2.3 基本不等式及其应用（讲义）高一数学沪教版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“基本不等式及其应用”核心知识点，系统梳理重要不等式、基本不等式（均值不等式）及三角不等式的定理内容、等号条件，构建“定理理解—变形应用—综合解题”的学习支架，涵盖求最值、比较大小、证明不等式等题型，形成递进式知识脉络。 该资料通过“即学即练+变式巩固”分层设计，结合实际应用案例（如成本优化、面积最值）培养学生数学眼光，典例精析强化推理意识与运算能力，基础通关与素养提升练习助力课中教学增效，课后学生可自主查漏补缺，发展应用意识与创新思维。

第2章 等式与不等式 2.3 基本不等式及其应用 课标要点 1.熟记实数平方不等式、二元均值不等式、三角不等式的定理内容与等号成立条件。 2.掌握均值不等式三类常用变形，能区分各类变形适用的字母正负限制条件。 3.牢记 “一正二定三相等”，熟练运用和定积最大、积定和最小规律求解最值。 4.掌握三角不等式，规范验证不等式使用条件，处理综合题型。 学习重难点 重点： 1.掌握两个核心平均值不等式，分清实数型与正数型不等式的适用范围区别。 2.熟练运用均值不等式求最值，牢记积定求和最小、和定求积最大两条结论。 3.熟记三角不等式公式，准确区分不同形式对应的等号成立条件。 难点： 1.运用均值不等式求最值时，容易忽略一正、二定、三相等其中任意一个条件。 2.区分不同不等式变形的使用前提，易在字母异号时误用均值推导结论。 知识点一 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 特别提醒 “当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 即学即练 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 知识点二 基本不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 特别提醒 利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等”． 即学即练 2．，且x，y都是正数，则的最大值是_______． 3．已知，则的最小值为________． 知识点三 三角不等式 对任意实数，有；当且仅当（同号或其中一数为0）时，等号成立。 即学即练 4．若的最小值是___________． 题型01 对基本不等式的理解 典｜例｜精｜析 例1．已知，那么以下关于式子的分析判断正确的选项是（    ） （1）； （2）上式当且仅当即时，等号成立； （3）所以当时，取得最小值 A．以上全正确 B．（1）错 C．（2）错 D．（3）错 变｜式｜巩｜固 变式1-1．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 变式1-2．“，”是“”的(    ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 变式1-3．下列说法中正确的是（    ） A．成立的条件是 B．成立的条件是 C．成立的条件是 D．成立的条件是 题型02 由基本不等式比较大小 解题贴士 1.若，恒有，对任意实数有； 2.多个代数式比较大小时，可两两作差或借助均值不等式放缩，利用不等号传递性统一排序； 3.同一组正数，平方和形式放缩幅度更大，算术平均数大于等于几何平均数。 典｜例｜精｜析 例2．已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 变式2-1．已知，：，：，则是成立的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要 变式2-2．若，，且，则，，2ab，中最小的一个是（   ） A．2ab B． C． D． 变式2-3．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为v，则（    ） A． B． C． D． 题型03 由基本不等式证明不等式 典｜例｜精｜析 例3．（1）已知，，，求证：． （2）已知，，，且. 求证：. 变｜式｜巩｜固 变式3-1．已知均为正数且，求证： (1)； (2)． 变式3-2．已知、为正实数，且满足．证明：． 变式3-3．已知a，b为正实数. (1)若，求证：； (2)若，求证：. 题型04 利用基本不等式求积的最大值 解题贴士 1.有负数或0，强行使用“和定积最大”结论； 2.两数之和不是定值，不做变形配凑直接计算积的最大值； 3.求出的取值后，不检验是否符合题干变量范围，直接写最值。 典｜例｜精｜析 例4．已知，，点在一次函数的图象上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 变式4-1．已知，，且，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 变式4-2．若，则的最大值是__________. 变式4-3．已知正数满足，则的最大值为（    ） A．2 B．1 C．5 D．4 题型05 利用基本不等式求和的最小值 解题贴士 1.分式结构中忽略自变量取值范围，存在负数却直接套用公式； 2.积不是定值，不拆项、不配凑，直接套公式求最小值； 3.等号成立条件超出变量允许区间，取不到最小值仍直接作答。 典｜例｜精｜析 例5．已知则的最小值是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 变式5-1．若，则有（    ） A．最小值 B．最大值4 C．最小值 D．最小值4 变式5-2．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 变式5-3．设，则的最小值为__________． 题型06 有条件等式结合基本不等式求最值 解题贴士 1.已知一次等式、分式等式约束，优先使用乘1法，将所求式子与条件相乘，构造和、积定值； 2.乘1法无法配凑时，采用消元法，把二元问题转化为单变量函数，再用基本不等式； 3.