2.2 不等式的求解（讲义）高一数学沪教版必修第一册

本讲义聚焦不等式求解核心知识点，系统梳理一元二次、分式、绝对值不等式的定义识别、解法（因式分解、穿根、零点分段等）及二次函数、方程、不等式的关系，构建从基础定义到综合应用的学习支架。 资料以“即学即练+典例变式”设计，通过实际应用题型（如成本控制问题）培养数学眼光，易错提醒强化数学思维严谨性，助力教师授课效率提升，学生课后可通过分层练习查漏补缺，提升用数学语言规范表达解集的能力。

第2章 等式与不等式 2.2 不等式的求解 课标要点 1.掌握一元二次、分式、绝对值三类不等式定义，能准确识别不同类型不等式。 2.熟练运用因式分解、配方、穿根、零点分段等方法求解各类不等式。 3.理清二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者图像与解集关系。 4.规避各类不等式求解常见错误，规范书写解集，能解决综合基础题型。 学习重难点 重点： 1.一元二次不等式两种基础解法，熟记判别式三种情况对应的解集规律。 2.分式不等式等价转化规则，牢记分母不为零，掌握移项化零解题步骤。 3.绝对值不等式三种去绝对值手段，熟记基础绝对值不等式标准解集。 难点： 1.结合二次函数图像，区分 Δ 三种情况，准确写出一元二次不等式解集。 2.分式不等式转化时容易忽略分母不能为 0，导致解集多出无意义端点。 3.多绝对值不等式零点分段，区间划分、去符号与解集合并容易出错。 知识点一 一元二次不等式 1.一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式不等式，叫作一元二次不等式，标准形式：、、、（）。 2.因式分解法解一元二次不等式（优先解法） 若二次三项式可分解为： ，解集为； ，解集为。 补充：若二次项系数，先两边同乘，同时改变不等号方向再求解。 3.配方法解一元二次不等式 对配方，化为的形式； 结合完全平方式恒非负的性质，分判断取值范围，直接写出不等式解集。 即学即练 1．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点二 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 易错提醒 判别式三种情况解集混淆，忽略等号区别 （1）错误表现：时，漏掉；误以为解为。 （2）原理：完全平方式恒大于等于0，仅零点处等于0，因此大于0要剔除零点，小于0无实数解。 即学即练 2．已知关于的一元二次不等式的解集为，则实数的值为_________． 知识点三 分式不等式 1.定义 分母中含有未知数的不等式叫作分式不等式，标准形式：，其中为整式，。 2.标准解题步骤 ①移项化零：所有项移到左边，统一化为（代表不等号）； ②等价转化： ； ； ； ； ③因式分解，求出零点； ④利用穿根法快速写出解集，分母零点永远取不到。 即学即练 3．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 4．设集合，，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点四 简单绝对值不等式 1.基础概念 （1）绝对值不等式：含有绝对值符号的不等式称为绝对值不等式。 （2）数轴距离公式：实数对应数轴点，；中点对应数：。 2.去绝对值三种通用方法 ①几何法：利用代表数轴上到的距离，数形结合求解； ②平方法：不等式两侧均非负时，两边同时平方消去绝对值； ③分段讨论法：令绝对值内式子为0求出零点，划分区间分段去掉绝对值计算。 3.基础绝对值不等式固定结论（） (1) (2) (3) (4) 4.常见拓展类型 （1）：转化为解一次不等式； （2）：拆成或分别求解； （3）多绝对值不等式（如）：零点分段法，按绝对值零点划分区间逐段去绝对值。 即学即练 5．不等式的解集为__________． 题型01 一元一次不等式（组）的求解 典｜例｜精｜析 例1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 变式1-1．不等式组 的解集为________. 变式1-2．关于的不等式的正整数解有________个. 变式1-3．“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．既非充分又非必要条件 C．充要条件 D．必要非充分条件 题型02 己知一元一次不等式（组）的解求参数 典｜例｜精｜析 例2．已知，若这个关于的不等式组恰好有3个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 变式2-1．不等式的解集为，则_________． 变式2-2．若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数a为（     ）. A．2 B．1 C．0 D． 变式2-3．关于的不等式组的最小整数解为，则符合条件的的取值范围为________． 题型03 解不含参数的一元二次不等式 解题贴士 1．标准解题三步：化二次项系数为正→计算判别式→结合图像写解集。 2．、存在两根时口诀：大于取两边，小于取中间。 3．时，解集为全体实数，解集为空集。 典｜例｜精｜析 例3．不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 变式3-1．下列不等式中解集为R的是（    ） A． B． C． D． 变式3-2．不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 变式3-3．下列不等式的解集为空集的是（    ） A． B． C． D． 题型04 解简单的分式不等式 典｜例｜精｜析 例4．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 变式4-1．不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 变式4-2．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 变式4-3．关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 题型05 解含一个绝对值不等式 典｜例｜精｜析 例5．已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 变式5-1．不等式的解集为___________． 变式5-2．设p：，q：，则p是q的（   ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式5-3．不等式组的解集为__________. 题型06 解含两个绝对值不等式 典｜例｜精｜析 例6．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 变式6-1．不等式的解集为________. 变式6-2．不等式的解集为______________． 变式6-3． 的解集为_____ 题型07 解含参数的一元二次不等式 解题贴士 1．讨论顺序：先讨论二次项系数是否为0（区分一次/二次不等式）；再讨论；最后比较两根大小。 2．参数导致两根含字母时，需要分情况判断两根谁大谁小。 典｜例｜精｜析 例7．已知不等式的解集是，则的值是（   ） A．1 B． C．0 D．2 变｜式｜巩｜固 变式7-1．若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式7-2．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 变式7-3．甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.若甲、乙两人除写错常数外，其余求解过程都正确，则原不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型08 由一元二次不等式的解确定参数 解题贴士 1．讨论顺序：先讨论二次项系数是否为0（区分一次/二次不等式）；再讨论；最后比较两根大小。 2．参数导致两根含字母时，需要分情况判断两根谁大谁小。 典｜例｜精｜析 例8． 解关于的不等式，其中． 变｜式｜巩｜固 变式8-1．关于的不等式的解集不可能是 （    ） A．或 B． C． D． 变式8-2．关于的不等式：，当时，不等式的解集为__________. 变式8-3．设，解关于x的不等式：． 题型09 一元二次方程的实根分布问题 典｜例｜精｜析 例9．已知关于x的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围． 变｜式｜巩｜固 变式9-1．若方程有两个正根，则实数的取值范围是__________. 变式9-2．已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 变式9-3．已知关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程都有实数根； (2)若方程有两个整数根，求整数m的值． 题型10 一元二次不等式的实际应用 典｜例｜精｜析 例10．某企业生产智能台灯，总生产成本（单位：万元）与生产数量（单位：千台）的关系为：．企业希望总成本不超过5000万元，则生产数量的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 变式10-1．某文创店购进一批冰箱贴，若按每个25元的价格销售，每日能售出50个；若售价在25元基础上每提高1元，日销售量则对应减少2个.为确保这批冰箱贴每日销售总收入不低于1200元，其销售价格最高是____________元. 变式10-2．已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后的售价为元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则的最大值是（    ） A．20 B．25 C．27 D．28 变式10-3．某工厂2025年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，使用该设备后，每年的总收入预计为50万元.设使用年后该设备的维修､保养费用为万元，盈利总额为万元，从第__________年开始，使用该设备开始盈利. 题型11 一元二次不等式恒成立问题与有解问题 典｜例｜精｜析 例11．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 变式11-1．若不等式有解，则实数的取值集合是_________. 变式11-2．"”是“关于x的不等式有解”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式11-3．不等式，对任意 恒成立，求实数的取值范围. 基础通关 一、填空题 1．不等式的解集为____________． 2．不等式的解集为______． 3．不等式的解集为__________. 4．已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是__________. 5．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是___________ 6．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是___________ 二、单选题 7．已知集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 8．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 9．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 三、解答题 10．解下列不等式： (1)； (2)； (3). 11．已知全集，集合． (1)求； (2)若集合，且，求实数的取值范围． 12．设关于x的不等式的解集是，则的值是多少？ 素养提升 1．若不等式解集为，则不等式的解集为______． 2．若方程（，）在上有实根，则的最大值为______. 3．关于的一元二次不等式与的解集分别为、，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 6．已知集合，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 迁移创新 1．若，不等式恒成立，则实数的值为_________． 2．已知［x］表示不超过的最大整数，则满足不等式的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 等式与不等式 2.2 不等式的求解 课标要点 1.掌握一元二次、分式、绝对值三类不等式定义，能准确识别不同类型不等式。 2.熟练运用因式分解、配方、穿根、零点分段等方法求解各类不等式。 3.理清二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者图像与解集关系。 4.规避各类不等式求解常见错误，规范书写解集，能解决综合基础题型。 学习重难点 重点： 1.一元二次不等式两种基础解法，熟记判别式三种情况对应的解集规律。 2.分式不等式等价转化规则，牢记分母不为零，掌握移项化零解题步骤。 3.绝对值不等式三种去绝对值手段，熟记基础绝对值不等式标准解集。 难点： 1.结合二次函数图像，区分 Δ 三种情况，准确写出一元二次不等式解集。 2.分式不等式转化时容易忽略分母不能为 0，导致解集多出无意义端点。 3.多绝对值不等式零点分段，区间划分、去符号与解集合并容易出错。 知识点一 一元二次不等式 1.一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式不等式，叫作一元二次不等式，标准形式：、、、（）。 2.因式分解法解一元二次不等式（优先解法） 若二次三项式可分解为： ，解集为； ，解集为。 补充：若二次项系数，先两边同乘，同时改变不等号方向再求解。 3.配方法解一元二次不等式 对配方，化为的形式； 结合完全平方式恒非负的性质，分判断取值范围，直接写出不等式解集。 即学即练 1．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】不等式解集为， 所以，“”是“”的必要不充分条件. 知识点二 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 易错提醒 判别式三种情况解集混淆，忽略等号区别 （1）错误表现：时，漏掉；误以为解为。 （2）原理：完全平方式恒大于等于0，仅零点处等于0，因此大于0要剔除零点，小于0无实数解。 即学即练 2．已知关于的一元二次不等式的解集为，则实数的值为_________． 【答案】3 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以和是方程的两个实数根， 则由韦达定理可得，解得：. 知识点三 分式不等式 1.定义 分母中含有未知数的不等式叫作分式不等式，标准形式：，其中为整式，。 2.标准解题步骤 ①移项化零：所有项移到左边，统一化为（代表不等号）； ②等价转化： ； ； ； ； ③因式分解，求出零点； ④利用穿根法快速写出解集，分母零点永远取不到。 即学即练 3．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，即，解得：， 所以不等式的解集为：. 4．设集合，，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】解不等式可得，所以， 又，显然⫋，即是的真子集, 因此，“”能推出“”，但反过来不成立，故“”是“”的充分不必要条件． 知识点四 简单绝对值不等式 1.基础概念 （1）绝对值不等式：含有绝对值符号的不等式称为绝对值不等式。 （2）数轴距离公式：实数对应数轴点，；中点对应数：。 2.去绝对值三种通用方法 ①几何法：利用代表数轴上到的距离，数形结合求解； ②平方法：不等式两侧均非负时，两边同时平方消去绝对值； ③分段讨论法：令绝对值内式子为0求出零点，划分区间分段去掉绝对值计算。 3.基础绝对值不等式固定结论（） (1) (2) (3) (4) 4.常见拓展类型 （1）：转化为解一次不等式； （2）：拆成或分别求解； （3）多绝对值不等式（如）：零点分段法，按绝对值零点划分区间逐段去绝对值。 即学即练 5．不等式的解集为__________． 【答案】 【详解】，得， 所以. 故不等式的解集为. 题型01 一元一次不等式（组）的求解 典｜例｜精｜析 例1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以． 变｜式｜巩｜固 变式1-1．不等式组 的解集为________. 【答案】 【分析】详解】由，得；由，得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 变式1-2．关于的不等式的正整数解有________个. 【答案】2 【详解】由题，，正整数解只有1和2. 变式1-3．“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．既非充分又非必要条件 C．充要条件 D．必要非充分条件 【答案】D 【分析】详解】由，解得，由，解得. 因为可以推出，反之不能推出， 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：D. 题型02 己知一元一次不等式（组）的解求参数 典｜例｜精｜析 例2．已知，若这个关于的不等式组恰好有3个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】不等式组恰好有3个整数解， 由可得，由可得，则这3个整数为， 所以，即． 故选：A． 变｜式｜巩｜固 变式2-1．不等式的解集为，则_________． 【答案】 【分析】详解】由不等式的解集为，可得，则， 故， 故答案为：5 变式2-2．若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数a为（     ）. A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】详解】由，可得：要使不等式组的解集非空， 须使即： 故满足条件的最大整数0. 故选：C. 变式2-3．关于的不等式组的最小整数解为，则符合条件的的取值范围为________． 【答案】 【分析】详解】由解得， 由解得， 所以不等式组的解集为， 因为不等式组的最小整数解为， 所以，解得， 所以符合条件的的取值范围为， 故答案为： 题型03 解不含参数的一元二次不等式 解题贴士 1．标准解题三步：化二次项系数为正→计算判别式→结合图像写解集。 2．、存在两根时口诀：大于取两边，小于取中间。 3．时，解集为全体实数，解集为空集。 典｜例｜精｜析 例3．不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】不等式的解集为，故B正确. 变｜式｜巩｜固 变式3-1．下列不等式中解集为R的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】对于A，由，得，解得，不符合题意； 对于B，由，，则解集不为，不符合题意； 对于C，由，，解集为，符合题意． 对于D，由，，解得，不符合题意． 变式3-2．不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得：或， 又因为，所以不等式组的解集为. 变式3-3．下列不等式的解集为空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于A，由，得，解得，A不满足题意； 对于B，由，得，该不等式的解集为，B不满足题意； 对于C，，即，又，所以的解集为空集，C满足题意； 对于D，因为，所以的解集为空集，D满足题意． 题型04 解简单的分式不等式 典｜例｜精｜析 例4．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】不等式等价于，解得，即，所以原不等式的解集为，故B正确. 变｜式｜巩｜固 变式4-1．不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】详解】分式不等式等价于：，即. 解得或. 故不等式的解集为或. 变式4-2．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式化简为，即，且. 解得或. 即不等式的解集. 变式4-3．关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】因为关于的不等式的解集为， 所以且，则， 所以不等式，即，即，等价于， 解得或， 所以不等式的解集为. 题型05 解含一个绝对值不等式 典｜例｜精｜析 例5．已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】解得或，即, 则，则. 变｜式｜巩｜固 变式5-1．不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】详解】原不等式等价于，即， 故原不等式的解集为. 变式5-2．设p：，q：，则p是q的（   ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】详解】，， 注意到与集合之间无包含关系，则命题是命题的既不充分也不必要条件. 变式5-3．不等式组的解集为__________. 【答案】 【分析】详解】对于，即，可得，解得； 对于，即，可得，解得； 综上所述：不等式组的解集为. 故答案为：. 题型06 解含两个绝对值不等式 典｜例｜精｜析 例6．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】当时，不等式为，解得：且，即为空集， 当时，不等式为，解得：， 当时，不等式为，解得， 综上不等式的解集为， 故选：C 变｜式｜巩｜固 变式6-1．不等式的解集为________. 【答案】 【分析】详解】当时，原不等式化为，解得； 当时，原不等式化为，解得； 当时，原不等式化为3，无解. 综上，不等式的解集为. 变式6-2．不等式的解集为______________． 【答案】 【详解】不等式等价于， 化简可得，即， 所以不等式的解集为. 变式6-3． 的解集为_____ 【答案】 【分析】详解】原不等式等价于 当时，原不等式等价于，即得不成立，不等式无解； 当时，原不等式等价于，解得，不等式的解集为； 当时，原不等式等价于，即得，不等式的解集为； 综上所述，原不等式的解集为. 故答案为： 题型07 解含参数的一元二次不等式 解题贴士 1．讨论顺序：先讨论二次项系数是否为0（区分一次/二次不等式）；再讨论；最后比较两根大小。 2．参数导致两根含字母时，需要分情况判断两根谁大谁小。 典｜例｜精｜析 例7．已知不等式的解集是，则的值是（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】C 【详解】由不等式的解集是， 所以是方程的两根， 所以，解得，所以. 变｜式｜巩｜固 变式7-1．若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】当时，，显然不成立，此时不等式的解集为空集，符合题意； 当时，要想该一元二次不等式的解集为空集，只需满足下列条件： ， 综上所述：实数的取值范围是. 故选：B 变式7-2．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】因关于的不等式的解集为， 则，即， 则，即， 所以，解得或． 变式7-3．甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.若甲、乙两人除写错常数外，其余求解过程都正确，则原不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】因为甲写错了常数，得到的解集为，根据根与系数的关系，所以. 因为乙写错了常数，得到的解集为，根据根与系数的关系，所以，即. 所以原不等式为，解得. 故选：D. 题型08 由一元二次不等式的解确定参数 解题贴士 1．讨论顺序：先讨论二次项系数是否为0（区分一次/二次不等式）；再讨论；最后比较两根大小。 2．参数导致两根含字母时，需要分情况判断两根谁大谁小。 典｜例｜精｜析 例8．解关于的不等式，其中． 【答案】 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 【分析】详解】解不等式，即解，即解． ①当 时，此时为开口向下的二次函数，且，故不等式的解集为； ②当时，为开口向上的二次函数. i.当时，有，故不等式的解集为或； ii.当时，有，此时不等式为，故不等式的解集为； iii.当时，有，故不等式的解集为或. 综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或. 变｜式｜巩｜固 变式8-1．关于的不等式的解集不可能是 （    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】若，则等价于， 若，则不等式的解集为，故B不符合题意； 若，则不等式的解集为，故D不符合题意； 若，则不等式的解集为，故C不符合题意； 若，则等价于， 则不等式的解集为或； 若，则不等式的解集为， 综上可知，A选项符合题意. 故选：A 变式8-2．关于的不等式：，当时，不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】详解】由得， 由，得， 解得，或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 变式8-3．设，解关于x的不等式：． 【答案】答案见解析. 【分析】详解】不等式， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，解得或； 当时，不等式为， 当时，，不等式无解；当时，，解得； 当时，，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 题型09 一元二次方程的实根分布问题 典｜例｜精｜析 例9．已知关于x的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】详解】若，则方程化为，只有一个解，与题意不符； 若，， 方程一根小于1，一根大于1且小于2，则大致图象： 所以，解得，即的取值范围是. 变｜式｜巩｜固 变式9-1．若方程有两个正根，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】详解】由方程有两个正根，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 变式9-2．已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，方程无实数根，所以A错误； 对于B，方程无实数根，则，解得， 又由是的真子集，方程无实根的一个必要条件是， 所以B正确； 对于CD，方程有两个正实数根的充要条件是， 解得，且是的真子集， 所以方程有两个正实根的一个充分条件是，故CD正确. 变式9-3．已知关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程都有实数根； (2)若方程有两个整数根，求整数m的值． 【答案】(1)当时，方程为，有实数根； 当时，方程为一元二次方程，， 此时方程有解． 综上，不论m取何值，方程都有实数根． (2)或 【详解】（1）略 （2）方程有两个整数根，则且为整数，化简有， 解得，则为整数， 所以或. 题型10 一元二次不等式的实际应用 典｜例｜精｜析 例10．某企业生产智能台灯，总生产成本（单位：万元）与生产数量（单位：千台）的关系为：．企业希望总成本不超过5000万元，则生产数量的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】由题意得，结合， 解得， 因为，所以生产数量的取值范围为， 同时可入验证当时，此时，则BCD均错误. 故选：A. 变｜式｜巩｜固 变式10-1．某文创店购进一批冰箱贴，若按每个25元的价格销售，每日能售出50个；若售价在25元基础上每提高1元，日销售量则对应减少2个.为确保这批冰箱贴每日销售总收入不低于1200元，其销售价格最高是____________元. 【答案】30 【分析】详解】设每件售价为元， 则， 即，即， 解得， 又， 所以. 所以销售价格最高是30元. 故答案为：30. 变式10-2．已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后的售价为元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则的最大值是（    ） A．20 B．25 C．27 D．28 【答案】B 【分析】详解】由题意可得，整理得， 即，解得，则的最大值是25. 故选：B 变式10-3．某工厂2025年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，使用该设备后，每年的总收入预计为50万元.设使用年后该设备的维修､保养费用为万元，盈利总额为万元，从第__________年开始，使用该设备开始盈利. 【答案】 【分析】详解】由题意得，， 令，得， 又，则，故从第年开始，使用该设备开始盈利. 故答案为： 题型11 一元二次不等式恒成立问题与有解问题 典｜例｜精｜析 例11．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】首先，若，明显不恒成立. 若，恒成立. 若，可知当时最大， 所以即可， 解得. 所以综上所述，. 变｜式｜巩｜固 变式11-1．若不等式有解，则实数的取值集合是_________. 【答案】 【分析】详解】由题意，可得，即， 则实数的取值集合是. 故答案为：. 变式11-2．"”是“关于x的不等式有解”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】详解】若关于的不等式有解，则，得． 由“”可以推出“”，由“”不能推出“”， 所以“”是“关于的不等式有解”的充分不必要条件． 故选：A 变式11-3．不等式，对任意 恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】详解】根据不等式，构造关于的函数，令，， 根据题意，对任意，恒成立，由于是一次函数，只要两端点的函数值都小于即可， 即，所以，化简得，解得， 所以实数的取值范围是. 基础通关 一、填空题 1．不等式的解集为____________． 【答案】 【详解】已知，方程 的两个根为7和， 所以不等式的解集为． 2．不等式的解集为______． 【答案】 【详解】当时，不等式变为，即， 解得，又，所以此时不等式的解集为； 当时，不等式变为，即， 解得，又，所以此时不等式的解集为； 所以不等式的解集为. 3．不等式的解集为__________. 【答案】或. 【详解】由可得， 故或， 故不等式的解集为或. 4．已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】由，可得且. 因为，所以，故不等式的解集为. 由是不等式成立的充分不必要条件，可得是的真子集， 故，解得， 所以的取值范围是. 5．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是___________ 【答案】 【详解】因为关于的不等式的解集是， 所以有， 所以，或， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 6．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 二、单选题 7．已知集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知， 所以. 8．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由不等式，即， 则，解得，即， 所以不等式的解集为． 9．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知集合，由，解得，所以， 集合，由，解得或，所以， 因此，即，故C正确. 三、解答题 10．解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）因， 则原不等式的解集为； （2）因， 则原不等式的解集为； （3）因， 因方程的判别式，故原不等式的解集为. 11．已知全集，集合． (1)求； (2)若集合，且，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】 【详解】（1）或. . 或. （2）. 当时，，解得. 当时，，解得. 综上，实数的取值范围是. 12．设关于x的不等式的解集是，则的值是多少？ 【答案】3 【详解】由可得， 即， 又不等式解集为， 所以，解得， 所以 素养提升 1．若不等式解集为，则不等式的解集为______． 【答案】 【详解】由二次不等式 的解集为. 所以方程的两个根为，且，因此， 即，代入所求不等式 ， 得，因为，所以不等式化为， 即，解得 或 . 因此所求不等式的解集为. 2．若方程（，）在上有实根，则的最大值为______. 【答案】 【详解】设实根，则， ，所以. 由二次函数特性可知，时取得最大值. ， 又当时取得最大值，且. 所以. 3．关于的一元二次不等式与的解集分别为、，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【详解】充分性：若，抛物线与开口方向相反， 所以关于的一元二次不等式与的解集为； 必要性：当两个不等式的解集相同时，系数不一定成比例， 例如：不等式解集为，不等式解集也为，但对应系数不成比例. 综上所述，“”是“”的既不充分又不必要条件. 4．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 于是由，或， 所以不等式的解集为. 5．已知集合，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知集合，解不等式，可得， 所以， 又因为集合，解不等式，可得， 所以，所以， 对于A，由于，所以，故A正确； 对于B，由于，所以，故B正确； 对于C，由于，，所以，故C正确； 对于D，由于，， 所以，故D错误. 6．已知集合，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，解得， 集合中的整数元素有：共4个， ， 集合至少包含3个整数， 又集合中恰好只有两个整数， 或， 若，需满足，解得， 若，需满足，， 的取值范围为，故A正确． 故选：A． 迁移创新 1．若，不等式恒成立，则实数的值为_________． 【答案】 【详解】设 ， ， 二次函数 开口向上， 令 ，解得：， 因为 ，我们只考虑正根，设 ， 根据二次函数的性质： 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ， 一次函数 的零点为：， 要使 恒成立， 和 必须在各自区间内同号， 即需要满足：， 解得：. 2．已知［x］表示不超过的最大整数，则满足不等式的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，令，则， 解得，即，所以． 3．已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即，不等式解集为， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即， 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去； 当时，，即， 不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去； 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $