=0,解得x=-b 8/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B(-60) ,AB=1-（-b)=1+b ,PA⊥x轴 .SAPB=5AB×PA=8 +6=8, 解得4=34=5 (舍去) .一次函数表达式为y=x+3,1+b=1+3=4 :P4) 将点P1,4)代入y=” =x,则m=1×4=4, 小反比例函数表达式为少=4 (2)解：对于直线y=x+3,当y=0时，x+3=0,解得x=-3;当x=0时，y=3 ÷B(-30),C03) ..OB=OC=3. .∠B0C=90° ∴.∠OBC=∠OCB=45° :2是A点关于'轴的对称点， A1,0) :-40) .BQ=B0-OQ=3-1=2 过点Q作直线BC的对称点T,连接AM,BT,AT,IN, 9/103 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M :.BT=BQ=2,∠TBN=∠QBN=45°，QN=TN,QM=AM ÷Cae=2M+ON+MN=AM+TN+MN≥A7∠ABr=∠TBN+∠OBN=90 A,M,N,T △MWg AT 当点 共线时， 的周长取得最小值，即为， :·AB=OB+OA=1+3=4 4T=VAB+BT2=14+2=25 △MNQ 2W5 的周长最小值为， 5.（1)解：把点A(2,6)代入反比例函数的表达式得6- 29 k2=12 2反比例函数的表达式为少= 得n12 把点B(-4,m)代入y=1 -4 .m=-3, 六点B的坐标为4，-3) [2k+b=6 把点A和点B的坐标代入一次函数的表达式得-4k+b=-3, k=2 b=3 10/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .一次函数的表达式为y 2x+3: (②)解：由函数图象可得关于x的不等式4+6≥经的解架为4≤r<0或x22: (3)解：如图所示，设直线AB交x轴于点D, DO 3 3 在y=2x+3中，当y=0时，2x+3=0,解得x=-2 -2,0) ∴点D的坐标为 S.AM=Scn+S.c=15 +CD 2D6+5c0=l5, 1 :CD= 3 白C的假标务2-号一台成点c的质他标为349 -3=- 3-3 .点C的坐标为 6.(1)解：“一次函数'=-x+1 P(-1,a）(b,-1) 的图象经过点 ∴-(-1)+1=a-b+1=-1, 解得a=2,b=2, 11/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P(-1,2)(2,) :反比例函数y=x的图象经过点P(山，2)， k=-2 2 :反比例函数的表达式为y= x (2)解：如图，设一次函数y=-x+1与x轴相交于点A, A P A -4-3-2-11òA234龙 -2 3 -41 令=0 则x=1,即： A(1,0) .OA=1. 又P(-12)02,-) -8ne=及m+Sw- )x1x2+x1x1=3 2 2· 8 7.(1)解：：反比例函数y=x的图象过A(m,8),B(-4,n)两点， :8、8 -49 ∴.m=1,n=-2, :48).B(-4-2) 将4,8)，B4,-2列代入一次函数y=+b,可得： 8=k+b -2=-4k+b, 12/103 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 b=6 解得k=2, ∴.一次函数的表达式为y=2x+6」 2少解：？不等式红+6之的几利意义是：一次面数图家在反比例西数图象上方（成正合）的酒。 P “不等式：+b≥：的解集是一次函数图象在反比例函数图象上方（或重合）的x范围， 6 :反比例函数少=的自变量取值范围为x≠0： 当x>0时， 8 :反比例函数y=x的图象与一次函数y=2x+6的图像交于A(1,8), “,当x≥1时，根据图像一次函数图象在反比例函数图象上方， 当x<0时， 8 :反比例函数y=x的图象与一次函数y=2x+6的图像交于B(4,-2)小 ·.当4≤x<0时，根据图像一次函数图象在反比例函数图象上方， 综上，不等式c+b x的解集为-4≤x<0或x≥1 (3)解：，直线AB向下平移12个单位后交反比例函数的图象于C,D两点，且直线AB所在一次函数的 表达式为y=2x+6, ∴.直线CD所在一次函数的表达式为y=2x+6-12=2x-6, 如图，设AB与x轴交于点F,CD与x轴交于点G, 13/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴将y=0代入y=2x+6得0=2x+6, 解得x=-3, ÷F-30 将y=0代入y=2x-6得0=2x-6, 解得x=3, G3,0) .FG=3-(-3)=6 ,直线CD交y轴于点E, ∴.将x=0代入y=2x-6=6, :E0-6) y=2x-6 8 联立平移后直线与反比例函数，得： y=x :2r-6=8 ,即x2-3x-4=0: 解得x=4或x=-1, ,点C在第一象限， 8-2 x=4,y= 14/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :c42) :直线AB平移得到直线CD,直线AB和直线CD平行， 1 1 ÷Sas=0a=Sr+S,m-2x6x2+2×6x6=24. 2 8.(1)解：“点4m,2)在正比例函数y=2x的图象上， 2m=2 解得m=4, ·点A(4,2) k :反比例函数y=x的图象过点(4,2) :2k 4 解得k=8, 六反比例函数关系式为少=8 (2)解：过点A作AE⊥x轴，于点E,过点B作BDLx轴，于点D, ,AE∥BD, OB OD .OA OE 设点B的横坐标为a,根据题意，得则OD=a,OE=4, OB 3 a .0A24 解得a=6, 1 当x=6时，y= 6=3 .点B(6,3): 15/103 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D (3)解：点B(6,3),BC1y轴， ∴.点C0,3). 作点C关于x轴对称的点 C(0,-3) ）,连接4C交x轴于点P, .PA+PC=PA+PC', 根据两点之间线段最短可得PA+PC≥AC', ∴.PA+PC的最小值为AC 设直线AC'的关系式为y=mx+n,根据题意，得 4m+n=2 n=-3, 「5 m= 4 解得n=-3’ ÷直线4C的关系武为少-3， 12 当y=0时，x=5, 传 B 16/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.(1)解：将x=0代入y=c+4, 可得：y=4, 一点B的坐标为 0,4) .0B=4, .OB=20A. .OA=2, 六点4的坐标为2,0) 将42,0)代入=+4 可得：2k+4=0, 解得：k=-2, .一次函数的解析式为y=-2x+4, 将D36 代入y=-2x+4 可得：b=-2×3+4, 解得：b=-2, 六点D的坐标为8-2)】 将D(3-2)代入y=” x' 可得：3=m -2 解得：m=-6, :反比例函数的解析式为=6 (②解：“点D的坐标为8，-2) ∴0D=32+(-2)}=13. 17/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当P0=PD时，若点P在*轴上，设点P的坐标为 x,0) 则有P0=,PD=V3-x}+(0+2 ∴3-2+(0+22=(x)2 解得：t 6 ,0 “点P的坐标为6 当PO=PD时，点P在'轴上，设点P的坐标为 0y) 则有P0=以，PD=V3-0}+(y+2) V3-0+y+2}=(W2 13 解得：y=-4, .点P的坐标为 当OP=OD,点P在x轴上时， OP=OD=13 ∴点P的坐标是i3,0)成人E,0）, 当OP=OD,点P在x轴上时， OP=OD=13 ∴点P的坐标是0，)或0，)， 当D0=DP=V3 点P在轴上时， 如下图所示，过点D作DE⊥y轴， 18/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 “点D的坐标是 3,-2) DE=3,OE=2, .OP=4, ·点P的坐标是 0,-4) 一龙 DO=DP=13 ,点P在》轴上时， 如下图所示，过点D作DF⊥x轴， “点D的坐标是8，-2) ∴.OF=3,DF=2, .0P=6 。(60) 一点P的坐标是 CNB 当 是等腰三角形，点在坐标轴上时，点的坐标为 或 或 D AODP P P (一iB.0或i5,00,-i)威0，vi成0,4）或(6，o), 综上所述，以点O,D,P为顶点的等腰三角形有8个： OP=OD=13 .5wexx2i3 (3)解：图象的性质：①当x>0时，y随x增大而减小： 19/103 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②当x<0时y随x增大而减小： ③函数的图象关于原点对称： 10.(山解：432)在反比例函数为=(m≠0上， 2=m -3 ∴.m=6, ·反比例函数的解析式为片=-6 B(a,6) 6=-6 ' .a=1, .B1,6) 「-3k+b=2 将A(-3,2)和BL,6)代入y=cx+b中联立方程组得k+b=6, [k=-2 解得b=4, =-2x-4 一次函数的解析式为 (2)解：当x<0时，即在第二象限时， :A(-3,2)是一次函数和反比例函数的交点， ∴.x=-3 时， =y2 y>y2 欲使 20/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·观察图象可知，x<-3 当x>0时，即在第四象限时， :B(,6)是一次函数和反比例函数的交点， ∴.x=1n 片=y2 时， 欲使片>与 .观察图象可知，x<1 0<x<1. 综上所述， 片>为时x的取值范围是x<-3或0<x<1 (3)解：如图， B趴 设一次函数1=-2x-4 的图象向上平移5个单位长度后得到直线，设'与'轴交于点M,则CM=5 .ACI‖PM .S.4cr=S.wc=xMCx=x5x3-15 1 1 2 2 2· 11.(1)解：设一次函数解析式为y=ac+b, 将10，-3)B(60 代入y=在+b b=-3 得6k+b=0, 21/103 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 k= 解得 2 b=-3 1 ·一次函数解析式为y=2-3, :点Cm) 在一次函数图象上， 1 2m-3=1 解得m=8, C(8,1) 点 在反比例函数图象上， ∴.反比例函数解析式为y= 术，即y8 8×1 x: (2)解：如图，过点P作PD1x轴于点D, C D A 0,-3)B(60) .0A=3,OB=6, :点P在反比例函数第一象限图象上， pa8a>o) PD=8 .设（a) OD=a, a 在△ABO和△OPD中，∠DOP=∠OAB,∠ODP=∠AOB=90°， ∴.△OPDn△ABO, P :OD=D,即4=a, OA OB 36 解得a=2或a=-2(舍)， 22/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2,4) 点P的坐标为 2=2x, 12.(1)解：对于①与②，联立得 整理，得x2+1=0, :x2+1≥1， 2 “该方程无实数解，即y=一元与y=2x无交点， .①与②是“陌生函数”， 对于①与③，联立得x =-3x+1 整理，得3x2-x-2=0, ÷4=(-°-4×3x(-2)=25>0 x与y=-3x+1有两个交点， .①与③是“友好函数”： (2)解：由图可知，两个函数的交点的横坐标为3和1，且在x<-3和0<x<1部分，反比例函数的图象 高于一次函数的图象， ÷当少>”时，X的取值范围是<-3或0<x<1 联立y=≠0)与)y=2x-6:得， n=2x-6, 整理，得2x2-6x-n=0. :y=(≠0)与y=2x-6是“相连函数”， :△=(-6)-4×2×(-n)=0 23/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得n=、9 2: (3)解：设直线的函数解析式为 '=x+6,直线的画数解折式为)=x+6。 联立y=kx+6与y=1 ,得， x+6=5 x 整理，得r+6r-=0 “y=6x46与少=与 是“相连函数”， 片4=6-4张（←6）=0 k3=1 9 kk=9,即3k, 9 y=- x+6 “直线的函数解析式为k, 9 y=- x+6 将y=0代入 k x-2k ，得3 。点A的坐标为3k0人 同照，店8的坐标为5长0 4B-号=6，则6-=9 :+号=(6-4}+2kk=92+2x(-18)=45 13.(山解：：机4在反比例函数少-子上，代入得a=子-2，即4机，2 将A(1,2)代入y=得k=2,直线为y=2x, 24/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称， B(-1,-2) 由两点距离公式：MB=V1-(-+2-(-2哪=V22+4=25 (2)解：设P(0,p),p>0. 分三种情况讨论直角位置：①∠APB=90°：由勾股定理得AP2+BP2=AB2, 则+2-p1+-+(-2-p1=20 化简得D=5 故PV⑤ (负值已舍去)， 即Pov5). ②∠PAB=90°：由勾股定理得PA+AB2=PB2, 则1+2-p1+20=1+(-2-py 解得p5 2 即r03: ③∠PBA=90°：由勾股定理得PB2+AB2=PA, 则20+[+(-2-pP]=1+2-py 解得：P=-2,不符合p>0,舍去： 综上，若AMP为直角三角形，则P0或P0⑤)： (3)解：根据(1)可知41,2)， D(0,2),c1,0) 25/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设半移距爽为0>0，则平移后各点华标：D%2,C040.6+,)】 设直线BD'的解析式为y=mr+n, -2=-m+n 代入点B(-1,-2)和点D'亿，2)得2=m+n, 4 m= t+1 解得： 2-2t· n= t+1 六直线BD的解析式为少=4红+2-21 t+1t+1 224x,2-21 直线BD的解析式与y=联立得+十+1，整理得2r+(-)x-(+)-=0, t+1 解得：x=-1或x= 2 F t+14 ∴点(2’+ 设直线OE的解析式为y=mx, 2 2 则1千m1+）,解得： m'= (+2, 2 “直线OE的解析式为：y=0+x, 设直线C"F的解析式为y=cx+d, 0=c(1+)+d 4 t+1 则+=c2 +d, 8 C=- (1+)2 解得： 8 d= 1+t 26/103 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8 ∴直线CE的解析式为y三1+序， 2 28 铁立直线。的解析式和直线，。的解析式得十2x二+)2十+一 4(1+) 解得：x= 5， 即交点G的横坐标。=40，+) 5 过点G,F分别作GH⊥x轴，FK⊥x轴， 图2 则GHI/FK, FG KH GC CG' .KH=XG-xg = 0-9cm=-000.20 10 3(1+) FG 10 .3 .GC'2(1+)2· 10 14.()解：：反比例函数八=经过点A(-6,-3) m :m=6x(-3)=18 心反比例函数的解析式为片-18 ”一次函数片=x+n A(-6,-3) 的图象经过点 .-3=6+n,解得n=3: 27/103 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2=x+3 (2)解：由(1)知一次函数的解析式为 18 联立得x =x+3 解得x=6或x=3, 六点“的坐标为36 当为>与 时的取值范围为x<-6或0<x<3 或 (3)解：设直线少=+ 与坐标轴的交点分别为C和D, 令x=0,则y=3,令y=0,则x=-3, .C(-3,0)C(0,3) ∴.0C=OD=3. ∴，AOCD是等腰直角三角形， .OP⊥AB 点P是CD的中点， (33 “点P的坐标为22 15。(①)解：“一次函数y=3x-6的图象与反比例函数y=(m>0)的图象交于第一象限的点4，且点A 到y轴的距离为4. ÷,=4,=3x4-6=6,即146) 28/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..6m 4 解得：m=24, 24 ∴反比例函数的解析式为y= (2)解：'点A向上平移4个单位长度得到点B, :B410) 如图，过C作CE⊥y于点E,过B作BFLy轴于点F, .CE∥BF, D .△DCE∽△DBF, DC CE DE ·DB-BFDF· .CD=3BC,BF=4, DC 3 :DB 4' CE 3 .44 ∴4CE=12, .CE=3, =3,yc 24=8,即C3,8) 3 设直线BC为y=a+b, [4k+b=10 .3k+b=8, 29/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 [k=2 解得：b=2, ∴.直线BC为y=2x+2, 当x=0,y=2, :D(0,2) 16.(1)解：一次函数y=x+b与反比例函数少x的图象交于AB两点，其中点A点B的横坐标 分别是4和3， 当>时， -4<x<0x>3 或 (2)解：点A点B的横坐标分别是4和3，且点A、点B在反比例函数=x与一次函数片=x+b上， k (4到 4+=年 则 [k=12 解得b=1, ：一次画数和反比例函数的表达式分别为=+1，⅓-？ (3)解：由题意得，平移后的一次函数解析式为y=x+2+1=x+3, 30/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=x+3 12 联立x, x+3=12 X' 即x2+3x-12=0, -3±V57 X= 解得 2, -3±57 x= 经检验， 2是原方程的解， :点C在第一象限， x=3+57 2， %=3+5⑦+33+5同 2 2 c 过点C作CT‖y轴交AB于点T, SPBC =SAPCT +SBCT 31/103 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 cccrc ×3=3 2 【点睛】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数图象综合判断、求一次函数解析式、求反比例函数解 析式、一次函数图象平移问题、解分式方程（化为一元二次）、反比例函数与几何综合，解题关键是将求 △PBC 的面积转化为求8和Sr的和 17.(1)解：将 (-2,m-9) 代入y=mm得，m-9=-2m, 解得：m=3, y=3x,A(-2,6) .正比例函数表达式为 .k=-2×(-6)=12 二反比例函数解析式为少= x :点A,B关于原点对称， ∴B(2,6) 综上，4(-2-6，B(2,,反比例函数解析式为y=2 x i (2)解：过C作CG∥x轴，交AB于点G, .CG=c-4 ' 32/103 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 se=0G(0,%)c-x6=5 4 解得：c=3或c=-3(舍去)： .C(3,4) 则0C=V32+42=5 当OC为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点N在点C左侧， 此时CW∥x轴，且CN=5, ∴.N(-2,4) ②如图，此点N在点C右侧， 此时CN∥x轴，且CN=5, ∴N(84) ③如图，OM,CN为对角线， 33/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 此时点C与点N关于x轴对称，则 N(3,-4) 当OC为菱形的对角线时，如下有一种情况： 过C作CL⊥x轴于点L, 设OM=a,则CM=a,ML=a-3, 在RIACLM中，(a-3'+42=d2 解得a25 6 Cw=25 6 综上，点N型标为2或®到64到威（名 18.(1)解：：四边形OABC为矩形，点A的坐标为 4,0 ,点C的坐标为 0,2) 点8(42) 34/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :c02) :D为BC的中点， D22) :反比例函数y=(x>0)的图象过点D, .:2sk 2 ∴.k=4, y=4 x (2解：：反比制函数y>0的图象交AB于点区， :设(4m) 4 m=4l,E(4, 设直线DE解析式为y=r+b, 2a+b=2 则4a+b=1, 1 a=- 2 解得b=3’ .y-1 +3 令y=0 则x=6, :F(6,0) .0F=6, .0A=4. 35/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AF=OF-OA=2. :AE=1, 8m=方44E= 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式， 反比例函数的图象与性质，矩形的性质，三角形面积公式，是解题关键. y=x-1 2 19.(1)解：联立方程组得 y= x=-1x=2 解得y=-2或y=1, ∴A点的坐标 为2,1，B点的坐标为-1.-2)， 观察图象，找出函数y=的图象在y=x-1的图象上边位置时x的取值范围， “不等式x-1<的解集为0<x<2或x<-1 故答案为： (2,1)（,-2).0<x<2或x<-1 (2)解：设y=x-1与y轴的交点为M, 令x=0时，y=1, 0,-1) 则点M的坐标为 设C点的坐标为(0) 36/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由题意知，及度=8am+m1x小k1+1-以x2-+小-6， 解得火+川=4 当火+1≥0 ，片+1=4 。=3 解得 当儿+1s0 ，火+1=-4 解得片。5 ∴.点C的坐标为 3或0-5) 20(1)解：点426在双曲线y x上， ∴.m=-2×6=-12 又：B(-6a)在双曲线y= x上， .6a=-12,解得a=2 -2k+b=6 k=1 由题意得： 6k+b=2,解得b=8, ∴.y=x+8 (2)解：由(1)可知k=1,m=-12, 所以不等式+b>可化为+8品 12 根据函数图象，直线y=x+8在双曲线y=一上方时，x的取值范围是-6<x<-2, 12 所以不等式x+8>一x的解集为6<x<2 (3)解：如图，设直线AC与x轴交于点C, B 37/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当y=0时.x+8=0, x=-8, ∴C(-8,0) 5am=2x-8x6-×8x2=24-8=16 21.（1山解：“一次函数y=红+2的图象与与反比例函数y= x(x<0)的图象交于点B(-2,3), 3=-2+2,3=% k=-1 2’m=-6” .一次函数为y= 一2x+2,反比例函数为y=-6 x (2)解：”一次函数y=-28 )x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A点C, 当y=0时，x=4,当x=0时，y=2, .A4,0)C(0,2) :点D(6,m)是反比例函数y=一X图象上一点， n 61 -6, ∴D(6,1) 过点B作BF⊥x轴，交直线DC于点E, D∠ 设直线CD的解析武为=mr+”,托D(6),C0,2)代入得到 38/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 n-2 -6m+n=1 [n=2 直线CD的解析式为y6x+2, B(-2,3).BF1x轴， ∴.点E的横坐标为-2， 当x=2时，6x(-2列2=。 3 :BE=3-5、4 33 ∴ABCD的面积=2 0-(6]-x6=4 (3)解：设P(0,), ·1(40)B(-2,3) 则P=+16,PB=-3y+4,AB2=(-2-4+3-0=45 当∠APB=90°时，PA+PB2=AB 即+16+-3+4=45，得到2-31-8=0 1=3+v47 3-√41 f= 解得： 2或2， 22.(1)解：关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数， 39/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点1,0)和0，-少关于点0,0)的对称点分别是 1,0）(0,1) 设函数y=x-1关于点(0,0)的“对称函数”为y=x+b 将-，0，@代入得， -k+b=0 [k=1 b=1,解得b=1, y=x-1 (0,0) =x+1 函数 关于点的“对称函数”为 (2)解：~函数y=+1是由反比例函数y=向上平移一个单位长度得到的， 而反比例函数'=x关于原点(0,0)中心对称， :函数'=x+'的图象关于点(0，)中心对称， :存在点P(O,),使得函数y=+1关于点P的“对称函数”就是它本身 (3)解：将9化成顶点式'=-2r+2a=a(x-l+a,其顶点为L@ :C,C关于点 2,2) 对称， ℃的顶点为84-) C的解析式为’=-a(x-3)+4-a 0如图，当a=时，G:月=x-+分G:⅓=x-3+号 40/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 -2-10123456 -31 2 联立 2(r-3)}+ 7,解得 y= 2 x=2±V√2 1 3 当x=1时，片=2，%=2，有整点(，1)， 当=2时，1，%=3，有整点21，(2).(23到 5 7 当x=3时，=2，为=2，有整点B,3列， 故当a=2时，求W内的“整点”个数有5个： ②：C的顶点为 3,4-a) :C的解析式为'=-ax-3》+4-a=-m+6am+4-10a :函数G与C的图象关于点 2,2) 成中心对称， .