2.2 不等式的求解（分层作业练题型）高一数学沪教版必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到高考衔接，覆盖不等式求解全题型，梯度合理，适配新授课差异化教学，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|一元一次（组）、一元二次、分式、绝对值不等式基础求解|基础题型对应核心考点，如直接求解不等式，夯实运算能力| |B组能力进阶|含参数不等式、实根分布、实际应用|综合题型提升推理能力，如由解集求参数，培养逻辑思维| |C组思维拔高|复杂综合问题|创新题型发展创新意识，如多绝对值不等式证明| |拓展链接高考|高考真题|对接高考题型，提升应用意识，如近年高考不等式解集题|

分层作业 2.2 不等式的求解 参考答案 ( 题型0 1 )一元一次不等式（组）的求解 1．【答案】B 【详解】. 所以或. 故选：B. 2．【答案】A 【详解】不等式，解得，所以， ，则有或， 所以. 3．【答案】A 【详解】由不等式， 得，即， 解得. 故选：A 4．【答案】A 【详解】由，移项得：，解得：； 由，去括号得：，移项得：，解得：. 综上可得：不等式的解为. 故选：A ( 题型0 2 )己知一元一次不等式（组）的解求参数 5．【答案】 【详解】当时，； 当时，不等式无解； 当时，，故． 故答案为：. 6．【答案】 【详解】，不等式组有解, 则，解得 故答案为：． 7．【答案】 【详解】记原不等式组为 解不等式①，得； 解不等式②，得． 因为原不等式组的解集为，所以 解得 8．【答案】 【详解】由，得， 因为不等式的解集为， 所以，解得. ( 题型0 3 )解不含参数的一元二次不等式 9．【答案】C 【详解】由题意得， 再根据交集的概念得. 【答案】A 【详解】， ， ， ． 【答案】D 【详解】该不等式对应的方程的两个根分别为， 则不等式解得. 【答案】C 【详解】，即，解得. ( 题型0 4 )解简单的分式不等式 【答案】B 【详解】由不等式，即， 则，解得，即， 所以不等式的解集为． 【答案】C 【详解】由可得， 即，解得， 【答案】C 【详解】由整理可得：，解得：，且； 故，又因为， 所以． 【答案】C 【详解】因为，解得， 故不等式的解集为， 因此，不等式“”的一个充分不必要条件是该不等式解集的真子集，只有C满足． ( 题型0 5 )解含一个绝对值不等式 【答案】B 【详解】. 由，解得，即. 故. 【答案】B 【详解】因为，， 所以，即， 故选：B. 【答案】B 【详解】不等式，解得或； 不等式，即，解得， 集合是集合的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【答案】 【详解】不等式可变形为，即，解得. 所以不等式的解集为. ( 题型0 6 )解含两个绝对值不等式 【答案】 【详解】当时，等号成立即为，故； 当时，等号成立即为，故； 当时，等号成立即为，故； 综上，使得不等式等号成立的x的取值范围是. 故答案为：. 【答案】 【详解】当时，原不等式化简为，解得，又因为，则无实数解； 当时，原不等式化简为，解得，又因为，所以； 当时，原不等式化简为，解得，又因为，所以. 综上原不等式解集为. 故答案为：. 【答案】 【详解】当时，原不等式变为，得； 当时，原不等式变为，不等式无解； 当时，原不等式变为，得； 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 【答案】D 【详解】因为， 所以， 又存在，使， 所以，即，所以或， 解得或， 所以的范围为. 故选：D ( 题型0 7 )解含参数的一元二次不等式 【答案】A 【详解】若时，不等式，解集为，有无数个整数解，不符合题意； 若时，开口向下， 的解集为两侧无限区间，有无穷多个整数解，不符合题意； 故，开口向上， ，对应方程两根为： ， 由得，故不等式解集为：， 则4个整数解为，故，解得， 故a的取值范围为． 【答案】 【详解】关于的不等式可化为， 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数解，则，得； 当时，不等式化为，此时无解； 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数，则， 此时解集中无正整数解； 综上，实数的取值范围为． 故答案为： 【答案】(1)当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． (2)当时，不等式的解集为；当或时，不等式的解集为． 【分析】 【详解】（1）对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． （2）对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）可化为， 当时，不等式为，解集为； 当时，不等式可化为，此时解集为； 当时，不等式可化为， 当时，，此时解集为； 当时，，此时解集为； 当时，，此时解集为. 综上所述，时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为 （2）不等式可化为， ①当时，，解集为，或； ②当时，，解集为； ③当时，，解集为，或. 综上所述， 当时，原不等式的解集为，或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为，或. ( 题型0 8 )由一元二次不等式的解确定参数 【答案】B 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的两根分别为、，且， 由韦达定理可得，解得，，故. 故选：B. 【答案】D 【详解】由不等式的解集为可知， 且，，所以，， 所以不等式可化为， 又，则，解得． 【答案】 【详解】由不等式的解集为，即是方程的两个实数根， 所以，可得， 则不等式，即为，即， 化简得，解得或， 即不等式的解集为. 【答案】 【详解】因为不等式的解集为空集，所以对任意实数，恒成立． 当时，原不等式化为，不等式不成立，所以原不等式的解集为空集，符合条件． 当时，结合二次函数的性质，得抛物线开口向上，与轴最多有1个公共点， 所以，且判别式，解得． 综上，实数的取值范围是． ( 题型0 8 )一元二次方程的实根分布问题 【答案】B 【详解】由关于的方程有一个正根和一个负根，得该方程为一元二次方程， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：B 【答案】A 【详解】设方程对应的二次函数为，其对称轴为， ∵方程的两个根均落在内， ∴满足，即，解得：． 故选：A． 【答案】 【详解】方程，可得， 故方程的两个根分别为或. 由于两根一个比2大另一个比2小， 故,解得， 故答案为：. 【答案】 【详解】关于x的方程有两个大于1的不等实数根， 等价于二次函数的图象与x轴有2个大于1的不同实根， 可得， 解得， 即实数a的取值范围为 故答案为： ( 题型 10 )一元二次不等式的实际应用 【答案】B 【详解】因为甲车的刹车距离小于且，所以，得到； 因为乙车的刹车距离略超过且，所以，得到； 所以甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速. 故选：B 【答案】24 【详解】设甲公司应投入万元宣传费，乙公司应投入万元宣传费， 则，即， 可得，即， 设，则，可得， 整理可得，解得或（舍去）， 即，可得，此时，符合题意， 所以甲公司应投入24万元宣传费. 故答案为：24. 【答案】2 【详解】设每次倒出升溶液 第一次稀释后，药液浓度为， 第二次稀释后，药液浓度为， 依题意有，即，解得， 又，即，所以每次至少倒出升溶液； 故答案为: 【答案】(1)3元或3.5元 (2)每本杂志的售价不低于2.5元且不超过4元 【分析】 【详解】（1）设每本杂志的售价为元， 由题意，，解得或， 则当杂志提价后销售总收入是21万元时，每本杂志的售价为3元或3.5元. （2）设每本杂志的售价为元， 由题意，，解得， 则每本杂志的售价不低于2.5元且不超过4元时，才能使提价后的杂志销售总收入不低于20万元. 1．【答案】D 【详解】由题意可得命题“关于的二次方程在上有两个不同的解”是真命题， 令，则在上有两个不同的零点， 即，即，解得：．故的范围为． 故选：D． 2．【答案】D 【详解】． 若，则原不等式的解集为，则，得； 若，则原不等式的解集为空集，不符合题意； 若，则原不等式的解集为，则，得． 综上所述，的取值范围为． 故选：D 3．【答案】A 【详解】不等式可化为， 当时，不等式的解集为，不符合题意， 当时，不等式的解集为，若解集中恰有个整数，则这三个整数为，所以， 当时，不等式的解集为，若解集中恰有个整数，则这三个整数为，所以， 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 4．【答案】 【详解】因为不等式，不等式的最大值为， 对任意，不等式恒成立，所以， 则的取值范围为，即得的取值范围为. 5．【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，方程为，解得，符合题意； 当时，若方程有实根，需满足， 即，解得，且， 综上，若方程有实根，求实数的取值范围是； （2）由题意结合根与系数的关系可得： ，且， 即，且， 解得：，且， 即， 故方程有两个正实根，实数的取值范围是. 6．【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）若，，则，解得 故； （2）由题意知，甲的常数正确，由韦达定理可知，故； 乙的一次项系数正确，故，故. 所以原不等式为，即，解得， 故该不等式正确的解集为. 1．【答案】 【详解】当不等式取等号时， 当时，即，解得； 当时，即，解得，不符合题意，舍去； 当时，即，解得，不符合题意，舍去； 当时，即，解得. 综上可知，不等式取等号时，. 故答案为：. 2．【答案】A 【详解】，， 所以，所以， ，所以能成立， 令，所以， 所以当时，有最小值0， 所以，在上有最小值0， 能成立，即， 所以实数的最小值是0. 3．【答案】4 【详解】已知可得，即，且时等号成立， 故时，不等式为成立，即，得， 由的解集为全体实数， 等价于的解集为全体实数， 即的解集为全体实数， 整理得的解集为全体实数， 则，故. 故答案为：4 1．【答案】 【详解】由可得:， 解得:， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 2．【答案】 【详解】原不等式转化为，解得， 则其解集为. 故答案为：. 3．【答案】 【详解】由题意得不等式即， 即不等式的解集为， 故答案为： 4．【答案】 【详解】方程的解为或， 故不等式的解集为， 故答案为：. 5．【答案】C 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.2 不等式的求解 A组 巩固过关 题型01一元一次不等式（组）的求解 题型02己知一元一次不等式（组）的解求参数 题型03解不含参数的一元二次不等式 题型04解简单的分式不等式 题型05解含一个绝对值不等式 题型06解含两个绝对值不等式 题型07解含参数的一元二次不等式 题型08由一元二次不等式的解确定参数 题型09一元二次方程的实根分布问题 题型10一元二次不等式的实际应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 题型0 1 )一元一次不等式（组）的求解 1．已知集合，，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【详解】. 所以或. 故选：B. 2．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式，解得，所以， ，则有或， 所以. 3．不等式的解集是（    ） A． B． C． D．无解 【答案】A 【详解】由不等式， 得，即， 解得. 故选：A 4．和的解是（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】由，移项得：，解得：； 由，去括号得：，移项得：，解得：. 综上可得：不等式的解为. 故选：A ( 题型0 2 )己知一元一次不等式（组）的解求参数 5．如果不等式的解集为，那么a的取值范围是________． 【答案】 【详解】当时，； 当时，不等式无解； 当时，，故． 故答案为：. 6．若有解，则a的取值范围为________． 【答案】 【详解】，不等式组有解, 则，解得 故答案为：． 7．已知关于的不等式组的解集是，求、的值． 【答案】 【详解】记原不等式组为 解不等式①，得； 解不等式②，得． 因为原不等式组的解集为，所以 解得 8．已知不等式的解集为，求a的值. 【答案】 【详解】由，得， 因为不等式的解集为， 所以，解得. ( 题型0 3 )解不含参数的一元二次不等式 9．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 再根据交集的概念得. 10．设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ， ， ． 11．不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D．． 【答案】D 【详解】该不等式对应的方程的两个根分别为， 则不等式解得. 12．使得式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，即，解得. ( 题型0 4 )解简单的分式不等式 13．（全国通用））不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由不等式，即， 则，解得，即， 所以不等式的解集为． 14．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得， 即，解得， 15．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由整理可得：，解得：，且； 故，又因为， 所以． 16．命题“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，解得， 故不等式的解集为， 因此，不等式“”的一个充分不必要条件是该不等式解集的真子集，只有C满足． ( 题型0 5 )解含一个绝对值不等式 17．已知集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 由，解得，即. 故. 18．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以，即， 故选：B. 19．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】不等式，解得或； 不等式，即，解得， 集合是集合的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 20．设，不等式的解集为__________． 【答案】 【详解】不等式可变形为，即，解得. 所以不等式的解集为. ( 题型0 6 )解含两个绝对值不等式 21．使不等式中等号成立的x的取值范围是__________. 【答案】 【详解】当时，等号成立即为，故； 当时，等号成立即为，故； 当时，等号成立即为，故； 综上，使得不等式等号成立的x的取值范围是. 故答案为：. 22．关于的不等式的解集为__________. 【答案】 【详解】当时，原不等式化简为，解得，又因为，则无实数解； 当时，原不等式化简为，解得，又因为，所以； 当时，原不等式化简为，解得，又因为，所以. 综上原不等式解集为. 故答案为：. 23．不等式的解集为_____. 【答案】 【详解】当时，原不等式变为，得； 当时，原不等式变为，不等式无解； 当时，原不等式变为，得； 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 24．若存在，使，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 又存在，使， 所以，即，所以或， 解得或， 所以的范围为. 故选：D ( 题型0 7 )解含参数的一元二次不等式 25．若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若时，不等式，解集为，有无数个整数解，不符合题意； 若时，开口向下， 的解集为两侧无限区间，有无穷多个整数解，不符合题意； 故，开口向上， ，对应方程两根为： ， 由得，故不等式解集为：， 则4个整数解为，故，解得， 故a的取值范围为． 26．若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】关于的不等式可化为， 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数解，则，得； 当时，不等式化为，此时无解； 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数，则， 此时解集中无正整数解； 综上，实数的取值范围为． 故答案为： 27．解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． (2)当时，不等式的解集为；当或时，不等式的解集为． 【分析】 【详解】（1）对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． （2）对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 28．解下列关于x的不等式： (1)； (2)； 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）可化为， 当时，不等式为，解集为； 当时，不等式可化为，此时解集为； 当时，不等式可化为， 当时，，此时解集为； 当时，，此时解集为； 当时，，此时解集为. 综上所述，时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为 （2）不等式可化为， ①当时，，解集为，或； ②当时，，解集为； ③当时，，解集为，或. 综上所述， 当时，原不等式的解集为，或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为，或. ( 题型0 8 )由一元二次不等式的解确定参数 29．关于的不等式的解集为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的两根分别为、，且， 由韦达定理可得，解得，，故. 故选：B. 30．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由不等式的解集为可知， 且，，所以，， 所以不等式可化为， 又，则，解得． 31．已知不等式的解集为，则不等式的解集为________ 【答案】 【详解】由不等式的解集为，即是方程的两个实数根， 所以，可得， 则不等式，即为，即， 化简得，解得或， 即不等式的解集为. 32．若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为不等式的解集为空集，所以对任意实数，恒成立． 当时，原不等式化为，不等式不成立，所以原不等式的解集为空集，符合条件． 当时，结合二次函数的性质，得抛物线开口向上，与轴最多有1个公共点， 所以，且判别式，解得． 综上，实数的取值范围是． ( 题型0 8 )一元二次方程的实根分布问题 33．若关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由关于的方程有一个正根和一个负根，得该方程为一元二次方程， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：B 34．关于的方程的两个根均落在内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设方程对应的二次函数为，其对称轴为， ∵方程的两个根均落在内， ∴满足，即，解得：． 故选：A． 35．已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 ____________ . 【答案】 【详解】方程，可得， 故方程的两个根分别为或. 由于两根一个比2大另一个比2小， 故,解得， 故答案为：. 36．若关于x的方程有两个大于1的不等实根，则a的取值范围为______. 【答案】 【详解】关于x的方程有两个大于1的不等实数根， 等价于二次函数的图象与x轴有2个大于1的不同实根， 可得， 解得， 即实数a的取值范围为 故答案为： ( 题型 10 )一元二次不等式的实际应用 37．汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（    ） A．甲、乙两车均超过规定限速 B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D．甲、乙两车均未超过规定限速 【答案】B 【详解】因为甲车的刹车距离小于且，所以，得到； 因为乙车的刹车距离略超过且，所以，得到； 所以甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速. 故选：B 38．甲，乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数，当甲公司投入万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费用小于万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险；当乙公司投入万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险.设，，甲，乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少投入宣传费用，问甲公司应投入______万元宣传费. 【答案】24 【详解】设甲公司应投入万元宣传费，乙公司应投入万元宣传费， 则，即， 可得，即， 设，则，可得， 整理可得，解得或（舍去）， 即，可得，此时，符合题意， 所以甲公司应投入24万元宣传费. 故答案为：24. 39．为配制一种药液，进行了二次稀释．先在体积为10升的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出一部分溶液后用水补满，再搅拌均匀，第二次倒出相同数量的溶液后用水补满．若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的64%，则每次至少倒出_____升溶液． 【答案】2 【详解】设每次倒出升溶液 第一次稀释后，药液浓度为， 第二次稀释后，药液浓度为， 依题意有，即，解得， 又，即，所以每次至少倒出升溶液； 故答案为: 40．某种杂志原以2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本. (1)当杂志提价后销售总收入是21万元时，求每本杂志的售价为多少元？ (2)如何定价才能使提价后的杂志销售总收入不低于20万元？ 【答案】(1)3元或3.5元 (2)每本杂志的售价不低于2.5元且不超过4元 【分析】 【详解】（1）设每本杂志的售价为元， 由题意，，解得或， 则当杂志提价后销售总收入是21万元时，每本杂志的售价为3元或3.5元. （2）设每本杂志的售价为元， 由题意，，解得， 则每本杂志的售价不低于2.5元且不超过4元时，才能使提价后的杂志销售总收入不低于20万元. 1．若命题“关于的二次方程在上至多有一个解”是假命题，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得命题“关于的二次方程在上有两个不同的解”是真命题， 令，则在上有两个不同的零点， 即，即，解得：．故的范围为． 故选：D． 2．若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】． 若，则原不等式的解集为，则，得； 若，则原不等式的解集为空集，不符合题意； 若，则原不等式的解集为，则，得． 综上所述，的取值范围为． 故选：D 3．若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式可化为， 当时，不等式的解集为，不符合题意， 当时，不等式的解集为，若解集中恰有个整数，则这三个整数为，所以， 当时，不等式的解集为，若解集中恰有个整数，则这三个整数为，所以， 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 4．若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】因为不等式，不等式的最大值为， 对任意，不等式恒成立，所以， 则的取值范围为，即得的取值范围为. 5．已知关于的方程 (1)若方程有实根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个正实根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，方程为，解得，符合题意； 当时，若方程有实根，需满足， 即，解得，且， 综上，若方程有实根，求实数的取值范围是； （2）由题意结合根与系数的关系可得： ，且， 即，且， 解得：，且， 即， 故方程有两个正实根，实数的取值范围是. 6．已知关于的不等式的解集为． (1)若，，求； (2)甲、乙两人同时解该不等式，甲把一次项系数抄错了，解得，乙把常数项抄错了，解得，结合上述信息，求出该不等式正确的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）若，，则，解得 故； （2）由题意知，甲的常数正确，由韦达定理可知，故； 乙的一次项系数正确，故，故. 所以原不等式为，即，解得， 故该不等式正确的解集为. 1．对于任意实数，不等式恒成立．若该不等式取等号，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【详解】当不等式取等号时， 当时，即，解得； 当时，即，解得，不符合题意，舍去； 当时，即，解得，不符合题意，舍去； 当时，即，解得. 综上可知，不等式取等号时，. 故答案为：. 2．已知，若不等式能成立，则实数的最小值是（   ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】A 【详解】，， 所以，所以， ，所以能成立， 令，所以， 所以当时，有最小值0， 所以，在上有最小值0， 能成立，即， 所以实数的最小值是0. 3．若关于的不等式：的解集为全体实数，则_____. 【答案】4 【详解】已知可得，即，且时等号成立， 故时，不等式为成立，即，得， 由的解集为全体实数， 等价于的解集为全体实数， 即的解集为全体实数， 整理得的解集为全体实数， 则，故. 故答案为：4 1．（2026·上海·高考真题）关于的不等式的解集为____________. 【答案】 【详解】由可得:， 解得:， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 2．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_________． 【答案】 【详解】原不等式转化为，解得， 则其解集为. 故答案为：. 3．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_____． 【答案】 【详解】由题意得不等式即， 即不等式的解集为， 故答案为： 4．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为______． 【答案】 【详解】方程的解为或， 故不等式的解集为， 故答案为：. 5．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.2 不等式的求解 A组 巩固过关 题型01一元一次不等式（组）的求解 题型02己知一元一次不等式（组）的解求参数 题型03解不含参数的一元二次不等式 题型04解简单的分式不等式 题型05解含一个绝对值不等式 题型06解含两个绝对值不等式 题型07解含参数的一元二次不等式 题型08由一元二次不等式的解确定参数 题型09一元二次方程的实根分布问题 题型10一元二次不等式的实际应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 题型0 1 )一元一次不等式（组）的求解 1．已知集合，，则（    ） A． B．或 C． D． 2．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．不等式的解集是（    ） A． B． C． D．无解 4．和的解是（　　） A． B． C． D．或 ( 题型0 2 )己知一元一次不等式（组）的解求参数 5．如果不等式的解集为，那么a的取值范围是________． 6．若有解，则a的取值范围为________． 7．已知关于的不等式组的解集是，求、的值． 8．已知不等式的解集为，求a的值. ( 题型0 3 )解不含参数的一元二次不等式 9．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 10．设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 11．不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D．． 12．使得式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． ( 题型0 4 )解简单的分式不等式 13．（全国通用））不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 14．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 15．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 16．命题“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． ( 题型0 5 )解含一个绝对值不等式 17．已知集合，，则=（    ） A． B． C． D． 18．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 19．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．设，不等式的解集为__________． ( 题型0 6 )解含两个绝对值不等式 21．使不等式中等号成立的x的取值范围是__________. 22．关于的不等式的解集为__________. 23．不等式的解集为_____. 24．若存在，使，则的范围为（    ） A． B． C． D． ( 题型0 7 )解含参数的一元二次不等式 25．若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26．若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______. 27．解下列关于的不等式： (1)； (2)． 28．解下列关于x的不等式： (1)； (2)； ( 题型0 8 )由一元二次不等式的解确定参数 29．关于的不等式的解集为，则的值为（   ） A． B． C． D． 30．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 31．已知不等式的解集为，则不等式的解集为________ 32．若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______． ( 题型0 8 )一元二次方程的实根分布问题 33．若关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．关于的方程的两个根均落在内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 35．已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 ____________ . 36．若关于x的方程有两个大于1的不等实根，则a的取值范围为______. ( 题型 10 )一元二次不等式的实际应用 37．汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（    ） A．甲、乙两车均超过规定限速 B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D．甲、乙两车均未超过规定限速 38．甲，乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数，当甲公司投入万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费用小于万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险；当乙公司投入万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险.设，，甲，乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少投入宣传费用，问甲公司应投入______万元宣传费. 39．为配制一种药液，进行了二次稀释．先在体积为10升的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出一部分溶液后用水补满，再搅拌均匀，第二次倒出相同数量的溶液后用水补满．若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的64%，则每次至少倒出_____升溶液． 40．某种杂志原以2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本. (1)当杂志提价后销售总收入是21万元时，求每本杂志的售价为多少元？ (2)如何定价才能使提价后的杂志销售总收入不低于20万元？ 1．若命题“关于的二次方程在上至多有一个解”是假命题，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为__________． 5．已知关于的方程 (1)若方程有实根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个正实根，求实数的取值范围. 6．已知关于的不等式的解集为． (1)若，，求； (2)甲、乙两人同时解该不等式，甲把一次项系数抄错了，解得，乙把常数项抄错了，解得，结合上述信息，求出该不等式正确的解集． 1．对于任意实数，不等式恒成立．若该不等式取等号，则实数的取值范围是_______． 2．已知，若不等式能成立，则实数的最小值是（   ） A．0 B．1 C．3 D．4 3．若关于的不等式：的解集为全体实数，则_____. 1．（2026·上海·高考真题）关于的不等式的解集为____________. 2．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_________． 3．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_____． 4．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为______． 5．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $