第15讲 函数关系的建立、用函数观点求解方程和不等式（知识详解+7典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（沪教版必修第一册）

第15讲 函数关系的建立、用函数观点求解方程和不等式 （知识详解+7典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：函数的零点 知识点02：一元二次方程根的分布与方程系数的关系 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：分段函数模型的应用 题型02：利用二次函数模型解决实际问题 题型03：求函数的零点 题型04：求函数零点或方程根的个数 题型05：零点存在性定理的应用 题型06：根据零点所在的区间求参数范围 题型07：根据二次函数零点的分布求参数的范围 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】函数的零点 1.方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 2.二次函数的零点 判别式 方程的根 函数的零点 两个不相等的实根 两个零点 两个相等的实根 一个二重零点 无实根 无零点 3.二次函数零点的性质 ①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 4.函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根. （2）利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点． （3）利用数形结合法 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标． 【例1】判断函数在区间内是否存在零点，若存在，求出零点。 【知识点02】一元二次方程根的分布与方程系数的关系 设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两实根，则x1、x2的分布范围与一元二次方程的系数之间的关系是： ①当x1＜x2＜k时，有 ； ②当k＜x1＜x2时，有； ③当x1＜k＜x2时，； ④当x1，x2∈（k1，k2）时，有 ⑤当x1、x2有且仅有一个在（k1，k2）时，有 【例2】已知方程有两个不等实数根，且一根大于2，一根小于2，求实数的取值范围。 【题型01】分段函数模型的应用 【典例1-1】某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物，（1）如不超过200元，则不予优惠；（2）如超过200元但不超过500元，则全款按9折优惠；（3）如超过500元，其中500元按9折给予优惠，超过500元的部分按8折给予优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元.若他只去一次购买同样价值的商品，则应付款（    ） A．472.8元 B．510.4元 C．522.8元 D．560.4元 【变式1-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）某市“招手即停”城乡公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）. 小王乘坐公共汽车，去距离上车点公里处的公司办事，那么小王购买车票的票价为_____. 【变式1-2】（25-26高一上·上海静安·期末）某公司为了节约成本，新设了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似表示为：. (1)设，求月处理量x的取值范围，使得月处理成本不超过30000元； (2)该项目月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低? 【变式1-3】（25-26高一上·上海金山·期末）2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长t（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：；已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的． (1)求常数c和k的值； (2)已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 【题型02】利用二次函数模型解决实际问题 【典例2-1】经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数.日销售量为f(t)=2t+100，价格为g(t)=t+4，则该种商品的日销售额S(单位:元)与时间t的函数解析式为S(t)=_____. 【变式2-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形居室，如图所示．如果已有材料可建成的围墙总长度为，那么当宽（单位：）为________时，才能使所建造的居室面积最大，居室的最大面积是________（单位：）． 【变式2-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）一校办服装厂花费2万元购买某品牌运动装的生产与销售权.根据以往经验，每生产1百套这种品牌运动装的成本为1万元，每生产（百套）的销售额（万元）满足： (1)求出该服装厂生产1000套此种品牌运动装可获得利润多少万元？ (2)该服装厂生产多少套此种品牌运动装利润最大？最大利润是多少万元？ 【变式2-3】（25-26高一上·上海·期末）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买台机器人的总成本万元. (1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？ (2)现购买台智能机器人，需要安排人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验可得，每台机器人的日平均分拣量（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为件，当机器人日平均分拣量达最大值时，若完成这些分拣任务，求所需要的传统的人工数量. 【题型03】求函数的零点 【典例3-1】（25-26高一上·上海普陀·期末）函数的零点为_____． 【变式3-1】（24-25高一上·上海·期末）函数的零点为_____________. 【变式3-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列图象表示的函数中没有零点的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）设常数，函数. (1)若函数是奇函数，求实数的值； (2)当时，求函数的零点. 【题型04】求函数零点或方程根的个数 【典例4-1】若表示不大于的最大整数，则函数的零点个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【变式4-1】（24-25高一上·上海·期中）已知，，则方程不同解的个数为______． 【变式4-2】已知抛物线，a，b，c均为整数，记，若均为奇数，则有______个整数解. 【变式4-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列函数的零点个数． (1)； (2)． 【题型05】零点存在性定理的应用 【典例5-1】（24-25高一上·上海·期末）已知函数在上连续，则“”是“方程在内至少有两个解”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 【变式5-1】（25-26高一下·上海·阶段检测）若二次函数在区间上是严格增函数，且满足，则方程在区间内（   ） A．至少有一个实根 B．至多有一个实根 C．没有实根 D．必有唯一一个实根 【变式5-2】已知函数在区间上的图象是一段连续的曲线，且有如下的对应值表： x 0 1 2 3 4 5 y 2.2 4.6 8.8 设函数在区间上零点的个数为，则的最小值为_________. 【变式5-3】试分析函数在区间上零点的分布情况． 【题型06】根据零点所在的区间求参数范围 【典例6-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知函数的零点在区间内，常数的取值范围为______. 【变式6-2】（24-25高一下·上海·期中）若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是__． 【变式6-3】已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)若时，有零点，求的范围. 【题型07】根据二次函数零点的分布求参数的范围 【典例7-1】（24-25高一上·上海静安·期末）若函数存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知一元二次方程的两根有且只有一个在中，则实数的取值范围是___________． 【变式7-2】（24-25高一上·上海·阶段检测）已知函数 (1)若的两根为 且 求实数m的值； (2)若函数的图象在区间上与x轴只有一个交点，求实数m的取值范围. 【变式7-3】（24-25高一上·上海·期末）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并用定义给出证明； (3)若关于的方程只有一个实根，求实数的取值范围． 知识点01函数关系的建立（建模思想） 1. 建函数模型的核心步骤 在实际问题或几何问题中，建立函数关系是高中核心建模能力，标准四步法： ①设变量：确定自变量与因变量，厘清题目变化关系； ②列关系式：根据题意、几何公式、等量关系列出关于的解析式； ③定定义域：结合实际意义、几何约束、式子有意义限定自变量范围； ④得函数：写出完整函数 。 2. 常见建模类型 几何型（周长、面积、体积最值）、经济型（利润、成本、单价）、变化型（增减变化、动态变量）。 3. 核心易错点 建立函数解析式后必须书写定义域，无定义域的函数关系式不完整，考试直接扣分。 知识点02函数观点看方程（数形结合核心） 1. 核心等价关系 方程、函数零点、图像交点三者完全等价： 2. 函数零点定义 设函数，定义域，若且，则为函数的零点。 重点：零点是数值，不是坐标点。 3. 零点存在性定理 若在上图像连续不断，且满足： 则在区间内至少存在一个零点。 4. 零点唯一性判定 若在上单调且，则区间内有且仅有一个零点。 5. 定理易错总结 ，无法判定无零点；图像不连续，定理失效；定理只能判存在，不能判个数。 知识点03函数观点看不等式（数形结合解题） 1. 一元函数不等式核心转化 ⇔ 函数图像在x轴上方的横坐标集合 ⇔ 函数图像在x轴下方的横坐标集合 包含零点对应横坐标 2. 双函数不等式转化 ，利用新函数图像正负求解解集。 3. 解题思想 解方程看交点，解不等式看上下位置，以形助数、数形结合。 知识点04重难点拓展：一元二次方程根的分布 设二次函数 ，判别式 ，开口向上，核心分布模型（高考必考）： 1. 单根跨区间（一根<m，一根>m） 充要条件：（无需判别式、无需对称轴） 2. 两根均大于 3. 两根均小于 4. 两根落在区间 内 5. 核心口诀 跨区间只看端点号；同区间判别、轴、端点三者俱全。 知识点05本节课堂核心总结 1. 建模核心：建立函数关系，先设变量、再列式、最后优先写定义域。 2. 方程本质：方程根就是函数零点、就是图像交点横坐标。 3. 不等式本质：函数图像在x轴上下的自变量取值范围。 4. 拔高考点：二次方程根的分布，依靠「判别式+对称轴+端点函数值」数形结合求解参数范围。 知识点06高频易错汇总 1. 混淆零点与交点坐标，零点只是实数； 2. 忽略函数连续性，乱用零点存在定理； 3. 建立函数模型遗漏定义域； 4. 根的分布题型只看端点，漏掉判别式、对称轴条件。 一、填空题 1．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）函数的零点为______． 2．（24-25高一上·上海嘉定·期末）函数的零点是______. 3．（24-25高一上·上海杨浦·期末）若函数在区间内有零点，则实数的取值范围为__________. 4．（24-25高一上·上海·阶段检测）若函数在区间内有两个不同的零点，则实数的取值范围为__________． 5．（25-26高一上·上海·期末）若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是______. 6．（25-26高一上·上海宝山·阶段检测）已知函数，若方程有且仅有3个根，则实数的取值范围为______. 7．设常数，函数，若函数在时有零点，则实数的取值范围是__________. 8．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知函数，若方程恰有七个不相同的实根，则实数的取值范围是__________ 9．市场上常有这样的一个规律：某商品价格越高，购买的人越少，价格越低，购买的人越多．现在某杂志，若定价每本2元的价格，则可以发行10万本，若每本价格每提高0.2元，发行量就减少5000本，要使总收入不低于22.4万元，则每一本杂志的最高定价为______元. 10．某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是y＝3000+20x﹣0.1x2（0＜x＜240，x∈N+），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是_____台． 11．（25-26高一上·上海·阶段检测）如果函数在区间上存在满足，则称为函数在区间上的一个均值点.已知函数在上存在均值点，则实数的取值范围是_____. 12．（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知函数，其中 表示不超过的最大整数，设为正整数，若关于的方程所有根的乘积大于零，则的个数为______． 二、单选题 13．方程解的情况为（    ） A．两个正根； B．一个正根一个负根； C．一个正根； D．无实数根． 14．已知是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·上海虹口·期末）已知，则函数的零点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．（24-25高一上·上海·期末）若函数至少有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 三、解答题 17．函数在区间上有且只有一个零点，求实数k的取值范围． 18．已知，证明关于的方程有两个不等的实根，且这两个根分别在区间和内. 19．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知三次函数． (1)求证：是函数的零点； (2)如果是函数的零点，求证：也是函数的零点． 20．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围. 21．（24-25高一上·上海·期末）某次展会上，跨国A公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在明年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产千台空调，需另投入资金万元，且，经测算，当生产10千台空调需另投入的资金万元：现每千台空调售价为900万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完. (1)求企业年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式； (2)产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？（注：利润=销售额－成本） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 函数关系的建立、用函数观点求解方程和不等式 （知识详解+7典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：函数的零点 知识点02：一元二次方程根的分布与方程系数的关系 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：分段函数模型的应用 题型02：利用二次函数模型解决实际问题 题型03：求函数的零点 题型04：求函数零点或方程根的个数 题型05：零点存在性定理的应用 题型06：根据零点所在的区间求参数范围 题型07：根据二次函数零点的分布求参数的范围 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】函数的零点 1.方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 2.二次函数的零点 判别式 方程的根 函数的零点 两个不相等的实根 两个零点 两个相等的实根 一个二重零点 无实根 无零点 3.二次函数零点的性质 ①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 4.函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根. （2）利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点． （3）利用数形结合法 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标． 【例1】判断函数在区间内是否存在零点，若存在，求出零点。 解：第一步：判断函数连续性 是二次函数，定义域为，图象为连续不断的抛物线，满足零点存在性定理前提条件。 第二步：计算区间端点函数值 第三步：判定零点存在性 ，故函数在内存在零点。 第四步：求解零点 令，即 因式分解得： 解得或。 其中，符合区间要求。 答：函数在区间内存在零点，零点为。 【知识点02】一元二次方程根的分布与方程系数的关系 设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两实根，则x1、x2的分布范围与一元二次方程的系数之间的关系是： ①当x1＜x2＜k时，有 ； ②当k＜x1＜x2时，有； ③当x1＜k＜x2时，； ④当x1，x2∈（k1，k2）时，有 ⑤当x1、x2有且仅有一个在（k1，k2）时，有 【例2】已知方程有两个不等实数根，且一根大于2，一根小于2，求实数的取值范围。 解：第一步：构造对应二次函数 令，二次项系数，抛物线开口向上。 第二步：结合根的分布结论列不等式 由“一根大于2，一根小于2”，根据核心结论可得：只需满足。 第三步：代入计算端点函数值 第四步：解不等式 第五步：验证条件合理性 开口向上且抛物线必然在两侧各有一个交点，方程必有两个不等实根，无需额外验证判别式。 答：实数的取值范围为。 【题型01】分段函数模型的应用 【典例1-1】某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物，（1）如不超过200元，则不予优惠；（2）如超过200元但不超过500元，则全款按9折优惠；（3）如超过500元，其中500元按9折给予优惠，超过500元的部分按8折给予优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元.若他只去一次购买同样价值的商品，则应付款（    ） A．472.8元 B．510.4元 C．522.8元 D．560.4元 【答案】D 【分析】求出两次购物的原价，根据优惠活动计算应付款． 【详解】解：购物500元应付款元， 设第二次购物的原价为，则， 故，解得． 故两次购物原价为元． 若一次购物638元，则应付款元． 故选：． 【点睛】本题考查了函数解析式与函数值的计算，属于基础题． 【变式1-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）某市“招手即停”城乡公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）. 小王乘坐公共汽车，去距离上车点公里处的公司办事，那么小王购买车票的票价为_____. 【答案】元 【分析】由，再由题意，即可求解. 【详解】因为，又，由题知5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）， 所以小王购买车票的票价为元， 故答案为：元. 【变式1-2】（25-26高一上·上海静安·期末）某公司为了节约成本，新设了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似表示为：. (1)设，求月处理量x的取值范围，使得月处理成本不超过30000元； (2)该项目月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低? 【答案】(1) (2)110吨 【分析】（1）根据自变量范围和分段函数解析式，列出不等式，求出结果即可； （2）根据分段函数解析式，写出每吨的平均处理成本解析式，进而根据二次函数性质和基本不等式，求出最小值即可. 【详解】（1）由题意可得,月处理成本不超过30000元， 即为，解得， 可得月处理量x的取值范围为； （2）由题意可得每吨的平均处理成本为， 当时，， 当时，取得最小值； 当时， ， 当且仅当，即时取等号，取得最小值； 综上，当月处理量为110吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 【变式1-3】（25-26高一上·上海金山·期末）2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长t（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：；已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的． (1)求常数c和k的值； (2)已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 【答案】(1)， (2)百GPU小时，“天穹”模型的标准化训练效率最高. 【分析】（1）根据函数的初始值和连续性求出的值即可. （2）先求出不同的范围时的解析式，然后根据基本不等式及二次函数的性质分别求出的最大值，再比较即可. 【详解】（1）因为，又，所以； 所以当时，，又因为在处函数图象是连续不断的， 所以，解得. （2）由（1）可得， 当时，， ， 因为，所以，当且仅当时，即时等号成立， 此时，此时的最大值为4； 当时，， 此时 综上所述，当时，，此时“天穹”模型的标准化训练效率最高. 【题型02】利用二次函数模型解决实际问题 【典例2-1】经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数.日销售量为f(t)=2t+100，价格为g(t)=t+4，则该种商品的日销售额S(单位:元)与时间t的函数解析式为S(t)=_____. 【答案】2t2+108t+400，t∈N 【分析】根据日销售额=日销售量×价格，列关系式即得函数解析式. 【详解】解：因为日销售额=日销售量×价格， 故S=f(t)×g(t)=(2t+100)×(t+4) =2t2+108t+400，t∈N. 故答案为：2t2+108t+400，t∈N. 【点睛】本题考查了数学建模思想，属于基础题. 【变式2-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形居室，如图所示．如果已有材料可建成的围墙总长度为，那么当宽（单位：）为________时，才能使所建造的居室面积最大，居室的最大面积是________（单位：）． 【答案】 【分析】如图可得总面积与宽的关系，进而可得最值. 【详解】由题意，即， 设总面积为 ， 所以，所以， 所以当时，面积最大为， 故答案为：，. 【变式2-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）一校办服装厂花费2万元购买某品牌运动装的生产与销售权.根据以往经验，每生产1百套这种品牌运动装的成本为1万元，每生产（百套）的销售额（万元）满足： (1)求出该服装厂生产1000套此种品牌运动装可获得利润多少万元？ (2)该服装厂生产多少套此种品牌运动装利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)3.1万元 (2)生产700套此种品牌运动装利润最大，最大利润为4万元. 【分析】（1）根据已知条件及关系式即可求解； （2）根据二次函数及基本不等式分段求函数的最值即可求解. 【详解】（1）每生产（百套）的销售额（万元）满足： ， 生产1000套此种品牌运动装即，代入，可得（万元）， 已知购买生产与销售权花费为2万元，每生产1百套这种品牌运动装的成本为1万元， 生产1000套，成本为（万元），故利润为（万元）， 因此生产1000套此种品牌运动装可获得利润3.1万元. （2）当时，利润， 对于二次函数，图像开口向下，对称轴为， 当时，（万元）， 当时，利润， 根据基本不等式可知（万元） 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以当，即生产700套时，利润最大，最大利润为4万元. 因此，生产700套此种品牌运动装利润最大，最大利润为4万元. 【变式2-3】（25-26高一上·上海·期末）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买台机器人的总成本万元. (1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？ (2)现购买台智能机器人，需要安排人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验可得，每台机器人的日平均分拣量（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为件，当机器人日平均分拣量达最大值时，若完成这些分拣任务，求所需要的传统的人工数量. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由总成本，得到平均成本，再利用基本不等式，求解即可. （2）引进台机器人后，求得分段函数的最大值，再除以，求解即可. 【详解】（1）购买台机器人的总成本万元， 每台机器人的平均成本， 当且仅当，即时，等号成立， 所以若使每台机器人的平均成本最低，应买台． （2）， 当时，， 当时，的最大值为件； 当时，件. 台机器人每日的总分拣量为件，完成这些分拣任务所需要的传统人工数为人. 【题型03】求函数的零点 【典例3-1】（25-26高一上·上海普陀·期末）函数的零点为_____． 【答案】 【分析】令，解出的值，即为函数的零点，从而得解. 【详解】令，解得， 故函数的零点为. 故答案为：. 【变式3-1】（24-25高一上·上海·期末）函数的零点为_____________. 【答案】和6 【分析】分和两种情况计算求解时的解，即可得解. 【详解】当时，令即，解得（舍去）或； 当时，令即. 综上可得函数的零点为和. 故答案为：和6 【变式3-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列图象表示的函数中没有零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的图象表示法以及零点的定义直接观察图象与轴是否有交点即可. 【详解】观察图象可知只有A选项中的图象与轴没有交点，其他BCD选项中的图象与轴有交点， 这意味着只有A选项中的函数没有零点. 故选：A. 【变式3-3】（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）设常数，函数. (1)若函数是奇函数，求实数的值； (2)当时，求函数的零点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，列出等式求解即可； （2）由解方程即可； 【详解】（1）由题意知：函数的定义域为， 是奇函数，，即， 即，整理可得：. （2）若，则， ， . 【题型04】求函数零点或方程根的个数 【典例4-1】若表示不大于的最大整数，则函数的零点个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】D 【分析】取，，，此时，得到答案. 【详解】取，，则，此时， 即函数的零点是，，有无数个. 故选：D 【变式4-1】（24-25高一上·上海·期中）已知，，则方程不同解的个数为______． 【答案】3 【分析】分段函数，分段讨论方程解的个数即可. 【详解】当时，方程，即， ，，解得或， 当时，方程，即， ，，解得或， 因为，故此时. 故方程不同解的个数为3. 故答案为：3 【变式4-2】已知抛物线，a，b，c均为整数，记，若均为奇数，则有______个整数解. 【答案】0 【分析】根据给定条件，可得为偶数、为奇数，再结合方程根的意义分析求解. 【详解】由，均为奇数，得为偶数，， 设为的一个整数解，则，而为整数， 当为偶数时，为偶数，c为奇数，则为奇数，与矛盾； 当为奇数时，设，， 则为奇数，与矛盾， 因此无整数解，即有0个整数解. 故答案为：0 【变式4-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列函数的零点个数． (1)； (2)． 【答案】(1)两个零点 (2)只有一个零点 【分析】（1）由，解方程，利用方程根的个数判断函数零点的个数； （2）方法一：由，解方程，利用方程根的个数判断函数零点的个数；方法二：由，得，令，，在同一坐标系中画出和的图象，由图象交点的个数判断零点的个数. 【详解】（1）由，即得， ∴方程有两个不相等的实数根，分别为3、4， ∴函数有两个零点，分别是3、4． （2）（方法一）由，得，∴，∴且， ∴．故函数只有一个零点． （方法二）由，得．令，， 在同一坐标系中画出和的图象，由图可知两函数图象只有一个交点， 故函数只有一个零点． 【题型05】零点存在性定理的应用 【典例5-1】（24-25高一上·上海·期末）已知函数在上连续，则“”是“方程在内至少有两个解”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 【答案】D 【分析】根据充分必要条件的定义和零点存在性定理判断. 【详解】根据题意，若， 则中两正一负，或者三负， 只有当时， 才能得到方程在和内至少各有一个解， 所以“”是“方程在内至少有两个解”的不充分条件； 反之，若方程在内至少有两个解，无法确定的符号， 所以“”是“方程在内至少有两个解”的不必要条件， 所以“”是“方程在内至少有两个解”的非充分非必要条件. 故选：D 【变式5-1】（25-26高一下·上海·阶段检测）若二次函数在区间上是严格增函数，且满足，则方程在区间内（   ） A．至少有一个实根 B．至多有一个实根 C．没有实根 D．必有唯一一个实根 【答案】D 【分析】由零点存在性定理结合函数的单调性判断即可. 【详解】二次函数在区间上连续，且满足， 所以由零点存在性定理可知，在区间上至少存在一个零点， 又因为在区间上是严格增函数， 所以在区间上有且只有一个零点， 即方程在区间内必有唯一一个实根. 【变式5-2】已知函数在区间上的图象是一段连续的曲线，且有如下的对应值表： x 0 1 2 3 4 5 y 2.2 4.6 8.8 设函数在区间上零点的个数为，则的最小值为_________. 【答案】3 【分析】利用零点存在性定理求解即可, 【详解】由题意得， 故由零点存在性定理知函数在区间上零点的个数至少为3， 故的最小值为3. 故答案为：3 【变式5-3】试分析函数在区间上零点的分布情况． 【答案】答案见解析 【分析】利用直接方程法求的零点或利用零点存在定理，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】方法一： 因为， 令，得或, 显然，，则在上有2个零点，分别为． 方法二： 因为开口向上，对称轴为， 所以在区间上单凋递减，在上单调递增， 又，，， 所以在区间上有两个零点，分别在区间与内. 【题型06】根据零点所在的区间求参数范围 【典例6-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知在区间上单调递增，再根据零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数与在区间上均为单调递增函数， 所以函数在区间上单调递增， 因为函数在区间上存在零点， 所以，解得. 所以常数的取值范围为 故选：C 【变式6-1】已知函数的零点在区间内，常数的取值范围为______. 【答案】 【分析】利用函数零点存在性定理即可解决问题. 【详解】∵函数恰有一个零点在区间内， ∴， ∴， 故答案为：. 【变式6-2】（24-25高一下·上海·期中）若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是__． 【答案】 【分析】由函数有零点转化成函数与在区间上有交点，结合图象，易得不等式组，解之即得. 【详解】由可得， 则函数在区间上有零点等价于函数与在区间上有交点， 因在区间上为减函数，在区间上为增函数，如图所示. 由图知，需使，即，解得. 故答案为：. 【变式6-3】已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)若时，有零点，求的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简不等式，再求解即可； （2）转化为方程有解，再分离参数，求函数的值域即可. 【详解】（1）当时，， 所以由可得， 即，所以，解得， 故不等式的解集为. （2）因为时，有零点， 所以在上有解， 即在上有解， 令， 因为，， 所以，故， 所以. 【题型07】根据二次函数零点的分布求参数的范围 【典例7-1】（24-25高一上·上海静安·期末）若函数存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零点的定义，将问题转化为一元二次方程解的问题，可得答案. 【详解】因为函数存在零点，且不能用二分法求该函数的零点， 所以该零点两侧函数值的符号相同， 则有两个相同的解， 则，解得. 故选：D. 【变式7-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知一元二次方程的两根有且只有一个在中，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据二次函数性质，以及零点存在定理，列出不等式，求出参数范围. 【详解】设函数，依题意，函数有两个零点，且在区间内有一个零点， 根据零点存在定理，可知需使，即， 化简得，解得， 当时，即，解得，此时方程有两根为1和3，符合条件； 当时，即，解得，此时方程有两根4和，不合题意. 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式7-2】（24-25高一上·上海·阶段检测）已知函数 (1)若的两根为 且 求实数m的值； (2)若函数的图象在区间上与x轴只有一个交点，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用根与系数关系可得，即可求解； （2）由题意分情况讨论有一个根和二个根，然后列出相应的不等式组，从而可求解. 【详解】（1）由题意可得：，， 由， 化简得，解得. 故. （2）当只有一个根，且此根位于区间， 则得，解得， 所以； 当有两个根时，有一个根在区间内，且另一个根位于之外， 则，解得，即； 当有两个根位于区间内，且只有一个根在区间内，则另一个根为时，可得， 此时，解得另一个根，故此种情况不符题意； 当有两个根位于区间内，且只有一个根在区间内，则另一个根为时，可得， 此时，解得另一个根，故此种情况符合题意； 综上所述：的取值范围为. 【变式7-3】（24-25高一上·上海·期末）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并用定义给出证明； (3)若关于的方程只有一个实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 根据题意，在R上单调递增； 证明：任取，且， 则 ， ∵，∴，∴．即， 故函数在R上单调递增； (3) 【分析】（1）利用函数奇偶性的性质可直接求出a值，再检验即可； （2）利用函数单调性的定义及指数运算的性质验证即得； （3）由题可得方程有且只有一个正数根，分，讨论，利用二次函数的性质可得. 【详解】（1）因为函数是定义在R上的奇函数， 所以，解得， 当时，，定义域R上恒满足， 故满足题意，所以. （2）略 （3）根据题意，若关于的方程只有一个实根， 令，则，则问题等价转化为方程有且只有一个正数根， ①当时，，不合题意， ②当时，若，则或， 若，则，符合题意； 若，则，不合题意， 若，则或，由题意，方程有一个正根和一个负根， 即，解得； 综上，实数的取值范围是． 知识点01函数关系的建立（建模思想） 1. 建函数模型的核心步骤 在实际问题或几何问题中，建立函数关系是高中核心建模能力，标准四步法： ①设变量：确定自变量与因变量，厘清题目变化关系； ②列关系式：根据题意、几何公式、等量关系列出关于的解析式； ③定定义域：结合实际意义、几何约束、式子有意义限定自变量范围； ④得函数：写出完整函数 。 2. 常见建模类型 几何型（周长、面积、体积最值）、经济型（利润、成本、单价）、变化型（增减变化、动态变量）。 3. 核心易错点 建立函数解析式后必须书写定义域，无定义域的函数关系式不完整，考试直接扣分。 知识点02函数观点看方程（数形结合核心） 1. 核心等价关系 方程、函数零点、图像交点三者完全等价： 2. 函数零点定义 设函数，定义域，若且，则为函数的零点。 重点：零点是数值，不是坐标点。 3. 零点存在性定理 若在上图像连续不断，且满足： 则在区间内至少存在一个零点。 4. 零点唯一性判定 若在上单调且，则区间内有且仅有一个零点。 5. 定理易错总结 ，无法判定无零点；图像不连续，定理失效；定理只能判存在，不能判个数。 知识点03函数观点看不等式（数形结合解题） 1. 一元函数不等式核心转化 ⇔ 函数图像在x轴上方的横坐标集合 ⇔ 函数图像在x轴下方的横坐标集合 包含零点对应横坐标 2. 双函数不等式转化 ，利用新函数图像正负求解解集。 3. 解题思想 解方程看交点，解不等式看上下位置，以形助数、数形结合。 知识点04重难点拓展：一元二次方程根的分布 设二次函数 ，判别式 ，开口向上，核心分布模型（高考必考）： 1. 单根跨区间（一根<m，一根>m） 充要条件：（无需判别式、无需对称轴） 2. 两根均大于 3. 两根均小于 4. 两根落在区间 内 5. 核心口诀 跨区间只看端点号；同区间判别、轴、端点三者俱全。 知识点05本节课堂核心总结 1. 建模核心：建立函数关系，先设变量、再列式、最后优先写定义域。 2. 方程本质：方程根就是函数零点、就是图像交点横坐标。 3. 不等式本质：函数图像在x轴上下的自变量取值范围。 4. 拔高考点：二次方程根的分布，依靠「判别式+对称轴+端点函数值」数形结合求解参数范围。 知识点06高频易错汇总 1. 混淆零点与交点坐标，零点只是实数； 2. 忽略函数连续性，乱用零点存在定理； 3. 建立函数模型遗漏定义域； 4. 根的分布题型只看端点，漏掉判别式、对称轴条件。 一、填空题 1．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）函数的零点为______． 【答案】 【分析】直接令，求方程的实数根即为零点． 【详解】由，得 ． 故答案为： 2．（24-25高一上·上海嘉定·期末）函数的零点是______. 【答案】6 【分析】令，解方程求得答案. 【详解】令，即， 则，， 解得或（舍去）， 所以函数的零点为6. 故答案为：6. 3．（24-25高一上·上海杨浦·期末）若函数在区间内有零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】分析函数在区间上的单调性，结合题意可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为函数在区间上单调递减，且该函数在区间内有零点， 则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·阶段检测）若函数在区间内有两个不同的零点，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】利用根的分布列出限制条件可得答案. 【详解】要满足题意，则，解得． 故答案为： 5．（25-26高一上·上海·期末）若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】或 【分析】求解方程的根，即可分情况讨论求解. 【详解】令，得，令，解得或. 函数的零点只能从中产生. 要使恰有两个零点，分以下情况讨论： 1) 零点为和，需满足，解得. 2) 零点为和，需满足，即，解得. 3) 零点为和，需满足，即，该不等式组无解. 综上，实数的取值范围是或. 故答案为：或. 6．（25-26高一上·上海宝山·阶段检测）已知函数，若方程有且仅有3个根，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】将问题转化为方程有2个非零根，画出 的图象，再根据与直线有2个交点数形结合求解即可. 【详解】方程即， 显然为方程的一个根， 由题意方程有2个非零根，则函数与有两个交点， 画出函数的图象，如图所示： 由图可知，故实数的取值范围为. 故答案为： 7．设常数，函数，若函数在时有零点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由函数在时有零点，则，根据指数函数的性质结合二次函数的性质求出即可得解. 【详解】解：令， 则， 因为，所以，则， 所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 8．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知函数，若方程恰有七个不相同的实根，则实数的取值范围是__________ 【答案】 【分析】令，设方程的两根分别为、，不妨设，数形结合可知，，利用韦达定理可求得实数的取值范围. 【详解】令，设方程的两根分别为、，不妨设， 作出函数的图象如下图所示： 因为方程恰有七个不相同的实根，则，， 由韦达定理可得，故. 故答案为：. 9．市场上常有这样的一个规律：某商品价格越高，购买的人越少，价格越低，购买的人越多．现在某杂志，若定价每本2元的价格，则可以发行10万本，若每本价格每提高0.2元，发行量就减少5000本，要使总收入不低于22.4万元，则每一本杂志的最高定价为______元. 【答案】3.2 【分析】设杂志的最高定价为元，总销售收入为元，根据题意列出二次函数关系式，然后解不等式，求得自变量的取值范围，进而得到答案. 【详解】设杂志的最高定价为元，总销售收入为元， 根据题意得：， 当时，解得：， 所以每一本杂志的最高定价为元. 故答案为. 10．某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是y＝3000+20x﹣0.1x2（0＜x＜240，x∈N+），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是_____台． 【答案】150 【分析】首先应该仔细审题分析成本y与产量x的关系以及以及获利与产量的关系，再结合企业不亏本即收入要大于等于支出即可得到关于x的一元二次不等式解之． 【详解】解：由题意可知：要使企业不亏本则有总收入要大于等于总支出， 又因为总收入为：25x， 总支出为：3000+20x﹣0.1x2 ∴25x≥3000+20x﹣0.1x2 解得：x≥150或x≤﹣200 又x∈（0，240） ∴， ∴生产者不亏本时的最低产量为150台， 故答案为：150． 11．（25-26高一上·上海·阶段检测）如果函数在区间上存在满足，则称为函数在区间上的一个均值点.已知函数在上存在均值点，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据均值点定义将问题转化为方程在内有解，通过换元法将指数方程转化为二次函数问题，分析该二次函数在对应区间上的单调性，求得其值域，进而得到实数的取值范围. 【详解】根据均值点定义，存在，使得. ，，故. 问题转化为：方程在上有解. 令（因，故），则、， 方程化为. 函数的对称轴为，在上单调递增, ，， 故的值域为. 故答案为： 12．（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知函数，其中 表示不超过的最大整数，设为正整数，若关于的方程所有根的乘积大于零，则的个数为______． 【答案】4 【分析】根据题意先确定方程没有非正根，进而得到，结合为正整数即可求解． 【详解】，即， 当时，为严格减函数， 故方程没有非正根（否则使得根的乘积非正，不符合题意）， 又，则时，， 故，而为正整数， 从而的取值为， 则的个数为． 二、单选题 13．方程解的情况为（    ） A．两个正根； B．一个正根一个负根； C．一个正根； D．无实数根． 【答案】C 【分析】作函数函数与的图象，数形结合求解. 【详解】作函数与的图象，如图， 由图象可知，方程有一个正根， 故选：C 14．已知是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在性定理可得答案. 【详解】因为在是增函数，且其图象是连续不断的一条曲线， ，所以. 故选：C 15．（25-26高一上·上海虹口·期末）已知，则函数的零点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】代入抽象函数解析式，求出零点可得. 【详解】， 令，可得或. 故选：C 16．（24-25高一上·上海·期末）若函数至少有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，问题转化为与的图象有交点，数形结合求解. 【详解】函数有零点，则方程有根，即有根， 因此函数的图象与直线有交点， 而函数是R上的偶函数，在上单调递减，函数的值域为， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图，    观察图象知，当且仅不，即时，函数的图象与直线有交点， 所以的取值范围为. 故选：C 三、解答题 17．函数在区间上有且只有一个零点，求实数k的取值范围． 【答案】 【分析】讨论三种情况，分别根据一次函数，二次函数的性质研究函数在区间上有且只有一个零点满足的条件即可求解. 【详解】当时，，函数有1个零点3，符合题意； 当时，因为 所以函数在区间上有且只有一个零点， 只需即可 即 ， 解得， 所以， 当时，函数在区间上有且只有一个零点， 只需满足， 即， 解得 综上可得或， 即实数k的取值范围为 【点睛】本题主要考查了函数零点，一次函数、二次函数的性质，分类讨论的思想，属于中档题. 18．已知，证明关于的方程有两个不等的实根，且这两个根分别在区间和内. 【答案】证明见解析 【分析】计算出，利用零点存在定理可证得结论成立. 【详解】设， ， ，则，，，则， 由于， ， ， 则，， 因此，关于的方程有两个不等的实根，且这两个根分别在区间和内. 【点睛】本题考查二次函数零点所在区间的判断，考查零点存在定理的应用，考查推理能力，属于中等题. 19．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知三次函数． (1)求证：是函数的零点； (2)如果是函数的零点，求证：也是函数的零点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）设，当时，代入得，即可证明； （2）若是函数的零点，则，可得，即可证明. 【详解】（1）设， 则， 故是的零点． （2）因为是的零点， 则，， 则， 故也是的零点． 20．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数函数的定义域和单调性解不等式. （2）先转化为方程只有一个正根，再分和进行讨论. 【详解】（1）， 所以所求解集为. （2）因，由题意只有一个正根. 若，满足题意； 当时， 若，此时方程仅有一个实根为，满足题意； 若，即且时，此时方程的两根之积为，由可得. 综上，或. 所以实数的取值范围为：. 21．（24-25高一上·上海·期末）某次展会上，跨国A公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在明年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产千台空调，需另投入资金万元，且，经测算，当生产10千台空调需另投入的资金万元：现每千台空调售价为900万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完. (1)求企业年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式； (2)产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？（注：利润=销售额－成本） 【答案】(1) (2)产量为（千台）时，企业所获年利润最大，最大利润为（万元）. 【分析】（1）根据已知数据，先求得参数；再根据关于的关系，即可求得函数关系式； （2）根据（1）中所求函数关系式，求函数的最大值即可. 【详解】（1）因为当生产10千台空调需另投入的资金万元， 故，解得； 则， 即； （2）当时，， 当时，取得最大值为； 当时，， 当且仅当，即时，取得最大值为； 综上所述，当时，取得最大值， 即产量为（千台）时，企业所获年利润最大，最大利润为（万元）. 1 学科网（北京）股份有限公司 $