求出等号对应的变量后，必须代入条件等式检验，保证满足题干约束。 典｜例｜精｜析 例6．已知，，则的最小值为__________． 变｜式｜巩｜固 变式6-1．已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 变式6-2．（多选）已知，且，则下列结论正确的有（    ） A．ab的最小值是 B．的最小值为8 C．的最小值为2 D．此方程有且仅有3组整数解 变式6-3．已知，，且，则的最小值为________. 题型07 三角不等式的应用 典｜例｜精｜析 例7．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________． 变｜式｜巩｜固 变式7-1．若，则不等式的等号成立的充要条件为（    ） A． B． C． D． 变式7-2．函数的最小值是______. 变式7-3．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是________. 题型08 基本不等式中的恒成立问题 典｜例｜精｜析 例8．若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 变式8-1．已知，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式8-2．已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 变式8-3．已知正实数，对任意的恒成立，且，则_____. 题型09 基本不等式的实际应用 典｜例｜精｜析 例9．“谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是___个∕时． 变｜式｜巩｜固 变式9-1．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 变式9-2．甲乙两地的高速公路全长166千米，汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时）．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分为，固定部分为220元． (1)若每小时的运输成本不高于420元，汽车的速度应该控制在什么范围？ (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本约为多少元？（结果保留整数） 变式9-3．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用.设房屋正面的长度为，房屋的总造价为元. (1)求关于的函数关系式； (2)当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 基础通关 一、填空题 1．若，则取等号的条件是________． 2．已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是_________ 3．若，且，则的最小值为__________. 4．若，则的最小值是__________. 5．，，且满足，若恒成立，则的取值范围为______ 6．若不等式恒成立，则a的取值范围是________. 二、单选题 7．已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 8．当取得最小值时，（   ） A． B．2 C．1 D．4 9．已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 三、解答题 10．（1）已知，求的最小值； （2）已知，，，求的最小值； 11． 已知正数，满足，求的最小值．判断下面的解法是否正确，若不正确，请给出正确的解法；若正确，则说明理由． 12．如图，为创设劳动教育基地，计划用篱笆围一个一边靠墙(墙足够长)的矩形育苗区域，设育苗区域的长为米，宽为米. (1)若育苗区域面积为18平方米，求所用篱笆总长的最小值及此时，的值； (2)若使用的篱笆总长为18米，求育苗区域面积的最大值及此时，的值． 素养提升 1．若，，都是正实数，则的最小值为____________． 2．若关于的不等式解集为，其中、，则的取值范围为________． 3．已知，且，则的最小值为___________． 4．已知关于的不等式的解集为，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 5．已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，将周长为12的矩形沿对角线将向折叠（），折叠后交于点，则面积的最大值为（   ） A． B．2 C． D． 迁移创新 1．已知x，y为正实数，且，若存在这样的x，y，使得不等式有解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示.由于空间限制，仓库的宽度固定为3m.已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/.整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完.设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）. (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库的储物量（即容积V）的最大值. 3．若正实数a，b满足，则的最小值是________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 等式与不等式 2.3 基本不等式及其应用 课标要点 1.熟记实数平方不等式、二元均值不等式、三角不等式的定理内容与等号成立条件。 2.掌握均值不等式三类常用变形，能区分各类变形适用的字母正负限制条件。 3.牢记 “一正二定三相等”，熟练运用和定积最大、积定和最小规律求解最值。 4.掌握三角不等式，规范验证不等式使用条件，处理综合题型。 学习重难点 重点： 1.掌握两个核心平均值不等式，分清实数型与正数型不等式的适用范围区别。 2.熟练运用均值不等式求最值，牢记积定求和最小、和定求积最大两条结论。 3.熟记三角不等式公式，准确区分不同形式对应的等号成立条件。 难点： 1.运用均值不等式求最值时，容易忽略一正、二定、三相等其中任意一个条件。 2.区分不同不等式变形的使用前提，易在字母异号时误用均值推导结论。 知识点一 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 特别提醒 “当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 即学即练 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于C，因为，所以，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于A ，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于D，由题干无法判断，故D错误. 故选：C. 知识点二 基本不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 特别提醒 利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等”． 即学即练 2．，且x，y都是正数，则的最大值是_______． 【答案】 【详解】由x，y都是正数， 则，即， 所以，当且仅当时，等号成立， 故的最大值是． 3．已知，则的最小值为________． 【答案】 【详解】因为，所以，当且仅当即时取等号. 知识点三 三角不等式 对任意实数，有；当且仅当（同号或其中一数为0）时，等号成立。 即学即练 4．若的最小值是___________． 【答案】4 【详解】，当且仅当成立， 即，故的最小值为4． 故答案为：4. 题型01 对基本不等式的理解 典｜例｜精｜析 例1．已知，那么以下关于式子的分析判断正确的选项是（    ） （1）； （2）上式当且仅当即时，等号成立； （3）所以当时，取得最小值 A．以上全正确 B．（1）错 C．（2）错 D．（3）错 【答案】D 【详解】根据条件，由基本不等式可知，（1）（2）均正确， 对于（3），由基本不等式知，求最小值，则需满足“一正二定三相等”的原则， 求和的最小值，需要乘积为定值，而不为定值，所以（3）错， 故选：D. 变｜式｜巩｜固 变式1-1．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题图可知，，. 在中，由勾股定理可得. ，. 变式1-2．“，”是“”的(    ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【详解】当，时，，即， 当时，不成立，故充分性不成立； 当时，，可以异号，故，不一定成立，故必要性不成立． 综上，知“，”是“”的既不充分又不必要条件． 故选：D． 变式1-3．下列说法中正确的是（    ） A．成立的条件是 B．成立的条件是 C．成立的条件是 D．成立的条件是 【答案】C 【详解】为重要不等式，其中，AB错； 是基本不等式，其中，C对，D错. 故选：C 题型02 由基本不等式比较大小 解题贴士 1.若，恒有，对任意实数有； 2.多个代数式比较大小时，可两两作差或借助均值不等式放缩，利用不等号传递性统一排序； 3.同一组正数，平方和形式放缩幅度更大，算术平均数大于等于几何平均数。 典｜例｜精｜析 例2．已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由重要不等式可得，当且仅当时等号成立，即， 但，则， 因为，则，即， 故，当且仅当时等号成立， 但，则， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 但，则， 故这四个数中，最大的为. 故选：A. 变｜式｜巩｜固 变式2-1．已知，：，：，则是成立的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要 【答案】B 【详解】由，得，则， 取，，，显然成立，而， 因此成立，不一定成立，所以是成立的必要不充分条件. 故选：B 变式2-2．若，，且，则，，2ab，中最小的一个是（   ） A．2ab B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，且，，， ，由条件可知，，则， 所以，即，所以四个数中最小的是. 故选：A 变式2-3．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为v，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设甲乙两地相距s，则平均速度故A错误，B错误； 又∵，∴， 根据基本不等式及其取等号的条件可得：， ∴，即， 故C正确，D错误． 故选：C． 题型03 由基本不等式证明不等式 典｜例｜精｜析 例3．（1）已知，，，求证：． （2）已知，，，且. 求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】 【详解】（1）因为，，， 所以，，， 所以， 即，故， 当且仅当，即时，等号成立． （2）由，两边平方得， 故， 所以 其中， 即，解得. 当且仅当时，等号成立. 变｜式｜巩｜固 变式3-1．已知均为正数且，求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 由，得 ， 当且仅当时取等号，所以. (2) 由均为正数且，得，当且仅当时取等号； ，当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号， 因此，当且仅当时取等号， 所以. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 变式3-2．已知、为正实数，且满足．证明：． 【答案】 因为、为正实数，且满足， 所以， 当且仅当时取等号， 所以 ， 当且仅当时取等号， 所以原不等式成立． 【详解】略 变式3-3．已知a，b为正实数. (1)若，求证：； (2)若，求证：. 【答案】(1) 因为a，b是正实数，则， 当且仅当时，等号成立， 故. (2) ， 当且仅当时，即，时，取等号. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 题型04 利用基本不等式求积的最大值 解题贴士 1.有负数或0，强行使用“和定积最大”结论； 2.两数之和不是定值，不做变形配凑直接计算积的最大值； 3.求出的取值后，不检验是否符合题干变量范围，直接写最值。 典｜例｜精｜析 例4．已知，，点在一次函数的图象上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵点在一次函数的图象上， ∴，即， ∵，∴根据基本不等式有， ∴，当且仅当时取“”， ∴的最大值为. 故选：C 变｜式｜巩｜固 变式4-1．已知，，且，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【详解】因为，， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立. 所以，所以. 所以当时，取最大值， 故选：B. 变式4-2．若，则的最大值是__________. 【答案】3 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值是3. 故答案为：3. 变式4-3．已知正数满足，则的最大值为（    ） A．2 B．1 C．5 D．4 【答案】A 【详解】根据题意可得，即，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为2， 故选A. 题型05 利用基本不等式求和的最小值 解题贴士 1.分式结构中忽略自变量取值范围，存在负数却直接套用公式； 2.积不是定值，不拆项、不配凑，直接套公式求最小值； 3.等号成立条件超出变量允许区间，取不到最小值仍直接作答。 典｜例｜精｜析 例5．已知则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以，当且仅当时取得等号， 所以的最小值是. 变｜式｜巩｜固 变式5-1．若，则有（    ） A．最小值 B．最大值4 C．最小值 D．最小值4 【答案】D 【详解】由题意得， 因为，所以，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时取等，此时解得， 则有最小值4，故D正确. 变式5-2．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【详解】已知为正实数，且，则， 因此, 当且仅当即时取等号， 故的最小值为9. 变式5-3．设，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】由， 得， 当且仅当，即时取等号． 题型06 有条件等式结合基本不等式求最值 解题贴士 1.已知一次等式、分式等式约束，优先使用乘1法，将所求式子与条件相乘，构造和、积定值； 2.乘1法无法配凑时，采用消元法，把二元问题转化为单变量函数，再用基本不等式； 3.求出等号对应的变量后，必须代入条件等式检验，保证满足题干约束。 典｜例｜精｜析 例6．已知，，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 变｜式｜巩｜固 变式6-1．已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】已知正实数满足，所以（，因为） 将代入目标表达式，得：， 化简：， 利用基本不等式可得：， 当且仅当，即，，（符合为正实数）. 所以，的最小值为： 故选：D 变式6-2．（多选）已知，且，则下列结论正确的有（    ） A．ab的最小值是 B．的最小值为8 C．的最小值为2 D．此方程有且仅有3组整数解 【答案】BCD 【详解】由，得，又， 所以，即，由得，由,故. 对于A由，令，得，解得， 即，当且仅当时，取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确， 对于C，， 当且仅当时，取等号，故C正确； 对于D，由，,，故当时，；当时，；当时，，不满足整数解； 当时，；当时，，故不满足整数解； 综上，此方程有且仅有3组整数解，分别为，；，；，.故D正确. 故选：BCD 变式6-3．已知，，且，则的最小值为________. 【答案】 【详解】因为，，且， 所以，则， 整理得， 又，，所以， 所以. 因此， 当且仅当，即时取等号. 此时，满足题意. 故答案为： 题型07 三角不等式的应用 典｜例｜精｜析 例7．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【详解】由; 结合绝对值三角不等式得到； 因为对任意的，不等式恒成立； 所以，解得， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 变｜式｜巩｜固 变式7-1．若，则不等式的等号成立的充要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 即， ， ， 故不等式的等号成立的充要条件为. 变式7-2．函数的最小值是______. 【答案】 【详解】因为（当即时取等号）. 故答案为：2 变式7-3．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【详解】因为，当且仅当， 即时取等号， 所以， 又对任意，不等式恒成立，所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 题型08 基本不等式中的恒成立问题 典｜例｜精｜析 例8．若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】正实数、满足， ， 当且仅当时，即，即时，等号成立， 的最小值为 ， 恒成立，， ，，，实数的取值范围是. 故选：C. 变｜式｜巩｜固 变式8-1．已知，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且， 则， 当且仅当，即时等号成立， 因为恒成立，可得，解得， 所以实数m的取值范围是. 故选：D． 变式8-2．已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 【答案】A 【详解】因为不等式恒成立，，， 所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5. 变式8-3．已知正实数，对任意的恒成立，且，则_____. 【答案】 【详解】由题设，则，故， 由， 又，则， 令，，则， 故，当且仅当时取等号， 所以，又，故，此时， 所以，，故是的两个根， 又，则， 所以，满足前提. 故答案为： 题型09 基本不等式的实际应用 典｜例｜精｜析 例9．“谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是___个∕时． 【答案】60 【详解】生产速度为x（个∕时）（），生产时间为小时， 则全程生产成本， ，当时，即等号成立， 综上，当该公司全程生产成本最低时，生产速度为60个/时． 故答案为：60． 变｜式｜巩｜固 变式9-1．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 【答案】(1)为，为时，所用篱笆总长最小，最小值为 (2)当时有最小值，最小值是 【分析】 【详解】（1）由题意得，所用篱笆总长为. 因为， 当且仅当时，即，时等号成立， 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为； （2）由题意得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，有最小值，最小值是. 答（1）菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为， （2）当时，有最小值，最小值是. 变式9-2．甲乙两地的高速公路全长166千米，汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时）．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分为，固定部分为220元． (1)若每小时的运输成本不高于420元，汽车的速度应该控制在什么范围？ (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本约为多少元？（结果保留整数） 【答案】(1)（千米/时）； (2)当时，最小运输成本为696元． 【分析】 【详解】（1）由题意得汽车每小时的运输成本为（元）， 每小时的运输成本不高于420元，所以，解得， 可得，即（千米/时）， 所以，此时汽车的速度应该控制在（千米/时）； （2）因为汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时）， 所以汽车的行驶时间为（小时）， 所以全程运输成本，， 由基本不等式可得，当且仅当时，即时取等号， 即当速度为（千米/时），最小运输成本为696元． 变式9-3．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用.设房屋正面的长度为，房屋的总造价为元. (1)求关于的函数关系式； (2)当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【答案】(1)（）. (2)当时，总造价最低，最低总造价为63400元. 【分析】 【详解】（1）由地面面积为，得房屋侧面的宽度为， 所以房屋正面的造价为， 房屋侧面的造价为， 所以房屋的总造价为. （2）由（1）知， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，总造价最低，最低总造价为63400元. 基础通关 一、填空题 1．若，则取等号的条件是________． 【答案】 【详解】，当且仅当，即时取等号． 故答案为：. 2．已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是_________ 【答案】 【详解】因为正实数，满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以； 故答案为： 3．若，且，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】设（），由基本不等式得. 由，得，因此. 整理得，因式分解为. 因，故，即. 验证等号成立条件：当时，代入， 得，解得（舍去），此时，. 故答案为： 4．若，则的最小值是__________. 【答案】 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值是. 故答案为：. 5．，，且满足，若恒成立，则的取值范围为______ 【答案】 【详解】， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 又恒成立，所以， 即，解得， 所以k的取值范围为. 故答案为： 6．若不等式恒成立，则a的取值范围是________. 【答案】 【详解】因不等式恒成立， 则当时，因 ； 当时，，所以； 当时， 综上，函数的最小值为2，故，即a的取值范围是. 故答案为： 二、单选题 7．已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】D 【详解】 已知，因此，将原式变形为： ， 根据基本不等式：对任意正实数，有，当且仅当时等号成立； 令，，二者均为正实数，代入得： 因此， 当且仅当时等号成立，解得（不满足，舍去）， 符合取值要求， 故的最小值为6. 