点(2,2)必为区域W内的“整点”， 当区域”内恰有9个“整点”时，其它8个“整点”是4对关于点2,2刃对称的点，即，》和3)，(2，和 2,3),0,2)和（3,2).0,0和(43) 41/103 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6 5 3 -2-10 123456十x 此时，当C2过(0，)时，满足题意，即4-10a=1, 3 解得：a= 10 当C过6,3) 时，即 16a+a=3 3 解得：a=17, 此时区域W内有15个整点，如图， 6 -10 6 当区域W内恰有13个“整点”时，其它12个“整点”是6对关于点(2,2)对称的点，在前面9个“整点” 的基础上增加了(0,2)、(4,2)、(3,1)及(，3)4个“整点”， 3 此时a>17, 如图， 42/103 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6 4 3 的取值范围是 3 -210 1234567x:a i7<as 10 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求解析式，新定义函数，二次函数的顶点坐 标，成中心对称的点的特征，理解“对称函数”的定义及运用数形结合思想是解题的关键. 23.(山)解：：一次函数y=x-1的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于点A(m,)、B(-1,n）, ∴.m-1=1,-1-1=n, .m=2,n=-2, :120.8(-1-2) 2 k=2, ∴反比例函数解析式为y= (2)解：如图所示，设直线y=x-1交x轴于C, 在y=x-1中，当y=x-1=0时，x=1, :C00) SAAPB SAAPC+SABPC =6 iPC.y.+iPC-(-y)-6. .2 1 42×1·PC±×2PCE⊙ .PC=4, 43/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :a-=4 ∴.a=5或a=-3. 24.(1)解：：一次函数'=-2的图象与x轴交于点 A(-1,0) .0=-k-2,解得k=-2 ∴.一次函数的表达式为y=-2x-2, B(-2,a) :一次函数=-2x-2过点B ÷a=-2x(-2）-2 .a=2, :B(-22) “反比例函数y= x的图象过点B(-2,2) :2m =2,解得m=-4: 一反比例函数的表达式为y=一4 (2)解：射线BO与反比例函数的图象交于点C, 结合函数图象关于原点中心对称可知C(2,-2) 过点B(-2,2)作BE1x轴于点B,过点C(2,-2)作CD1x轴于点D, 44/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BE=2,CD=2, ÷4(-1,0) .A0=1, .w+m+0-CD-xlx2+x22 1 2 2 23.（山解：无AB,4利代入J-会得k=34=n 12 反比例函数解析式为y= A3,4) (2)解： :0A=V32+42=5 ,四边形OABC是菱形， .AB=0A=5, .B(8,4) 设直线OB的解析式为'=m(m≠0)， (8,4) 把 代入得4=8m 1 ..m= 2 1 “直线OB的解析式为y=2, :点D是反比例函数与正比例函数的交点， 45/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12 y= ∴联立解析式 1 y=x 2 x=2V6x=-2W6 解得y=6或y=-V6: x>0, :D26,6) 26(山解：把4(2，)代入到=（0)中得：1=今，解得=-2 二反比例函数解析式为少=名 在，当时号2 ÷C-2) -2m+b=1 m=1 把A(-2,),C(-1,2)代入到y=mx+b中得：-m+b=2,解得b=3, ∴.一次函数y=mr+b的表达式为y=x+3, 在y=x+3中，当y=x+3=0时，x=-3, :M-30) .OM=3, :.S40w=2 w小-*3x1- 2: (2)解：，“直线AB经过原点， ∴.由反比例函数的对称性可得点B的坐标 B(2,-）OA=0B .1(-2,1)C(-1,2) 46/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AC=[-2-(-10]+(0-2}2=2,BC=[2-(-1]+(1-2}=32, 4B=[2-(-2订+(-1-12=2W5 4C2+Bc2=(V2+32j=2+18=20,AB2-(25-20, .AC2+BC2=AB2, .∠ACB=90° ,BC⊥AC, .OA与AC不垂直， :△OAD与△ABC相似， ·只存在△OADP△BAC和△OAD∽aCAB这两种情况， AD OA 1 当OADPABAC时，则AC=AB2,∠ODA=∠BCA=90, .AD-TAC.ODIBC. ,此时点D为AC的中点， 33Y ∴点D的坐标为22： AD ODOA AD OD 5 当△OAD∽aCAB时，则AB BC AC,2V53√2√互， 47/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AD=5V2,OD=35 设D(ad+3) (-2-d}+1-d-3}=(52) (0-d2+0-d-32=(35, 解得d=3, ∴d+3=6. 3,6) .点D的坐标为 33 综上所述，点D的坐标为2'2或(3,6)】 k 27.(山少)解：把A1,4)代入反比例函数y=x,则k=4 4 则反比例函数解析式为：y= x 4 把B(4,m)代入y=. 则m=1, :84) 再把4,4).B(41 代入y=a+b 48/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a+b=4 则14a+b=1' a=-1 解得：1b=5, 则一次函数的解析式为：y=-x+5. (2)解：令y=-x+5=0时，则x=5, :C50) ,点D与点A关于点O对称， A(1,4) :D-4) 设点P飞0(x<0) .00,0) ∴.PO=-x 又4,4)，C50）D(-1,-4) :40=v-0Y+(4-0)=7,0D=V1-0'+(4-0=7,0C=5, :△AOC与△POD相似，∠AOC=∠POD, A0 OC A0 OC ∴.分两种情况：PO=OD或ODP0: A0 OC 当P0OD时， 175 即-xV17, 17 解得：x=一5， 49/103 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AO OC 当ODP0· 75 即V17-x, 解得：x=-5, (-5,0) 此时 1 ,0 综上：当点P在x轴的负半轴上，且△4OC与△POD相似，点P的坐标为5或(-5,0) 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析 式，一次函数与坐标轴的交点问题，关于原点对称的点的坐标特点，相似三角形的性质，直角坐标系中两 点之间的距离等知识，掌握这些知识是解题的关键】 下，得1=m 28.(山解：把点A-8,)代入y= =二8，解得m=-8: :反比例函数的解析式为少=-8 把点B(m,4)代入y=-8 x,得4=-8 ,解得n=2 B(2,-4) 「-8k+b=1 ks、1 2 把A(-8,1)B(2,4)代入y=x+b得12k+b=-4,解得b=-3 一次函数的解析式为=2-3 (2)解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为x<一8或 0<x<2, 关于x的不等式+b>X的解集r<-3或0<r<2) 9解把42-2代入套得2=专 -2 ∴.k=4, 50/103 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 二反比例函数的关系式为少=4 ,相14 把B(a,)代入y=4 a ∴a=4, :8) 把4-2-2列，B(4代入-次面数=m+n得。 [-2=-2m+n 1=4m+n, 1 m=- 2 解得n=-1, 一次函数的关系式为y=2-1: (2)解：如图，设直线y=x与反比例函数y=x的图象相交于点C、D: y= x=-2「x2=2 由y=x,解得以=-2，=2 C2,2).D(-2-2) 由函数图象可知，当2<<0成>2时，反比例局致图象位于一次西爱图象下方，即子， k ∴不等式xx<0的解集为-2<x<0或x>2: 51/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)解：当∠BAP=90°时，AB2+AP2=BP2, 即4+2+1+2y+(-2-0+(-2-b=(4-0y2+1-b} 整理得，6b=36, ∴b=-6 当∠ABP=90°时，AB2+BP2=AP2, 即4+2+(+2+(4-0+1-b}=(-2-02+(-2-b} 整理得，6b=54. b=9: 综上，b的值为6或9. 30.(山)解：“反比例函数y= 的图象过点B(-6,) .k=6×1=-6 故反比例函数的表达式为)少=-6 把点4(a,6)代入反比例函数y=-6 得，6=-6 ,解得a=-1 .点A的坐标为 -1,6) :一次函数的图象经过4-16).B(61)两点 「-k+b=6 k=1 .6k+b=1,解得b=7 故一次函数的表达式为y=x+7: (2kx+b-4≥0 ,x+62即一次函数图象在反比例函数图象的上方 .6≤x≤-1： (3):点C横坐标为-4，代入y=x+7 52/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得：y=-4+7=3 :c4,3) 当y=3时，代入y=-6 ,得3、6 解得：x=-2 D(-23) 如图，过点B,D分别作x轴的垂线，垂足分别为F,E, D E O .B(-6,1)D(-2,3) :DE=3,BF=1.EF=-2-(6)=4 Sam+S.mo=S6形am+S.mS.0=So=3 :8n=mDE+款=B+04=8 31.山少解：设反比例函数解析式为y=上（≠0）， 经过点 A(-3,1) .k=-3 ·反比例函数为少=一3 53/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 :B(1,m)在y=图象上，n=-3 .B(1,-3) y=kx+b(k2≠0) 设一次函数解析式为 -3k+b=1 k2=-1 ∴.k2+b=-3,解得b=-2, ∴.一次函数为y=-x-2: (2)解：，CD⊥x轴， -3 .c a, (a:D(a,-a-2) 3-V57 1 3+V57 a= .a= .a= 解得：a=6或4或2或4 ,点C在第二象限， 3-V57 q= .a=6或4. 32.(山解：：反比例两数与-x>0)的图象经过4〔6 :1 6 解得k=6, ∴反比例函数的解析式为片-(x>0): 在⅓-x>0)中，当=2时，为93。 54/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :B(2,3) :一次函数y=x+b的图象与反比例函数⅓-兰（x>0)的图象交于点6，B2,) 6a+b=1 .2a+b=3. a=-1 2 解得b=4· 1 六一次函数解析式为少=2+4： (2)解：由函数图象可知，当一次函数y= 一弓+4的图象在反比例函数为-(x>0)的图象上方时自 变量的取值范围为2<x<6, k ∴不等式+b>的解集为2<x<6: (3)解：如图所示，作点B关于x轴的对称点D,连接BC,MC,DC,AD,则D2,3), B(2,m) A(6,1) C 由轴对称的性质可得DC=BC; A(6,1)B(2,3) ·AB=V2-6}+(3-1=25 ..ABC 的周长=AB+AC+BC=AC+BC+2N5 .当AC+BC有最小值时，△ABC的周长有最小值， 55/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AC+BC=AC+DC, :当AC+DC有最小值时，△ABC的周长有最小值， .AC+DC≥AD」 AC+DC 有最小值，即此时△ABC AD+25 .当A、C、D三点共线时， 的周长有最小值，最小值为 1(6,1)D(2,-3) .D=V(2-6+(-3-1)2=42 4V2+2V5 的周长的最小值为 6k+b=1 设直线AD解析式为y=kx+b,则2k+b=-3, [k=1 .b=-5, .直线AD解析式为y=x-5, 在y=x-5中，当y=x-5=0时，x=5, :c60) 5,0 综上所述，当点C的坐标为 0时，△MBC的周长有最小值，最小值为4V2+25 33.(1)解：：直线少=-x+b B(3,0) x轴的交点为 .0=-3+b. 解得：b=3, .一次函数的解析式为y=-x+3, e1(a2)f代入y=-x+3 把 得： 2=-a+3,解得：a=1, 56/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 “点02) 把点40,2)代入y=x得：k=1×2=2: (2)解：如图，连接AD, 由山得：反比例画数的解新式为y=子 :直线40与反比例函数的图象在第三象限交于点C,点 A(1,2) -1,-2) ∴点C的坐标为 ÷4C=(1++(2+2}=20. 2 m, 设点D的坐标为m, 40-0--am-1-时-3 .∠ACD=90° ..AD2=CD2+AC2, 0-2--1-+2-a+20 解得：m=-4或-1（舍去）， 57/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 ∴点D的坐标为 4.2 设直线AD的函数表达式为 =kx+b(k≠0) (1,2)代入得： +=:解得 3 k+b=2 b-2 +2 ,3 ·直线D的函数表达式为y=2 、解：设点E的坐标为 设直线4E的解析式为 =kx+b2 (1,2)代入得： %+6 名-2 t t,解得： 21+2 k2+b2=2 b2= t 直线4B的解析式为少=-2x+21+2 当y=0时，0=- 2,2t+2 x+ t 解得：x=t+1. t+1,0) ∴点P的坐标为 ,BP=t+1-3=t-2 58/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :△BEP的面积为2， 12x-2=2 2 2 解得：1=3或1=-2 洁散鸣标为2功或得 34.(①解：双曲线y=g(m≠0)经过点42,2列，B(4,a, ∴.m=2×2=4=-4a, .a=-l, B(4-少，反比例函数解析式为：y=4 直线=红+0经过点42习，点8(4- 「-4k+b=-1 .2k+b=2, ,1 k= 2 解得：b=1· 1 ·一次函数解析式为：y=2x+1, S△M0r=3 (2)解：：点P在x轴上， OPXy=3 OPX2=3 .OP=3, ∴点P的坐标为B0或3,0) 59/103 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8 35.(1)解：：点A(-2,a)在反比例函数y=- x上， A(-2,4) a=4,即 将4(-2)代人正比例函数=c中， 得-2k=4, 解得：k=-2: (2)解：B在直线y=-2x上， 设(m-2m） ,过点B作y轴的垂线.交反比例函数的图象于点D, 22 BD=2, m-,8=2 2m 整理得：m2-2m-4=0, 解得： m=1-5m=1+V5 或 (不符合题意舍去)， -5,-2+25), 8 (3)解：：双曲线y=一元关于y轴对称的图象为y: :y8 x 如图， 60/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由旋转可得：OA=OA,∠AOA=90°， 过A作AK⊥x轴于K,过A'作A'L⊥x轴于L, .∠AKO=∠AL0=90°， .∠AOK=90°-∠A'OL=∠OA'L, ∴.△AOK≌aOAL, 4-2,4) ..OL=AK =4,A'L=OK=2, :4(4,2) 当x=4时，y=8=2 CA(4,2)在y=x的图象上： 由反比例函数是中心对称图形可得： A"(-4,-2) :射线0A绕点0旋转90°后与'的交点坐标 为42)欧4-2刘 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，一元二次方程的解法，轴对称的性质，中心对称 的性质，全等三角形的判定与性质，熟练的作出图形利用函数性质解题是关键 36.(1解：一次函数y=2x+b A(2,6 的图象经过 ∴.6=2×2+b, .b=2, .一次函数解析式为y=2x+2: 61/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 m :反比例函数y=x的图象经过A2,6), ..6m 21 .m=12, 2 反比例函数解析式为y= x: 12 (2)解：将一次函数y=2x+2的图象沿y轴向下平移12个单位，与反比例函数y=x的图象相交于点 B,C .直线BC解析式为y=2x+2-12=2x-10 y=2x-10 12 联立y=x [x=-1x=6 ，解得y=-12或y=2 B(-1,-12),C(6,2) 如图所示，过点A作AT‖y轴交直线BC于T, ：2,6) .点T的横坐标为2， 在y=2x-10中，当x=2时，y=2×2-10=6, :T2,6) 62/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :17=6-(-6)=12 SAARC=SA△ABr+S△ACI =2×12x[2-(]+2x12x6-2) =18+24 =42 37.(1)解：如图：过点D作DH⊥AB于点H. E A BO :四边形ABCD是菱形， .AB=BC=CD=AD=4,DE=EB. :∠BAD=60° ∴△ABD是等边三角形， :DH⊥AB, 4H=BH=2.DH=3AH=2 B(-0) .OB=1, ∴.OH=OB+BH=3, D-3,25).c25) DE=EB, E-2) 63/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :点C在反比例函数少-冬k≠0)的图象上， ,k=1×2W3=23 V= 2w3 反比例函数的解析式为x 2V5 y= (2)解：对于反比例函数x, 当少3 时，=2 二平移后点B恰好在反比例函数的图象上时，点B的对应点E2V) .菱形向右平移了4个单位， B,C的对应点 3,0,C523). 设直线B'C'的解析式为y=mr+n, [0=3m+n m=√5 25=5m+n,解得：n=-3V3, ∴直线BC的解析式为y=5x-35 [23 y=2 =x-3解得：x=3+)7或3-面。 由 2 2 x>0, *3*仿 2 232W35i-33 :y=￥3#而 2， 2 x>0, 64/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3+7V51-35 ∴.点F的坐标为2 2 V51-3V3 “点F到x轴的距离为2， 38,(Q少解：：直线y=+2与反比例函数-k≠0)的图象交于不B两点，点A的横丝标为1. :4=1+2=3 403) ∴.k=1×3=3, ÷反比例函数为：少3 x y=x+2 3 .y=9 x=-3 x=1 解得：y=-1,y=3 8-3-) 1 (2)解：：Sm0=25%0, .BP=AP, A,3)B(-3,-) :P-1,0A=P+3=0=OB .OP⊥AB ∴0P=P+P=2,PB=(io°-(2=-22， 如图，当PM⊥OB时，PM最短： 65/103 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D PM=BP.0P_22x2_210 OB V10 5 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，求解函数解析式，一元二次方程的解法，勾股定理 的应用，等腰三角形的性质，理解题意是解本题的关键， M 1 39.(1)解：由题意，， 4在反比例函数=文上， ..k 2*4=2 2 反比例函数表达式为y= x' 2 又N(m,1)在反比例函数y=x上， .n=2 .N(2,1) 设一次函数表达式为y=x+b, 1 0+b=4 2a+b=1, .a=-2,b=5. ∴.一次函数的表达式为y=-2x+5, (2)解：由题意，如图，设直线1交x轴于点A,交y轴于点B, 66/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又直线1为y=-2x+5, B(0,5) :0A= 2，OB=5: 5w=5w5m5w分40x0-x40%0y3x5-1-5写5 2 2 24: (3)解：由题意，如图，作点M关于y轴的对称点M',连接MN交y轴于点P,则 PM+PN=PM'+PN的最小值等于MN的长. 又N(2,,设MN的解折武为y=cr+d 67/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6 C=- 5 则 2c+d=4,解得 17 2c+d=1 d= 617 直线MN为y=- 5 17 令x=0:则y= 5 p17 0,山少解：把4(m4)代入y-得：4=升 4 m 解得：m=1, :404) 把B列代入y-得：”=普=1 :8(4) 把4L4),8(4,代入y=c+b: 「4=k+b 1=4k+b, k=-1 解得：b=5, .一次函数的解析式为y=-x+5； (2)解：设直线OC的函数解析式为y=mx, 把C60代入y=m得：=m, 解得m=1, ∴.直线OC的函数解析式为y=x, 68/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=x 联立得： y= x' =2 x2=-2 解得： =2(舍去)，2=-2， D(-2,-2) 由图可知：直线CD上y随x的增大而增大 41.(1)解：A(2,3),B(m,-2)两点在反比例函数y=元的图象上. .k=2×3=6, ..y=6 x” 将点B(m,2)代入得：-2=6」 m,解得：m=-3: k (2):连接B0,并延长交反比例函数y=x的图象于点C,B(-3,-2) ÷C32) 423) 3=2k+b 设直线AC所在直线的解析式为y=cx+b,代入得：2=3k+b, k=-1 解得：b=5, ∴y=-x+5 42.(1)由题知 ∴.a=3, 69/103 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4332 %=9 x -3m+n=3 9 2 m=- 3 ∴.n=1 2 h=-5x+1 ②由图象可知自变量x的取值范围为3<r<0或x>号 (3)若AB与y轴相交于点C, 2 当x=0时，=亏x+1=1, :c00,即：0c=1, 8m=5m+5m-0c(-小-}+8 43.(1)点A1,m)、B(n,)在反比例函数'=x图象上 .m=3,n=3 又”一-次函数'=+h过点4,3)，C(0,) 70/103 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 k+b=3 b=1 [k=2 解得：b=1 y=2x+1 一次函数表达式为： (2)如图，连接BC,过点A作AD⊥BC,垂足为点D,过点C作CE⊥AB,垂足为点E, B c0,)B3 .BCI‖xBC=3 轴， 点A,3),B(3,.AD⊥BC “点DL.AD=2,DB=2 在RtADB中，AB=VAD2+DB=2V2 又.Sm-8c0-4B-cE 2 即2x3x2=x2v5.CE 2 :CE32 3V2 2,即点C到线段AB的距离为2· 【点睛】本题考查了求反比例函数值，待定系数法求一次函数表达式，勾股定理，与三角形高有关的计算， 熟练掌握以上知识点并作出适当的辅助线是解题的关键. 4。()解：一次函数y=:+6与反比例函数y=(>0)的图象交于点4AL,6),B.2, 71/103 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =6 1 .m=6, :反比例函数的表达式为少=6 x 6 把B(n,2)代入y=x得， 2=6 n' .n=3, .B(3,2) 把16).B3,2 代入y=+b得， [k+b=6 3k+b=2, [k=-2 解得b=8, 六一次函数的表达式 y=-2x+8 (2)解：如图，作点A关于y轴的对称点E,连接EB交y轴于P, B C\x 此时，△PAB的周长最小， ”点) .E(-1,6) 设直线BE的解析式为y=mr+C, 72/103 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 -m+c=6 3m+c=2, m=-1 解得c=5, ·直线的解析式为 BE =-x+5 当x=0时，y=5, 点P的坐标为 0,5) (3)解：将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E,F两点， 小直线EF的解析式为 =-2x+8-a F0,8-a EF-2AB 《82+8-*0-旷+6-2乎 解得a=6或a=10」 45.(1)解：·点A(m,2)在正比例函数图象上， ∴2= 2m,解得m=4 .A(4,2) :4(4,2)在反比例函数图象上， k=8」 :反比例函数解析式为片= x (②)解：把直线4=2向上平移3个单位得到解析式为y=2x+3, 73/103 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 令x=0,则y=3, ·记直线与y轴交点坐标为D(0,3),连接AD, y,x B 8 y= 联立方程组 3 1 「x=2 x=-8 解得y=4,y=-1(舍去)， .B(2,4) 由题意得：BD∥AO. :.△AOB,△AOD同底等高， 5m=m00-x3x4=6 46。（山)解：把4的坐标(-2,3)代入y= 得3 -2 解得k=6, 发比例函数的解析式为：y=-6 把B的坐标B,n)代入Jy=-6 74/103 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :B的坐标】 (3,-2) 把4(-23)，B8-2)代入J=am+b -2a+b=3 得3a+b=-2 a=-1 解得：b=1, ·一次函数的解析式为：y=-x+1 k (②)关于x的不等式x+b<的解集，即反比例函数y=x的图像在一次函数y=压+b的图像上方. 限据图象，关于x的不等式心+h<的解集为：-2<x<0或x>3 47、)解：：2.利在反比例函数y=k≠0)的图象上. k=2×4=8, 8 反比例函数的解析式为：y= 8 把Bm,-2)代入y= x,得n=-4 B(4-2) [2a+b=4 把A2,4),B(-4,-2)都代入一次函数y=ax+b,得4a+b=-2, a=1 解得b=2, .一次函数的解析式为：y=x+2: (2)解：如图， 75/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 对于y=x+2,当y=x+2=0,解得x=-2, ,C(-2,0) P(m,0). ,CP=|m+2 :△PAC的面积大于12， 总2×4m+2>2,即m+2>6 当m≥-2时，则m+2>6, 解得：m>4, 当m<-2时，则-m-2>6, 解得：m<-8: ∴.m>4或m<-8」 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积 等，求得交点坐标是解题的关键。 48（山解：由题点，将42代入y=2x中，得a=2x2=4,则42,4)， 将424)代入y=-x+m中，得4=-2+m,则m=6, ∴.y=-x+6, 将B6,0)代入J=-+6中，符0=-b+6,则b=6: ②解：设C),由（山知42）.B(60) 76/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 若O,A,B,C为顶点的四边形为平行四边形，分以下情况： [0+2=t+6 [1=-4 当OA为对角线时，则0+4=0+S,解得心=4， :C4,4 ）,则k=4×4=-16: [0+6=2+t [1=4 当OB为对角线时，则0+0=4+5，解得s=-4, ÷C(4,4),则k=-4×4=-16； 当OC为对角线时，依题意，这种情况不存在， 综上所述，满足条件的点C的坐标为-4，)或44)，长=-16。 (3)解：如图。设点D(x,0),则E(x,0)x<0, AB BD 若ABD6EBA:则BE=AB,即AB2=BEBD :(2-6+(4-0=(6+6-为，即x2=4, 解得x=2, D(-2,0) :r<0,x=-2,则 设直线AC的表达式为y=Pr+g, 2p+q=4 p=1 则-2p+q=0,解得9=2， .直线AC的表达式为y=x+2, 77/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=x+2 联立方程组 ,得x+2x-k=0' :有且只有一点C, ∴.方程x2+2x-k=0有且只有一个实数根， .△=22+4k=0,解得k=-1: 由题意，△ABD△ABE不存在， 故满足条件的k值为一1. 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合、反比例函数与几何的综合，涉及待定系数法、相似三角 形的性质、平行四边形的性质、坐标与图形、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握相关知识的联系 与运用，利用分类讨论思想求解是解答的关键. 49.(1)解：直线y=c+b经过A(0,-2),B-1,0)两点， [b=-2 [b=-2 -k+b=0,解得：k=-2, y=-2x-2, 当y=2时，2=-2x-2,解得：x=-2, :c-22) .m=-2×2=-4, y=-4x<0 (2)40,-2,B-l,0).C-2,2）CD1x .OA=2,BD=1,CD=2,∠CDB=∠AOP=90°， 当以O,A,P为顶点的三角形与△BCD相似时，分两种情况进行讨论： AO OP ①当AOPACDB,则：CDBD· 78/103 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A0_DC=2, OP BD ÷PL0或P-L0) OP OA ②当POAACDB?则：CDBD, OP DC =2 ·OABD .OP=20A=4. :P(40或P(-4,0) 或 综上：点P坐标为-4,0)或-1,0)或，0)或(4,0) 50(山解：把B23到代入)=兰中得：3-号，解得=6 六反比例函数解析式为少=6。 [-2k+b=0 把A(-2,0),B(2,3)代入y=c+b中得：12k+b=3, 3 k= 3 b= 2 一次数解新式为y子号， (2)解：如图所示，过点B作BE⊥x轴于E,设CD与x轴交于F, 直线x=m(m>2)与反比例离数y-（x>0)和=(x>0)的图象分别交于有C,D, 6 1 1 S.c0r=x6=3,S00r=)×-2=1, 2 2 SACOD=SAcor +SADOF =4 79/103 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 SAoWc =2SAOCD=8 ?BE⊥x轴。点B在反比例两数y=（x>0)的图象上， S△0E=SACOF=3 S四边形OBCr=SABOC+SACOF=S△BOE+S梯形BFC S#形Brc=SABOC=8 6 Cm,- 设（m,则 F=m,CF=6 m, B23) .OE=2,BE=3. ∴.EF=m-2. 3+6 六2m(m-2)=8 2 解得m=6或m=一3（舍去）， 经检验m=6是原方程的解，且符合题意， c6) ①1)解：一次函数v=2+2与反比例函数少-x<0的图象交于点4仁m, .m=-2×(-1)+2=2+2=4 80/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :4-l4) 把14代入会得：4= -1, ∴k=-4, 心反比例函数的解析式为：y=-4 x: (2)解：：直线y=ax+b是将直线y=-2x+2向下平移h个单位长度(h>0)后得到的， ∴直线y=+b与直线y=-2x+2平行， .a=-2, .y=-2x+b, :直线y=ar+6与反比制函数少生c<0)的图象的交点为B.2), 担B(m2)代入=得，2=4 4 n 解得，n=-2, .B(-2,2) 把B(-22代入y=-2x+b,得： 2=-2×(-2)+b ∴.b=-2, :h=2-(2)=4 k 由图象知，当x<-2时，y=x在直线y=a+b的下方， .不等式<c+b的解集为r<一2 52.山解：y-k≠0)经过4L4, k :.4=1,解得k=4 81/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :s4 x 无Ba人=兰有-1-月 n 解得n=-4, :B(4-) E44),B(-4-)代入=+a40) a+b=4 得-4a+b=-1, a=1 解得b=3, .y=x+3; (2)解：观察图像得：当x<一4或0<x<1时，一次函数的图像在反比例函数图像的下方， k ÷不等式x+b<的解集为x<4或0<x<I 4 (3)解：设点C的坐标为c,D(d,0) C,- ①以AC、BD为对角线， 1+c=-4+d 4=-1+0, 则4 4 C=- 5 解得 21 d= 5 4 :.c =-5 c 82/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②以BC、AD为对角线， -4+c=1+d 则-1+44+0 4 C=- 5 解得 d21, 5 4=5 1. c ③以AB、CD为对角线 [1-4=c+d 则4-1=4+0 「4 C= 3 解得 13 d=- 3 43 :.c ,当C的标-5,5成5,5成3,3时，以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四 【点睛】本题考查求一次函数的解析式，反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，平行 四边形存在性问题等，掌握数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键. 53。(山解：把41,3)代入为=得.3%。 ∴.m=3, 83/103 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2反比例函数表达式为片=3 x, 把B(a)代入⅓子得，-1=3 3 n ∴.n=-3, :8(-3) 把4,3)、B-3,-代入为=c+b得： 3=k+b 1-1=-3k+b, [k=1 解得b=2, 为=x+2 ∴.一次函数表达式为 (2解：由图象可得，当1>”时，的取值范围为3<x<0度>1。 y=x+2 y (3)解：如图，设直线 与'轴相交于点D,过点A作M上轴于点M,过点C作CW上x轴于 D(0,2) 点N,则 ∴.OD=2, M 点BC关于原点对称， c3,) .MN=3-1=2,CN=1,ON=3 84/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,SABC=S。BOD+S梯形ADOM+S梯形AMNC-S,CON x2x3+2+3k1+x0+3k2-x3x1 =8, 即△ABC的面积为8， 54.山解：将A23到代入y受得 m=2×3=6 :.y-x 6 6 将B(a,-2)代入y=x得 -2=6 ∴a=-3 .B(-3,-2) 将4(2,3)和B(-3,-2)代入y=c+b得 [2k+b=3 -3k+b=-2 [k=1 解得b=1 ∴y=x+1 6 故反比例函数和一次函数的解析式分别为y=和y=x+1: (2)如图，过A作AM⊥x轴于M,过B作BN⊥x轴于N, 85/103 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,∠BCA=90° ∴.∠NCB+∠ACM=90 :'∠MAC+∠ACM=90° .∴.∠NCB=∠MAC .'.tan∠NCB=tan∠MAC NB MC 即NC=AM 设C(c,O),则MC=c-2,NC=c+3 AM=3,BN=2 2=c-2 c+33 解得c=-4(舍去)或c=3 经检验，c=3是原分式方程的解， ∴.C3,0) 5,(山解：依题意把4(6)代入-贸得出1 -6 解得m=-6 6 6-6 把B,)代入y=x中，得出”= .BL,6) 则把A(-6,)和B(l,6分别代入y=x+b 1=-6k+b 得出-6=k+b 86/103 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 k=-1 解得b=-5 y=-x-5, (2)解：记直线AB与直线x=-2的交点为C 1 :y=-x-5 .当x=2时，则y=-x-5=2-5=-3 ÷c-2-3) ,P是直线x=-2上的一个动点， P(-2,p) ∴设点 ,△PAB的面积为21， ×cx,(-2+号xcx(2到xcx,=2xcx,)=21 即2×3-7=21 :3-=6 解得P=3或-9 点P坐标为23)或-2-) (3)解：由(1)得出y=- 、6 “点Q在反比例函数y=x位于第四象限的图象上， 87/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6 9-0(q>0) ∴，设点Q的坐标为 9 如图：点Q在点B的右边时 :△QAB的面积为21，A(-6,)和B(1,6) 421-0+6g+0-0460+0g+6+9}g-g0 整理 21-7g+o-9g+or9}g-(g6 解得9=3（负值已舍去） 经检验9=3是原方程的解， 3,-2) Q点坐标为 如图：点Q在点B的左边时 TTO :△QAB的面积为21，A(-6,)和B(L,6 88/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 21=0+0g+g+g+60+6x0+6-x0-06+9 理用21=合任+小g+0-智0-小6g 0<g=-1+145 1 解得 ,符合题，意，9=-11一145<0 2 ,不符合题意， 611+V145 g-1+i④5.11+145 则g2一， 2 2 -11+145_11+145 综上：点坐标为(3，-2)或 2 2 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，几何综合，待定系数法求一次函数的解析式，割 补法求面积，公式法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键 一年模拟练测园 1.D 2.C 3.B 4.D 5.B 6.A 7.D 8.C 9.A 10.D 11.A 12.8 13.-5 14.b<a<c 89/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15.42 16.20V5 17.k≥3 18.9 1 19. -1或3 ns1 1 20.5 2】.(山解：点84-3)在反比例晒数为-贺的图象上， .m=(-4)×(-3)=12 12 :反比例函数的解析式为= x 12 ~点A的横坐标为6，且点A在为=的图象上， 12 ..y= =2 6 A(6,2), “一次函数 y=kx+b A(6,2)B(-4,-3) 的图象过点 6k+b=2 4k+b=-3, ,1 k二2 解得：b=1 1 :一次函数的解析式为%=2-1 (2)解：设点D的坐标为(0，)， ~一次函数少=2x-1与y轴交于点C, 90/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .C0,-l). ∴.CDHd-(1)Hd+1| 46,2)B(-4,-3) ∴点A到y轴的距离为6，点B到y轴的距离为4， SAABD SAACD+SARCD -CDx6+CDx4-SCD :.S。MBD= 2 SAD=20 又 ∴.51d+1=20 d+1=4 .d+1=4或d+1=4, 解得：d=3或d=-5, 六点D的坐标为 D 0,3).(0,-5) 或 22.(1)解：将点 (b,3) 代入y=x+1 .b+1=3, 解得b=2, ∴.B(2,3) k 将g点代入函数y=任>0)中，可得k=6: (2)解：k=6, 6 x' 过点D作DH⊥x轴交于H点，过点B作BG⊥x轴交于G点， 91/103 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 VA B D 交：DH II BG BD=2CD. DH CD 1 BGBC3· B(2,3 .BG=3, .DH=1, 当y至l时X=6 .D(6,1) 在y=x+1中，令x=0,则y=1, 、A0,1) ∴.AD∥x轴，AD=6, ·△1BD的面积=2×6×(3-)=6： (3)解：存在点P,使得△NMC与△NBM相似，理由如下： 当y=0时，x=-1, .W(-1,0) .ON=0A=1, ∴.∠AN0=45°， .∴△ANCn△BNWM或△ANC∽aMNB, B(2,3)D(6,1) 92/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设直线BD的解析式为y=mr+n, 1 [3=2m+n m=- 2 则1=6m+n,解得： n=4 直线BD的解析式为y=一2x+4 1 令y=-2x+4=0,则x=8: 2 .C(8,0) A(0,1),N(-1,0),B(2,3) .AW=P+P=2,BW=V32+32=32,NC=8-(-1)=9 AN NC 当ANCABNM时，BNMN' V29 “3√2MN, .MN=27, ∴.M(26,0) 设直线MB的解析式为 y=mx+n %、1 8 则0=26m+n,解得： 13 3=2m,+n %= 4 .13 ∴直线MB的解析式为y=一8x+4, 1136 当8x+4=x时，解得x=2(与点B重合，舍去)或x=24: ) 93/103 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M C M末 AN NC 当ANCAMNB时，MNBN, V29 MN32 解得MW=2 3 设直线MB y=mx+n 的解析式为 9 m2= 7 0三-m2+%,解得： 3 3=2m2+n2 93 “直线BM的解析式为y=7x+7, 69.3 7 当：7x+7时，解得x=2(与点B重合，舍去)或x=一3（舍）： 综上所述： 23(山解：(1)把46代入y=受中，得：m==1k6=6: ..y=6 6 把B(-6,n)代入y=得，6n=6, .n=-l, 94/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :8-6) k+b=6 把A(1,6),B(-6,-)代入y=c+b得：-6k+b=-1, [k=1 解得：b=5, .一次函数的解析式是y=x+5: (2)解：作点C关于y轴的对称点G,交y轴于L,连接GE交y轴于D,则CD=DG,过点G作 GF⊥AB于F,交y轴于K,则CD+DE=DG+DE≥FG,即当E与F重合时，CD+DE的值最小，最小 值是FG的长，此时D与K重合， H D G A6 ,且点4与点C关于原点对称， :c(4,6) G0,-6) 对于y=x+5,当x=0时，y=5,当y=0时，x=-5, .∠BHK=45°， .∠HKF=45°， ∴.△HFK是等腰直角三角形， .OK=OH=5,F在x轴上， ÷K0,5）,即D0,-5), (3)解：存在， 95/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设8， 6 N(p.q) 分三种情况： ①当BD为边时，对角线DN=BM,且DN与BM互相平分，根据中点坐标公式得： p+0_-6+a 22 1+6 5*4=2 a 2 +o+=ar6+8+j p=a-6,g=4+6 a 代入g+g+=(a+6+侣】 12 整理得：3a2-10a-12=0, a=5+v6 ,5-V6 a 解得： 3或 3 -13+√6] D= -13-√61 P= 3 3 _3+V61 9= g=3-6a 2 -13+V63+6）-13-63-V6 点N的坐标为 3 ’2或3’2 ②当BD为边时，对角线BN=DM,且BN,DN互相平分，则有： [a+0_-6+卫 22 65 9-1 22 p+o+g+=+8sj 96/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .p=a+6,9 64, o+oi4g*旷-+8 整理得3a2+16a-12=0, 2 解得：a=3或a=-6(此时点M与点B重合，舍去) 2 20 3时，p= 当a= 3’9=5, 点N的坐标为35 ③当BD为对角线时，对角线NM=BD,则： a+卫=6+0 2 2 6 2+9-1-5 a 2=2 p=-6-a,g=-6-6 a B(-6-),D(0,) 0-(6+o旷+1+旷=2，w=a+6f+8+Dw=a+8+ .BM2+DM2 BD2, oo+j+w任-2 整理得：2+60+36+36+5=0. 解得0+。1或a+6-7 6 a 97/103 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当4+。1时，此方程无实数根： 当6 -7时，解得a=-1或a=-6 当a=6时，点M与点B重合，不符合题意， ∴.a=-1, .p=-5q=0 “点N的坐标为 -5,0) -13+6ī3+V6 (-13-V63-61(20 综上所述，点N的坐标为 3 2或3,2或35或(5,0) 24.(1)解：将点 A-1,m) 代入y=x+5得，m=-1+5=4, .A(-1,4) 将点(14 代入y=+2得，4=-a+2,解得a=-2 AB y=-2x+2 直线”的表达式为： 令y=0,即0=-2x+2,解得x=1, ∴B(1,0) (2)解：当C点在第一象限时，过点A、C分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N,如图所示， B M .∠AMB=∠BNC=90°∠MAB+∠ABM=90° :△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°， .AB=BC,∠ABM+∠CBN=90°， 98/103 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠MAB=∠CBN, :∠MAB=∠CBN,∠AMB=∠BNC=9O°，AB=BC, .∴△AMB≌△BNC(A4S) .BN=AM=4 CN=BM=1-(-1)=2 .ON=OB+BN=1+4=5, ∴.C(5,2) 点C在反比创函数yk>0)图象上， ∴2= 5,解得k=10, 反比例函数的解析式为少=10 x: 当C点在第三象限时，过点A、C分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N,如图所示， B ∴.∠AMB=∠BNC=90°∠MAB+∠ABM=90 ~aABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°， ∴.AB=BC,∠ABM+∠CBN=90°， ∴.∠MAB=∠CBN :∠MAB=∠CBN,∠AMB=∠BNC=90°，AB=BC, ,'△AMB≌aBNC(AAS) BN=AM=4 CN=BM=1-(-1)=2 ∴.ON=BN-OB=4-1=3, ∴C(-3,-2) 99/103 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点C在反比例函数y=k>0)图象上. 3,解得k=6 :反比例函数的解析式为少= x 综上所达：反比例函数的解析式为少=10 或≤6 日 (3)解：如图，当点C在第一象限时，设点” D(t,0)(t>0) 点E与点D关于点B对称， E(2-t,0) …点 B D ∴0E=1-2DE=21-2AE2=(2-1+1)2+42=(3-}+16=2-61+25 ∠AEO=∠DEA,∠EAO=∠EDA, .△EAOAEDA, AE OE DEAE,即AE2=DEOE .2-6t+25=(2t-2)(t-2） 解得1V27 (负值已舍去)， D(2i,0) .AD=2CD ∴.C为AD的中点， 中标合t用：含1生9何一】 100/103 专题06 一次函数与反比例函数 3年真题1年模拟 考点分类 四川考情（2024-2026） 命题规律 考点 01 一次函数 2026 年：达州、巴中、内江、广安、成都、甘孜、攀枝花（7 地） 2025 年：省卷、德阳、广安、南充（4 地） 2024 年：内江、南充、德阳、省卷、凉山（2 题）、广安（2 题）、自贡、攀枝花（9 地） 以选择题、填空题为主，偶有解答题。① 图象与性质：由 k、b 符号判断图象经过的象限、增减性，或由图象反推 k 取值范围；② 与几何变换结合：直线上的旋转、平移规律题，求点坐标或线段长度；③ 一次函数最值：给定区间求最值、含参讨论；④ 实际应用：行程问题、药物浓度、销售利润等分段函数图象解读 考点 02 反比例函数 2026 年：巴中、广元、宜宾、南充、自贡、泸州、攀枝花、内江、成都（9 地）2025 年：宜宾、成都（2 地）2024 年：泸州、宜宾、自贡、攀枝花、广元、遂宁（6 地） 以选择、填空为主。① k 的几何意义是核心高频考点：过双曲线上点作坐标轴垂线，求矩形 / 三角形面积或反求 k；② 图象与性质：象限分布、增减性比较函数值大小；③ 多函数图象共存判断：反比例与一次函数、二次函数图象同框，由图象特征列不等式求参数范围；④ 实际应用：压强与受力面积、电流与电阻、视野与车速等物理情境建模；⑤ 新定义题："倒数点" 等阅读理解型问题。 考点 03 一次函数与反比例函数综合 2026年全省几乎全覆盖 2025年全省几乎全覆盖 2024年全省几乎全覆盖 四川中考解答题必考、分值最高的板块，几乎每市每年 1 道。① 基础层：联立方程求交点坐标、待定系数法求两个函数解析式；② 面积层：求△AOB 面积、利用 "水平宽 × 铅垂高" 或割补法计算不规则图形面积；③ 存在性层：在坐标轴或直线上找点，使三角形为等腰 / 直角三角形，或构成平行四边形、菱形；④ 几何结合层：与矩形、菱形、等腰直角三角形、圆切线等图形综合（绵阳、德阳、宜宾）；⑤ 创新层：新定义 "对称函数"、数学活动探究题（达州、乐山），考查阅读理解与迁移能力。 考点01 一次函数 1．（2026·四川达州·中考真题）为比较两种物质的密度，物理兴趣小组选取甲、乙两种物体进行实验探究，得到了甲、乙两种物质的图象，如图（，m表示质量，表示密度，V表示体积），下列说法正确的是（     ） A．当甲乙体积相等时，甲的质量是乙的质量的2倍 B．当乙的质量为时，体积为 C．甲物质的密度小于乙物质的密度 D．甲物质的密度等于乙物质的密度 【答案】A 【分析】根据图象读取甲、乙对应的质量和体积数据，利用密度公式分别计算两者的密度，再结合图象特征逐项判断； 【详解】解：由图象可知，当时，，，即， A正确； 当时，由图象可知， B错误； 当时，；当时，； ，， ， C、D错误． 2．（2025·四川·中考真题）函数的图象为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象性质（含一次函数与坐标轴交点的求解），解题的关键是通过计算一次函数与x轴、y轴的交点坐标，与选项中图象的交点进行匹配，确定正确答案． 先明确函数是一次函数（图象为直线）；分别令求其与x轴的交点，令求其与y轴的交点；再将计算出的交点坐标与各选项图象的交点对比，筛选出匹配的选项． 【详解】解：函数为一次函数，其图象是一条直线，可通过求与坐标轴的交点判断选项．   令，则，解得，即函数与x轴的交点为；   令，则，即函数与y轴的交点为； 观察图像，只有A选项与计算结果匹配． 故选：A． 3．（2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点的坐标为，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系、一次函数、旋转的性质、勾股定理等知识点．找出点的坐标规律以及旋转过程中线段长度的关系是解题的关键． 通过求出点的坐标，、、的长度，再根据旋转的特点逐步推导出后续点的位置和坐标，然后结合图形求解即可． 【详解】轴，点的坐标为， ，则点的纵坐标为3，代入， 得：，则点的坐标为． ，， ， 由旋转可知，，，， ，， ， ． 设点的坐标为， 则， 解得或（舍去），则， 点的坐标为． 故选C． 4．（2024·四川南充·中考真题）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（    ） A．或0 B．0或1 C．或 D．或1 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，以及解一元二次方程，分两种情况，当时和当，根据一次函数性质列出关于m的一元二次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：当即时，一次函数y随x的增大而增大， ∴当时，， 即， 整理得： 解得：或（舍去） 当即时，一次函数y随x的增大而减小， ∴当时，， 即， 整理得： 解得：或（舍去） 综上，或， 故选：A 5．（2024·四川德阳·中考真题）正比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的性质：当，图象经过第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而增大；当，图象经过第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而减小．利用正比例函数的性质得到，然后在此范围内进行判断即可． 【详解】解：∵正比例函数图象经过第一、第三象限， ∴， ∴选项A符合题意． 故选：A． 6．（2024·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图像，掌握根据k，b的符号正确判断一次函数图象经过的象限是解题的关键．根据k，b的符号判断直线所经过的象限，然后确定必不经过的象限即可． 【详解】解：∵由已知，得：， ∴图象经过第一、二、三象限， ∴图象不经过第四象限． 故选：D． 7．（2026·四川巴中·中考真题）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根的判别式确定参数的取值范围，再利用根与系数的关系将变形为关于的一次式，结合一次函数的增减性求出最小值． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ， 解得， 由根与系数的关系得：，， ， ， 随的增大而减小， 当取最大值时，取得最小值， 代入得，最小值为． 8．（2026·四川内江·中考真题）若关于 的方程 的解是负数，且一次函数 中，函数值 随 的增大而减小，则所有满足条件的整数 的值之和是______． 【答案】 【分析】先求出一元一次方程的解，根据一元一次方程的解为负数得到 的取值范围，再根据一次函数的性质得到 的另一个取值范围，进而得到符合条件的整数 的值，最后相加即可求解． 【详解】解：解方程 ，得， ∵方程的解是负数， ∴， 解得， ∵一次函数中，函数值随的增大而减小， ∴， 解得， ∴的取值范围是， ∴符合条件的整数为， ∴所有满足条件的整数的值之和为． 9．（2026·四川广安·中考真题）已知在平面直角坐标系中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，将点向左平移2个单位长度得到点，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】由旋转的性质求出点的坐标，用待定系数法分别求出直线、的函数解析式，联立求出点的坐标，利用坐标平移的规律：左减右加，上加下减，求出的坐标． 【详解】解：由旋转的性质可知：， 设直线的函数解析式为， 把代入得，解得， 直线的函数解析式为 设直线的函数解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的函数解析式为， 联立，解得， ， 将点向左平移2个单位长度得到点， ． 10．（2026·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，设，记，例如，若，则．若点N满足，则所有N点组成的图形面积为_____；已知A是直线（）上一点且位于第一象限，，点P在上，点Q满足，当点P从点O运动到点A时，Q点运动所覆盖的区域面积为，则_____． 【答案】 2 或 【分析】根据定义得出所有N点组成的图形为对角线在坐标轴上且对角线的长为2的正方形，进而求得其面积；进而根据，得出Q点运动所覆盖的区域面积，设，分情况讨论，分别画出图形，求得点的坐标，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：①∵ 设 ∴ 当在第一象限时， 即 ∴点在直线上， 同理当在第二象限时， ∴，即点在上， 当在第三象限时，，即点在上， 当在第四象限时，，即点在上， ∴所有N点与坐标轴的交点，，， ∴所有N点组成的图形为正方形，其面积为； ②∵已知A是直线（）上一点且位于第一象限，，点P在上， ∴点在为半径的弧上运动， ∵点Q满足，同①可得点组成的图形是对角线为，且平行于坐标轴的正方形， ∴当点P从点O运动到点A时，Q点运动所覆盖的区域面积为 设，A是直线（）上一点且位于第一象限， ∴， ∴ 当时，如图， ∴ ∴ 解得： ∵， ∴ ∴ ∴ 当时，如图， ∴ ∴ 解得： ∵， ∴ ∴ ∴ 综上所述，或 11．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，点在直线上，且，连接，，将绕点顺时针旋转到，点的对应点落在直线上，再将绕点顺时针旋转到，点的对应点也落在直线上．如此下去，…，则的纵坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，一次函数图象上点的坐标特征，旋转性质，勾股定理，设直线与轴交于点，分别过作轴，轴，垂足分别为点，求出点，由，，则，，则有，由勾股定理得，由旋转性质可知，，所以，故有，即的纵坐标为，同理的纵坐标为，由，可判断在直线上，所以的纵坐标为，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设直线与轴交于点，分别过作轴，轴，垂足分别为点， 由直线得，当时，， ∴点， ∴， ∵，， ∴，，由勾股定理得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 由旋转性质可知：，， ∴， ∴，即的纵坐标为， 同理的纵坐标为， ∵， ∴在直线上， ∴的纵坐标为， 故答案为：． 12．（2025·四川广安·中考真题）已知一次函数，当时，y的值可以是__________．（写出一个合理的值即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．取求得的值，即可求解． 【详解】解：当时，， ∴的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 13．（2025·四川南充·中考真题）已知直线与直线的交点在轴上，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的交点问题，由直线与直线的交点在轴上可知当时函数值相等，得到，然后代入化简即可．推导知时函数值相等是解题的关键． 【详解】解：当时，，， ∵直线与直线的交点在轴上， ∴， ∴． 14．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象经过两点，交轴于点，则的面积为______． 【答案】9 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积．根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，得出点C的坐标及的长，再利用三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】解：将代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为． 当时，，解得：， ∴点C的坐标为，， ∴． 故答案为：9． 15．（2024·四川凉山·中考真题）如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为______ 【答案】 【分析】记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接；由直线解析式可求得点A、K的坐标，从而得均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：，由，则当最小时，最小，点P与点K重合，此时最小值为，由勾股定理求得的最小值，从而求得结果． 【详解】解：记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接， 当，，当，即， 解得：， 即； 而， ∴， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时即最小， ∴当时，取得最小值， 即点P与点K重合，此时最小值为， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴最小值为． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，正确添加辅助线是解题的关键． 16．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为______． 【答案】 【分析】直线直线可知，点坐标为，可得，由于是等边三角形，可得点，把代入直线解析式即可求得的横坐标，可得，由于是等边三角形，可得点；同理，，发现规律即可得解，准确发现坐标与字母的序号之间的规律是解题的关键． 【详解】解：∵直线l：与x轴负半轴交于点， ∴点坐标为， ∴， 过，，作轴交x轴于点M，轴交于点D，交x轴于点N，    ∵为等边三角形， ∴ ∴， ∴ ∴， 当时，，解得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，解得：， ∴； 而， 同理可得：的横坐标为， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理的应用，等边三角形的性质，特殊图形点的坐标的规律，掌握探究的方法是解本题的关键. 17．（2024·四川广安·中考真题）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等，延长交y轴于点E，先求出点A和点B的坐标，再根据旋转的性质证明四边形是正方形，进而求出和的长度即可求解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点E， 中，令，则，令，解得， ，， ，， 绕点逆时针方向旋转得到， ，，， 四边形是正方形． ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 21．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数的值随的增大而增大，请写出一个满足条件的的值________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数)的值随的增大而增大，得出，写一个满足条件的的值即可，根据的正负性判断函数增减性是解题的关键． 【详解】解：∵的值随x的增大而增大， ∴， ∴， ∴的值可以为：， 故答案为：（答案不唯一）． 18．（2026·四川甘孜·中考真题）图1是某景区的一段游览路线示意图．小聪在观景台1联系小明，发现小明在观景台2，于是沿着游览路线追赶小明．图2中，，分别表示两人到观景台1的路程与追赶时间之间的关系． (1)表示 （“小聪”或“小明”）到观景台1的路程与追赶时间之间的关系； (2)分别求出，的函数解析式； (3)若两人的速度保持不变，小聪能否在到达观景台3前追上小明？请通过计算说明． 【答案】(1)小明 (2)的函数解析式为；的函数解析式为； (3)解：小聪能在到达观景台3前追上小明，计算说明如下： 令，解得， 在中，当时，， ∴小聪追上小明时所走的路程为， ∵， ∴小聪能在到达观景台3前追上小明． 【分析】（1）当追赶时间为0时，小明到观景台1的路程为，而小聪到观景台1的路程为0，据此结合函数图象可得答案； （2）利用待定系数法求解即可； （3）求出两人相遇时的时间，进而求出两人相遇时小聪所走的路程即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，当追赶时间为0时，小明到观景台1的路程为，而小聪到观景台1的路程为0， ∴由函数图象可知，表示小明到观景台1的路程与追赶时间之间的关系； （2）解：设的函数解析式为， 把代入得，解得， ∴的函数解析式为； 设的函数解析式为， 把和代入得， ∴， ∴的函数解析式为； （3）略 19．（2026·四川攀枝花·中考真题）某中学在劳动实践基地开辟了“青春农场”，将土地划分给各班负责．初二（3）班的同学在责任田里种植了有机蔬菜，经过几个月的精心照料，终于迎来了丰收．同学们决定将采摘的新鲜蔬菜拿到学校附近的周末集市销售．卖菜所得款项按每千克0.8元留作下一季的种植基金，余下的捐给福利院．在集市上销售了部分蔬菜后，剩下的每千克降价0.5元，全部售完．销售额与销量之间的关系如图所示，那么该班级本次共捐给福利院多少元？ 【答案】322元 【分析】设销售额为，销量为，由图象先可得降价前的函数表达式为，可得降价前的单价为3元/千克，则降价后单价为2.5元/千克，可得降价后的函数表达式为，则可得总销量为160千克，则可得留作下一季的种植基金，最后可得捐给福利院的钱数． 【详解】解：设销售额为，销量为，则降价前的函数表达式为， 把代入，得， 解得， ∴降价前的函数表达式为， ∴降价前的单价为3元/千克， ∴降价后单价为2.5元/千克， 设降价后的函数表达式为， 把代入，得， 解得， ∴降价后的函数表达式为， 当时，， 解得， ∴总销量为160千克， ∴留作下一季的种植基金为（元）， ∴捐给福利院（元）． 答：该班级本次共捐给福利院322元． 20．（2025·四川·中考真题）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升． (1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； (2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． 【答案】(1)血液中药物浓度上升阶段对应的函数解析式为，下降阶段的函数关系式是． (2)成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据，可以得到血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； （2）依据由题，令 ，结合（1）的解析式，分别求出的值，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为， 把 代入中得， ∴． ∴当时，与的函数关系式为； 当时，设与的函数关系式为， 把和代入中得， ∴， ∴当时，与的函数关系式为． 综上，血液中药物浓度上升阶段与之间的函数解析式为，下降阶段与之间的函数关系式是． （2）解：在中，当时，， 在中，当时，， 小时， 答：成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时． 21．（2024·四川攀枝花·中考真题）如图，折线表示了距离s（米）与时间t（分）之间的函数关系． (1)分别直接写出线段所对应的函数表达式，并注明相应的t的取值范围； (2)请你想象一个符合函数图象的实际情境，并用语言进行描述（不必描述具体的速度）． 【答案】(1) (2) 解：小明从家步行去图书馆，图书馆距离小明家900米，用时20分钟，然后小明在图书馆看书用了10分钟，再步行回家，用时15分钟(答案不唯一，符合图象即可)． 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据，通过待定系数法可以分别计算出线段所对应的函数表达式，并注明相应的t的取值范围； （2）根据图象中的数据，可以写出一个符合图象中数据的情境，本题答案不唯一． 【详解】（1）解：设线段对应的函数解析式为， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得， ∴线段对应的函数解析式为， 由图象可得，线段对应的函数解析式为， 综上： （2）略 考点02 反比例函数 1．（2026·四川巴中·中考真题）函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的符号分两种情况讨论，结合函数图象经过的象限进行判断即可． 【详解】解：分两种情况讨论：①当时，则， 反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 观察选项A、B，图象均不符合； ②当时，则， 反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限； 观察选项C，直线经过第一、三、四象限，不符合； 观察选项D，双曲线在第二、四象限，直线经过第一、二、四象限，符合． 2．（2026·四川广元·中考真题）根据压强公式，当压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）成反比例关系．若某物体受力面积增加，则受到的压强比原来减少．设该物体原受力面积为，压力为定值，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知该物体原受力面积为，压力是定值， 由压强公式可得，原压强为， 受力面积增加， 变化后的受力面积为，变化后的压强为， 由题意得，变化后的压强比原来减少，即原压强 现压强 ， 可得方程． 3．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，一条直线与反比例函数的图象交于A、两点，分别与轴、轴交于C、两点．若，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过点A作于点E，过点B作于点F，证明，得到，设，得到，，，，然后由平行线分线段成比例得到，然后利用相似三角形的性质得到，最后利用列方程求解． 【详解】解：如图，过点A作于点E，过点B作于点F， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 设， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∴． 4．（2026·四川南充·中考真题）反比例函数图象经过，两点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数中比例系数的性质，建立与的等量关系，再结合已知的范围，根据不等式性质推导的取值范围． 【详解】解：设反比例函数解析式为，由反比例函数性质可得， ∵ 点，在反比例函数图象上， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， 解得． 5．（2026·四川自贡·中考真题）科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强p（单位：）与受力面积S（单位：）存在函数关系．下表是他们实验的几组数据： （单位：） 1 2 4 8 （单位：） 80 40 20 10 则压强（）与受力面积（）之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断p与S为反比例函数关系，再根据表格数据求比例系数，即可得到函数关系式． 【详解】解：∵根据表格数据计算得：，，，， ∴压力一定时，压强与受力面积成反比例关系，可设， ∴， ∴． 6．（2026·四川泸州·中考真题）在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点为“倒数点”．如：，都是“倒数点”．给出下列结论： ①函数的图象上存在2个“倒数点”； ②函数的图象上不存在“倒数点”； ③函数的图象上存在1个“倒数点”； ④若函数的图象上存在“倒数点”，则． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“倒数点”定义，若为倒数点，则满足，即，联立各函数与，判断方程解的个数，逐个验证结论即可. 【详解】解：由定义得，倒数点满足，，即， ① 联立，则， 整理得， 解得， ∴方程有2个不同解，故存在2个倒数点，故①正确； ② 联立， ， ， 当时，，整理得， ， 解得，， 正根，存在解， ∴图象上存在倒数点，故②错误； ③ 联立， ∴， 画出函数和图象的草图如图所示： 由图象知：函数和图象有唯一的交点， ∴有唯一的解， ∴存在1个倒数点，故③正确； ④ 联立， 整理得， 当时，方程为，解得，，满足，是倒数点， 此时，故④错误； 综上，正确的结论共2个. 7．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，过点A作轴交于点D，过点B作轴交于点E，首先联立得到，求出，然后由得到，求出，然后代入求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，过点A作轴交于点D，过点B作轴交于点E， ∵反比例函数与直线交于点， ∴联立得，， 解得或， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴将代入， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题，勾股定理，平行线分线段成比例等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 8．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置． 【详解】解：∵方程无实数根， ∴， 解得：，则函数的图象过二，四象限， 而函数的图象过一，三象限， ∴函数与函数的图象不会相交，则交点个数为0， 故选：A． 9．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等知识，找到坐标之间的关系是解题的关键． 作辅助线如图，利用函数表达式设出、两点的坐标，利用，是中点，找到坐标之间的关系，利用平行线分线段成比例定理即可求得结果． 【详解】解：作过作的垂线垂足为，与轴交于点，如图， 在等腰三角形ABC中，，是中点， 设，， 由中点为，，故等腰三角形中， ∴， ∴， ∵AC的中点为M， ∴，即， 由在反比例函数上得， ∴， 解得：， 由题可知，， ∴． 故选：B． 10．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，根据题意列不等式组，解不等式组即可得到结论，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， ∴的取值范围是， 故选：C． 11．（2026·四川广元·中考真题）如图，在中，轴，点为的中点，函数的图象经过，两点，过点作的平行线交轴于点，连接，若的面积为2，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】设点的坐标为，则点的坐标为，进而可得， 求出 ， 进一步可得 ，根据三角形的中线平分三角形的面积得到，由平行线的性质得到，则，解之即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 设点的坐标为， 点为的中点，为坐标原点 ， 点的坐标为， 轴， 点的纵坐标为， 点在反比例函数的图象上， 点的横坐标为，即， ， ， 点为的中点， ， ，即， 点到直线的距离等于点到直线的距离， ， ， ， 解得． 12．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴，点C是x轴上一点，若的面积为3，则k的值为_________． 【答案】 【分析】连接，，由轴可得，再根据反比例函数的几何意义可知，，即可列方程求解． 【详解】解：连接，， 轴， ， 点A在函数的图象上，点B在函数的图象上， ，， ， 解得． 13．（2026·四川内江·中考真题）如图，将反比例函数（，）的图象绕点 顺时针旋转，旋转后的图象与 轴交于点，则_________． 【答案】 【分析】作出点旋转前的对应点 ，根据旋转的性质可得，过点 作轴于点 ，根据勾股定理求出，即可得出点 的坐标，再用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图，作出点旋转前的对应点 ，， ∵， ∴， 过点 作轴于点 ， ∴， ∴， 把代入，得． 14．（2026·四川成都·中考真题）人的视觉机能受运动速度的影响很大．在一定条件下，某人驾驶车辆时的视野f（单位：）与车速v（单位：）之间的关系式是．当车速为时，他的视野为______． 【答案】50 【详解】解：由题意，将代入得：， 即他的视野为． 40．（2025·四川成都·中考真题）某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）．与电阻R（Ω）之间的函数关系为，则电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而________（填“增大”或“减小”）． 【答案】减小 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴电流与电阻成反比， ∴电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而减小； 故答案为：减小 15．（2024·四川攀枝花·中考真题）已知反比例函数的图象经过点，则k的值为 ___________． 【答案】 【分析】直接把点代入反比例函数即可得出结论．本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， 解得． 故答案为： 16．（2024·四川广元·中考真题）已知与的图象交于点，点B为y轴上一点，将沿翻折，使点B恰好落在上点C处，则B点坐标为______．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何综合，折叠性质，解直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出以及，根据解直角三角形得，根据折叠性质，，然后根据勾股定理进行列式，即． 【详解】解：如图所示：过点A作轴，过点C作轴，    ∵与的图象交于点， ∴把代入，得出， ∴， 把代入， 解得， ∴， 设， 在， ∴， ∵点B为y轴上一点，将沿翻折， ∴，， ∴， 则， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 17．（2024·四川遂宁·中考真题）反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第______象限． 【答案】四/ 【分析】本题考查了反比例函数的性质，点所在的象限，根据反比例函数的性质得出，进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴ ∴ ∴点在第四象限， 故答案为：四． 考点03 一次函数与反比例函数综合 1．（2026·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（）交于、B两点，与x轴交于点D． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)直接写出不等式的解集； (3)若点P为x轴上的动点，当为直角三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)当为直角三角形时，点P的坐标为或 【分析】（1）先得出，然后可得反比例函数解析式，进而联立函数关系式可得点B的坐标； （2）根据图象可直接进行求解； （3）由题意可设，则有，根据两点间距离公式可得：，，，然后可分当时，当时，进而分类进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可把点代入直线得：， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， 联立，解得：或， ∴点B的坐标为； （2）解：由图象及（1）可知：不等式的解集为或； （3）解：由题意可设， 把代入直线得：，解得：， ∴， ∵， ∴根据两点间距离公式可得：，，， 当为直角三角形时，则可分： 当时，由勾股定理可得：， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； 综上所述：当为直角三角形时，点P的坐标为或． 2．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上的一点，若的面积为8，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）根据代入求解即可． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ，则， 点在正比例函数的图象上， ，则， ∴正比例函数的解析式为； （2）解：联立和得，即，则， ∴， 的面积为8，即， ， ， ∵点是轴正半轴上的一点， 点的坐标为． 3．（2026·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与函数的图象交于点． (1)求，的值； (2)将线段绕点逆时针旋转到，连接，将沿直线平移，当点的对应点恰好落在函数的图象上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用反比例函数的解析式求出a的值得到点C的坐标，将点C的坐标代入一次函数的解析式中，求出b的值； （2）先求出点A、B的坐标，过点D作轴于点E，证明，由此求出点D的坐标，由平移知，可求出直线的解析式，再求出直线与反比例函数的图象交点即为点E的坐标． 【详解】（1）解：将点代入中，得， 解得， ∴， 将代入中，得； （2）由（1）知， 令得；令得， ∴， ∴， 过点D作轴于点E， 由旋转得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵直线的解析式为，平移后， ∴设直线解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴直线解析式为， 令， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 4．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，并与反比例函数的图象交于横坐标为的点，过点作轴于点已知． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若是点关于轴的对称点，、分别是轴和线段上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)一次函数和反比例函数的表达式分别为， (2) 【分析】（1）先求出，，则，然后求出一次函数与轴的交点，则，再由三角形面积建立方程求解，再根据待定系数法求解函数表达式即可； （2）过点作直线的对称点，连接，则，那么当点共线时，的周长取得最小值，即为，然后证明为直角三角形，再由勾股定理求解最小值即可． 【详解】（1）解：由题意得，将代入，则， ∴ ∵轴 ∴，， 对于一次函数，当时，，解得 ∴ ∴， ∵轴 ∴ ∴， 解得，（舍去） ∴一次函数表达式为， ∴， 将点代入，则， ∴反比例函数表达式为； （2）解：对于直线，当时，，解得；当时， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵是点关于轴的对称点， ∴， ∴ 过点作直线的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当点共线时，的周长取得最小值，即为， ∵ ∴， ∴的周长最小值为． 5．（2026·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于 的不等式的解集； (3)已知点是 轴上一点，连接、 ，若 的面积为15，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为 (2)或 (3)或 【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数的表达式中求出反比例函数的表达式，进而求出点B的坐标，再根据点A和点B的坐标利用待定系数法求出一次函数的表达式即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方或二者交点处时自变量的取值方式即可得到答案； （3）设直线交x轴于点D，求出点D的坐标，根据求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数的表达式得， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 把点代入得， ∴， ∴点B的坐标为， 把点A和点B的坐标代入一次函数的表达式得， ∴， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由函数图象可得关于 的不等式的解集为或； （3）解：如图所示，设直线交x轴于点D， 在中，当时，，解得， ∴点D的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的横坐标为或点C的横坐标为， ∴点C的坐标为或． 6．（2026·四川乐山·中考真题）如图，一次函数 的图象与反比例函数的图象交于、两点，连接、 ． (1)求 、 的值和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) ，； (2) 【分析】（1）将、代入一次函数解析式即可求出 、 的值，再将点P的坐标代入反比例函数解析式求出m的值即可； （2）设一次函数 与 轴相交于点，先求出A点坐标，再根据计算求解． 【详解】（1）解：∵一次函数 的图象经过点、， ，， 解得 ，， 、， ∵反比例函数的图象经过点， ， ∵反比例函数的表达式为； （2）解：如图，设一次函数 与 轴相交于点， 令，则，即：， ， 又，， ． 7．（2026·四川眉山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)将直线向下平移12个单位后交反比例函数的图象于，两点，交轴于点，连接，，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)24 【分析】（1）根据题目所给信息设解析式代入求解即可； （2）结合图像与不等式的几何意义判断即可； （3）先求出移动后直线解析式，设与轴交于点，与轴交于点，再分别求出点，，、，然后利用求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过，两点， ∴，， ∴，， ∴，， 将，代入一次函数，可得： ， 解得， ∴一次函数的表达式为． （2）解：∵不等式的几何意义是：一次函数图象在反比例函数图象上方（或重合）的范围， ∴不等式的解集是一次函数图象在反比例函数图象上方（或重合）的范围， ∵反比例函数的自变量取值范围为， 当时， ∵反比例函数的图象与一次函数的图像交于， ∴当时，根据图像一次函数图象在反比例函数图象上方， 当时， ∵反比例函数的图象与一次函数的图像交于， ∴当时，根据图像一次函数图象在反比例函数图象上方， 综上，不等式的解集为或． （3）解：∵直线向下平移12个单位后交反比例函数的图象于，两点，且直线所在一次函数的表达式为， ∴直线所在一次函数的表达式为， 如图，设与轴交于点，与轴交于点， ∴将代入得， 解得， ∴， 将代入得， 解得， ∴， ∴， ∵直线交轴于点， ∴将代入， ∴， 联立平移后直线与反比例函数，得：， ∴，即， 解得或， ∵点在第一象限， ∴，， ∴， ∵直线平移得到直线，直线和直线平行， ∴． 8．（2026·四川凉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，在射线上取一点B，使得，过点B作轴于点C． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出点B的坐标_______； (3)在x轴上存在一点P，使最小，求点P坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数关系式可得答案； （2）作轴，作轴，再根据平行线分线段成比例得，然后代入求出点B的横坐标，最后代入关系式求出纵坐标可得答案； （3）先求出点，作点C关于x轴对称的点，连接交x轴于点P，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后求出直线的关系式为，最后令求出答案即可． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴点． ∵反比例函数的图象过点， ∴， 解得， ∴反比例函数关系式为； （2）解：过点A作轴，于点E，过点B作轴，于点D， ∵， ∴ 设点B的横坐标为a，根据题意，得则， ∴， 解得， 当时，， ∴点； （3）解：∵点，轴， ∴点， 作点C关于x轴对称的点，连接交x轴于点P， ∴， 根据两点之间线段最短可得， ∴的最小值为． 设直线的关系式为，根据题意，得 ， 解得， ∴直线的关系式为， 当时，， ∴点． 9．（2026·四川广安·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数（m为常数，）在第二，四象限分别交于，两点，点，． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点在坐标轴上，以点，，为顶点的等腰三角形有 个，当点在轴负半轴时，求等腰三角形的面积； (3)如图2，已知函数的大致图象，请结合图象直接写出该函数的两条性质． 【答案】(1)； (2)； (3)①当时，随增大而减小 ②当时随增大而减小 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式，根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式； （2）点在坐标轴上，以点，，为顶点的三角形是等腰三角形时，应分三种情况讨论：、，；根据三角形的面积公式求出当点在轴负半轴时，等腰三角形的面积； （3）根据函数图象写出该函数的两条性质即可． 【详解】（1）解：将代入， 可得：， 点的坐标为， ， ， ， 点的坐标为， 将代入， 可得：， 解得：， 一次函数的解析式为， 将代入， 可得：， 解得：， 点的坐标为， 将代入， 可得：， 解得：， 反比例函数的解析式为； （2）解：点的坐标为， ， 当时，若点在轴上，设点的坐标为， 则有， ， 解得：， 点的坐标为； 当时，点在轴上，设点的坐标为， 则有， ， 解得：， 点的坐标为； 当，点在轴上时， ， 点的坐标是或； 当，点在轴上时， ， 点的坐标是或； 当，点在轴上时， 如下图所示，过点作轴， 点的坐标是， ，， ， 点的坐标是； 当，点在轴上时， 如下图所示，过点作轴， 点的坐标是， ，， ， 点的坐标是； 当是等腰三角形，点在坐标轴上时，点的坐标为或或或或或或， 综上所述，以点，，为顶点的等腰三角形有个； ， ； （3）解：图象的性质：①当时，随增大而减小； ②当时随增大而减小； ③函数的图象关于原点对称； 10．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围； (3)将一次函数的图象向上平移5个单位长度后，与x轴下方的反比例函数图象交于点P，求的面积． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）将 点的坐标代入反比例函数中求出 的值即可求反比例函数的解析式，通过反比例函数解析式求出 点的坐标，将 和 代入一次函数中联立方程组即可求出一次函数的解析式． （2）根据两交点的纵坐标值相等，观察图象即可求出时x的取值范围． （3）根据函数平移的性质求出平移后的两直线平行，设其交轴于点，则，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：在反比例函数上， ， ， 反比例函数的解析式为． ， ， ， ． 将和代入 中联立方程组得， 解得， 一次函数的解析式为． （2）解：当时，即在第二象限时， 是一次函数和反比例函数的交点， 时，， 欲使， 观察图象可知，． 当 时，即在第四象限时， 是一次函数和反比例函数的交点， 时，， 欲使， 观察图象可知，． ． 综上所述，时x的取值范围是或 ． （3）解：如图， 设一次函数 的图象向上平移5个单位长度后得到直线，设与轴交于点，则 ∵， ． 11．（2026·四川南充·中考真题）如图，一次函数图象与y轴交于点，与x轴交于点，与反比例函数图象交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式． (2)点P在反比例函数第一象限图象上，，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2) 【分析】（1）先利用待定系数法求出一次函数解析式，再将代入一次函数解析式求出点的坐标，再由点的坐标求出反比例函数的解析式； （2）过点P作轴于点D，设，证明，根据相似三角形对应边成比例，列方程求解． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为， 将、代入， 得， 解得， ∴一次函数解析式为， ∵点在一次函数图象上， ∴， 解得， ∵点在反比例函数图象上， ∴反比例函数解析式为，即； （2）解：如图，过点P作轴于点D， ∵、， ∴，， ∵点P在反比例函数第一象限图象上， ∴设，，， 在和中，，， ∴， ∴，即， 解得或（舍）， ∴点P的坐标为． 12．（2026·四川达州·中考真题）数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系 【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”：当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点． 根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法： 【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1．因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所以它们是“陌生函数” 【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定与的关系时，由函数表达式得，去分母得，因为，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数” 【问题解决】 (1)对于函数①，②，③．其中①与②是“______函数”，①与③是“______函数”； (2)若与是“友好函数”，如图2，当时，的取值范围是______；若与是“相连函数”，则的值为______； (3)如图3，过点的直线、对应的函数分别与（，），（，）是“相连函数”，相连点分别为，，、与轴分别交于，两点，已知，，求的值． 【答案】(1)陌生；友好 (2)或； (3) 【分析】（1）联立函数，根据方程的解的个数判断函数类型即可； （2）根据图象判断时，的取值范围；联立与，由求出的值； （3）设直线的函数解析式为，直线的函数解析式为，将与联立，并结合可得，进而计算出点的坐标为，同理，点的坐标为．由可得，利用完全平方公式变形可计算出的值． 【详解】（1）解：对于①与②，联立得， 整理，得， ∵， ∴该方程无实数解，即与无交点， ∴①与②是“陌生函数”， 对于①与③，联立得， 整理，得， ∴， ∴与有两个交点， ∴①与③是“友好函数”； （2）解：由图可知，两个函数的交点的横坐标为和，且在和部分，反比例函数的图象高于一次函数的图象， ∴当时，的取值范围是或； 联立与，得， ， 整理，得， ∵与是“相连函数”， ∴， 解得； （3）解：设直线的函数解析式为，直线的函数解析式为， 联立与，得， ， 整理，得， ∵与是“相连函数”， ∴， ∴，即， ∴直线的函数解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 同理，点的坐标为， ∴，即， ∴． 13．（2026·四川成都·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，B两点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为C，D． (1)求线段的长； (2)已知P为y轴正半轴上一点，若为直角三角形，求点P的坐标； (3)如图2，将线段，组成的折线段“”沿x轴正方向平移得到折线段“”，点D，A，C的对应点分别为．与反比例函数的图象交于点E，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点F，与交于点G．试探究：在平移过程中，的值是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3)是定值， 【分析】（1）将代入反比例函数解析式求出点A坐标，再代入正比例函数解析式求出直线解析式，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称即可求出，最后根据两点距离公式求解即可； （2）设，，分三种情况讨论直角位置： ①，②，③，根据勾股定理列方程求解即可； （3）设平移距离为，则，，，求出直线的解析式，与联立，求出点，求出的解析式，直线的解析式，联立后求出交点的横坐标，过点分别作轴，轴，根据平行线分线段成比例得出，即可解答． 【详解】（1）解：∵在反比例函数上，代入得，即， 将代入得，直线为， ∵正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称， ∴， 由两点距离公式：； （2）解：设，， 分三种情况讨论直角位置： ①：由勾股定理得， 则， 化简得， 故（负值已舍去）， 即； ②：由勾股定理得， 则， 解得， 即； ③：由勾股定理得， 则， 解得：，不符合，舍去； 综上，若为直角三角形，则或； （3）解：根据（1）可知， ∴， 设平移距离为，则平移后各点坐标：，，， 设直线的解析式为， 代入点和点得， 解得：， ∴直线的解析式为， 直线的解析式与联立得，整理得， 解得：或， ∴点， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式和直线的解析式得， 解得：， 即交点的横坐标， 过点分别作轴，轴， 则， ∴， ∵， ∴． 14．（2026·四川自贡·中考真题）如图，反比例函数与一次函数的图象相交于，两点，点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式及的值； (2)请直接写出当时的取值范围； (3)点是直线上的一个动点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)或； (3)点的坐标为． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）联立求得点的坐标为，根据函数图象即可求解； （3）先求得直线与坐标轴的交点坐标，证明是等腰直角三角形，得到点是的中点，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵一次函数的图象经过点， ∴，解得； （2）解：由（1）知一次函数的解析式为， 联立得， 解得或， ∴点的坐标为， ∴当时的取值范围为或； （3）解：设直线与坐标轴的交点分别为和， 令，则，令，则， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴点是的中点， ∴点的坐标为． 15．（2026·四川泸州·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限的点A，且点A到轴的距离为4． (1)求反比例函数的解析式； (2)将点A向上平移4个单位长度得到点B，点D在轴上，BD与反比例函数的图象交于点C，若，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求解，再代入反比例函数解析式求解即可； （2）先求解，过作于点，过作轴于点，证明，可得，求解，可得，求解直线为，进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限的点A，且点A到轴的距离为4． ∴，，即， ∴， 解得：， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：∵点A向上平移4个单位长度得到点B， ∴， 如图，过作于点，过作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，即， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当，， ∴． 16．（2025·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和． (1)当时，直接写出的取值范围； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向左平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，求的面积． 【答案】(1)或； (2)一次函数和反比例函数的表达式分别为，； (3)的面积为． 【分析】（1）结合题意可知，时的取值范围即为直线与反比例函数上方时交点的横坐标的取值范围； （2）先将点、点的横坐标代入反比例函数解析式求出，，再代入一次函数解析式求解即可； （3）先求出平移后的一次函数解析式为，然后求出交点，过点作轴交于点，则，再由求解即可． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和， 当时，或； （2）解：点、点的横坐标分别是和，且点、点在反比例函数与一次函数上， ，， ，， 将，代入， 则 解得， 一次函数和反比例函数的表达式分别为，； （3）解：由题意得，平移后的一次函数解析式为， 联立， ， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， 点在第一象限， ， ， ， 过点作轴交于点， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数图象综合判断、求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数图象平移问题、解分式方程（化为一元二次）、反比例函数与几何综合，解题关键是将求的面积转化为求和的和． 17．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，反比例函数解析式为 (2)点坐标为或或或 【分析】本题主要考查了反比例函数的表达式、反比例函数与一次函数交点问题、菱形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出点值，可得点坐标，进而可得反比例函数解析式，进而可得坐标； （2）先求出点坐标，进而分类讨论很容易求出点坐标． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得：， ∴正比例函数表达式为， ， ∴反比例函数解析式为， ∵点关于原点对称， ， 综上，，反比例函数解析式为； （2）解：过作轴，交于点， 设，则， ， ， 解得：或（舍去）， ， 则， 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且， ； ②如图，此点在点右侧， 此时轴，且， ； ③如图，为对角线， 此时点与点关于轴对称，则； 当为菱形的对角线时，如下有一种情况： 过作轴于点， 设，则， 在中，， 解得， ， ， 综上，点坐标为或或或． 18．（2025·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，D为的中点．反比例函数的图象过点D，交于点E． (1)求点D的坐标和k的值； (2)延长 交x轴于点F，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由矩形性质得点，根据 D为的中点，得，得，得； （2）求出和直线解析式，求出，得，求出，，即得． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为， ∴点， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∵反比例函数的图象过点D， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵反比例函数的图象交于点E， ∴设， ∴，∴ 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 令， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数的图象与性质，矩形的性质，三角形面积公式，是解题关键． 19．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，函数和的图象相交于A、B两点． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； 观察图象，不等式的解集为__________； (2)若轴上存在点，使，求点的坐标． 【答案】(1)，，或； (2)或 【分析】（1）联立方程组，解方程组求出A，B坐标，再利用图象求出不等式的解集即可； （2）将的面积转化为两个三角形的面积之和即可． 本题主要考查反比例函数与一次函数图象交点，函数与不等式的关系，三角形的面积等，能利用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】（1）解：联立方程组得， 解得或’ ∴A点的坐标为，B点的坐标为， 观察图象，找出函数的图象在的图象上边位置时x的取值范围， ∴不等式的解集为或． 故答案为：，，或； （2）解：设与y轴的交点为M， 令时，， 则点M的坐标为， 设C点的坐标为， 由题意知， ， 解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴点C的坐标为或． 20．（2025·四川巴中·中考真题）如图，直线与双曲线交于两点． (1)求m和直线的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)； (2) (3)16 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，一次函数解析式的求解，一次函数与反比例的交点与不等式的解集的关系，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解决本题的关键． （1）已知双曲线过点，将点的坐标代入双曲线方程，即可求出的值，先将点的坐标代入双曲线方程求出的值，再将点和的坐标代入直线方程，联立方程组求解和的值，进而得到直线的表达式． （2）根据函数图象，找出直线在双曲线上方时的取值范围，即为不等式的解集． （3）可先求出直线与x轴的交点，然后根据三角形面积公式，将的面积转化为与的面积之和进行计算． 【详解】（1）解：点在双曲线上， ， 又在双曲线上， ，解得． 由题意得：，解得， ． （2）解：由（1）可知，， 所以不等式可化为， 根据函数图象，直线在双曲线上方时，的取值范围是， 所以不等式的解集为． （3）解：如图，设直线与轴交于点， 当时．， ， ， ． 21．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接，求的面积； (3)点P在y轴上，满足是以为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)一次函数为，反比例函数为； (2) (3)或； 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理、待定系数法求函数的解析式，求出函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）利用一次函数求得的坐标，利用反比例函数求得点的坐标，过点B作轴，交直线于点E，求出直线的解析式为，得到，然后利用三角形面积公式求得即可． （3）设，则，当时，，列方程并解得或，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与与反比例函数的图象交于点， ，， ， ， ∴一次函数为，反比例函数为； （2）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点， 当时，，当时，， ，， ∵点是反比例函数图象上一点， ， ， 过点B作轴，交直线于点E， 设直线的解析式为，把，代入得到 解得 ∴直线的解析式为， ∵点，轴， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴ ∴ ∴的面积． （3）解：设， ∵，， 则， 当时， 即，得到 解得：或， 故点P的坐标为或； 22．（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (1)求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数的图象上取两点和； 第二步：分别求出这两个点关于点的对称点_____和______； 第三步：函数关于点的“对称函数”为______． (2)是否存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3)①5；② 【分析】（1）根据“关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数”，从而求出点和关于点的对称点，再用待定系数法求出函数关于点的“对称函数”； （2）分析函数解析式可知，函数是由反比例函数向上平移一个单位长度得到的，从而得出函数的图象关于点中心对称； （3）①当时，：，：，联立，得交点横坐标，结合图形计算可得内的“整点”个数有5个； ②先得出的解析式为，在区域内找出关于点对称的点，得出过点和过时的值即可得答案． 【详解】（1）解：关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数， 点和关于点的对称点分别是，； 设函数关于点的“对称函数”为， 将，代入得， ，解得， 函数关于点的“对称函数”为． （2）解：函数是由反比例函数向上平移一个单位长度得到的， 而反比例函数关于原点中心对称， 函数的图象关于点中心对称， 存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身． （3）解：将化成顶点式，其顶点为， 、关于点对称， 的顶点为， 的解析式为 ①如图，当时，：，： 联立，解得， 当时，，，有整点， 当时，，，有整点，，， 当时，，，有整点， 故当时，求内的“整点”个数有5个； ②∵的顶点为， ∴的解析式为， ∵函数与的图象关于点成中心对称， ∴点必为区域内的“整点”， 当区域内恰有个“整点”时，其它个“整点”是对关于点对称的点，即和，和，和，和， 此时，当过时，满足题意，即， 解得：， 当过时，即， 解得：， 此时区域内有个整点，如图， 当区域内恰有个“整点”时，其它个“整点”是对关于点对称的点，在前面个“整点”的基础上增加了、、及个“整点”， 此时， 如图， 的取值范围是． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求解析式，新定义函数，二次函数的顶点坐标，成中心对称的点的特征，理解“对称函数”的定义及运用数形结合思想是解题的关键． 23．（2025·四川乐山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、． (1)求、的值和反比例函数的表达式； (2)若在轴上存在点，使得的面积为6，求的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点的问题，一次函数与几何综合，熟知一次函数与反比函数的相关知识是解题的关键． （1）分别把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中求出m、n的值，进而得到点A和点B的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可； （2）设直线交x轴于C，则，根据可得，据此列式求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：如图所示，设直线交x轴于C， 在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或． 24．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数的图象交于点，射线与反比例函数的图象交于点C，连接． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2) 【分析】本题考查待定系数法求解析式，函数图象的交点，坐标系中三角形的面积． （1）把点代入一次函数，即可得到k的值，得到一次函数的表达式．把点代入一次函数，得到，把点代入反比例函数，求出m的值，得到反比例函数的表达式； （2）结合函数图象关于原点中心对称可知，根据求解即可． 【详解】（1）解∶∵一次函数的图象与x轴交于点， ∴，解得，     ∴一次函数的表达式为． ∵一次函数过点， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：射线与反比例函数的图象交于点C， 结合函数图象关于原点中心对称可知， 过点作轴于点E，过点作轴于点D， ∴，， ∵， ∴， ∴． 25．（2025·四川德阳·中考真题）如图，已知菱形，点在轴上，反比例函数的图象经过菱形的顶点，连接，与反比例函数图象交于点． (1)求反比例函数解析式； (2)求直线的解析式和点的坐标． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）由得，又四边形是菱形，则，得到，从而求出直线的解析式为，然后联立，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， ∴ ∴直线的解析式为， ∵点是反比例函数与正比例函数的交点， ∴联立解析式， 解得或， ∵， ∴． 26．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，． (1)求一次函数的表达式，并求的面积． (2)连接，在直线上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，则可求出点C坐标，再把点A和点C坐标代入一次函数的解析式中求出一次函数的解析式，进而求出点M的坐标，再利用三角形面积计算公式求解即可； （2）利用对称性可得点B坐标，利用两点距离计算公式和勾股定理的逆定理可证明，则只存在和这两种情况，当时，则，此时点D为的中点，利用中点坐标公式可得答案当时，则，可求出；设，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入到中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； 把，代入到中得：，解得， ∴一次函数的表达式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵直线经过原点， ∴由反比例函数的对称性可得点B的坐标为，， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴与不垂直， ∵与相似， ∴只存在和这两种情况， 当时，则，， ∴，， ∴此时点D为的中点， ∴点D的坐标为； 当时，则，， ∴； 设， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或． 27．（2025·四川眉山·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)点P在x轴的负半轴上，且与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为：，反比例函数解析式为． (2)点P的坐标为或 【分析】（1）利用系数待定法分别求出一次函数和反比例函数的解析式即可． （2）先求出点C的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特点求出点D，设，再根据直角坐标系两点之间的距离公式分别求出，，，由对顶角相等得出，再根据相似三角形的性质分两种情况或代入求解即可． 【详解】（1）解：把代入反比例函数，则， 则反比例函数解析式为：， 把代入， 则， ∴， 再把，代入， 则， 解得：， 则一次函数的解析式为：． （2）解：令时，则， ∴， ∵点D与点A关于点O对称， ∴ 设点， ∵， ∴ 又∵，， ∴，，， ∵与相似，， ∴分两种情况：或， 当时， 即， 解得：， 此时，点， 当， 即， 解得：， 此时， 综上：当点P在x轴的负半轴上，且与相似，点P的坐标为或 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，关于原点对称的点的坐标特点，相似三角形的性质，直角坐标系中两点之间的距离等知识，掌握这些知识是解题的关键． 28．（2025·四川广安·中考真题）如图，一次函数（k，b为常数，）的图象与反比例函数（m为常数，）的图象交于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是． (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)根据函数图象直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式，求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：把点代入，得，解得， 反比例函数的解析式为， 把点代入，得，解得， ， 把，代入得，解得 一次函数的解析式为； （2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或， ∴关于x的不等式的解集或． 29．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式． (2)结合图形，请直接写出不等式的解集． (3)点是轴上的一点，若是以为直角边的直角三角形，求的值． 【答案】(1)反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为 (2)或 (3)或 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出直线与反比例函数的交点坐标，进而根据函数图象解答即可； （）分和两种情况，利用勾股定理列出方程解答即可； 本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的几何应用，掌握数形结合和分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴反比例函数的关系式为， 把代入，得， ∴， ∴， 把，代入一次函数得， ， 解得， ∴一次函数的关系式为； （2）解：如图，设直线与反比例函数的图象相交于点， 由，解得，， ∴，， 由函数图象可知，当或时，反比例函数图象位于一次函数图象下方，即， ∴不等式的解集为或； （3）解：当时，， 即， 整理得，， ∴； 当时，， 即， 整理得，， ∴； 综上，的值为或． 30．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数的几何意义、函数图象的特点，掌握理解函数图象的特点是解题关键． （1）先根据点利用待定系数法可求出反比例函数的表达式；再通过反比例函数的表达式求出点A的坐标，最后利用待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）所求不等式的解集即为求一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方时，的取值范围； （3）根据题意得出，，根据反比例函数的几何意义得出，则，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点 ∴， 故反比例函数的表达式为 把点代入反比例函数得，，解得 ∴点的坐标为 ∵一次函数的图象经过、两点 ∴，解得 故一次函数的表达式为； （2）∵ ∴，即一次函数图象在反比例函数图象的上方 ∴； （3）∵点横坐标为，代入 解得： ∴ 当时，代入，得 解得： ∴ 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， ∵， ∴． 31．（2025·四川南充·中考真题）如图，一次函数与反比例函数图象交于点，． (1)求一次函数与反比例函数的解析式． (2)点在反比例函数第二象限的图象上，横坐标为，过点作轴的垂线，交于点，，求的值． 【答案】(1)，； (2)或 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式，解一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可； （）由题意可得，，因为，所以， 然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， ∵经过点， ∴． ∴反比例函数为， ∵在图象上，， ∴， 设一次函数解析式为， ∴，解得， ∴一次函数为； （2）解：∵轴， ∴，， ∵， ∴， 解得：或或或 ∵点在第二象限， ∴或． 32．（2025·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集为________； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 【答案】(1)； (2) (3)当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，两点距离计算公式等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）只需要根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案； （3）作点B关于x轴的对称点D，连接，则，由轴对称的性质可得；由两点距离计算公式可得，则可推出的周长，根据，可推出当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为，利用两点距离计算公式可得，则的周长的最小值为；求出直线解析式为，在中，当时，，则． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 在中，当时，， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数的 图象上方时自变量的取值范围为， ∴不等式的解集为； （3）解；如图所示，作点B关于x轴的对称点D，连接，则， 由轴对称的性质可得； ∵，， ∴， ∴的周长， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为， ∵，， ∴， ∴的周长的最小值为； 设直线解析式为，则， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； 综上所述，当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 33．（2025·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象的一个交点为，与x轴的交点为． (1)求k的值； (2)直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若，求直线的函数表达式； (3)P为x轴上一点，直线交反比例函数的图象于点E（异于A），连接，若的面积为2，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）把代入，可求出一次函数的解析式，从而得到点A的坐标，即可求解； （2）连接，求出点C的坐标为，可得，设点D的坐标为，可得到，再由勾股定理求出m的值，即可求解； （3）设点E的坐标为，求出直线的解析式，可用t表示点E的坐标，再由三角形的面积公式解答，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与x轴的交点为， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 把代入得： ，解得：， ∴点， 把点代入得：； （2）解：如图，连接， 由（1）得：反比例函数的解析式为， ∵直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点， ∴点C的坐标为， ∴， 设点D的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点D的坐标为， 设直线的函数表达式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为； （3）解：设点E的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点P的坐标为， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴， 解得：或， ∴点E的坐标为或． 34．（2025·四川达州·中考真题）如图，直线与双曲线交于点，点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点P在x轴上，，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2)点的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）先由待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点坐标，再由待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据即可求解． 【详解】（1）解：∵双曲线经过点，， ∴， ∴， ∴，反比例函数解析式为：， ∵直线经过点，点， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为：； （2）解：∵点P在x轴上，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为或． 35．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点． (1)求的值； (2)若，求点坐标； (3)双曲线关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点旋转后与的交点坐标． 【答案】(1) (2) (3)射线绕点旋转后与的交点坐标为或. 【分析】（1）点在反比例函数上，可得，即，将代入正比例函数中，进一步求解即可； （2）设，结合过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．可得，可得，再解方程进一步求解即可； （3）求解，如图，由旋转可得：，，过作轴于，过作轴于，证明，可得，证明在的图象上；结合反比例函数是中心对称图形可得：，从而可得答案. 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上， ∴，即， 将代入正比例函数中， 得， 解得：； （2）解：∵在直线上， 设， ∵过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点． ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（不符合题意舍去）， ∴； （3）解：∵双曲线关于轴对称的图象为， ∴， 如图， 由旋转可得：，， 过作轴于，过作轴于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当时，， ∴在的图象上； 由反比例函数是中心对称图形可得：， ∴射线绕点旋转后与的交点坐标为或. 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，一元二次方程的解法，轴对称的性质，中心对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练的作出图形利用函数性质解题是关键. 36．（2025·四川泸州·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数图象的问题，熟知待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标分别代入两个函数解析式中计算求解即可得到答案； （2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得直线解析式为，则可求出，过点A作轴交直线于T，则，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为； ∵反比例函数的图象经过， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴； 如图所示，过点A作轴交直线于T， ∵， ∴点T的横坐标为2， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴ ． 37．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，在边长为4的菱形中，对角线与相交于点E，边在x轴上，，，点C在反比例函数的图象上． (1)求点C，D，E的坐标及反比例函数的解析式； (2)将菱形向右平移，当点E恰好在反比例函数的图象上时，边与函数图象交于点F，求点F到x轴的距离． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质、一次函数的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质等知识点，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． （1）先证明是等边三角形，求出点D坐标，然后确定点C、E的坐标，最后根据点C的坐标确定反比例函数解析式即可； （2）求出平移后E，B，C的对应点的坐标，求出直线的解析式，再构建方程组求出点F的坐标即可解答． 【详解】（1）解：如图：过点D作于点H． ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：对于反比例函数， 当时，， ∴平移后点E恰好在反比例函数的图象上时，点E的对应点， ∴菱形向右平移了4个单位， ∴B，C的对应点， 设直线的解析式为， ，解得：， ∴直线的解析式为， 由，解得：或， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴点F的坐标为， ∴点F到x轴的距离为． 38．（2024·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1． (1)求的值及点的坐标． (2)点是线段上一点，点在直线上运动，当时，求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求解A的坐标，再求解反比例函数解析式，再联立两个解析式可得B的坐标； （2）由，证明，可得，求解,证明，如图，当时，最短；再进一步利用勾股定理与等面积法求解即可； 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1． ∴， ∴, ∴， ∴反比例函数为：； ∴， 解得：，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，, ∴， ∴，， 如图，当时，最短； ∴； 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，求解函数解析式，一元二次方程的解法，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，理解题意是解本题的关键. 39．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)若点P是y轴上一动点，连接．当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数表达式为 (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，由在反比例函数上，可得的值，进而求出反比例函数，再将代入求出的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数的解析式； （2）依据题意，设直线交轴于点，交轴于点，由直线为，可得，故，再由，进而计算可以得解； （３）依据题意，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长，结合)与关于轴对称，故为，又，可得直线为，再令，则，进而可以得解． 【详解】（1）解：由题意，∵在反比例函数上， ∴． ∴反比例函数表达式为． 又在反比例函数上， ∴． ∴． 设一次函数表达式为， ∴， ∴，． ∴一次函数的表达式为． （2）解：由题意，如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B， 又直线l为， ∴，． ∴，， ∴； （3）解：由题意，如图，作点M关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则的最小值等于的长． ∵与关于y轴对称， ∴为． 又，设的解析式为， 则，解得， ∴直线为． 令，则． ∴． 40．（2024·四川资阳·中考真题）如图，已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数（）的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)若点在一次函数的图象上，直线与反比例函数的图象在第三象限内交于点D，求点D的坐标，并写出直线在图中的一个特征． 【答案】(1) (2)，直线上y随x的增大而增大 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤． （1）先求出点A和点B的坐标，再将点A和点B的坐标代入，求出k和b的值，即可得出一次函数解析式； （2）先求出直线的函数解析式为，进而得出，结合图象可得直线的特征． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， ∴， 把，代入 ： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：设直线的函数解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 联立得：， 解得：（舍去），， ∴， 由图可知：直线上y随x的增大而增大． 41．（2024·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知两点在反比例函数的图象上． (1)求k与m的值； (2)连接，并延长交反比例函数的图象于点C．若一次函数的图象经过A，C两点，求这个一次函数的解析式． 【答案】(1)， (2) 【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，确定反比例函数及一次函数解析式，反比例函数的性质，熟练掌握两个函数的基本性质是解题关键． （1）根据题意将点代入反比例函数即可求解； （2）根据题意及反比例函数的性质得出，设直线所在直线的解析式为，利用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：两点在反比例函数的图象上． ∴， ∴， 将点代入得：，解得：； （2）∵连接，并延长交反比例函数的图象于点C， ∴， ∵， 设直线所在直线的解析式为，代入得：， 解得：， ∴． 42．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，O为坐标原点，连接，．    (1)求与的解析式； (2)当时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】本题考查反比例函数图象和性质，反比例函数与一次函数综合，求出一次函数与反比例函数图象交点坐标是关键； （1）根据题意可得，即有，问题随之得解； （2）表示反比例函数的图象在一次函数的图象上方时，对应的自变量的取值范围，据此数形结合作答即可； （3）若与y轴相交于点C，可得，则，根据，问题即可得解． 【详解】（1）由题知， ∴， ∴，， ∴， 把，代入得， ∴， ∴； （2）由图象可知自变量x的取值范围为或 （3）若与y轴相交于点C， 当时，， ∴，即：， ∴．    43．（2024·四川乐山·中考真题）如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点． (1)求、的值和一次函数的表达式； (2)连接，求点到线段的距离． 【答案】(1)，， (2)点到线段的距离为 【分析】（1）根据点、在反比例函数图象上，代入即可求得、的值；根据一次函数过点，，代入求得，，即可得到表达式； （2）连接，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，可推出 轴，、、的长度，然后利用勾股定理计算出的长度，最后根据，计算得的长度，即为点到线段的距离． 【详解】（1）点、在反比例函数图象上 ， 又一次函数过点， 解得： 一次函数表达式为：； （2）如图，连接，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ， 轴， 点，， 点，， 在中， 又 即 ∴，即点C到线段的距离为． 【点睛】本题考查了求反比例函数值，待定系数法求一次函数表达式，勾股定理，与三角形高有关的计算，熟练掌握以上知识点并作出适当的辅助线是解题的关键． 44．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； (3)将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)点的坐标为 (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，轴对称-最短路径问题，勾股定理，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）根据已知条件列方程求得，得到反比例函数的表达式为，求得，解方程组即可得到结论； （2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于P，则此时，的周长最小，根据轴对称的性质得到，得到直线的解析式为，当时，，于是得到点P的坐标为； （3）将直线向下平移a个单位长度后得直线的解析式为，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，， ， ， 反比例函数的表达式为， 把代入得， ， ， ， 把，代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于， 此时，的周长最小， 点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （3）解：将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点， 直线的解析式为， ，， ， ， 解得或． 45．（2024·四川凉山·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，一次函数的平移等知识，熟练掌握函数的平移法则是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点坐标，根据平行线间的距离可得，代入数据计算即可． 【详解】（1）解：点在正比例函数图象上， ，解得， ， 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为． （2）解：把直线向上平移3个单位得到解析式为， 令，则， ∴记直线与轴交点坐标为，连接， 联立方程组， 解得，（舍去）， ， 由题意得：， ∴同底等高， ． 46．（2024·四川内江·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为    (1)求这两个函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，熟练地掌握待定系数法是解题的关键． （1）用待定系数法求反比例函数解析式以及一次函数解析式即可． （2）根据函数图像即可求解． 【详解】（1）解：把的坐标代入， 得， 解得， ∴反比例函数的解析式为： 把的坐标代入， 得 ∴的坐标 把，代入， 得 解得：， ∴一次函数的解析式为：． （2）∵关于的不等式的解集，即反比例函数的图像在一次函数的图像上方． ∴根据图象，关于的不等式的解集为：或． 47．（2024·四川广安·中考真题）如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于，两点．    (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)直线与轴交于点，点是轴上的点，若的面积大于12，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）将A点坐标代入反比例函数解析式求得反比例函数，再把B点坐标代入所求得的反比例函数解析式，求得m，进而把A、B的坐标代入一次函数解析式便可求得一次函数的解析式； （2）由一次函数的解析式求得与x轴的交点C的坐标，然后的面积大于12，再建立不等式即可求解． 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， 把代入，得， ∴， 把，都代入一次函数，得 ， 解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：如图，    对于，当，解得， ∴， ∵， ∴， ∵的面积大于12， ∴，即， 当时，则, 解得：， 当时，则， 解得：； ∴或． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键． 48．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上． (1)求，，的值； (2)若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值； (3)过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得与相似，求的值． 【答案】(1)，， (2)点的坐标为或， (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，根据平行四边形的性质，分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时三种情况，分别利用中点坐标公式列方程组求解即可； （3）设点，则，，利用相似三角形的性质得，进而解方程得，则，利用待定系数法求得直线的表达式为，联立方程组得，根据题意，方程有且只有一个实数根，利用根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入中，得，则， 将代入中，得，则， ∴， 将代入中，得，则； （2）解：设，由（1）知， 若，，，为顶点的四边形为平行四边形，分以下情况： 当为对角线时，则，解得， ∴，则； 当为对角线时，则，解得， ∴，则； 当为对角线时，依题意，这种情况不存在， 综上所述，满足条件的点的坐标为或，； （3）解：如图，设点，则，， 若，则，即， ∴，即， 解得， ∵，∴，则， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 联立方程组，得， ∵有且只有一点， ∴方程有且只有一个实数根， ∴，解得； 由题意，不存在， 故满足条件的k值为． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合、反比例函数与几何的综合，涉及待定系数法、相似三角形的性质、平行四边形的性质、坐标与图形、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用分类讨论思想求解是解答的关键． 49．（2024·四川南充·中考真题）如图，直线经过两点，与双曲线交于点． (1)求直线和双曲线的解析式． (2)过点C作轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)直线解析式为，双曲线解析式为 (2)点P坐标为或或或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，相似三角形的性质： （1）待定系数法求出一次函数的解析式，进而求出点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可； （2）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：直线经过两点， ∴，解得：， ∴， 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴，， 当以O，A，P为顶点的三角形与相似时，分两种情况进行讨论： ①当，则：， ∴， ∴， ∴或； ②当，则：， ∴， ∴， ∴或； 综上：点P坐标为或或或． 50．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直线与反比例函数和的图象分别交于点C，D，且，求点C的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合： （1）利用待定系数法求解即可； （2）先利用反比例函数比例系数的几何意义得到，进而得到；再证明，推出，设，则，求出，可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； 把，代入中得：， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：如图所示，过点B作轴于E，设与x轴交于F， ∵直线与反比例函数和的图象分别交于点C，D， ∴， ∴， ∴； ∵轴，点B在反比例函数的图象上， ∵， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴． 51．（2024·四川德阳·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点． (1)求的值和反比例函数的解析式； (2)将直线向下平移个单位长度后得直线，若直线与反比例函数的图象的交点为，求的值，并结合图象求不等式的解集． 【答案】(1)；反比例函数的解析式为 (2)；不等式的解集为 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题： （1）把代入求出，得，从而可求出的值； （2）由平移得直线与直线平行，得，把点代入得，得，代入，求出，得出；由图象得当时，在直线的下方，故可求出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴； ∴， 把代入，得：， ∴， ∴反比例函数的解析式为：； （2）解：∵直线是将直线向下平移个单位长度后得到的， ∴直线与直线平行， ∴， ∴， ∵直线与反比例函数的图象的交点为， 把代入得，， 解得，， ∴， 把代入，得：， ∴， ∴； 由图象知，当时，在直线的下方， ∴不等式的解集为 52．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数．的图象与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或 【分析】（1）把A的坐标代入，可求出k，把代入所求反比例函数解析式，可求n，然后把A、B的坐标代入求解即可； （2）结合一次函数和反比例函数的图像，写出一次函数图像在反比例函数图像下方所对应的自变量范围即可； （3）设点C的坐标为，，分、为对角线，、为对角线，、为对角线三种情况，根据对角顶点的横、纵坐标之和分别相等列方程组，即可求解． 【详解】（1）解∶∵经过， ∴，解得， ∴， 把代入，得， 解得， ∴， 把，代入， 得， 解得， ∴； （2）解：观察图像得：当或时，一次函数的图像在反比例函数图像的下方， ∴不等式的解集为或； （3）解：设点C的坐标为，， ①以、为对角线， 则， 解得， ∴， ∴； ②以、为对角线， 则， 解得， ∴， ∴； ③以、为对角线 则， 解得， ∴， ∴； 综上，当C的坐标为或或时，以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查求一次函数的解析式，反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，平行四边形存在性问题等，掌握数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． 53．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出时，的取值范围； (3)过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积． 【答案】(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为 (2)或 (3) 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）根据函数图象即可求解； （）如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，求出点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征求出点坐标，根据计算即可求解； 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴反比例函数表达式为， 把代入得，， ∴， ∴， 把、代入得， ， 解得， ∴一次函数表达式为； （2）解：由图象可得，当时，的取值范围为或； （3）解：如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∴， ∵点关于原点对称， ∴， ∴，， ∴ ， 即的面积为． 54．（2024·四川达州·中考真题）如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若点是轴正半轴上的一点．且．求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合题型，也考查了锐角三角函数的应用． （1）用待定系数法先求反比例函数解析式，再求一次函数解析式即可； （2）过作轴于，过作轴于，设，先求得得到，即，得出等量关系解出即可． 【详解】（1）解：将代入得 将代入得 将和代入得 解得 故反比例函数和一次函数的解析式分别为和； （2）如图，过作轴于，过作轴于， 即 设，则， 解得（舍去）或 经检验，是原分式方程的解， ． 55．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)P是直线上的一个动点，的面积为21，求点P坐标； (3)点Q在反比例函数位于第四象限的图象上，的面积为21，请直接写出Q点坐标． 【答案】(1)， (2)点P坐标为或； (3)Q点坐标为或 【分析】（1）先求出，再代入，得出，再运用待定系数法解一次函数的解析式，即可作答． （2）先得出直线与直线的交点的坐标，根据求不规则面积运用割补法列式化简得，解出，即可作答． （3）要进行分类讨论，当点在点的右边时和点在点的左边时，根据求不规则面积运用割补法列式，其中运用公式法解方程，注意计算问题，即可作答． 【详解】（1）解：依题意把代入，得出 解得 把代入中，得出 ∴ 则把和分别代入 得出 解得 ∴； （2）解：记直线与直线的交点为 ∵ ∴当时，则 ∴ ∵P是直线上的一个动点， ∴设点， ∵的面积为21， ∴ 即 ∴ 解得或 ∴点P坐标为或； （3）解：由（1）得出 ∵点Q在反比例函数位于第四象限的图象上， ∴设点Q的坐标为 如图：点在点的右边时 ∵的面积为21，和 ∴ 整理得 解得（负值已舍去） 经检验是原方程的解， ∴Q点坐标为 如图：点在点的左边时 ∵的面积为21，和 ∴ 整理得 解得，符合题意，，不符合题意， 则，故 综上：Q点坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，几何综合，待定系数法求一次函数的解析式，割补法求面积，公式法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 1．（2026·四川雅安·一模）如图①所示，E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B以每秒2个单位的速度出发，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止．设点P，Q出发时间为，的面积为S．已知S与t的函数关系图象如图②（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③直线的表达式为；④当时，与相似．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据图②可以判断三角形的面积变化分为三段，判断出当点P到达点E时点Q到达点C，从而得到，再根据F、G是从5秒到7秒，可得的长度，然后表示出的长度，然后针对各结论分析解答即可． 【详解】解：根据图②可得，当点P到达点E时点Q到达点C， ∵点P、Q的运动的速度都是每秒2个单位长度， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵从F到G用了秒， ∴，故①正确； ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴点P到达点C的时间为（秒）， ∴， 设直线的表达式为 将，代入得， 解得 ∴直线的表达式为，故③正确； 当时，， ∴点P在上，如图， 此时，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有①②③④，共4个． 2．（2026·四川雅安·一模）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．y随x的增大而增大 B．经过一、二、三象限 C．与x轴的交点坐标为 D．可由函数的图象向下平移4个单位得到 【答案】C 【分析】结合一次函数的系数特征、与轴交点求法及图象平移规律判断各选项． 【详解】解：A选项，∵，∴随的增大而减小，故A错误． B选项，∵，，∴函数图象经过第一、二、四象限，故B错误． C选项，令，则，解得，∴函数与轴的交点坐标为，故C正确． D选项，将的图象向下平移4个单位，得到的函数解析式为，故D错误． 3．（2026·四川内江·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为直线交轴于点，以为边作第一个等边三角形，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以为边作第二个等边三角形，交直线于点，…顺次这样作下去，第2026个等边三角形的边长为（    ） A． B． C．4050 D．4052 【答案】B 【分析】延长交x轴于D，交x轴于E，根据等边三角形的性质得，，，直线b的解析式为，得，由直线a的解析式得第一个等边三角形边长为1，解得，，把代入求得的纵坐标，即可求得第二个等边三角形的边长，从而找出规律，按照此规律即可求得第2026个等边三角形的边长． 【详解】解：延长交x轴于D，交x轴于E， ∵，，均为等边三角形， ∴，，， ∵直线b的解析式为：， ∴， 对于直线a，，当时，， ∴点A的坐标为， ∴， 在中，，， ∴，， ∴点B的坐标为， 对于，当时，， ∴点的坐标为， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， ∴点的坐标为， 对于，当时，， ∴， ∴， 同理得：，……， 以此类推，第n个等边三角形的边长为， ∴第2026个等边三角形的边长为． 故选：B． 4．（2026·四川雅安·一模）如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征，用表示出矩形的长和宽，结合矩形面积建立关于的方程求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵四边形是矩形，点在轴上，点在轴上， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∵点，在反比例函数的图象上， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∵矩形的面积为， ∴， ∴， ∵图象在第一象限， ∴， ∴． 5．（2026·四川宜宾·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，是等腰直角三角形，其直角顶点在轴正半轴上，点、点在函数的图象上，延长交轴于点．若点的横坐标为4，则的值为（     ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】B 【分析】作轴于点，轴于点，可证明，得到，设，得到，设直线的函数解析式为，求出直线的函数解析式为，得到，，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解∶如图，作轴于点，轴于点， ， ， ， ， ， ， ， 点、点在函数（，）的图象上， 设， ， ， ，， ， ， ， 设直线的函数解析式为， 将代入得 解得， 直线的函数解析式为， ， ， ， ， 解得或， 经检验或是原方程的解， 当时轴，点在轴上，不符合题意，舍去， ， ． 6．（2026·四川南充·二模）如图，纵坐标分别为，的点，点均在函数（，）的图象上．，分别与轴、轴相切，半径是半径的2倍．若，两点间的距离为，则的值为（   ） A． B．3 C． D．不确定 【答案】A 【分析】由题意设，，则，从而，故，化简得，故，又，故，选A． 【详解】解：由题意设，，由题可知， 半径为， 半径是半径的2倍， 半径为， ， 点，点均在函数上， ，即， ，解得，， ，， ，两点间的距离为， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 7．（2026·福建漳州·模拟预测）如图1为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图2所示，则下列说法正确的是（   ） A．I随R的增大而增大 B．当时， C．I与R的函数表达式是 D．当时，I的取值范围是 【答案】D 【分析】由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：由图可知，随的增大而减小， ∴A选项不正确，不符合题意； 设， ∵图象经过点， ∴， ∴， ∴与的函数表达式是， ∴C选项不正确，不符合题意； 把代入，可得 解得， ∴B选项不符合题意； ∵， ∴当时，，当时，， 又∵随的增大而减小， ∴当时，I的取值范围是, ∴D选项正确，符合题意． 8．（2026·四川南充·二模）已知某蓄电池的电压为定值，电流与电阻是反比例函数关系，它的图象如图，若当电阻R为时，电流为，则当电阻为时，电流为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法先求出电流与电阻的函数关系式为，再代入，计算即可得出结果． 【详解】解：设电流与电阻的函数关系式为， ∵当电阻R为时，电流为， ∴， ∴， ∴电流与电阻的函数关系式为， 当电阻为时，． 9．（2026·四川乐山·一模）根据物理学中欧姆定律可知，当某电路中电压不变时，该电路中的总电流（单位：A）是该电路中总电阻（单位：）的反比例函数，其图像如图所示．当该电路中总电流大于时，该电路将可能烧坏．为了安全起见，则接入电路的总电阻应不小于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再根据电流的限制条件求出电阻的取值范围即可． 【详解】解：设（k为常数，）． ∵图像过点， ∴，解得：， ∴． 当时，， ∵， ∴，即，即选项A符合题意． 10．（2026·四川成都·二模）关于反比例函数，下列结论正确的是（    ） A．函数图像在第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图像与x轴有交点 D．函数图像关于直线对称 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，根据k的符号结合反比例函数的特点逐一判断选项即可． 【详解】解：已知反比例函数，其中， A.∵，∴函数图像在第二，四象限，A错误，不符合题意； B.∵，y仅在每个象限内随x的增大而增大，B错误，不符合题意； C.∵中y恒不为0，∴函数图像与x轴没有交点，C错误，不符合题意； D. 反比例函数的图像是双曲线，关于直线对称，D正确，符合题意． 11．（2026·四川南充·一模）日常生活中的“盐水”，是指含有氯化钠的水溶液．如图，用三个点分别表示甲、乙、丙三瓶盐水的浓度与盐水的质量的对应关系（盐水处于不饱和盐水的浓度和状态），其中甲、丙两点恰好在反比例函数（，为常数）的图象上．若甲、乙、丙三瓶盐水中含氯化钠的质量分别为，则其大小关系为（提示盐水的浓度）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据甲、丙两点恰好在反比例函数的图象上可得，设乙对应的点为，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，设与反比例函数图象相交于点，过点作轴于点，可得 ，进而即可判断求解． 【详解】解：根据题意可知，氯化钠的质量为， ∵甲、丙两点恰好在反比例函数的图象上， ∴甲、丙两瓶盐水中氯化钠的质量相同，即 ， 如图，设乙对应的点为，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，设与反比例函数图象相交于点，过点作轴于点，则 ， ∴大小关系为． 12．（2026·四川成都·三模）成都天府绿道要修一段步道，工程总量固定，每天修建的长度米和修建天数天成反比例函数关系．若每天修40米，需要6天完工；若每天修建30米，则需要________天完工． 【答案】 【分析】结合已知条件求出工程总长度，再用总长度除以每天修建的长度，即可得到所需天数，用到反比例函数两变量乘积为定值的性质． 【详解】解 ∵每天修建的长度和修建天数成反比例函数关系 ∴设， 可得，其中为工程总长度 将，代入式子 得， 即工程总长度为（米） 当时， 代入得 解得 答：需要天完工． 13．（2026·四川广元·三模）如图，过原点的直线与双曲线 交于两点，点在轴上，且，若 ，则的值为______． 【答案】 【分析】过点作于点，由等腰三角形的性质得，设，则， ，又由反比例函数图象的对称性可得，进而得到，解方程即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴ 设，则， ∴ ， ∵过原点的直线与双曲线 交于两点， ∴点关于原点对称， ∴， ∴， 解得． 14．（2026·四川成都·三模）已知点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c间的大小关系为________（用“”号连接）． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，当时，反比例函数图象分布在第二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，先判断三个点所在象限，再比较函数值的大小即可． 【详解】解：反比例函数中，， 函数图象分布在第二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大， ， 点，在第二象限，点在第四象限， ，，， 又， ， ． 15．（2026·四川南充·三模）如图，菱形的顶点，在同一双曲线上．若点，则，两点间的距离为________． 【答案】 【分析】利用菱形对角线互相平分，得与中点相同；借助中点纵坐标列式，求出a； 根据B点坐标，勾股定理算出长度． 【详解】解：连接，． 四边形是菱形， 对角线、互相平分，设交点为，则既是线段的中点，也是线段的中点． ，点，为中点， 点坐标为． ，，是中点， 根据中点坐标公式： ， 解得， ． 由勾股定理： ． 16．（2026·四川雅安·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，…在x轴的正半轴上，点，，，…在射线上，直线的表达式为．若点的坐标为，且，，，…均为等边三角形，则的面积为______． 【答案】 【分析】过点作轴，交直线于点，过点作轴于点，先求出，再根据等边三角形的性质、等腰三角形的判定可得，然后解直角三角形可得的长，总结规律得到的边长和高，然后求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴交直线于点，过点作轴于点， ， ， ∵， 当时，，即，， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ∴， ∴， 同理可得，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴中边上的高为， ∴的面积为． 17．（2026·四川成都·三模）已知一次函数的图象不经过第三象限，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据一次函数的图象与性质，结合图象不经过第三象限的条件，列出关于的不等式，解不等式即可得到结果． 【详解】解： 一次函数的图象不经过第三象限，该一次函数的一次项系数为，直线必过第二，四象限， 常数项需满足， 解得：． 18．（2026·四川内江·二模）已知a、b都是非负数，且，设，则S的最大值是___________． 【答案】9 【分析】先根据已知条件用含的代数式表示，再代入得到关于的一次式，结合，为非负数得到的取值范围，根据一次函数的性质求得的最大值； 【详解】解：， ， ，都是非负数， ，， 解得， 将代入得： ， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值． 19．（2026·四川成都·模拟预测）函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“阶方点”．例如：点是函数图像的“阶方点”；点是函数图象的“2阶方点”．若一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个，则__________；若二次函数图像的“阶方点”一定存在，则的取值范围是__________． 【答案】 或 【分析】根据新定义“阶方点”可知满足条件的点在且的正方形区域（含边界）内，先确定一次函数过定点，结合“阶方点”只有一个的条件，得到直线过正方形右顶点，计算得的值；根据二次函数的单调性得到其在上的最值，根据存在交点的条件列不等式求解得的范围． 【详解】解：由“阶方点”定义可得，满足条件的点需满足，． 整理一次函数得，可知该一次函数恒过定点， ∵“阶方点”对应正方形为， ∴直线与该正方形只有一个交点，因此直线必过正方形的右顶点或． 将代入解析式得： 解得：； 将代入解析式得： 解得． 二次函数开口向下，对称轴为直线，，在上，随的增大而增大， ∴当时，取最大值， 当时，取最小值． 二次函数一定存在“阶方点”，即与有公共部分，需满足： 代入得： ， 解不等式①得： 整理不等式②得， 因式分解得， ∵， ∴， ∴，解得：． 综上，n的取值范围为． 20．（2026·四川广元·二模）某文具店举行抽奖活动，盒子中装有5支完全相同的中性笔，笔杆上分别刻有数字：．顾客随机抽取一支，记笔上的数字为a，求使得：以x为自变量的正比例函数经过第一、三象限，且关于x的一元二次方程有实数解的概率是_______． 【答案】 【分析】先根据正比例函数经过第一、三象限求出a的取值范围，再根据一元二次方程有实数解求出a的取值范围，找出同时满足两个条件的a值，最后利用概率公式求解． 【详解】解： 正比例函数经过第一、三象限， ， ， 一元二次方程有实数解， 且， ， ， 且， 笔上的数字为， 符合条件的a值只有， 所求概率为． 21．（2026·四川雅安·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点A的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点D是y轴上一点，且的面积为20，求点D坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． (2)点的坐标为或． 【分析】（1）先用点求出反比例函数中的，再由点的横坐标求出点的纵坐标，最后用待定系数法求一次函数解析式． （2）设点的坐标为，利用一次函数解析式求出直线与轴的交点，把的面积转化为与的面积之和，列方程求解． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 点的横坐标为，且点在的图象上， ， ， 一次函数的图象过点、， ， 解得：， 一次函数的解析式为． （2）解：设点的坐标为， 一次函数与轴交于点， ， ， 、， 点到轴的距离为，点到轴的距离为， ， ， 又， ， ， 或， 解得：或， 点的坐标为或． 22．（2026·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数交于点． (1)求b和k的值； (2)点C是x轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点D，连接，若，求的面积； (3)在（2）条件下，一次函数与x轴交于点N，过点B的直线交反比例函数于点P，交x轴于点M，是否存在点P，使得与相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)6 (3)存在， 【分析】（1）将点代入求出的值，确定点坐标后，将点代入函数中，求出； （2）过点作轴交于点，过点作轴交于点，可得，求出，可知轴，则的面积； （3）由题可推导出有两种情况或，当时，，求出，直线与反比例函数图象的交点即为点；当时，，求出，直线与反比例函数图象的交点即为点． 【详解】（1）解：将点代入， ， 解得， ， 将点代入函数中，可得； （2）解：， ， 过点作轴交于点，过点作轴交于点， ， ∵， ， ， ∴， ， 当时，， ， 在中，令，则， ∴， ∴轴，， ∴的面积； （3）解：存在点，使得与相似，理由如下： 当时，， ， ， ， 或， ∵，， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ， ， ， 当时，， ， ， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，解得（与点B重合，舍去）或， ； 当时，， ， 解得， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，解得（与点B重合，舍去）或（舍）； 综上所述：． 23．（2026·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接并延长交双曲线于点，点为轴上一动点，点为直线上一动点，连接，求当最小时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点为双曲线上一动点，平面内是否存在一点，使以点为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数为；一次函数的表达式为 (2) (3)点N的坐标为或或或． 【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后把B的坐标代入求得n的值，最后利用待定系数法求一次函数的解析式； （2）先根据轴对称的最短路径问题作辅助线，可知：即当E与F重合时，的值最小，最小值是的长，此时D与K重合，证明是等腰直角三角形，可得，从而得结论； （3）分两种情况：为边和对角线时，根据两点的距离公式和中点坐标公式列方程可解答． 【详解】（1）解：（1）把代入中，得：， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， 把，代入得：， 解得：， ∴一次函数的解析式是； （2）解：作点C关于y轴的对称点G，交y轴于L，连接交y轴于D，则，过点G作于F，交y轴于K，则，即当E与F重合时，的值最小，最小值是的长，此时D与K重合， ∵，且点与点关于原点对称， ∴， ∴， 对于，当时，；当时，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，在轴上， ∴，即； （3）解：存在， 设，， 分三种情况： ①当为边时，对角线，且与互相平分，根据中点坐标公式得： ， ∴， 代入，整理得：， 解得：或， ∴或， ∴点的坐标为或； ②当为边时，对角线，且，互相平分，则有： ∴， 代入，整理得， 解得：或（此时点与点重合，舍去） 当时，，， ∴点的坐标为； ③当为对角线时，对角线，则： ， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， 变形为 解得或， 当时，此方程无实数根； 当时，解得或， 当时，点与点重合，不符合题意， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或或或． 24．（2026·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴相交于点，点在反比例函数图象上． (1)求的值及点的坐标； (2)若为等腰直角三角形，，求反比例函数的解析式； (3)过点，的直线与轴交于点，点与点关于点对称，若存在，使得，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)反比例函数的解析式为或 (3)的值为或 【分析】（1）由待定系数法求出的表达式，进而求解； （2）当点在第一象限或第三象限时，利用一线三垂直构造三角形全等求点的坐标即可； （3）当点在第一象限或第三象限时，证明，则，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入得，， ， 将点代入得，，解得， 直线的表达式为：， 令，即，解得， ； （2）解：当点在第一象限时，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，如图所示， ，， 为等腰直角三角形，， ，， ， ，，， ， ，， ， ， 点在反比例函数图象上， ，解得， 反比例函数的解析式为； 当点在第三象限时，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，如图所示， ，， 为等腰直角三角形，， ，， ， ，，， ， ，， ， ， 点在反比例函数图象上， ，解得， 反比例函数的解析式为； 综上所述：反比例函数的解析式为或； （3）解：如图，当点在第一象限时，设点， 点与点关于点对称， 点， ，，， ，， ， ，即， ， 解得（负值已舍去）， ， ， 为的中点， 由中点坐标公式得：点，即， ． 如图，当点在第三象限时，过点作轴于，过点作轴交延长线于点， 设点， 点与点关于点对称， 点， ，，， ，， ， ，即， ， 解得（正值已舍去）， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ，， ，即， ． 综上所述，的值为或． 25．（2026·四川自贡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)请直接写出不等式的解集； (3)点P为反比例函数图象上的一点，若，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)或 (3)或 【分析】（1）把点代入直线得：，即可求得一次函数的解析式，把点代入，得，即可求得反比例函数的解析式； （2）求出点的坐标，根据图象求解即可； （3）根据图象求出，再根据，求出，即可求出． 【详解】（1）解：把点代入直线得：， 直线， 即一次函数的解析式为， 把点代入，得 ， 即反比例函数的解析式为； （2）解：把点代入，得， ∴， ∵， ∴不等式的解集为或； （3）解：把代入得：， ∴， ， ， ， ， 当点的纵坐标为2时，则，解得， 当点的纵坐标为时，则，解得， 点的坐标为或． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $