微专题 利用不等式解决实际应用问题讲义-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

本讲义聚焦利用不等式解决实际应用问题，系统梳理不等式性质应用、解不等式、基本不等式求最值等核心知识点，构建“审题设元—列不等式—求解—检验—作答”的完整解题流程，衔接从性质分析到最值规划的知识脉络。 该资料以“屏占比变化”“糖水浓度”等实例为载体，引导学生用数学眼光抽象不等关系，用数学思维推理求解，用数学语言表达方案。解析版详细拆解例题，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，提升建模与应用能力。

【原卷版】 微专题 利用不等式解决实际应用问题 不等式是解决现实生活中不等关系问题的重要工具，广泛用于方案选择、最值规划、预算限制等实际场景；解决这类问题，首先要读懂题意，梳理已知条件，找出题目中的数量关系，区分等量与不等关系，抓住 “至多、至少、不超过、不少于” 等关键词，据此设出未知数，列出不等式或不等式组； 接着求解不等式，得到未知数的解集。但解集不一定全部符合实际，必须结合现实意义检验，比如：人数、物品数量只能取正整数，成本、产量不能为负数，剔除不符合实际的解；最后根据题意分析结果，确定最优方案、取值范围或最大、最小值，写出完整答案； 实际问题中，经常结合一次不等式、不等式组，对比多种方案，判断哪种更省钱、效率更高。整个流程可概括为审题设元、列不等式、求解、结合实际取舍、作答五个步骤，核心是把现实的不等约束转化为数学模型，再回归现实情境得到可用结论。 1、利用不等式性质解实际应用题， 首先认真审题，提取题干中的不等信息，抓住 “至少、至多、不大于、不小于” 等关键语句，合理设未知数。依据不等式的性质，根据数量之间的约束关系列出不等式或不等式组； 再运用不等式的性质进行变形求解，注意两边同乘或除以负数时，不等号方向必须改变，求出解集；得到解集后不能直接作答，要结合实际情况筛选，人数、件数等只能取正整数，舍去不符合现实意义的解。最后根据题目的要求确定最优方案、取值范围，写出答案。整个过程就是将实际问题转化为数学不等式模型，借助不等式性质运算，再回归实际情境得到合理结果； 2、利用解不等式解决实际应用题 第一步仔细审题，读懂题目条件，捕捉 “至多、至少、不低于” 等表示不等关系的关键词，合理设未知数。根据题中的限制条件，列出不等式或不等式组； 然后按照不等式的解法求出解集，注意不等式两边同乘（除）负数时，不等号方向要改变。得到解集后不能直接输出答案，必须结合实际意义筛选，人数、物件数等只能取正整数，剔除不符合现实的解；再结合问题要求，确定取值范围或者最优方案，最后规范作答；整体思路就是把现实中的不等约束转化为数学不等式模型，求解之后再回归实际情境，得到符合题意的结果； 3、利用基本不等式解决实际应用题 首先读懂题意，理清题目中的数量关系，设定合适的变量，把实际问题转化为求最值的数学问题。再根据题意建立函数表达式，构造出 “一正、二定、三相等” 的条件； 要保证变量为正数，使和或积为定值，同时验证等号能否取到，这是使用基本不等式的关键。若满足条件，便可利用基本不等式求出最大值或最小值；若等号取不到，则改用函数单调性求解；得到结果后，还要结合实际情境检验，变量要符合现实取值要求，最后给出实际问题的答案。解题核心是把现实问题转化模型，满足使用条件后求最值，再回归实际得到合理结论 题型1、利用不等式性质解实际应用题 例1、在统计某学校所有选择理科和文科的学生数据中，发现理科生多于文科生，女生多于男生，则关于本次学生样本的数据中，结论一定成立的是（    ） A．理科男生多于文科女生 B．文科女生多于文科男生 C．理科女生多于文科男生 D．理科女生多于理科男生 例2、平板电脑屏幕面积与整机面积的比值叫电脑的“屏占比”，它是平板电脑外观设计中的一个重要参数，其值在（0，1）间，设计师将某平板电脑的屏幕面积与整机面积同时减少相同的数量，升级为一款“迷你”新电脑的外观，则该新电脑“屏占比”和升级前比（ ） A．“屏占比”不变 B．“屏占比”变小 C．“屏占比”变大 D．“屏占比”变化不确定 例3、在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（     ） A． B． C． D． 例4、假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． （1）根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； （2）利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 题型2、利用解不等式解决实际应用题 例5、某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是 例6、如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为___________． 例7、民宿旅游逐渐成为一种热潮，山野乡村的民宿也深受广大旅游爱好者的喜爱.对于民宿的改造，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好.现有一所地板面积为240平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的3倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为__________平方米； 例8、某地要建设一座购物中心，为了减少能源损耗，计划对其外墙建造可使用30年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层的建造成本为9万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：（）．若不建隔热层，每年能源消耗费用为6万元．设S为隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和． （1）求出S关于的函数解析式； （2）若使隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和S控制在90万元以内，隔热层的厚度不能超过多少厘米？隔热层的厚度为整数） 题型3、利用平均值不等式解决实际应用题 例9、某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（    ）。 A． B． C． D． 例10、在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：米2）的计算公式是(长)×(宽)，在不测量长和宽的情况下，若只知道某块矩形场地的面积是10000米2，且工程量每平方米收费1元，则平整完这块矩形场地所需的最少费用约是______元． 例11、某小区要建一座八边形的休闲公园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字型地域，计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元，再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元.设总造价为(单位：元)，长为(单位：).的最小值是___________，此时的值是___________. 例12、某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，设铁栅长为米，一堵砖墙长为米. 求：（1）写出与的关系式； （2）求出仓库面积的最大允许值是多少？为使达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 1、利用不等式性质解应用题 注意：不等式性质成立的条件与实际问题的限制条件； 2、利用解不等式解决实际应用题 处理正确、规范有题意，建立不等关系，正确解不等式；然后，就是关注实践问题的限制条件； 3、利用利用定理：平均值不等式解决实际问题的策略 （1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用定理：平均值不等式求得函数的最值； （2）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围． （3）在应用平均值不等式求函数最值时，注意保证等号要取到； 1．若直角三角形的面积为32，则两条直角边的和的最小值是（    ） A． B．8 C．16 D． 2．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 3．由于近年来，冬季气候干燥，冷空气频繁袭来为提高公民的取暖水平，某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比，每月供热费与供热站到社区的距离成正比，如果在距离社区20千米处建立供热站，这两项费用分别为5千元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区（     ） A．5千米 B．6千米 C．7千米 D．8千米 4．旅游博主小胡自驾出行周游世界.已知各地燃油价格高低不一，出行中小胡有两种加油方案：第一种，每次均加升的燃油；第二种，每次加元的燃油，则下列说法正确的是（    ） A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．无法确定 5．已知克糖水中有克糖（）若再添上克糖（），则糖水就变甜了试根据此事实提炼一个不等式当且时，________. 6．如图所示，将一矩形花坛扩建为一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，当________时，矩形花坛的面积最小． 7．某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层的厚度h（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，那么使达到最小值的隔热层的厚度h＝______厘米． 8．某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层的厚度（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，则的最小值是______万元． 9．一批救灾物资随51辆汽车从某市以的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于，那么这批物资全部到达灾区，最少需要______ 10．一般认为，民用住宅的窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好.现有某酒店计划对一房间进行改造升级，已知该房间原地板面积为60平方米，窗户面积为20平方米.若同时增加窗户与地板的面积，且地板增加的面积恰好是窗户增加的面积的倍，要求改造后的采光效果不比改造前的差，则实数的最大取值为______. 11、如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. （1）若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ （2）若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 12．设矩形的周长为48cm，把三角形沿折叠，折叠后与交于点E． （1）设，用x表示三角形面积，并写出x的取值范围； （2）求三角形面积最大值及相应x的值； 【解析版】 微专题 利用不等式解决实际应用问题 不等式是解决现实生活中不等关系问题的重要工具，广泛用于方案选择、最值规划、预算限制等实际场景；解决这类问题，首先要读懂题意，梳理已知条件，找出题目中的数量关系，区分等量与不等关系，抓住 “至多、至少、不超过、不少于” 等关键词，据此设出未知数，列出不等式或不等式组； 接着求解不等式，得到未知数的解集。但解集不一定全部符合实际，必须结合现实意义检验，比如：人数、物品数量只能取正整数，成本、产量不能为负数，剔除不符合实际的解；最后根据题意分析结果，确定最优方案、取值范围或最大、最小值，写出完整答案； 实际问题中，经常结合一次不等式、不等式组，对比多种方案，判断哪种更省钱、效率更高。整个流程可概括为审题设元、列不等式、求解、结合实际取舍、作答五个步骤，核心是把现实的不等约束转化为数学模型，再回归现实情境得到可用结论。 1、利用不等式性质解实际应用题， 首先认真审题，提取题干中的不等信息，抓住 “至少、至多、不大于、不小于” 等关键语句，合理设未知数。依据不等式的性质，根据数量之间的约束关系列出不等式或不等式组； 再运用不等式的性质进行变形求解，注意两边同乘或除以负数时，不等号方向必须改变，求出解集；得到解集后不能直接作答，要结合实际情况筛选，人数、件数等只能取正整数，舍去不符合现实意义的解。最后根据题目的要求确定最优方案、取值范围，写出答案。整个过程就是将实际问题转化为数学不等式模型，借助不等式性质运算，再回归实际情境得到合理结果； 2、利用解不等式解决实际应用题 第一步仔细审题，读懂题目条件，捕捉 “至多、至少、不低于” 等表示不等关系的关键词，合理设未知数。根据题中的限制条件，列出不等式或不等式组； 然后按照不等式的解法求出解集，注意不等式两边同乘（除）负数时，不等号方向要改变。得到解集后不能直接输出答案，必须结合实际意义筛选，人数、物件数等只能取正整数，剔除不符合现实的解；再结合问题要求，确定取值范围或者最优方案，最后规范作答；整体思路就是把现实中的不等约束转化为数学不等式模型，求解之后再回归实际情境，得到符合题意的结果； 3、利用基本不等式解决实际应用题 首先读懂题意，理清题目中的数量关系，设定合适的变量，把实际问题转化为求最值的数学问题。再根据题意建立函数表达式，构造出 “一正、二定、三相等” 的条件； 要保证变量为正数，使和或积为定值，同时验证等号能否取到，这是使用基本不等式的关键。若满足条件，便可利用基本不等式求出最大值或最小值；若等号取不到，则改用函数单调性求解；得到结果后，还要结合实际情境检验，变量要符合现实取值要求，最后给出实际问题的答案。解题核心是把现实问题转化模型，满足使用条件后求最值，再回归实际得到合理结论 题型1、利用不等式性质解实际应用题 例1、在统计某学校所有选择理科和文科的学生数据中，发现理科生多于文科生，女生多于男生，则关于本次学生样本的数据中，结论一定成立的是（    ） A．理科男生多于文科女生 B．文科女生多于文科男生 C．理科女生多于文科男生 D．理科女生多于理科男生 【提示】分别设出理科男女生，文科男女生的人数，根据题意列出不等式即可求解； 【答案】C； 【解析】根据已知条件设理科女生有人，理科男生有人；文科女生有人，文科男生有人； 根据题意可知：， 根据同向不等式可加的性质有：， 即，所以理科女生多于文科男生， 故C正确，其他选项没有足够证据论证. 故选：C； 【说明】本题主要考查了由不等式的性质比较数（式）大小在实际生活中的应用； 例2、平板电脑屏幕面积与整机面积的比值叫电脑的“屏占比”，它是平板电脑外观设计中的一个重要参数，其值在（0，1）间，设计师将某平板电脑的屏幕面积与整机面积同时减少相同的数量，升级为一款“迷你”新电脑的外观，则该新电脑“屏占比”和升级前比（ ） A．“屏占比”不变 B．“屏占比”变小 C．“屏占比”变大 D．“屏占比”变化不确定 【提示】设法列出升级前后的屏占比表达式，由作差法可比较大小； 【答案】B； 【解析】设升级前屏幕面积为a，整机面积为b，则屏占比为， 设减小面积为，则升级后屏占比为：， 则，即，屏占比变小； 故选：B； 【说明】本题主要考查了依据不等式性质，利用作差法比较代数式的大小； 例3、在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（     ） A． B． C． D． 【提示】计算出导火索燃烧的时间也即人跑到100米外安全区至少需要的时间，列出不等关系，即可求得答案； 【答案】B； 【解析】由题意知导火索的长度x（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为秒， 人在此时间内跑的路程为米，由题意可得， 故选：B； 【说明】本题主要考查了利用不等式性质表示不等关系； 例4、假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． （1）根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； （2）利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 【提示】（1）根据题意分析可得，其中，，并利用作差法分析证明； （2）利用糖水不等式，结合不等式的性质推理可得； 【答案】（1）；证明见解析；（2）证明见解析； 【解析】（1）因为加糖后糖水更甜，即糖水的浓度变大，所以提炼出的不等式为: ； 证明如下：利用作差法证明 因为，， 所以， 所以，不等式成立. （2）因为为三角形的三边长，所以 由（1）知， ， ， 将上述三个不等式相加可得： ， 所以； 【说明】本题考查了利用不等式性质作差法比较代数式的大小、由不等式的性质证明不等式； 题型2、利用解不等式解决实际应用题 例5、某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是 【提示】根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果； 【答案】； 【解析】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故答案为：； 【说明】本题考查了一元二次不等式的实际应用；同时考查不等式的解法，考查方法的类比，正确理解题意是关键； 例6、如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为___________． 【提示】设花卉带的宽度为米，根据题设有求解集，即可确定最小值； 【答案】1； 【解析】设花卉带的宽度为米，则，即， 所以，故， 所以花卉带的宽度至少应为1米. 故答案为：1； 【说明】本题综合考查了解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式的实际应用； 例7、民宿旅游逐渐成为一种热潮，山野乡村的民宿也深受广大旅游爱好者的喜爱.对于民宿的改造，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好.现有一所地板面积为240平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的3倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为__________平方米； 【提示】设改造前的窗户面积为平方米，将改造后的窗户面积与地板面积之比表达出，采用作差法，列出不等式，求出的范围，得到答案； 【答案】80； 【解析】设改造前的民宿窗户面积为平方米，改造后的民宿窗户增加的面积为平方米，则地板增加的面积为平方米，. 依题意得，即，解得：， 故改造前的窗户面积最大为80平方米， 故答案为：80； 【说明】本题综合考查了分式不等式的应用、建立拟合函数模型解决实际问题； 例8、某地要建设一座购物中心，为了减少能源损耗，计划对其外墙建造可使用30年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层的建造成本为9万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：（）．若不建隔热层，每年能源消耗费用为6万元．设S为隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和． （1）求出S关于的函数解析式； （2）若使隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和S控制在90万元以内，隔热层的厚度不能超过多少厘米？隔热层的厚度为整数） 【提示】（1）利于给定条件，求出的值，进而可得能源消耗费用与隔热层建造成本之和； （2）根据条件建立不等式，解出后进一步分析即可； 【答案】（1）,；（2）6； 【详解】（1）依题意，当时，，所以， 所以，， 则（万元），. （2）若， 不等式化为， 解得 又， 所以隔热层的厚度不能超过6厘米； 【说明】本题综合考查利用给定函数模型解决实际问题与解不等式； 题型3、利用平均值不等式解决实际应用题 例9、某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（    ）。 A． B． C． D． 【提示】根据题意列出方程，然后利用定理：平均值不等式求解可得结果； 【答案】B； 【解析】由题意得，，则， 因为，即 所以， 所以，当且仅当时取等号； 故选：B； 【说明】本题考查了定理：平均值不等式求积的最大值、定理：平均值不等式；的实际应用 例10、在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：米2）的计算公式是(长)×(宽)，在不测量长和宽的情况下，若只知道某块矩形场地的面积是10000米2，且工程量每平方米收费1元，则平整完这块矩形场地所需的最少费用约是______元． 【提示】设矩形场地的长为米，则宽为米，得，再应用基本不等式求最小值，注意等号成立条件，即可得； 【答案】； 【解析】设矩形场地的长为米，则宽为米， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以平整完这块矩形场地所需的最少费用约为（元）． 故答案为：； 【说明】本题综合考查了利用给定函数模型解决实际问题、利用定理：平均值不等式的应用； 例11、某小区要建一座八边形的休闲公园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字型地域，计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元，再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元.设总造价为(单位：元)，长为(单位：).的最小值是___________，此时的值是___________. 【提示】根据已知条件建立函数关系式，然后化简整理，再利用定理：平均值不等式即可求解； 【答案】118000；； 【解析】由题意，，又，有 当且仅当，即时，等号成立 所以当，最小且最小值为 故答案为：，； 【说明】本题主要考查了定理平均值不等式的应用； 利用定理：平均值不等式求最值时，要注意三个必须满足的条件： 1.一正：各项必须均为正数； 2.二定：求和的最小值时必须把构成的二项之积转化成定值；求积的最大值时，必须把构成积的因式的和转化为定值； 3.三相等：利用定理：平均值不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值； 例12、某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，设铁栅长为米，一堵砖墙长为米. 求：（1）写出与的关系式； （2）求出仓库面积的最大允许值是多少？为使达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 【提示】（1）由已知条件得出，即可得出与的关系式； （2）化简得出，利用基本不等式可求得的最大值，利用等号成立的条件可求得的值； 【答案】（1）；（2）面积的最大允许值是平方米，此时正面铁棚应设计为米； 【解析】（1）由于铁栅长为米，一堵砖墙长为米，由题意可得， 即，解得， 由于且，可得， 所以，与的关系式为； （2） ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，仓库面积的最大允许值是平方米，此时正面铁棚应设计为米； 【说明】本题主要考查了定理：平均值不等式的应用； 1、利用不等式性质解应用题 注意：不等式性质成立的条件与实际问题的限制条件； 2、利用解不等式解决实际应用题 处理正确、规范有题意，建立不等关系，正确解不等式；然后，就是关注实践问题的限制条件； 3、利用利用定理：平均值不等式解决实际问题的策略 （1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用定理：平均值不等式求得函数的最值； （2）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围． （3）在应用平均值不等式求函数最值时，注意保证等号要取到； 1．若直角三角形的面积为32，则两条直角边的和的最小值是（    ） A． B．8 C．16 D． 【答案】C 【解析】设直角三角的两条直角边分别为， 因为直角三角形的面积为32， 所以，即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以两条直角边的和的最小值是. 故选：C 2．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D； 【解析】因为，点在直径上，不妨设点在线段上，如图所示， 则， 当与不重合时，因为，则， 当与重合时，，，也满足， 又易知，所以，    故选：D. 3．由于近年来，冬季气候干燥，冷空气频繁袭来为提高公民的取暖水平，某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比，每月供热费与供热站到社区的距离成正比，如果在距离社区20千米处建立供热站，这两项费用分别为5千元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区（     ） A．5千米 B．6千米 C．7千米 D．8千米 【答案】A； 【解析】设供热站应建在离社区x千米处，则自然消费，供热费， 由题意得：当时，，， 所以， 所以， 所以两项费用之和， 当且仅当，即时等号成立， 所以要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区5千米处. 故选：A 4．旅游博主小胡自驾出行周游世界.已知各地燃油价格高低不一，出行中小胡有两种加油方案：第一种，每次均加升的燃油；第二种，每次加元的燃油，则下列说法正确的是（    ） A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．无法确定 【答案】B； 【解析】任取其中两次加油，假设第一次的油价为元/升，第二次的油价为元/升． 第一种方案的均价：， 当且仅当时取等号； 第二种方案的均价：， 因，则， 故，当且仅当时取等号. 综上，第一种方案的均价不低于第二种方案的均价（当且仅当时取等号）.结合题干“各地燃油价格高低不一”可知油价会变化，此时第二种方案更划算． 故选：B． 5．已知克糖水中有克糖（）若再添上克糖（），则糖水就变甜了试根据此事实提炼一个不等式当且时，________. 【答案】； 【解析】变甜了，意味着含糖量大了即浓度高了，所以当且时， 故答案为： 6．如图所示，将一矩形花坛扩建为一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，当________时，矩形花坛的面积最小． 【答案】4； 【解析】设，因为∥， 所以，所以，解得, 所以矩形的面积为 ， 当且仅当，即时等号成立． 故当时，矩形花坛的面积最小． 故答案为：4 7．某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层的厚度h（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，那么使达到最小值的隔热层的厚度h＝______厘米． 【答案】； 【解析】由题意及，可得，即，∴． 隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和 （万元）， 当且仅当，即（厘米）时达到最小值． 故答案为: . 8．某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层的厚度（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，则的最小值是______万元． 【答案】； 【解析】因为不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元， 则，又由题可得 . 当且仅当，即时取等号. 故答案为： 9．一批救灾物资随51辆汽车从某市以的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于，那么这批物资全部到达灾区，最少需要______ 【答案】10 【解析】当最后一辆车子出发，第一辆车子走了小时，最后一辆车走完全程共需要小时，所以一共需要小时，结合基本不等式，计算最值，可得 ，故最小值为10小时 10．一般认为，民用住宅的窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好.现有某酒店计划对一房间进行改造升级，已知该房间原地板面积为60平方米，窗户面积为20平方米.若同时增加窗户与地板的面积，且地板增加的面积恰好是窗户增加的面积的倍，要求改造后的采光效果不比改造前的差，则实数的最大取值为______. 【答案】3 【解析】设窗户增加的面积为平方米，则地板增加的面积为平方米， 由于改造后的采光效果不比改造前的差，所以， 解得，即实数的最大取值为3， 故答案为：3； 11、如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. （1）若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ （2）若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 【提示】（1）由题意可知，再根据基本不等式即可得解； （2）由题意可知，再根据基本不等式即可得解； 【答案】（1）为，为时，所用篱笆总长最小，最小值为； （2）当时有最小值，最小值是； 【解析】（1）由题意得，所用篱笆总长为. 因为， 当且仅当时，即，时等号成立， 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为； （2）由题意得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，有最小值，最小值是. 答（1）菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为， （2）当时，有最小值，最小值是. 12．设矩形的周长为48cm，把三角形沿折叠，折叠后与交于点E． （1）设，用x表示三角形面积，并写出x的取值范围； （2）求三角形面积最大值及相应x的值； 【提示】（1）设，由勾股定理得，，即可求解三角形BCE面积，由求解x的取值范围； （2）根据题意结合基本不等式求最值，并注意等号成立的条件； 【答案】（1）；（2），； 【解析】（1），则．    设，则， 由勾股定理得， 可得， 三角形BCE面积， 由，得． 所以x取值范围是． （2）因为， 所以． 当且仅当，即时取等号． 故三角形面积最大值为：，此时． 第2页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 $