8．当取得最小值时，（   ） A． B．2 C．1 D．4 【答案】A 【详解】，当且仅当，即时，等号成立， 则当取得最小值时，． 故选：A. 9．已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于，则. 故选：C. 三、解答题 10．（1）已知，求的最小值； （2）已知，，，求的最小值； 【答案】（1）；（2）16 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. （2）因为，，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为． 11．（3.2基本不等式（第1课时）课堂例题）已知正数，满足，求的最小值．判断下面的解法是否正确，若不正确，请给出正确的解法；若正确，则说明理由． ∵，，，则， ∴， ∴的最小值为． 【答案】 错误，在解答过程中使用了两次均值不等式，使用基本不等式时忽略了取等号的条件， 第一次等号成立的条件为，第二次等号成立的条件为，两次等号成立的条件不一致． 正确解法如下： ． ∵，，∴， ∴．当且仅当取等号， 此时联立，可得当，时，的最小值为． 【详解】略 12．如图，为创设劳动教育基地，计划用篱笆围一个一边靠墙(墙足够长)的矩形育苗区域，设育苗区域的长为米，宽为米. (1)若育苗区域面积为18平方米，求所用篱笆总长的最小值及此时，的值； (2)若使用的篱笆总长为18米，求育苗区域面积的最大值及此时，的值． 【答案】(1)，时所用篱笆总长最小，最小值为 (2)，时所得育苗区域面积最大，最大值为 【分析】 【详解】（1）由题意知篱笆总长为，因为，所以， 当时取等号，解得，， 即，时所用篱笆总长最小，最小值为米. （2）由题意知，育苗区域面积为，， 当时取等号，解得，， 即，时所得育苗区域面积最大，最大值为平方米. 素养提升 1．若，，都是正实数，则的最小值为____________． 【答案】2 【详解】因为，所以， 当且仅当时取等号， 即的最小值是. 2．若关于的不等式解集为，其中、，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】因为关于的不等式解集为，即不等式解集为， 所以，所以， 故，令， 则， 令，其中， 由对勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，故， 因此的取值范围是. 3．已知，且，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】，，，，， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 的最小值. 故答案为：. 4．已知关于的不等式的解集为，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以是方程的两根，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 5．已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】方法一： 因为，所以 ， 因为a，b为正数，所以，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，故的最小值为； 方法二 因为，所以 ， 因为a，b为正数，所以，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，故的最小值为. 方法三： 因为，所以由柯西不等式得， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为. 6．如图，将周长为12的矩形沿对角线将向折叠（），折叠后交于点，则面积的最大值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】由题可设，所以. 由题意可知， 所以， 则，所以， 又， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：A 迁移创新 1．已知x，y为正实数，且，若存在这样的x，y，使得不等式有解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得. 因为x，y为正实数，所以，所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 所以. 所以. 若存在上述x，y，使得不等式有解，则，即， 解得或. 所以实数m的取值范围是. 故选：D. 2．利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示.由于空间限制，仓库的宽度固定为3m.已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/.整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完.设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）. (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库的储物量（即容积V）的最大值. 【答案】(1)，其中， (2) 【分析】 【详解】（1）由题设， 化简得，且； （2）法一：由，得， 因为（当且仅当时取等号）， 所以，故，解得， 故（当且仅当时取等号）， 所以仓库容积的最大值为，此时. 法二：由，则， 故， 因为（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）， 故仓库容积的最大值为，此时． 3．若正实数a，b满足，则的最小值是________． 【答案】/0.25 【详解】由题意得， 令，，则，，， ， 当且仅当，即，时等号成立. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $