专题2.2 不等式的求解（重难点突破）-【课后辅导专用】2021年秋季高一数学上学期精品讲义（沪教版2020必修第一册）

专题2.2 不等式的求解 一、考情分析 二、考点梳理 1.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 1化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正. 2判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式. 3求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. 4画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. 5写解集.根据图象写出不等式的解集. 2. 在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑 (1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0. (2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2. 3．已知以a，b，c为参数的不等式如ax2＋bx＋c＞0的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循： 1根据解集来判断二次项系数的符号； 2根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式； 3约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解. 4.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． 5．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 6.（1）不等式的解集为R(或恒成立)的条件 不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0 a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0 a≠0 (2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法 设二次函数 y＝ax2＋bx＋c 若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔ymax≤k 若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔ymin≥k 三、题型突破 (一) 一元二次不等式的解法 1.一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2.三个“二次”的关系 设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 解不等式y＞0或y＜0的步骤 求方程y＝0的解 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 不等式解集 y＞0 {x|x＜x1_或x＞x2} R y＜0 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 例1．（1）、（2021·上海）不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是（ ） A．{a|a>4或a<－4} B．{a|－4<a<4} C．{a|a≥4或a≤－4} D．{a|－4≤a≤4} 【答案】A 【分析】 由已知可得只需不等式x2＋ax＋4<0有解，即，计算即可得解. 【详解】 不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4<0有解， 所以Δ＝a2－4×1×4>0，解得a>4或a<－4. 故选:A. （2）．. 【解析】原不等式可化为，因为恒成立， 所以原不等式无解，即原不等式的解集为. （3）．（2020·江苏省震泽中学高二月考）已知函数．则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】 根据解一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】 ， 故答案为： 【变式训练1-1】．（2020·江苏）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】 ， 故选：A. 【变式训练1-2】、（2020·上海市嘉定区中光高级中学）若不等式的解集是（2，3），则的解集为（ ） A． B．（2，3） C． D． 【答案】D 【分析】 由已知可得方程的两个根为2和3，从而可求出，则不等式可化为，进而可求出不等式的解集 【详解】 因为不等式的解集是（2，3）， 所以方程的两个根为2和3， 所以，得， 不等式可化为，即， 解得或， 所以不等式的解集为， 故选：D 【变式训练1-3】．（2020·上海南汇中学）是的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】 先求出两个不等式的解集，再利用集合的包含关系即可得解. 【详解】 解不等式得：或，则的解集是或， 解不等式得：，则的解集是， 显然BA，所以是的必要非充分条件. 故选：B (二) 含有参数的一元二次不等式的解法 1、一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根为，则。 例2．（1）（2020·江苏省震泽中学高二月考）已知不等式的解集