微专题 基本不等式及其应用 教材解读与拓展讲义-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

本讲义聚焦高中数学基本不等式及其应用核心知识点，系统梳理平均值不等式（算术与几何平均值关系）、三角不等式的定理及前提差异，明确解题三要素“一正、二定、三相等”，衔接不等式基础并为后续函数、数列最值题型提供解题工具。 资料通过概念辨析、10类题型分类（如比较大小、证明、配凑换元求最值等）及详细解析，结合几何与代数双重解释，培养学生抽象能力（数学眼光）、推理意识（数学思维）与应用意识（数学语言）。课中辅助教师逻辑推导教学，课后助力学生通过例题强化代数式变形，查漏补缺。

【原卷版】 微专题 对基本不等式及其应用的解读 注意：在【沪教版】必修一《第2章 等式与不等式》2.3基本不等式及其应用中，有一段说明“在不等式的应用中，有一些很基本而十分重要的不等式，如平均值不等式和三角不等式等，我们将其统称为基本不等式；”核心公式（平均值不等式）为，等号仅在时成立，区分全体实数适用的定理：，厘清二者前提差异。 本节学习过程中，首要牢记解题三要素：一正、二定、三相等，正数为基础，和或乘积为定值是求最值前提，还要检验等号可取；衍生出和定积最大、积定和最小两条最值规律，可通过配凑、换元构造定值求解代数式最值； 学习重在逻辑推导、代数式变形，易错点是忽略负数情况、多次用不等式时等号条件冲突。该章节承接不等式基础，也是后续函数、数列最值题型的重要解题工具，锻炼逻辑推理和数学建模素养。 1、算术平均值与几何平均值 给定两个正数、，数称为、，的算术平均值；数称为、的几何平均值； 2、平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数、有，且等号当且仅当时成立； 定理：对于任意的实数、，有，且等号当且仅当时成立； 【说明】（1）两个不等式与成立的条件是不同的；前者要求、，是实数即可，而后者要求、都是正实数（实际上后者只要、即可【P46上的注解】）； （2）两个不等式和都是带有等号的不等式，都是“当且仅当时，等号成立”； （3）几个重要的不等式的变形： ①(、)．；②(、同号)；③(、)； 3、平均值不等式与最值 已知、，则 （1）若（和为定值），则当时，积取得最大值；（简记：积定和最小） （2）若（积为定值），则当时，和取得最小值；（简记：和定积最大） 即：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。 【说明】利用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即： ①一正：符合均值不等式成立的前提条件，、； ②二定：化不等式的一边为定值； ③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立； 以上三点缺一不可。 4、重要不等式链 （1）若，则a≥； （2）设、，则有（当且仅当时取等号）； 其中为调和平均值，为几何平均值，为算术平均值，为平方平均值； 5、定理（三角不等式） 如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 题型1、平均值不等式的内容及辨析 例1、算术平均值与几何平均值 （1）给定两个正数，数称为的________________，数称为正数的________________． （2）平均值不等式实质为两个正实数的算术平均值 它们的几何平均值． 【答案】 【说明】 例2、基本不等式：（1）定理：如果，，那么_________（当且仅当时取“”）； （2）平均值不等式：.①基本不等式成立的条件：_________；②等号成立的条件：当且仅当_________时取等号； 题型2、利用基本不等式比较大小 例3、已知，，则，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 例4、《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（   ）    A． B． C． D． 题型3、利用基本不等式证明不等关系 例5、（1）已知，，证明：； （2）已知，，且，求的最小值. 例6、对任意实数，.求证： 题型4、利用平均值不等式与定理求最大值 例7、若，则的最大值为________． 例8、求下列各式的最值 （1）已知，求的最大值； （2）已知，且，求的最大值； （3）当时，求的最大值； 题型5、利用平均值不等式与定理求最小值 例9、设，则的最小值为__________． 例10、（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值； 题型6、利用均值不等式借助拼凑法、换元法等求最值 例11、（1）已知，则的最小值为______. （2）若，则函数的最大值是______. （3）若，且，则的最小值为________． 例12、已知，为正实数，且， （1）求的最大值. （2）求的最小值； （3）求的最小值. 题型7、基本不等式的恒成立问题 例13、已知，且，则下列不等式中，恒成立的序号是______. ①；②；③；④. 例14、已知，，且． （1）求的最大值； （2）若恒成立，求的取值范围； 题型8、定理（三角不等式）的推导与拓展 例15、定理 对任意的实数、；有，且等号当且仅当时成立； 例16、拓展1：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 拓展2：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 题型9、利用定理（三角不等式）的证明 例17、设、为实数；求证：。 例18、已知a，b，c为正实数，且满足.证明：； 题型10、定理（三角不等式）的应用 例19、设，求方程的解集． 例20、若关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围． 1、基本不等式 （1）基本不等式成立的条件：、； （2）等号成立的条件：当且仅当时取等号． （3）基本不等式的代数解释：因为，令，，代入展开可得； （4）基本不等式的几何解释：如图，AB是圆的直径，C是AB上一点，AC＝a，BC＝b， 过点C作垂直于AB的弦DE，连结AD，BD. 由射影定理或三角形相似可得CD＝，由CD小于或等于圆的半径， 可得不等式 当且仅当点C与圆心重合，即当时，等号成立． 2、基本不等式及有关结论 （1）基本不等式：如果a>0，b>0，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立，即正数a与b的算术平均数不小于它们的几何平均数． （2）重要不等式：a∈R，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． （3）几个常用的重要结论：① ＋≥2(a与b同号，当且仅当a＝b时取等号)； ② a＋≥2(a>0，当且仅当a＝1时取等号)，a＋≤－2(a<0，当且仅当a＝－1时取等号)； ③ ab≤(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)； ④ ≤≤≤(a，b>0，当且仅当a＝b时取等号)． 调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数 3、平均值不等式与最值 已知x、y都是正数， （1）若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值. （2）若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2. 上述命题可归纳为口诀：和定积最大，积定和最小． 4、平均值不等式的其他形式与拓展 （1）四个重要不等式： ①a2＋b2≥2ab；(a，b∈R)；②ab≤；(a，b∈R)； ③a＋b≥2；(a≥0，b≥0)；④ab≤.(a，b∈R) 【注意】1、①②④三种形式的前提条件是a、b为实数，③形式的前提条件是a、b为非负数；2、四种形式等号成立的条件都是a＝b. （2）平方平均数 ，算术平均数，几何平均数，调和平均数 的大小顺序为 ≥≥≥. 【注意】这里a、b都为正实数，当且仅当a＝b时， ＝＝＝. 5、定理（三角不等式）： 如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 （1）如果是实数，则 【注意】当为复数或向量时结论也成立； 推论1： 推论2：如果是实数,那么,当且仅当时,等号成立. 【注意】绝对值不等式|a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是一个缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值．绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件； ①对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时；②该定理可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式。 1．若，则（     ） A．有最小值，且最小值为 B．有最大值，且最大值为2 C．有最小值，且最小值为 D．有最大值，且最大值为 2．设，为正实数，且，则有（     ） A．最小值9 B．最大值9 C．最小值10 D．最大值10 3．已知，则下列结论恒成立的是（     ） A． B． C． D． 4．取等号的条件是（ ） A． B． C． D． 5．已知，则的最小值为______. 6．若，则函数的最大值是______. 7．若，且，则的最小值为________． 8．三角不等式中，等号当且仅当________成立． 9．已知写出不等式等号成立的所有条件_________ 10．下列命题正确的序号是 ①若,则的最小值为 ②已知,且,则的最小值为 ③已知,且,则的最小值为 ④若,则的最小值为 11、已知，． （1）若，求证：； （2）若，求的最小值； （3）若恒成立，求x的取值范围． 12、（1）已知，，为实数，求证：，并说明等号成立的条件； （2）设，求方程的解集. 【解析版】 微专题 对基本不等式及其应用的解读 注意：在【沪教版】必修一《第2章 等式与不等式》2.3基本不等式及其应用中，有一段说明“在不等式的应用中，有一些很基本而十分重要的不等式，如平均值不等式和三角不等式等，我们将其统称为基本不等式；”核心公式为，等号仅在时成立，区分全体实数适用的，厘清二者前提差异。 本节学习过程中，首要牢记解题三要素：一正、二定、三相等，正数为基础，和或乘积为定值是求最值前提，还要检验等号可取；衍生出和定积最大、积定和最小两条最值规律，可通过配凑、换元构造定值求解代数式最值； 学习重在逻辑推导、代数式变形，易错点是忽略负数情况、多次用不等式时等号条件冲突。该章节承接不等式基础，也是后续函数、数列最值题型的重要解题工具，锻炼逻辑推理和数学建模素养。 1、算术平均值与几何平均值 给定两个正数、，数称为、，的算术平均值；数称为、的几何平均值； 2、平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数、有，且等号当且仅当时成立； 定理：对于任意的实数、，有，且等号当且仅当时成立； 【说明】（1）两个不等式与成立的条件是不同的；前者要求、，是实数即可，而后者要求、都是正实数（实际上后者只要、即可【P46上的注解】）； （2）两个不等式和都是带有等号的不等式，都是“当且仅当时，等号成立”； （3）几个重要的不等式的变形： ①(、)．；②(、同号)；③(、)； 3、平均值不等式与最值 已知、，则 （1）若（和为定值），则当时，积取得最大值；（简记：积定和最小） （2）若（积为定值），则当时，和取得最小值；（简记：和定积最大） 即：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。 【说明】利用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即： ①一正：符合均值不等式成立的前提条件，、； ②二定：化不等式的一边为定值； ③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立； 以上三点缺一不可。 4、重要不等式链 （1）若，则a≥； （2）设、，则有（当且仅当时取等号）； 其中为调和平均值，为几何平均值，为算术平均值，为平方平均值； 5、定理（三角不等式） 如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 题型1、平均值不等式的内容及辨析 例1、算术平均值与几何平均值 （1）给定两个正数，数称为的________________，数称为正数的________________． （2）平均值不等式实质为两个正实数的算术平均值 它们的几何平均值． 【答案】算术平均值；几何平均值；不小于； 【说明】本题考查了对平均值不等式的内容及辨析； 例2、基本不等式：（1）定理：如果，，那么_________（当且仅当时取“”）； （2）平均值不等式：.①基本不等式成立的条件：_________；②等号成立的条件：当且仅当_________时取等号； 【答案】； 均为正实数；； 【说明】本题考查了基本不等式中“平均值不等式”与“定理”的内容及辨析； 题型2、利用基本不等式比较大小 例3、已知，，则，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【提示】根据给定条件，利用基本不等式及不等式的性质比较大小即可； 【答案】A； 【解析】由，得，则， 当且仅当时取等号，而当时，， 所以，之间的大小关系是； 故选：A 【说明】本题考查了利用平均值不等式求和的最小值、由不等式的性质比较数（式）大小； 例4、《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C； 【解析】由题图可知，，. 在中，由勾股定理可得. 因为，，所以，； 【说明】本题考查了利用平均值不等式的内容及辨析、由基本不等式证明不等关系； 题型3、利用基本不等式证明不等关系 例5、（1）已知，，证明：； （2）已知，，且，求的最小值. 【提示】（1）结合平均值不等式证明即可； （2）根据平均值不等式及求解即可； 【答案】（1）见解析；（2）； 【解析】（1）（1）证明：因为，，所以，当且仅当时，等号成立. 从而，当且仅当时，等号成立； （2）因为，，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 【说明】本题考查了由平均值不等式证明不等关系、条件等式求最值；平均值不等式“1”的妙用求最值； 例6、对任意实数，.求证： 【提示】利用换元法及基本不等式证明即可； 【证明】因为，，所以，， 令，， 则 当且仅当，即时等号成立； 所以，当且仅当时，等号成立； 【说明】本题考查了利用平均值不等式证明不等式、由平均值不等式证明不等关系； 题型4、利用平均值不等式与定理求最大值 例7、若，则的最大值为________． 【提示】根据题意，利用基本不等式，即可求解； 【答案】； 【解析】因为，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为； 【说明】本题考查了利用平均值不等式求积的最大值； 例8、求下列各式的最值 （1）已知，求的最大值； （2）已知，且，求的最大值； （3）当时，求的最大值； 【提示】（1）（2）根据题意结合不等式求最值，注意对齐形式； （3）根据题意结合基本不等式求最值，注意符号的处理； 【解析】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为； （2）因为，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为； （3）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 则，所以的最大值为； 【说明】本题考查了利用平均值不等式与定理及其变式，求积的最大值、求和的最小值、条件等式求最值； 题型5、利用平均值不等式与定理求最小值 例9、设，则的最小值为__________． 【提示】通过代收变形，然后根据平均值不等式求最小值； 【答案】； 【解析】由， 得， 当且仅当，即时取等号； 【说明】本题考查平均值不等式的应用、基本不等式求和的最小值； 例10、（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值； 【答案】（1）14；（2）（i）（ii）4； 【详解】（1）由，所以，所以 当且仅当 即时，函数取到最小值14. （2）（i）因为正数x，y，由基本不等式得， 解得（当且仅当时取等号）， 所以的最大值； （ii） 当且仅当时，即取等号， 故的最小值为4； Comment by ligan xie: 【说明】本题综合考查了利用平均值不等式求积的最大值与求和的最小值； 题型6、利用均值不等式借助拼凑法、换元法等求最值 例11、（1）已知，则的最小值为______. （2）若，则函数的最大值是______. （3）若，且，则的最小值为________． 【提示】（1）由可得，将变形成，利用基本不等式即可求出其最小值为； （2）因为，所以，由基本不等式可知，即可求得结果； （3）利用基本不等式中“1”的妙用，可得，即可得的最小值为9； 【答案】6 ；；9； 【解析】（1）因为，所以， 所以； 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为6. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即当时，的最大值为； （3）因为，且, 所以， 当且仅当，即时取等号；所以的最小值为. 故答案为：①6；②；③9. 【说明】本题综合考查了利用平均值不等式求和的最小值、求积的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值； 例12、已知，为正实数，且， （1）求的最大值. （2）求的最小值； （3）求的最小值. 【提示】（1）根据基本不等式，结合因式分解法进行求解即可； （2）对已知等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可； （3）利用换元法，结合基本不等式进行求解即可； 【答案】（1）；（2）；（3）； 【解析】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值； 【说明】本题综合考查了利用平均值不等式与定理求积的最大值、求和的最小值、条件等式求最值； 题型7、基本不等式的恒成立问题 例13、已知，且，则下列不等式中，恒成立的序号是______. ①；②；③；④. 【提示】由重要不等式可得，当时，等号成立，所以①错误；显然若时，②和③均错误；利用基本不等式可知④正确； 【答案】④； 【解析】易知因为对于恒成立，当且仅当时，等号成立，所以①错误； 对于②，③，显然时，不等式均不成立，即②和③错误； 对于④，因为，所以，由基本不等式可得，当且仅当a=b成立即④正确； 故答案为：④； 【说明】本题考查了平均值不等式与定理的应用、由平均值不等式及其变形比较大小； 例14、已知，，且． （1）求的最大值； （2）若恒成立，求的取值范围； 【提示】（1）直接用基本不等式证明； （2）根据基本不等式“1”的妙用，求出的最小值，即为的最大值； 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1）已知，， 根据基本不等式，，即 当且仅当，即，时取等号， 因此最大值为. （2）由，得， 由基本不等式可得， 当且仅当，即，时取等号. 所以的最小值为. 故的取值范围为； 【说明】本题综合考查了平均值不等式求积的最大值、平均值不等式“1”的妙用求最值； 题型8、定理（三角不等式）的推导与拓展 例15、定理 对任意的实数、；有，且等号当且仅当时成立； 【提示】注意：遵守不等式性质； 【证明】（方法1：分析法）为证明，只需证明， 即，也就是，所以，等号当且仅当时成立； （方法2） 由①与②两式相加就有③， 将（）看作一个整体时，上面的③式逆用，即可证明； 例16、拓展1：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 方法1：分|或或三种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即，等号成立的条件； 方法2：将取成代入定理。 拓展2：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 方法1：分|或或三种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即； 方法2：将取成代入定理。 题型9、利用定理（三角不等式）的证明 例17、设、为实数；求证：。 【证明】取、分别为：、代入“定理 对任意的实数、；有，且等号当且仅当时成立；”，应用定理变形即可； 【说明】两数和与差的绝对值不等式的性质:（1）对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时；（2）该定理可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式。 例18、已知a，b，c为正实数，且满足.证明：； 【提示】利用绝对三角不等式即可证明结论； 【证明】因为，当且仅当时取等号， 又因为，所以； 【说明】本题主要考查了三角不等式的灵活运用； 题型10、定理（三角不等式）的应用 例19、设，求方程的解集． 【提示】根据绝对值的性质与三角不等式的结构特点求解即可； 【答案】； 【解析】因为，当且仅当时，等号成立， 即当或时，等号成立，所以原方程的解集为； 【说明】本题主要考查对三角不等式的理解与应用； 例20、若关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围． 【提示】首先根据三角不等式求的最小值，再由题意转化为，再解不等式，即可求解； 【答案】； 【解析】因为，， 当且仅当，即时，等号成立． 所以，的最小值为4． 又因为，关于的不等式的解集不是空集， 所以，， 可得或，解得或． 即实数的取值范围为； 【说明】本题综合考查了三角不等式、求三角不等式中参数值或范围 1、基本不等式 （1）基本不等式成立的条件：、； （2）等号成立的条件：当且仅当时取等号． （3）基本不等式的代数解释：因为，令，，代入展开可得； （4）基本不等式的几何解释：如图，AB是圆的直径，C是AB上一点，AC＝a，BC＝b， 过点C作垂直于AB的弦DE，连结AD，BD. 由射影定理或三角形相似可得CD＝，由CD小于或等于圆的半径， 可得不等式 当且仅当点C与圆心重合，即当时，等号成立． 2、基本不等式及有关结论 （1）基本不等式：如果a>0，b>0，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立，即正数a与b的算术平均数不小于它们的几何平均数． （2）重要不等式：a∈R，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． （3）几个常用的重要结论：① ＋≥2(a与b同号，当且仅当a＝b时取等号)； ② a＋≥2(a>0，当且仅当a＝1时取等号)，a＋≤－2(a<0，当且仅当a＝－1时取等号)； ③ ab≤(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)； ④ ≤≤≤(a，b>0，当且仅当a＝b时取等号)． 调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数 3、平均值不等式与最值 已知x、y都是正数， （1）若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值. （2）若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2. 上述命题可归纳为口诀：和定积最大，积定和最小． 4、平均值不等式的其他形式与拓展 （1）四个重要不等式： ①a2＋b2≥2ab；(a，b∈R)；②ab≤；(a，b∈R)； ③a＋b≥2；(a≥0，b≥0)；④ab≤.(a，b∈R) 【注意】1、①②④三种形式的前提条件是a、b为实数，③形式的前提条件是a、b为非负数；2、四种形式等号成立的条件都是a＝b. （2）平方平均数 ，算术平均数，几何平均数，调和平均数 的大小顺序为 ≥≥≥. 【注意】这里a、b都为正实数，当且仅当a＝b时， ＝＝＝. 5、定理（三角不等式）： 如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 （1）如果是实数，则 【注意】当为复数或向量时结论也成立； 推论1： 推论2：如果是实数,那么,当且仅当时,等号成立. 【注意】绝对值不等式|a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是一个缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值．绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件； ①对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时；②该定理可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式。 1．若，则（     ） A．有最小值，且最小值为 B．有最大值，且最大值为2 C．有最小值，且最小值为 D．有最大值，且最大值为 【答案】D； 【解析】,当且仅当取“=” 所以；故选：D； 2．设，为正实数，且，则有（     ） A．最小值9 B．最大值9 C．最小值10 D．最大值10 【答案】A； 【解析】因为，，， 所以，， 当且仅当即，时等号成立， 则有最小值9， 故选：A． 3．已知，则下列结论恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D； 【解析】A：，取不等式不成立，故A错； B: ，取不等式不成立，故B错； C: ，取不等式不成立，故C错； D：，故D对； 故选：D 4．取等号的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】C； 【解析】， 当且仅当，即时取等号. 故选：C. 5．已知，则的最小值为______. 【答案】6； 【解析】因为，所以， 所以； 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为6. 6．若，则函数的最大值是______. 【答案】； 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当，即当时，的最大值为； 7．若，且，则的最小值为________． 【答案】9； 【解析】因为，且, 所以， 当且仅当，即时取等号；所以的最小值为； 8．三角不等式中，等号当且仅当________成立． 【答案】； 【解析】当时，，当时，，故当且仅当时，等号成立 故答案为：； 9．已知写出不等式等号成立的所有条件_________ 【答案】或 【解析】因为， 所以要证的等号成立条件 ， 只需证的等号成立条件 ， 即的等号成立条件 ， 当时，， 当时，， 所以当且仅当，即或时，取等号， 故答案为：或； 10．下列命题正确的序号是 ①若,则的最小值为 ②已知,且,则的最小值为 ③已知,且,则的最小值为 ④若,则的最小值为 【答案】①②④； 【解析】对于①：,当且仅当时，即时等号成立.故①正确； 对于②：，所以. 所以,当且仅当时,即时等号成立.故②正确； 对于③：令,则, ,当且仅当时，即时，等号成立，故③错误； 对于④：,当且仅当时取等号，故④正确； 故选：①②④； 11、已知，． （1）若，求证：； （2）若，求的最小值； （3）若恒成立，求x的取值范围． 【提示】（1）根据等式条件，对代数式进行换元，再根据基本不等式中的配凑法，证明不等式成立即可； （2）根据参数的范围，构造等式，再根据基本不等式中“1”的运用，求出最小值即可； （3）根据参数的范围，解出关于x的不等式，根据基本不等式，求出代数式的最小值，求出结果； 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）； 【解析】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以． （2）因为，所以，则， 则 ， 当且仅当，即时取得等号， 故的最小值为． （3）因为，，所以， 则可化为恒成立， 又，当且仅当时取得等号， 所以，则. 故的取值范围为． 12、（1）已知，，为实数，求证：，并说明等号成立的条件； （2）设，求方程的解集. 【提示】（1）将证明转化为，再用分析法进行证明； （2）利用（1）中等号成立的条件确定方程的解集； 【答案】（1）答案见解析；（2）； 【解析】（1）令，， 则， 要证， 即证 要证成立， 只需证， 即证， 即证， 显然成立， 且当且仅当，即时取等号； 所以成立，当且仅当时取等号； 则成立，当且仅当时取等号. （2）可化为： ， 由（1）得， 且当且仅当取等号， 所以当且仅当时， 成立， 解得：或， 即的解集为：. 第2页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 $