第10讲 抛物线中的定点定值定直线问题 讲义-2027届高考数学一轮复习抛物线专题（新高考通用）

该高中数学讲义聚焦抛物线定点、定值、定直线高考核心考点，按问题类型构建知识体系，涵盖动直线过定点、动点在定直线、斜率面积等定值问题，通过知识要点梳理、通用解法归纳、典型例题精讲、分层变式训练的教学流程，帮助学生系统掌握圆锥曲线难点，提升解题针对性。 讲义突出解题方法创新，提炼参数分离法、特殊点探路法等通用策略，总结焦点弦、垂直弦等经典模型，结合数学思维中的推理能力和数学语言中的模型观念，如定点问题中通过参数分离推导直线方程，培养学生逻辑推理与运算能力。分层练习设计保障复习效果，为教师提供清晰的考点突破路径，助力学生高效备战高考。

第09讲 抛物线定点，定值，定直线 目 录 知识要点 2 题型归纳 6 题型01：抛物线定点问题 6 （一）抛物向上两个动点，衍生直线过定点 6 （二）满足斜率，向量，长度关系定值过定点 9 （三）圆过定点 13 （四）切线相关定点 错误！未定义书签。 （五）参数，坐标变换类过定点 17 题型02：抛物线定直线问题 19 题型03：抛物线定值问题 24 （一） 斜率定值 24 （二） 斜率和，积定值 26 （三） 距离及距离关系定值 28 （四） 面积定值 31 （五） 参数定值 34 （六） 向量定值 36 知识点一：抛物线定点问题 一、考情分析 1.定点问题是高考圆锥曲线高频难点，抛物线定点分为两类核心题型： ①动直线恒过定点（高考主流大题）； ②动点恒落在定点 / 定直线上。 2.核心解题逻辑：变量动态变化，但定点坐标恒定不变，通过参数表示直线方程，分离参数，令参数系数全部为 0，解出定点坐标。 二、必备基础公式与结论 1.抛物线标准方程（开口向右）y²=2px (p>0) 焦点 F (p/2,0)，准线直线 x=-p/2 2.设抛物线上两点 A (x₁,y₁)，B (x₂,y₂)，满足 y₁²=2px₁，y₂²=2px₂。 3.直线最优设法（规避斜率不存在讨论）设直线：x=ty+m （t 代表斜率倒数；m 是直线与 x 轴交点横坐标，可覆盖垂直 x 轴所有直线）。 4.联立方程 + 韦达定理（通用万能式） 联立方程组消去 x 得一元二次方程： y²-2pty-2pm=0 判别式：Δ=4p²t²+8pm>0 韦达定理：y₁+y₂=2pt y₁y₂=-2pm 推论：两点横坐标乘积 x₁x₂=(y₁y₂)²÷4p²=m² 抛物线两点式直线简化结论：过抛物线上 A、B 两点的直线满足：y₁y₂=p (x+x₁) 推导思路：两点方程作差求斜率 =2p÷(y₁+y₂)，再用点斜式化简。 三、定点问题两大通用解法 解法 1：参数分离法（大题标准解法） 步骤： S1.设出动直线，引入参数 t、m、k； S2.根据垂直、斜率定值、向量数量积等题干条件，推导出参数之间的等量关系； S3.整理直线方程，写成：M (x,y)・t + N (x,y) = 0； S4.等式对任意参数恒成立，等价于方程组： M (x,y)=0 N (x,y)=0 S5.解方程组得到定点坐标。 解法 2：特殊点探路法（选择填空提速） 步骤： S1.选取两条特殊位置的动直线，求出两条直线交点； S2.代数证明所有动直线均经过该交点。 四、高频定点模型（直接套用） 模型 1：原点处两条互相垂直的弦 抛物线 y²=2px，OA 垂直 OB，直线 AB 恒过定点 (2p,0)。 模型 2：x 轴定点弦对称等角模型 若直线过 M (m,0) 交抛物线于 A、B，则 x 轴上点 R (-m,0) 满足∠ARM=∠BRM； 逆命题成立：若∠ARM=∠BRM，则直线 AB 过 (m,0)。 模型 3：焦点弦定点结论 焦点 F (p/2,0)，AB 为抛物线焦点弦，直线 AB：x=ty+p/2，韦达 y₁y₂=-p²； A 关于 x 轴对称点为 A'，直线 A'B 恒过原点 (0,0)。 知识点二：抛物线定直线问题 一、考情解读 抛物线定直线问题是圆锥曲线常考题型，分为两大类： ①动点恒在某条定直线上（核心大题）； ②动切点、动交点、动垂线交点落在固定直线； 核心思路：设点设参，利用抛物线方程、韦达定理消参，消去参数后得到 x、y 恒满足的一次方程，即为定直线。 2、 前置必备知识点 1.标准抛物线：y²=2px (p>0),抛物线上任一点 P (x₀,y₀) 满足 y₀²=2px₀ 2.点差求斜率 A (x₁,y₁)、B (x₂,y₂) 在抛物线上：y₁²=2px₁，y₂²=2px₂两式作差：(y₁-y₂)(y₁+y₂)=2p (x₁-x₂) 直线 AB 斜率 k= 3.切线方程（高频考点） 抛物线 y²=2px 在点 P (x₀,y₀) 处切线：y₀y=p (x+x₀) 4.直线通用设元：x=ty+m，规避斜率不存在讨论 联立抛物线得 y²-2pty-2pm=0 韦达：y₁+y₂=2pt，y₁y₂=-2pm 3、 定直线两大通用解题方法 方法 1：消参法（通用大题解法） 步骤： S1.设动点坐标、引入参数 t/m/k； S2.根据题干垂直、切线、向量、斜率条件，写出动点横纵坐标关于参数的表达式； S3.联立 x、y 表达式，消去所有参数，得到只含 x、y 的等式； S4.若等式为一次方程 Ax+By+C=0，该直线即为定直线。 方法 2：特殊点预判法（选择填空快速判定） 步骤： S1.取两组特殊参数，算出两个动点坐标； S2.两点确定一条直线，写出直线方程； S3.代数证明所有动点均满足该直线方程。 四、三大经典定直线模型（直接套用结论） 模型 1：抛物线两条切线交点在定直线（极点极线） 抛物线 C：y²=2px，过直线 x=-m 上任意一点 M 作抛物线两条切线 MA、MB，则切点弦 AB 恒过定点； 逆命题：若动直线 AB 过定点 M (m,0)，则 A、B 两点处切线交点恒在定直线 x=-m 上。 模型 2：焦点弦两端点切线交点在准线上 抛物线 y²=2px，AB 为过焦点 F (,0) 的焦点弦，分别过 A、B 作切线，两条切线交点恒在准线 x=- 上。 推论：焦点弦端点切线互相垂直。 模型 3：垂直条件下动点轨迹为定直线 过原点作互相垂直两条直线交抛物线于 A、B，过 A、B 切线交点落在定直线 x=-2p。 知识点三：抛物线定值问题 一、考情分析 抛物线定值问题是高考圆锥曲线必考题型，核心特征：直线、点在运动变化，但某线段长度、斜率乘积 / 和、向量数量积、比值、距离等数值始终不变，即为定值。 1.三大考查方向： ①坐标代数式定值（x₁x₂、y₁y₂、x₁+x₂等） ②斜率关系定值（k₁・k₂、k₁+k₂） ③线段、向量、距离、面积比值定值 2. 核心解题思路：设参→联立→韦达代入→化简消去参数，结果不含参数即为定值。 3、 前置基础储备 1. 基础抛物线方程 标准开口向右：y²=2px (p>0) 焦点 F (p/2 , 0)，准线 x=- 抛物线上两点 A (x₁,y₁)、B (x₂,y₂)，满足 y₁²=2px₁，y₂²=2px₂ 2. 直线通用设法（避斜率不存在） 设直线 AB：x=ty+m 联立抛物线消 x：y²-2pty-2pm=0 判别式 Δ=4p²t²+8pm 韦达定理（核心公式）： y₁+y₂=2pt y₁y₂=-2pm 推论：x₁x₂=(y₁y₂)²/(4p²)=m² 3. 切线与斜率公式 抛物线上两点连线斜率：=2p/(y₁+y₂) 点 P (x₀,y₀) 处切线：y₀y=p (x+x₀) 三、定值通用两大解法 解法 1：韦达代入消参法（大题标准解法） 步骤： S1.设动点、动直线，引入参数 t、m； S2.联立抛物线写出 y₁+y₂、y₁y₂； S3.把要求定值的式子全部用 x₁、x₂、y₁、y₂表示； S4.全部替换为韦达定理表达式，展开化简； S5.化简后参数全部抵消，剩余常数即为定值。 解法 2：特殊值预判法（选填提速） 步骤： S1.取两条特殊位置直线，分别计算目标代数式的值； S2.若两次结果相等，预判该常数为定值； S3.再用韦达代数证明一般情况恒为此值。 四、四大高频定值模型（直接背诵结论） 模型 1：焦点弦经典定值（最高频） 抛物线 y²=2px，AB 为过焦点 F (p/2,0) 的焦点弦，直线 AB：x=ty+ 联立得 y₁y₂=-p²（定值） 推论 1：x₁x₂=（定值） 推论 2：1/|AF| + 1/|BF| = 2/p（定值，焦点弦倒数和） 推论 3：A、B 在准线投影为 A₁、B₁，则∠A₁FB₁=90° 模型 2：过 x 轴定点弦的斜率定值 直线过 M (a,0) 交抛物线 y²=2px 于 A、B，则 ・= （定值） 特例：过原点垂直弦 OA⊥OB，直线 AB 过 (2p,0)，对应 x₁x₂+y₁y₂=0 恒成立。 模型 3：切线相关定值 焦点弦两端切线互相垂直，斜率乘积 =-1（定值） 动直线过 M (m,0)，两点切线交点 P，直线 OP 斜率与 AB 斜率乘积为定值。 模型 4：坐标对称斜率和定值 抛物线上定点 P，直线 PA、PB 斜率之和为 0，则 为定值。 题型01：抛物线定点问题 （一）抛物向上两个动点，衍生直线过定点 【典型例题1】在平面直角坐标系中，已知圆心为点的动圆恒过点，且与直线相切，设动圆的圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过轴上点的直线与相切于点，过且垂直于的直线交于两点，为线段的中点，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由抛物线的定义求解即可； （2）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，由与相切可得可求出，再由“点差法”求出，分类讨论直线的斜率不存在和存在可求出直线的方程，即可求出直线过的定点. 【详解】（1）依题意，圆心的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以曲线的方程为． （2）设直线的方程为， 与的方程联立，得， 当与相切时，，则， 代入可得：，故． 直线的方程为，与的方程联立得． 设，则， ， 所以， 所以． 当直线的斜率不存在时，，解得， 此时直线的方程为． 当直线的斜率存在时，的方程为， 由抛物线的对称性，可知定点在轴上， 令，则， 所以，所以直线过定点． 综上，直线过定点． 【变式训练1-1-1】已知抛物线的焦点为F，抛物线上的点P的横坐标为2，且． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点F的直线l交抛物线于A，B两点，设点，设直线EA，EB分别与抛物线交于另一点C，D，求证：直线CD过定点，并求出定点坐标． 【变式训练1-1-2】直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若线段的长是的中点到轴的距离是2. (1)求抛物线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线和，分别交曲线于点和.设线段的中点分别为，求证：直线过定点； 【变式训练1-1-3】已知抛物线的焦点为F，直线与W相切． (1)求W的方程． (2)过点F且与平行的直线与W相交于M、N两点，求． (3)已知点，不垂直于x轴的直线l与抛物线W交于A、B两点，若直线AQ、BQ关于x轴对称，求证：直线l过定点并写出定点坐标． 【变式训练1-1-4】已知抛物线的焦点为，过点且与轴不垂直的直线与交于两点，且点与点关于轴对称. (1)若，点的坐标为，求的值； (2)若，求的值； (3)证明：直线恒过定点. 【变式训练1-1-5】已知抛物线C：经过点，C的焦点F在x轴的正半轴上，点A，B在C上运动． (1)求C的方程． (2)若直线AB的方程为，求内切圆的半径r． (3)设点，且EF平分，试问直线AB：是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【变式训练1-1-6】已知抛物线与双曲线的渐近线在第一､四象限的交点分别为P，，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于两点，关于轴的对称点为. （i）若，求直线的方程. （ii）证明：直线必过定点. 【变式训练1-1-7】已知抛物线 的焦点为为坐标原点，抛物线上存在点到和的距离都等于． (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线交抛物线于两点，直线与抛物线相交于另一点，直线与抛物线相交于另一点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：直线经过定点． 【变式训练1-1-8】已知M，m分别为五个实数的最大值和最小值.若从这五个数中去掉后，求得它们的平均数为90.5.若从这五个数中去掉后，求得它们的平均数为91.记 (1)求焦点为，准线方程为的抛物线的标准方程； (2)在（1）的条件下，若点为上一点，A，B为上异于点的两个动点，且，求证：直线恒过定点. 【变式训练1-1-9】已知F为抛物线的焦点，点M在抛物线C上，O为坐标原点，的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆周长为． (1)求抛物线C的方程； (2)设，B是抛物线C上一点，且，直线与直线交于点Q，过点Q作轴的垂线交抛物线C于点N，证明：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标． （二）满足斜率，向量，长度关系定值过定点 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，点在直线上，是抛物线上两个不同的点. (1)求抛物线的方程； (2)设直线的斜率为，若，证明：直线过定点，并求定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）根据抛物线焦点坐标求解即可； （2）法一：设所在直线方程为，联立，根据韦达定理代入求解即可； 法二：先讨论当直线的斜率不存在时，直线过点，再分析当直线的斜率存在时，设所在直线方程为 ，联立，再根据求解即可. 【详解】（1）的焦点在轴上，为， 直线与轴的交点坐标为， 则，即 所以抛物线为 （2）法一：由题意可知所在直线斜率不为0， 设所在直线方程为，联立，化简可得： ， 则， 又 则，满足（*）式 即直线恒过点 法二：当直线的斜率不存在时，设， 所以，所以，所以直线的方程为； 当直线的斜率存在时，设所在直线方程为 ，联立，化简可得：， 由题意可知即（*）； 由韦达定理知， 所以， 所以，满足（*）式； 所以所在直线方程为 综上，直线恒过点 【变式训练1-2-1】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点的横坐标为1，且是抛物线上异于坐标原点的两点． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线、的斜率之积为－4，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标． 【变式训练1-2-2】已知动圆过定点，且与直线相切，其中. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)设，是轨迹上异于原点的两个不同点，若以为直径的圆恰好过点，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标； (3)设，是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当时，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标. 【变式训练1-2-3】已知点到点的距离比它到直线的距离小． (1)求点的轨迹方程； (2)为坐标原点，点，在曲线上，设直线且. （i）证明：直线过定点； （ii）若直线的斜率大于，且的面积为，求直线的方程. 【变式训练1-2-4】已知定点，定直线，动圆过点，且与直线相切． (1)求动圆的圆心所在轨迹的方程； (2)已知点是轨迹上一点，点是轨迹上不同的两点（点均不与点重合），设直线的斜率分别为，且满足，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 【变式训练1-2-5】已知F是抛物线C：的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)直线l与抛物线C交于A，B两点，若（O为坐标原点），则直线l否会过某个定点？若是，求出该定点坐标. 【变式训练1-2-6】已知抛物线：（）的焦点到直线的距离为，不过原点的直线与交于，两点. (1)求的标准方程； (2)若直线的方程为，求； (3)若垂直于，求证：直线过定点； 【变式训练1-2-7】已知抛物线的焦点为，的准线与轴交于点，. (1)求的方程. (2)已知为坐标原点，直线交于，两点. （ⅰ）证明：. （ⅱ）若，证明：过定点. 【变式训练1-2-8】已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． (1)求抛物线的方程； (2)若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 【变式训练1-2-9】已知点，点P在y轴上，点Q在x轴上，且满足． (1)当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹的方程； (2)设点为轨迹内一定点，过E作斜率分别为的两条直线交轨迹于点A，B和C，D，且S，T分别是线段AB，CD的中点． （i）当且时，求面积的最小值； （ⅱ）若（为常数），证明：直线ST过定点． （三）圆过定点 【典型例题】已知抛物线的焦点为F，准线为l. (1)写出以坐标轴为对称轴、F为焦点、离心率为的椭圆的标准方程； (2)设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的方程； (3)经过点F且斜率为的直线与相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA、OB分别与l相交于点M、N.试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)是，和 【分析】（1）先求抛物线的焦点坐标，再根据题意求椭圆的，即可得解； （2）解法一：设点，根据题意可得点P的轨迹方程为，从而求出点P的坐标，可得解直线方程； 解法二：根据抛物线的定义进行转化分析可得，进而可得直线EP的倾斜角与斜率，利用点斜式求直线方程； （3）设直线的方程及A，B两点的坐标，进而可求M，N两点的坐标，结合韦达定理求圆C的圆心及半径，根据圆C的方程分析判断定点. 【详解】（1），设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b， 因为离心率为，所以，得，. 所以椭圆的标准方程为. （2）解法一：的准线方程为， 设点，因为， 所以，得， 因为，所以，所以， 因为P在第一象限，所以点P的坐标为. 所以直线EP的斜率为，直线EP的方程为. 解法二：的准线方程为， 过点P作的准线的垂线，垂足为M,， 因为，所以， 因为P在第一象限，所以直线EP的倾斜角为. 所以直线EP的方程为. （3）设点. 由已知直线的方程为. 将代入抛物线方程得. 所以. 因为直线OA的方程为，直线OB的方程为， 令，得M，N的纵坐标分别为. 得到圆C方程为. 因为，所以整理得. 令，得或. 所以圆C过定点和. 【变式训练1-3-1】已知过点的直线与抛物线交于两点，过线段的中点作直线轴，垂足为，且. (1)求抛物线的方程； (2)若为上异于点的任意一点，且直线与直线交于点，证明：以为直径的圆过定点. 【典型例题】已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合． (1)求椭圆C和抛物线E的方程； (2)设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证： （i）直线AB过定点，并求该定点的坐标； （ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 【答案】(1)， (2)（i）证明见解析，；（ii）证明见解析 【分析】（1）由题意列方程求得可得椭圆方程，进一步求得可得抛物线方程； （2）（i）由题意可设可设，分析得知直线的方程为，令即可得证；（ii）联立得，结合韦达定理，焦点弦公式表示出以及中点的坐标，只需证明即可. 【详解】（1）由题，解得， ∴椭圆的方程为，其上顶点坐标为， ∴，即． ∴抛物线的方程为． （2） 由（1）知，抛物线的准线方程为， ∴可设， （i）由得，且． 又， ∴抛物线在处的切线方程为，即． 在切线上， ①， 同理可得②， 由①②得直线的方程为， 令，则， 所以直线恒过抛物线的焦点． （ii）联立得， ∴， 则线段AB的中点为，， 又， ∴MN与抛物线E的准线垂直，且， 故以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 【变式训练1-4-1】已知抛物线的焦点F关于直线的对称点为，在抛物线E上有三点A，B，C，点A在y轴左侧，点B，C在y轴右侧且点B在曲线段AC上，过三点A，B，C作E的切线，与分别交于点P和Q，直线与交于点M． (1)求E的方程； (2)若直线AC过点F，证明：点Q在定直线上； (3)若是以MQ为底的等腰三角形，证明：直线PC过定点， 【变式训练1-4-2】已知抛物线的焦点F关于直线的对称点为，在抛物线E上有三点A，B，C，点A在y轴左侧，点B，C在y轴右侧且点B在曲线段AC上，过三点A，B，C作E的切线，与分别交于点P和Q，直线与交于点M． (1)求E的方程； (2)若直线AC过点F，证明：点Q在定直线上； (3)若是以MQ为底的等腰三角形，证明：直线PC过定点， （五）参数，坐标变换类过定点 【典型例题】已知动圆过定点，且在x轴上截得的弦长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)若直线l与曲线E相交于M，N两点，且线段MN的中点横坐标为1，求直线l的斜率； (3)将曲线E绕原点顺时针旋转得到曲线，定点，上有四点A，B，C，D，满足，AKC，BKD均三点共线.设线段AC和BD的中点分别为T，S，试判断：直线TS是否会经过一个定点？若会，请求出这个定点的坐标；若不会，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)会，直线过点. 【难度】0.4 【知识点】求抛物线的轨迹方程、抛物线中的直线过定点问题、抛物线的中点弦 【分析】（1）设动圆圆心为，利用圆的弦长与半径关系列方程整理，即可得轨迹方程； （2）设，应用点差法得，结合已知即可得； （3）将曲线绕原点顺时针旋转得到曲线，设并联立，应用韦达定理及中点坐标求出坐标，同理求坐标，分类讨论参数判断直线是否过定点即可. 【详解】（1）设动圆圆心为，则有，整理得，故曲线E的方程； （2）设，则，可得， 所以，即，故直线斜率为； （3）将曲线绕原点顺时针旋转得到曲线，则为的焦点， 由题意，直线的斜率都存在且不为0，设，联立， 所以，设，且， 所以，，则，， 所以，同理得， 当，则，则，即恒过定点； 当，则，，显然直线过点； 当，则，，显然直线过点； 综上，直线过定点. 【变式训练1-5-1】如图，已知抛物线，过点作斜率为，的直线，，分别交抛物线于点，与，．    (1)若点是抛物线上位于第一象限内一点，且其到焦点的距离为2，求点的坐标； (2)若，证明：； (3)若直线过点，请判断直线是否过定点，若是，请求出此定点坐标；若不是，请说明理由． 【变式训练1-5-2】已知抛物线，且过抛物线焦点作直线交抛物线于，两点，弦长最小值为4 (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于点，且直线过定点，连接直线并交抛物线于点，请问直线是否经过定点，若是请求出定点坐标，若不是请说明理由. 题型02：抛物线定直线问题 【典型例题1】已知抛物线的焦点为F，准线为l，记准线l与x轴的交点为A，过A作直线交抛物线C于，两点． (1)若，求的值； (2)若M是线段AN的中点，求直线的方程； (3)若P，Q是准线l上关于x轴对称的两点，问直线PM与QN的交点是否在一条定直线上？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)在定直线上，理由见解析 【分析】（1）根据焦半径公式即可求出； （2）设直线MN的方程，与抛物线联立即可利用M是线段AN的中点求出m，从而求出直线的方程； （3）设，即可求出直线PM与QN的方程，联立即可解出交点，从而可以判断交点在定直线上． 【详解】（1）根据题意，得 因为抛物线，所以准线为， 所以； （2）由题意可知，直线的斜率不为0，故设直线的方程， 联立，消去，可得， 所以，即，，， 而M是线段AN的中点，所以，故， 解得，故，解得， 所以直线MN的方程为，即； （3）直线MN的方程，设， 则，， 联立消去可得：，即，整理得：， 将，代入得，故，， 所以直线PM与QN的交点在定直线上． 【典型例题2】如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时，.    (1)求抛物线C的标准方程； (2)求证：点P在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据抛物线的定义及韦达定理可求解； （2）根据垂心建立斜率之间的关系，从而得到直线，两直线联立得到点的坐标，结合韦达定理，从而可得点P在定直线上. 【详解】（1）设直线l的方程为，，. 由得. 所以，.由抛物线定义，得 . 当直线l的倾斜角为30°时，， . 所以，即抛物线C的标准方程为. （2）由（1），得，. 因为的垂心为原点O，所以，. 因为，所以. 所以直线AP的方程为，即. 同理可得，直线BP的方程为. 联立方程解得 即.所以点P在定直线上. 【变式训练2-1】如图，过点作两条直线和：（）分别交抛物线于，和，（其中，位于轴上方），直线，交于点．则下列说法正确的（    ） A．，两点的纵坐标之积为 B．点在定直线上 C．点与抛物线上各点的连线中，最短 D．无论旋转到什么位置，始终有 【变式训练2-2】经过抛物线的焦点的直线交此抛物线于，两点，抛物线在，两点处的切线相交于点，则点必定在直线 上．（写出此直线的方程） 【变式训练2-3】已知顶点在坐标原点，焦点在轴上的抛物线过点. (1)求抛物线的标准方程； (2)过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点， （i）若点在第一象限且，求直线的方程； （ii）若抛物线在、两点处的切线交于点，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 【变式训练2-4】已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线C上，且，直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点． (1)求抛物线C的方程； (2)若直线交抛物线C于M，N两点，直线AM与BN交于点T，求证：点T在定直线上． 【变式训练2-5】已知椭圆过点，离心率为，抛物线的准线交轴于点，过点作直线交椭圆于，． （1）求椭圆的标准方程和点的坐标； （2）设，是直线上关于轴对称的两点，问：直线与的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由． 【变式训练2-6】已知F为抛物线的焦点，直线与C交于A，B两点且. （1）求C的方程. （2）若直线与C交于M，N两点，且与相交于点T，证明：点T在定直线上. 【变式训练2-7】已知抛物线的顶点在坐标原点处，对称轴为轴，且过点，，是上两个动点． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知是焦点，若点，在以（异于点）为直径的圆上，求直线的方程； (3)已知为直线在第二象限内一点，直线，与抛物线分别相切于，两点，设，与轴分别交于，两点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 【变式训练2-8】在直角坐标系中，点到直线的距离与点到点的距离相等，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知经过点的直线与交于，两点，且． （ⅰ）求直线的方程； （ⅱ）若经过点的直线（与不重合）与交于，两点，且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上． 【变式训练2-9】已知曲线上的点到的距离比它到轴的距离大1. （1）求曲线的方程； （2）过作斜率为的直线交曲线于､两点； ①若，求直线的方程； ②过､两点分别作曲线的切线､，求证：､的交点恒在一条定直线上. 【变式训练2-10】已知抛物线，直线与相交于、两个不同点，在轴左侧，且． (1)求抛物线的方程； (2)过抛物线焦点的直线与相交于、两个不同点（异于、两点），在轴左侧． ①若直线的斜率为，求的值； ②设直线与相交于点，证明：点在定直线上． 【变式训练2-11】已知抛物线：的准线方程为. (1)求的方程. (2)过点且斜率为的直线与交于，两个不同的点，为坐标原点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的取值范围； （ⅲ）过点作轴的垂线，交直线于点，证明：线段的中点在一条定直线上. 【变式训练2-12】已知抛物线的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于两点（异于两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 【变式训练2-13】已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别交抛物线于两点，直线的斜率分别为，且. (1)求抛物线的方程. (2)证明：直线过定点. (3)记直线经过的定点为为直线上一点（异于点），且满足，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 【变式训练2-14】设抛物线的焦点为，过点的动直线与抛物线交于，两点，当在上时，直线的斜率为. （1）求抛物线的方程； （2）在线段上取点，满足，，证明：点总在定直线上. 题型03：抛物线定值问题 （1） 斜率定值 【典型例题】已知抛物线C：，P是C上纵坐标为2的点，以点P为圆心，PO为半径的圆（O为原点）交C的准线l于A，B两点，且. (1)求抛物线C的方程. (2)过点P作直线PM，PN分别交C于M，N两点，且使∠MPN的平分线与y轴垂直，问：直线MN的斜率是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由. 【解析】（1）将点的纵坐标代入中， 解得， 所以，则点到准线的距离为， 所以， 所以，解得， 所以抛物线的方程为； （2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，倾斜角互补，则斜率互为相反数， 易知， 设，直线， 则直线， 由整理得， 其中，解得， 已知此方程一个根为1， 所以，即， 同理， 所以，， 所以 ， 所以，所以直线的斜率为定值. 【变式训练3-1-1】已知为抛物线的焦点，为坐标原点，为的准线上的一点，直线的斜率为，的面积为4. （1）求的方程； （2）抛物线在轴上方一点的横坐标为，过点作两条倾斜角互补的直线，与曲线的另一个交点分别为、，求证：直线的斜率为定值. （2） 斜率和，积定值 【典型例题1】已知点，过点作直线l与抛物线相交于A，B两点，设直线PA，PB的斜率分别为，，则（    ） A． B． C．2 D．无法确定 【解析】设直线方程为，联立抛物线方程可得， 设，，可得， 则 故选：A 【典型例题2】已知抛物线C：的焦点F与椭圆的右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA，MB分别与抛物线C相切于点A，B．    (1)求抛物线C的标准方程及其准线方程； (2)设直线MA，MB的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1)抛物线C的标准方程为，准线方程为 (2)证明见解析 【分析】（1）求出椭圆的右焦点坐标可得，从而求出抛物线C的标准方程，准线方程； （2）设过点的直线方程为，与抛物线方程联立，利用相切得出，可得，再利用韦达定理可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以，可得椭圆的右焦点为， 可得抛物线C的焦点为，∴， 所以抛物线C的标准方程为，准线方程为； （2）由于点M是抛物线C的准线上任意一点，故可设， 因为直线MA，MB的分别与抛物线C相切于点A，B点可知直线MA，MB的斜率存在， 且不为0， 设过点的直线方程为， 联立，消去得：， 其判别式，令，得， 由韦达定理知，，故为定值－1． 【点睛】研究直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法分为两类：一、联立直线与圆锥曲线方程，运用判别式判断交点个数从而得到两者的位置关系，这一方法基本固定，在范围问题中，判别式是提供参数范围的一个最常用的不等式，十分重要；二、针对中点弦这一特殊问题的专用方法——点差法. 【变式训练3-2-1】已知抛物线和直线，点为直线上的动点（不在轴上），以点为圆心且过原点的圆与直线交于，两点，若直线，与的另一个交点分别为，，记直线，的斜率分别为，，则 ． 【变式训练3-2-2】已知、、是抛物线上三个不同的点，且抛物线的焦点是的重心，若直线、、的斜率存在且分别为、、，则（    ） A．3 B． C．1 D．0 【变式训练3-2-3】已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． (1)求抛物线C的方程； (2)求证为定值． 【变式训练3-2-4】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)给出如下的定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称直线为抛物线上点的切线，公共点称为切点．请你运用上述定义解决以下问题： （i）证明：抛物线上点处的切线方程为； （ii）若过点可作抛物线的2条切线，切点分别为.证明：直线的斜率之积为常数． 【变式训练3-2-5】已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设直线与的斜率分别为，，证明：为定值． 【变式训练3-2-6】已知抛物线：的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于两点，且. (1)求抛物线的方程，并写出的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于两点（异于两点），且位于轴同一侧，直线与相交于点. ①证明：点在定直线上，记该直线为，求出的方程； ②，设直线的斜率分别为，证明：. （3） 距离及距离关系定值 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上（异于顶点），（点为坐标原点），过点作直线的垂线与轴交于点，则（    ） A．6 B． C．4 D． 【解析】法一：依题意，设，由，得为的中点且， 则，易得直线的垂线的方程为. 令，得，故，由抛物线的定义易知， 故，故选:A. 法二：特殊值法.不妨设，则，则，易得直线的垂线的方程为.令，得，故，又，故.故选:A. 【典型例题2】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且满足，其中为坐标原点． (1)求抛物线的标准方程； (2)直线与抛物线相交于、两点，以为直径的圆过点，作，为垂足．是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，且点的坐标为 【分析】（1）利用抛物线的定义结合两点间的距离公式可得出关于的方程，解出的值，即可得出抛物线的标准方程； （2）分析可知，直线不与轴垂直，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，根据已知条件得出，利用平面向量数量积的坐标运算可得出、所满足的关系式，求出直线所过定点的坐标，利用直角三角形的几何性质可得出定点的坐标. 【详解】（1）解：抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可得， 将点的坐标代入抛物线方程可得， 所以，， 所以，，因为，解得， 因此，抛物线的标准方程为. （2）解：若直线轴，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得，，则， 由韦达定理可得，， ，， 因为以为直径的圆过点，则， 所以，， 显然且，所以，， 即，即，可得， 所以，直线的方程为， 由可得，，所以，直线过定点， 所以，， 因为，当点为线段的中点时，即当点的坐标为时， 为定值. 因此，存在定点，且当点的坐标为时，为定值. 【变式训练3-3-1】已知抛物线的焦点为，过且不与轴垂直的直线与抛物线相交于、两点，为轴上一点，满足，则（    ） A．为定值 B．为定值 C．不是定值，最大值为 D．不是定值，最小值为 【变式训练3-3-2】过抛物线的焦点的直线l交抛物线于两点，若点P关于x轴对称的点为M，则直线QM的方程可能为    A． B． C． D． 【变式训练3-3-3】已知抛物线，为轴正半轴上一点，则（    ） A．存在点，使得过点任意作弦，总有为定值 B．不存在点，使得过点任意作弦，有为定值 C．存在点，使得过点任意作弦，总有为定值 D．不存在点，使得过点任意作弦，有为定值 【变式训练3-3-4】已知AB，CD是过抛物线焦点F且互相垂直的两弦，则的值为 . 【变式训练3-3-5】已知抛物线C：的焦点F关于直线l：对称的点为． (1)求C的方程； (2)设原点为O，点P，Q均在C上若直线PQ经过点，直线OP与直线：相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式训练3-3-6】在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离小2． (1)求的轨迹的方程； (2)设动点的轨迹为曲线，过点作斜率为，的两条直线分别交于M，N两点和P，Q两点，其中．设线段和的中点分别为A，B，过点作，垂足为．试问：是否存在定点，使得线段的长度为定值．若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，说明理由． 【变式训练3-3-7】已知曲线，点为曲线的焦点，点为曲线上一点，且． (1)求曲线的方程； (2)设曲线，若过点的直线与曲线，从左到右依次相交于点，，，． （i）证明：为定值； （ii）若直线，（为坐标原点）分别交直线于点，，求的最小值． 【变式训练3-3-8】已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点（M在第一象限），，垂足为，直线交轴于点， (1)求的值. (2)若斜率不为0的直线与抛物线相切，切点为，平行于的直线交抛物线于两点，且，点到直线与到直线的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 【变式训练3-3-9】已知双曲线分别是的左、右焦点．在直线上，且到其中一条渐近线的距离为.抛物线：上的一个动点到的距离与点到的准线的距离之和的最小值为. (1)求的方程和的方程； (2)若过的直线与的左、右两支分别交于两点，与交于两点.问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． （4） 面积定值 【典型例题】已知抛物线C：的焦点，点O为坐标原点，过点作直线，分别交抛物线C于A，B两点和C，D两点，直线与直线交于点E. (1)求抛物线C的方程； (2)若的角平分线所在的直线方程为，求直线的方程； (3)抛物线C在第一象限的图象上是否存在定点M，使得的面积为定值，若存在，求出该定值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，. 【详解】（1）由题意得，则. ∴. （2）设，，显然， 则直线：，整理得. ∵直线过点，∴.① ∵的角平分线方程为， 设上一点，直线：，直线：， ∴. 整理得， 令， 即，是方程的两根. ∴，. ∵，∴，，. ∴直线的方程为. （3），， 同理可得.② 又∵直线：， 直线：， ∴， ， 将①②代入上式化简得. ∴点E在直线上， ∴使得的面积为定值的点一定在过点F且与平行的直线上， 由解得或（舍）， 此时，. ∴点F到直线的距离. ∴. 【变式训练3-4-1】中点．设在点处的切线交于点，为曲线段（不含端点）上一点，在点处的切线与直线分别交于点． (1)证明： ①直线轴； ②四边形的面积为定值； (2)设的外接圆为圆，问：圆是否过定点（点除外）？若过定点，求出定点坐标；不过定点，请说明理由． （5） 参数定值 【典型例题1】已知抛物线的方程为，过其焦点F的直线交此抛物线于M．N两点，交y轴于点E，若，，则（    ） A． B． C．1 D． 【解析】根据条件可得F（1，0）， 则设直线MN的方程为y＝k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2）， 所以E（0，﹣k），联立，整理可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0， 则x1+x2＝，x1x2＝1，因为，， 所以λ1（1﹣x1）＝x1，λ2（1﹣x2）＝x2，即有λ1＝，λ2＝， 所以.故选：D. 【典型例题2】已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，且． (1)求抛物线的方程． (2)直线与抛物线交于两点，轴上是否存在定点，使得直线经过点，且为定值？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)定点的坐标为，的定值为 【分析】（1）由题意可得，，计算可求得，可求得抛物线方程； （2）假设轴上存在定点，设直线的方程为，，联立方程组，利用根与系数的关系可求得，可求定点坐标与定值. 【详解】（1）抛物线的准线方程为， 又是抛物线上的一点，且，所以，， 所以，所以，所以，解得． 所以抛物线的方程为． （2）假设轴上存在定点，使得直线经过点，且为定值， 显然直线的斜率不为，设直线的方程为， 联立，消去，可得， 所以， ，， 所以 ， 当时，为定值， 此时定点的坐标为，的定值为. 【变式训练3-5-1】如图，O为坐标原点，过点且斜率为k的直线l与抛物线分别交于，两点． (1)求证：为定值； (2)求证：． 【变式训练3-5-2】已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于． (1)求抛物线的方程； (2)①求直线的斜率的取值范围； ②若为原点，将上述两点坐标改为，且满足，其他条件不变，试探究是否为定值，并说明理由． 【变式训练3-5-3】过抛物线上的点的直线，分别交抛物线T于点B，C．设直线，的斜率分别为，，，当且点B，C关于x轴对称时，△ABC的面积为2． (1)求抛物线T的方程； (2)当时，证明：直线BC过定点． (3)设△ABC的外心E的坐标为，BC的中点M的坐标为，证明：为定值． 【变式训练3-5-4】已知是抛物线上一点，且M到C的焦点的距离为5.    (1)求抛物线C的方程及点M的坐标； (2)如图所示，过点的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点Q，设，，求证：是定值. （6） 向量定值 【典型例题】在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，直线与交于两点. (1)若过，另一条过的直线与交于两点（在轴上方），直线分别交直线于两点，证明：为的中点； (2)若上存在点，使得，证明：为定值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）设. 设，与抛物线联立，得， 则，即，同理可得. 又因为，令，得，同理， 将代入得，所以为的中点. （2）方法1：设，因为，得①， 由，得， ①②， 得， 即， 即. 因为，所以， 则，即为定值-4. 方法2：设，因为，所以， 即，同理得， 所以， 由，得①， 同理②，③， 由①-②，得④， 由①+②+③，得， 即， 而 故结合④可得， 则 ， 所以为定值-4. 【变式训练3-6-1】如图1，已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过点作倾斜角为的直线交抛物线于两点（点在第一象限）．当时，． (1)求抛物线的方程； (2)如图2，把沿翻折为，使得二面角的大小为． ①若，求直线与平面所成角的正弦值； ②证明：三棱锥的体积为定值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 抛物线定点，定值，定直线 目 录 知识要点 2 题型归纳 6 题型01：抛物线定点问题 6 （一）抛物向上两个动点，衍生直线过定点 6 （二）满足斜率，向量，长度关系定值过定点 21 （三）圆过定点 34 （四）切线相关定点 38 （五）参数，坐标变换类过定点 44 题型02：抛物线定直线问题 49 题型03：抛物线定值问题 69 （一） 斜率定值 69 （二） 斜率和，积定值 71 （三） 距离及距离关系定值 78 （四） 面积定值 89 （五） 参数定值 93 （六） 向量定值 99 知识点一：抛物线定点问题 一、考情分析 1.定点问题是高考圆锥曲线高频难点，抛物线定点分为两类核心题型： ①动直线恒过定点（高考主流大题）； ②动点恒落在定点 / 定直线上。 2.核心解题逻辑：变量动态变化，但定点坐标恒定不变，通过参数表示直线方程，分离参数，令参数系数全部为 0，解出定点坐标。 二、必备基础公式与结论 1.抛物线标准方程（开口向右）y²=2px (p>0) 焦点 F (p/2,0)，准线直线 x=-p/2 2.设抛物线上两点 A (x₁,y₁)，B (x₂,y₂)，满足 y₁²=2px₁，y₂²=2px₂。 3.直线最优设法（规避斜率不存在讨论）设直线：x=ty+m （t 代表斜率倒数；m 是直线与 x 轴交点横坐标，可覆盖垂直 x 轴所有直线）。 4.联立方程 + 韦达定理（通用万能式） 联立方程组消去 x 得一元二次方程： y²-2pty-2pm=0 判别式：Δ=4p²t²+8pm>0 韦达定理：y₁+y₂=2pt y₁y₂=-2pm 推论：两点横坐标乘积 x₁x₂=(y₁y₂)²÷4p²=m² 抛物线两点式直线简化结论：过抛物线上 A、B 两点的直线满足：y₁y₂=p (x+x₁) 推导思路：两点方程作差求斜率 =2p÷(y₁+y₂)，再用点斜式化简。 三、定点问题两大通用解法 解法 1：参数分离法（大题标准解法） 步骤： S1.设出动直线，引入参数 t、m、k； S2.根据垂直、斜率定值、向量数量积等题干条件，推导出参数之间的等量关系； S3.整理直线方程，写成：M (x,y)・t + N (x,y) = 0； S4.等式对任意参数恒成立，等价于方程组： M (x,y)=0 N (x,y)=0 S5.解方程组得到定点坐标。 解法 2：特殊点探路法（选择填空提速） 步骤： S1.选取两条特殊位置的动直线，求出两条直线交点； S2.代数证明所有动直线均经过该交点。 四、高频定点模型（直接套用） 模型 1：原点处两条互相垂直的弦 抛物线 y²=2px，OA 垂直 OB，直线 AB 恒过定点 (2p,0)。 模型 2：x 轴定点弦对称等角模型 若直线过 M (m,0) 交抛物线于 A、B，则 x 轴上点 R (-m,0) 满足∠ARM=∠BRM； 逆命题成立：若∠ARM=∠BRM，则直线 AB 过 (m,0)。 模型 3：焦点弦定点结论 焦点 F (p/2,0)，AB 为抛物线焦点弦，直线 AB：x=ty+p/2，韦达 y₁y₂=-p²； A 关于 x 轴对称点为 A'，直线 A'B 恒过原点 (0,0)。 知识点二：抛物线定直线问题 一、考情解读 抛物线定直线问题是圆锥曲线常考题型，分为两大类： ①动点恒在某条定直线上（核心大题）； ②动切点、动交点、动垂线交点落在固定直线； 核心思路：设点设参，利用抛物线方程、韦达定理消参，消去参数后得到 x、y 恒满足的一次方程，即为定直线。 2、 前置必备知识点 1.标准抛物线：y²=2px (p>0),抛物线上任一点 P (x₀,y₀) 满足 y₀²=2px₀ 2.点差求斜率 A (x₁,y₁)、B (x₂,y₂) 在抛物线上：y₁²=2px₁，y₂²=2px₂两式作差：(y₁-y₂)(y₁+y₂)=2p (x₁-x₂) 直线 AB 斜率 k= 3.切线方程（高频考点） 抛物线 y²=2px 在点 P (x₀,y₀) 处切线：y₀y=p (x+x₀) 4.直线通用设元：x=ty+m，规避斜率不存在讨论 联立抛物线得 y²-2pty-2pm=0 韦达：y₁+y₂=2pt，y₁y₂=-2pm 3、 定直线两大通用解题方法 方法 1：消参法（通用大题解法） 步骤： S1.设动点坐标、引入参数 t/m/k； S2.根据题干垂直、切线、向量、斜率条件，写出动点横纵坐标关于参数的表达式； S3.联立 x、y 表达式，消去所有参数，得到只含 x、y 的等式； S4.若等式为一次方程 Ax+By+C=0，该直线即为定直线。 方法 2：特殊点预判法（选择填空快速判定） 步骤： S1.取两组特殊参数，算出两个动点坐标； S2.两点确定一条直线，写出直线方程； S3.代数证明所有动点均满足该直线方程。 四、三大经典定直线模型（直接套用结论） 模型 1：抛物线两条切线交点在定直线（极点极线） 抛物线 C：y²=2px，过直线 x=-m 上任意一点 M 作抛物线两条切线 MA、MB，则切点弦 AB 恒过定点； 逆命题：若动直线 AB 过定点 M (m,0)，则 A、B 两点处切线交点恒在定直线 x=-m 上。 模型 2：焦点弦两端点切线交点在准线上 抛物线 y²=2px，AB 为过焦点 F (,0) 的焦点弦，分别过 A、B 作切线，两条切线交点恒在准线 x=- 上。 推论：焦点弦端点切线互相垂直。 模型 3：垂直条件下动点轨迹为定直线 过原点作互相垂直两条直线交抛物线于 A、B，过 A、B 切线交点落在定直线 x=-2p。 知识点三：抛物线定值问题 一、考情分析 抛物线定值问题是高考圆锥曲线必考题型，核心特征：直线、点在运动变化，但某线段长度、斜率乘积 / 和、向量数量积、比值、距离等数值始终不变，即为定值。 1.三大考查方向： ①坐标代数式定值（x₁x₂、y₁y₂、x₁+x₂等） ②斜率关系定值（k₁・k₂、k₁+k₂） ③线段、向量、距离、面积比值定值 2. 核心解题思路：设参→联立→韦达代入→化简消去参数，结果不含参数即为定值。 3、 前置基础储备 1. 基础抛物线方程 标准开口向右：y²=2px (p>0) 焦点 F (p/2 , 0)，准线 x=- 抛物线上两点 A (x₁,y₁)、B (x₂,y₂)，满足 y₁²=2px₁，y₂²=2px₂ 2. 直线通用设法（避斜率不存在） 设直线 AB：x=ty+m 联立抛物线消 x：y²-2pty-2pm=0 判别式 Δ=4p²t²+8pm 韦达定理（核心公式）： y₁+y₂=2pt y₁y₂=-2pm 推论：x₁x₂=(y₁y₂)²/(4p²)=m² 3. 切线与斜率公式 抛物线上两点连线斜率：=2p/(y₁+y₂) 点 P (x₀,y₀) 处切线：y₀y=p (x+x₀) 三、定值通用两大解法 解法 1：韦达代入消参法（大题标准解法） 步骤： S1.设动点、动直线，引入参数 t、m； S2.联立抛物线写出 y₁+y₂、y₁y₂； S3.把要求定值的式子全部用 x₁、x₂、y₁、y₂表示； S4.全部替换为韦达定理表达式，展开化简； S5.化简后参数全部抵消，剩余常数即为定值。 解法 2：特殊值预判法（选填提速） 步骤： S1.取两条特殊位置直线，分别计算目标代数式的值； S2.若两次结果相等，预判该常数为定值； S3.再用韦达代数证明一般情况恒为此值。 四、四大高频定值模型（直接背诵结论） 模型 1：焦点弦经典定值（最高频） 抛物线 y²=2px，AB 为过焦点 F (p/2,0) 的焦点弦，直线 AB：x=ty+ 联立得 y₁y₂=-p²（定值） 推论 1：x₁x₂=（定值） 推论 2：1/|AF| + 1/|BF| = 2/p（定值，焦点弦倒数和） 推论 3：A、B 在准线投影为 A₁、B₁，则∠A₁FB₁=90° 模型 2：过 x 轴定点弦的斜率定值 直线过 M (a,0) 交抛物线 y²=2px 于 A、B，则 ・= （定值） 特例：过原点垂直弦 OA⊥OB，直线 AB 过 (2p,0)，对应 x₁x₂+y₁y₂=0 恒成立。 模型 3：切线相关定值 焦点弦两端切线互相垂直，斜率乘积 =-1（定值） 动直线过 M (m,0)，两点切线交点 P，直线 OP 斜率与 AB 斜率乘积为定值。 模型 4：坐标对称斜率和定值 抛物线上定点 P，直线 PA、PB 斜率之和为 0，则 为定值。 题型01：抛物线定点问题 （一）抛物向上两个动点，衍生直线过定点 【典型例题1】在平面直角坐标系中，已知圆心为点的动圆恒过点，且与直线相切，设动圆的圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过轴上点的直线与相切于点，过且垂直于的直线交于两点，为线段的中点，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由抛物线的定义求解即可； （2）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，由与相切可得可求出，再由“点差法”求出，分类讨论直线的斜率不存在和存在可求出直线的方程，即可求出直线过的定点. 【详解】（1）依题意，圆心的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以曲线的方程为． （2）设直线的方程为， 与的方程联立，得， 当与相切时，，则， 代入可得：，故． 直线的方程为，与的方程联立得． 设，则， ， 所以， 所以． 当直线的斜率不存在时，，解得， 此时直线的方程为． 当直线的斜率存在时，的方程为， 由抛物线的对称性，可知定点在轴上， 令，则， 所以，所以直线过定点． 综上，直线过定点． 【变式训练1-1-1】已知抛物线的焦点为F，抛物线上的点P的横坐标为2，且． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点F的直线l交抛物线于A，B两点，设点，设直线EA，EB分别与抛物线交于另一点C，D，求证：直线CD过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点． 【详解】（1）由题意得：，得， 所以标准方程为， （2）设直线l的方程为，， 联立方程，整理得， 所以， 设， 又，所以，即 ，所以，得， 同理， 又， 所以，即， ，又， 所以， 所以直线过定点． 【变式训练1-1-2】直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若线段的长是的中点到轴的距离是2. (1)求抛物线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线和，分别交曲线于点和.设线段的中点分别为，求证：直线过定点； 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设点的横坐标分别为，，由的中点到轴的距离是2，得，即， 由抛物线的弦过其焦点，得，解得， 所以抛物线的方程是. （2）设，则，设直线的方程为， 由得， 则，， . 将替换，得.当时，， 则直线的方程为，即， 当时，，当时，.过定点， 故直线过定点. 【变式训练1-1-3】已知抛物线的焦点为F，直线与W相切． (1)求W的方程． (2)过点F且与平行的直线与W相交于M、N两点，求． (3)已知点，不垂直于x轴的直线l与抛物线W交于A、B两点，若直线AQ、BQ关于x轴对称，求证：直线l过定点并写出定点坐标． 【答案】(1) (2)8 (3)证明见详解，定点坐标为 【详解】（1）联立，整理得， 因为与相切，所以，解得或（舍去）， 故的方程为． （2）如图所示，    由（1）可知，因为，所以的方程为， 设，，联立， 整理得，则，， ． （3）如图所示，    易知直线的斜率不为零，设直线的方程为，，， 由得，所以，， 因为直线AQ，BQ关于轴对称，所以， 即，所以， 所以，所以， 解得，所以直线的方程为，直线过定点． 【变式训练1-1-4】已知抛物线的焦点为，过点且与轴不垂直的直线与交于两点，且点与点关于轴对称. (1)若，点的坐标为，求的值； (2)若，求的值； (3)证明：直线恒过定点. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）因抛物线，得，准线，焦点. 由点的坐标为得，点的坐标为， 由抛物线的定义可知，6，解得， 因为在上，所以，所以， 故. （2）显然直线的斜率不为0，且过焦点，设直线的方程为，. 联立整理得， 则， 因且点与点关于轴对称，得， 所以 . 又，所以，整理得，，解得. 又， 由抛物线的定义得 所以.    （3）证明：由在抛物线上，再（2）知. 所以， ①当点在第一象限内，，，则， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令，则， 所以直线过定点. ②同理当在第四象限时，，，则， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令，则， 所以也过定点， 综合①②，故直线恒过定点. 【变式训练1-1-5】已知抛物线C：经过点，C的焦点F在x轴的正半轴上，点A，B在C上运动． (1)求C的方程． (2)若直线AB的方程为，求内切圆的半径r． (3)设点，且EF平分，试问直线AB：是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是， 【分析】（1）将代入，结合，则，得到C的方程为； （2）联立与抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出，，求出的面积，进而利用求出半径； （3）由角平分线得到，设，，结合，得到方程，联立与得两根之和，两根之积，代入上式，求出，从而求出直线AB过定点． 【详解】（1）因为抛物线C：经过点，所以， 解得或， 又C的焦点F在x轴的正半轴上，所以，则，则C的方程为． （2）设，． 由得，，则 ， ． 因为点到直线AB的距离， 所以的面积， 所以． （3）是，定点坐标为， 因为EF平分，所以， 设，， 则， 因为，，所以， 整理得， 则， 即．① 将代入，得， 则 代入①可得， 因为，所以，即， 所以直线方程为， 所以直线AB过定点． 【变式训练1-1-6】已知抛物线与双曲线的渐近线在第一､四象限的交点分别为P，，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于两点，关于轴的对称点为. （i）若，求直线的方程. （ii）证明：直线必过定点. 【答案】(1)； (2)（i）或；（ii）证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的直线过定点问题、直线与抛物线相交求直线方程、根据抛物线上的点求标准方程、根据韦达定理求参数 【分析】（1）设点P的坐标为，根据点在渐近线上列方程求得，再代入抛物线求参数，即可得方程； （2）（i）设直线的方程为，联立抛物线并应用韦达定理，结合的坐标表示列方程得，即可得直线方程；（ii）设关于轴的对称点为，写出直线的方程，根据对称性知定点在必定在轴上，令结合韦达公式化简，即可证. 【详解】（1）因为点关于x轴对称，设点P的坐标为， 双曲线的渐近线方程为， 因为点P在双曲线的渐近线上，所以， 所以点的坐标为， 又点在抛物线上，所以，所以， 故抛物线的标准方程为：； （2）（i）设直线的方程为，联立，消得，， 方程的判别式，即， 设，则①，②， ， ，代入①②得，则， 直线的方程为或； （ii）设关于轴的对称点为，则直线为， 根据抛物线的对称性，知定点必定在轴上， 令得： 直线过定点. 【变式训练1-1-7】已知抛物线 的焦点为为坐标原点，抛物线上存在点到和的距离都等于． (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线交抛物线于两点，直线与抛物线相交于另一点，直线与抛物线相交于另一点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：直线经过定点． 【答案】(1) (2)（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【详解】（1）如图，作出符合题意的图形，      由题意得，则， 而，可得在的中垂线上，故设点的坐标为， 由两点间距离公式得，解得， 而点在上，则，即，解得， 故抛物线的方程为； （2）（Ⅰ）由题意，直线的斜率存在，设方程为，并记点，    联立方程组，消去得，易知， 则，， 而，则， 可知，即． （Ⅱ）由题意，点，设直线的方程为， 并记点， 联立方程组，消去得，则， 由三点共线，可得， 得到，将代入化简， 得， 所以，而，可知，同理可得， 则，解得， 故直线的方程为，过定点． 【变式训练1-1-8】已知M，m分别为五个实数的最大值和最小值.若从这五个数中去掉后，求得它们的平均数为90.5.若从这五个数中去掉后，求得它们的平均数为91.记 (1)求焦点为，准线方程为的抛物线的标准方程； (2)在（1）的条件下，若点为上一点，A，B为上异于点的两个动点，且，求证：直线恒过定点. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的直线过定点问题、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】（1）列出平均数的等式计算出的值就是的值，从而得到的标准方程； （2）将点代入的方程得到，即点.设，，其中，，且.由得到，利用斜率公式，整理，得.求出直线的方程，即可得到直线恒过定点. 【详解】（1）由题意，得，， 则①，②， ②-①，得，即， 所以的标准方程为. （2）将点代入的方程，得，所以，即点. 设，，其中，，且. 因为，所以， 即， 整理，得，所以. 直线的方程为， 即， 所以当时，，所以直线恒过定点. 【变式训练1-1-9】已知F为抛物线的焦点，点M在抛物线C上，O为坐标原点，的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆周长为． (1)求抛物线C的方程； (2)设，B是抛物线C上一点，且，直线与直线交于点Q，过点Q作轴的垂线交抛物线C于点N，证明：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点的坐标为 【分析】（1）根据圆心到准线的距离得圆半径，再由圆周长建立方程求出p即可； （2）设，求出直线AB的方程，与联立求出N点坐标，点斜式求出直线BN方程，可得出直线所过定点. (1) 设外接圆的半径为r，圆心为O 易知圆心O在线段的中垂线上， 且圆心到准线的距离， 所以由，解得， 所以抛物线C的方程为：； (2) 设，由题意知，， 则直线的方程：，即， 与联立：，得， 由题意知：，      ∴ 则直线的方程：， 所以当时恒成立， 所以直线恒过定点 （二）满足斜率，向量，长度关系定值过定点 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，点在直线上，是抛物线上两个不同的点. (1)求抛物线的方程； (2)设直线的斜率为，若，证明：直线过定点，并求定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）根据抛物线焦点坐标求解即可； （2）法一：设所在直线方程为，联立，根据韦达定理代入求解即可； 法二：先讨论当直线的斜率不存在时，直线过点，再分析当直线的斜率存在时，设所在直线方程为 ，联立，再根据求解即可. 【详解】（1）的焦点在轴上，为， 直线与轴的交点坐标为， 则，即 所以抛物线为 （2）法一：由题意可知所在直线斜率不为0， 设所在直线方程为，联立，化简可得： ， 则， 又 则，满足（*）式 即直线恒过点 法二：当直线的斜率不存在时，设， 所以，所以，所以直线的方程为； 当直线的斜率存在时，设所在直线方程为 ，联立，化简可得：， 由题意可知即（*）； 由韦达定理知， 所以， 所以，满足（*）式； 所以所在直线方程为 综上，直线恒过点 【变式训练1-2-1】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点的横坐标为1，且是抛物线上异于坐标原点的两点． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线、的斜率之积为－4，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：由题意得，，点P的横坐标为1，且，则， ∴抛物线的方程为： （2）证明：当直线的斜率不存在时， 设，， 因为直线的斜率之积为，则，化简得． 所以两点的横坐标为，此时直线的方程为． 当直线的斜率存在时，设其方程为，， 联立，化简得，需满足， 根据根与系数的关系得，， 因为直线的斜率之积为， 所以，即，即， 解得（舍去）或， 所以，即，满足， 所以，即，过定点. 综上所述，直线过定点． 【变式训练1-2-2】已知动圆过定点，且与直线相切，其中. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)设，是轨迹上异于原点的两个不同点，若以为直径的圆恰好过点，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标； (3)设，是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当时，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标. 【答案】(1)； (2)证明见详解，定点坐标为； (3)证明见详解，定点坐标为. 【详解】（1）设动圆圆心为，依题意可得， 整理得， 所求动圆圆心的轨迹的方程是. （2）易知直线的斜率不为0，设其方程为，，， 联立，得， 则，， 由题意知，， 即， 利用韦达定理代入得，整理得， 因为直线不过原点，故，所以， 即直线方程为，过定点. （3）证明：设，，由题意得（否则，且，， 所以直线的斜率存在，设其方程为， 显然，．即，， 把代入得， 由韦达定理知，，， 由得 韦达定理代入上式，整理化简得，， 此时，直线的方程可表示为：，即， 令，解得， 直线恒过定点． 【变式训练1-2-3】已知点到点的距离比它到直线的距离小． (1)求点的轨迹方程； (2)为坐标原点，点，在曲线上，设直线且. （i）证明：直线过定点； （ii）若直线的斜率大于，且的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii） 【详解】（1）由点到点的距离比它到直线的距离小， 则点到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线定义可知，点的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线， 即点的轨迹方程为； （2）（i）设、， ，消去，有， ，，， 则， 即 ， 解得，则直线，故直线过定点； （ii）点到直线的距离， ， 则， 化简得，则，又直线的斜率大于，则，故， 则直线的方程为，即. 【变式训练1-2-4】已知定点，定直线，动圆过点，且与直线相切． (1)求动圆的圆心所在轨迹的方程； (2)已知点是轨迹上一点，点是轨迹上不同的两点（点均不与点重合），设直线的斜率分别为，且满足，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点 【分析】（1）由题意，作图，根据圆切线的性质，结合抛物线的定义，可得答案； （2）设出直线方程，联立抛物线方程，写出韦达定理，代入，可得答案. 【详解】（1）设点，圆与直线的切点为， 因为动圆过点，且与直线相切，则， 所以点的轨迹是以原点为顶点，以点为焦点的抛物线， 则动圆的圆心轨迹的方程为． （2）若直线的斜率为0，则直线与抛物线只有1个交点，不合要求， 设直线的方程为 ，消去可得：， 则， 因为为抛物线上一点，所以，解得， ， 解得，代入， 解得或， 结合点均不与点重合，则，则，解得， 故且或， 所以直线即 所以直线恒过定点. 【变式训练1-2-5】已知F是抛物线C：的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)直线l与抛物线C交于A，B两点，若（O为坐标原点），则直线l否会过某个定点？若是，求出该定点坐标. 【答案】(1)； (2)恒过定点. 【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线的定义求出值作答. （2）设出直线的方程，与的方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示计算作答. 【详解】（1）由知，抛物线的准线方程为，而是该抛物线的焦点， 又，因此，解得， 所以抛物线C的方程为. （2）显然直线不垂直于y轴，设直线l：，，， 由消去x并整理得，，即， 于是，，， 由，得，则有， 即，因此， 则，解得，满足，直线过定点， 所以直线恒过定点.    【点睛】思路点睛：与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题. 【变式训练1-2-6】已知抛物线：（）的焦点到直线的距离为，不过原点的直线与交于，两点. (1)求的标准方程； (2)若直线的方程为，求； (3)若垂直于，求证：直线过定点； 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）求出焦点坐标，再利用点到直线距离公式求出值. （2）联立直线与抛物线方程，求出交点的横坐标，进而求出弦长. （3）设直线l的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示求出即可. 【详解】（1）抛物线：的焦点， 由到直线的距离为，得，而，解得， 所以抛物线的标准方程为. （2）由消去得，设， 解得，所以. （3）设直线l的方程为，点， 由消去得，当时，， 由垂直于，得，而，解得， 则直线的方程为，所以直线过定点. 【变式训练1-2-7】已知抛物线的焦点为，的准线与轴交于点，. (1)求的方程. (2)已知为坐标原点，直线交于，两点. （ⅰ）证明：. （ⅱ）若，证明：过定点. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【详解】（1）依题意，抛物线的焦点为，准线方程为， 准线与x轴的交点，则，解得（舍）， 故抛物线C的标准方程为； （2）（i）直线，代入， 消去，可得，则， 由韦达定理，则，得证； （ii）， 则， 即，因，则， 此时直线的方程为，故直线必过定点，得证. 【变式训练1-2-8】已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． (1)求抛物线的方程； (2)若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【详解】（1）设直线的方程为， 代入得， 设点，则， 而线段中点纵坐标为4，则，解得， 故的方程为. （2）（i）法一：由（1），且， 则 所以. 法二：设直线方程为， 抛物线的方程可表示为， 由， 得 ， ， ， 直线的斜率为， ， . （ii）法一：如图，作出符合题意的图形，    由已知得， 设直线的方程为， 联立，可得， ， ， ， 整理得， 即， 当时，直线与直线重合，舍去 ，直线的方程， 直线过定点. 法二：由已知得， ， ， （舍）或， 直线的方程是， 直线过定点. 【变式训练1-2-9】已知点，点P在y轴上，点Q在x轴上，且满足． (1)当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹的方程； (2)设点为轨迹内一定点，过E作斜率分别为的两条直线交轨迹于点A，B和C，D，且S，T分别是线段AB，CD的中点． （i）当且时，求面积的最小值； （ⅱ）若（为常数），证明：直线ST过定点． 【答案】(1)； (2)（i）4；（ⅱ）证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】求抛物线的轨迹方程、抛物线中的直线过定点问题、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】（1）设，利用向量的坐标运算列式求出轨迹方程. （2）（i）设出直线方程，与的方程联立求出点的坐标，进而求得的坐标，再则已知求出三角形面积的关系，借助基本不等式求出最小值；（ⅱ）由（i）中信息，求出直线的方程，结合已知求得直线所过定点即得. 【详解】（1）设，，， 由，得，解得， 由，得，则，即， 所以点M的轨迹的方程为. （2）（i）设直线方程为，设， 由消去得，则， ，， 直线方程为，同理， 当时， ，由，得， 因此的面积， 当且仅当且时取等号， 所以面积的最小值为4.    （ⅱ）由（i）得直线的斜率， 直线的方程，即， 又，则，则有， 即，由，得， 所以直线ST过定点. （三）圆过定点 【典型例题】已知抛物线的焦点为F，准线为l. (1)写出以坐标轴为对称轴、F为焦点、离心率为的椭圆的标准方程； (2)设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的方程； (3)经过点F且斜率为的直线与相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA、OB分别与l相交于点M、N.试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)是，和 【分析】（1）先求抛物线的焦点坐标，再根据题意求椭圆的，即可得解； （2）解法一：设点，根据题意可得点P的轨迹方程为，从而求出点P的坐标，可得解直线方程； 解法二：根据抛物线的定义进行转化分析可得，进而可得直线EP的倾斜角与斜率，利用点斜式求直线方程； （3）设直线的方程及A，B两点的坐标，进而可求M，N两点的坐标，结合韦达定理求圆C的圆心及半径，根据圆C的方程分析判断定点. 【详解】（1），设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b， 因为离心率为，所以，得，. 所以椭圆的标准方程为. （2）解法一：的准线方程为， 设点，因为， 所以，得， 因为，所以，所以， 因为P在第一象限，所以点P的坐标为. 所以直线EP的斜率为，直线EP的方程为. 解法二：的准线方程为， 过点P作的准线的垂线，垂足为M,， 因为，所以， 因为P在第一象限，所以直线EP的倾斜角为. 所以直线EP的方程为. （3）设点. 由已知直线的方程为. 将代入抛物线方程得. 所以. 因为直线OA的方程为，直线OB的方程为， 令，得M，N的纵坐标分别为. 得到圆C方程为. 因为，所以整理得. 令，得或. 所以圆C过定点和. 【变式训练1-3-1】已知过点的直线与抛物线交于两点，过线段的中点作直线轴，垂足为，且. (1)求抛物线的方程； (2)若为上异于点的任意一点，且直线与直线交于点，证明：以为直径的圆过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设出直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式求出，坐标，结合，可求得的值，得解. （2）设出点坐标，由点斜式方程求出直线的方程，令，求出点坐标，同理求出点坐标，由抛物线的对称性可知，定点必在轴上，设该点坐标为，利用，可求出定点坐标. 【详解】（1）由题意，可设直线的方程为， 将代入，消去得， 设，，则，， 是线段的中点， ，， 即， 又轴， 垂足的坐标为， 则，， ， 对任意的恒成立， ，又，解得， 故抛物线的方程为. （2）   设，，，由（1）可知， ，， 则，直线的方程为， 令，则， ，同理， 由抛物线的对称性可知，若以线段为直径的圆过定点，则定点必在轴上， 设该点坐标为， 则，，且， ， ， 或， 以为直径的圆过定点和. （四）切线相关定点 【典型例题】已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合． (1)求椭圆C和抛物线E的方程； (2)设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证： （i）直线AB过定点，并求该定点的坐标； （ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 【答案】(1)， (2)（i）证明见解析，；（ii）证明见解析 【分析】（1）由题意列方程求得可得椭圆方程，进一步求得可得抛物线方程； （2）（i）由题意可设可设，分析得知直线的方程为，令即可得证；（ii）联立得，结合韦达定理，焦点弦公式表示出以及中点的坐标，只需证明即可. 【详解】（1）由题，解得， ∴椭圆的方程为，其上顶点坐标为， ∴，即． ∴抛物线的方程为． （2） 由（1）知，抛物线的准线方程为， ∴可设， （i）由得，且． 又， ∴抛物线在处的切线方程为，即． 在切线上， ①， 同理可得②， 由①②得直线的方程为， 令，则， 所以直线恒过抛物线的焦点． （ii）联立得， ∴， 则线段AB的中点为，， 又， ∴MN与抛物线E的准线垂直，且， 故以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 【变式训练1-4-1】已知抛物线的焦点F关于直线的对称点为，在抛物线E上有三点A，B，C，点A在y轴左侧，点B，C在y轴右侧且点B在曲线段AC上，过三点A，B，C作E的切线，与分别交于点P和Q，直线与交于点M． (1)求E的方程； (2)若直线AC过点F，证明：点Q在定直线上； (3)若是以MQ为底的等腰三角形，证明：直线PC过定点， 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由抛物线方程写出焦点坐标，根据对称，写出中点坐标代入直线方程，可得答案； （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，由韦达定理得到两根之和与两根之积，分别写出的方程，得到点的坐标，可得答案； （3）设出动点坐标，写出直线方程，根据斜率与倾斜角的关系，结合等腰三角形的性质，可得答案. 【详解】（1）设抛物线的焦点， 则F与的中点位于直线上， 所以解得，所以抛物线E的方程为； （2） 因为直线AC过点，显然直线斜率存在，设直线， 联立，解得， 由，可得， 通过对求导可得， 所以在点A处的切线方程为，又， 整理可得， 所以在点C处的切线方程为， 相减可得， 所以，代入或的直线方程， ， 所以点Q在定直线上； （3）根据题意，设切点， 此时，即斜率为， 同理可得，即斜率为， ，即斜率为， 由题意知等于的倾斜角减去的倾斜角，等于倾斜角减去的倾斜角， 且是以MQ为底的等腰三角形，即， 根据正切的差角公式有，， 整理得①， 再联立与的方程，得， 设PC方程为，其中， 所以，对化简代入①式， 其中 ， 所以，则直线PC过定点. 【变式训练1-4-2】已知抛物线的焦点F关于直线的对称点为，在抛物线E上有三点A，B，C，点A在y轴左侧，点B，C在y轴右侧且点B在曲线段AC上，过三点A，B，C作E的切线，与分别交于点P和Q，直线与交于点M． (1)求E的方程； (2)若直线AC过点F，证明：点Q在定直线上； (3)若是以MQ为底的等腰三角形，证明：直线PC过定点， 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由抛物线方程写出焦点坐标，根据对称，写出中点坐标代入直线方程，可得答案； （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，由韦达定理得到两根之和与两根之积，分别写出的方程，得到点的坐标，可得答案； （3）设出动点坐标，写出直线方程，根据斜率与倾斜角的关系，结合等腰三角形的性质，可得答案. 【详解】（1）设抛物线的焦点， 则F与的中点位于直线上， 所以解得，所以抛物线E的方程为； （2） 因为直线AC过点，显然直线斜率存在，设直线， 联立，解得， 由，可得， 通过对求导可得， 所以在点A处的切线方程为，又， 整理可得， 所以在点C处的切线方程为， 相减可得， 所以，代入或的直线方程， ， 所以点Q在定直线上； （3）根据题意，设切点， 此时，即斜率为， 同理可得，即斜率为， ，即斜率为， 由题意知等于的倾斜角减去的倾斜角，等于倾斜角减去的倾斜角， 且是以MQ为底的等腰三角形，即， 根据正切的差角公式有，， 整理得①， 再联立与的方程，得， 设PC方程为，其中， 所以，对化简代入①式， 其中 ， 所以，则直线PC过定点. （五）参数，坐标变换类过定点 【典型例题】已知动圆过定点，且在x轴上截得的弦长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)若直线l与曲线E相交于M，N两点，且线段MN的中点横坐标为1，求直线l的斜率； (3)将曲线E绕原点顺时针旋转得到曲线，定点，上有四点A，B，C，D，满足，AKC，BKD均三点共线.设线段AC和BD的中点分别为T，S，试判断：直线TS是否会经过一个定点？若会，请求出这个定点的坐标；若不会，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)会，直线过点. 【难度】0.4 【知识点】求抛物线的轨迹方程、抛物线中的直线过定点问题、抛物线的中点弦 【分析】（1）设动圆圆心为，利用圆的弦长与半径关系列方程整理，即可得轨迹方程； （2）设，应用点差法得，结合已知即可得； （3）将曲线绕原点顺时针旋转得到曲线，设并联立，应用韦达定理及中点坐标求出坐标，同理求坐标，分类讨论参数判断直线是否过定点即可. 【详解】（1）设动圆圆心为，则有，整理得，故曲线E的方程； （2）设，则，可得， 所以，即，故直线斜率为； （3）将曲线绕原点顺时针旋转得到曲线，则为的焦点， 由题意，直线的斜率都存在且不为0，设，联立， 所以，设，且， 所以，，则，， 所以，同理得， 当，则，则，即恒过定点； 当，则，，显然直线过点； 当，则，，显然直线过点； 综上，直线过定点. 【变式训练1-5-1】如图，已知抛物线，过点作斜率为，的直线，，分别交抛物线于点，与，．    (1)若点是抛物线上位于第一象限内一点，且其到焦点的距离为2，求点的坐标； (2)若，证明：； (3)若直线过点，请判断直线是否过定点，若是，请求出此定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)直线恒过点． 【分析】（1）由焦半径公式即可求解； （2）先设直线方程代入抛物线联立方程组，结合根与系数的关系，应用，即可得到结论. （3）先设直线过点P得出,同理结合理过点Q得出,最后得出的直线得出定点. 【详解】（1）由题意，解得， 所以，又， 所以，即点的坐标； （2）由题知，设，， ，代入抛物线可得， ， 又， ， 同理 . （3）因为， 所以，代入点得①， 设，同理， 过点② ， 结合①②可得 又因为 所以，整理得 所以直线过定点. 【变式训练1-5-2】已知抛物线，且过抛物线焦点作直线交抛物线于，两点，弦长最小值为4 (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于点，且直线过定点，连接直线并交抛物线于点，请问直线是否经过定点，若是请求出定点坐标，若不是请说明理由. 【答案】(1) (2)直线经过定点 【分析】（1）利用直线与抛物线相交来求弦长的最小值即可求解抛物线方程； （2）利用直线与抛物线联立方程组借助韦达定理，研究坐标关系，可求直线参数，从而可得直线过的定点. 【详解】（1）因为抛物线，所以焦点坐标为：， 过该焦点的直线方程为：，与抛物线的交点为：，， 与抛物线方程联立得：，则， 而由抛物线的定义可知， 因为，所以当时，有最小值，所以， 所以抛物线方程为. （2） 由（1）得，直线方程为，且① 设直线方程为， 与抛物线方程联立得：，则② 设直线方程为，，同理可得③ 联立①②③可得 设直线方程为 与抛物线方程联立得：，则 因为，所以，所以直线经过定点 题型02：抛物线定直线问题 【典型例题1】已知抛物线的焦点为F，准线为l，记准线l与x轴的交点为A，过A作直线交抛物线C于，两点． (1)若，求的值； (2)若M是线段AN的中点，求直线的方程； (3)若P，Q是准线l上关于x轴对称的两点，问直线PM与QN的交点是否在一条定直线上？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)在定直线上，理由见解析 【分析】（1）根据焦半径公式即可求出； （2）设直线MN的方程，与抛物线联立即可利用M是线段AN的中点求出m，从而求出直线的方程； （3）设，即可求出直线PM与QN的方程，联立即可解出交点，从而可以判断交点在定直线上． 【详解】（1）根据题意，得 因为抛物线，所以准线为， 所以； （2）由题意可知，直线的斜率不为0，故设直线的方程， 联立，消去，可得， 所以，即，，， 而M是线段AN的中点，所以，故， 解得，故，解得， 所以直线MN的方程为，即； （3）直线MN的方程，设， 则，， 联立消去可得：，即，整理得：， 将，代入得，故，， 所以直线PM与QN的交点在定直线上． 【典型例题2】如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时，.    (1)求抛物线C的标准方程； (2)求证：点P在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据抛物线的定义及韦达定理可求解； （2）根据垂心建立斜率之间的关系，从而得到直线，两直线联立得到点的坐标，结合韦达定理，从而可得点P在定直线上. 【详解】（1）设直线l的方程为，，. 由得. 所以，.由抛物线定义，得 . 当直线l的倾斜角为30°时，， . 所以，即抛物线C的标准方程为. （2）由（1），得，. 因为的垂心为原点O，所以，. 因为，所以. 所以直线AP的方程为，即. 同理可得，直线BP的方程为. 联立方程解得 即.所以点P在定直线上. 【变式训练2-1】如图，过点作两条直线和：（）分别交抛物线于，和，（其中，位于轴上方），直线，交于点．则下列说法正确的（    ） A．，两点的纵坐标之积为 B．点在定直线上 C．点与抛物线上各点的连线中，最短 D．无论旋转到什么位置，始终有 【解析】设点， 将直线l的方程代入抛物线方程得：.则，故A正确； 由题得，则，， 直线的方程为，直线的方程为， 消去y得，将代入上式得，故点Q在直线上，故B正确； 设抛物线上任一点，则，当时，最小，此时，即最短，故C正确； 因为，但，所以D错误. 故选：ABC. 【变式训练2-2】经过抛物线的焦点的直线交此抛物线于，两点，抛物线在，两点处的切线相交于点，则点必定在直线 上．（写出此直线的方程） 【解析】抛物线中，焦点为，设直线方程为，代入抛物线整理得，设，，则，． 由得，∴过点切线斜率为，切线方程为，即，同理过点切线方程为，两式相除得，整理得， 解得，所以点在准线上． 【变式训练2-3】已知顶点在坐标原点，焦点在轴上的抛物线过点. (1)求抛物线的标准方程； (2)过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点， （i）若点在第一象限且，求直线的方程； （ii）若抛物线在、两点处的切线交于点，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析，定直线为 【详解】（1）依题意，抛物线方程形如，代入点，可得，即， 故抛物线的标准方程为. （2）（i）显然直线的斜率存在，设，代入，整理得， 显然，设，依题意，， 且，由易得， 因，则，可得，代入①，得， 再代入②，可得，解得. 而当时，点的横坐标，不在第一象限，且距离,故舍去. 故直线的方程为. （ii）由求导得，故切点为的切线方程为，即③， 同理可得④，由，可得， 即，因，故可得， 即点在直线上.    【变式训练2-4】已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线C上，且，直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点． (1)求抛物线C的方程； (2)若直线交抛物线C于M，N两点，直线AM与BN交于点T，求证：点T在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】(1)由题意，根据所给的几何关系以及抛物线的性质，可以求解； (2)分别设A，B，M，N，T的坐标，利用其中的几何关系可以证明. 【详解】（1）由可知，抛物线C的准线为：， 点到准线的距离为，根据抛物线定义：，， 抛物线C的方程为； （2） 设，，，，，． ，， 由，，得，即， 同理， 由得…①， 由得…②， ①②两式相加得， 即， ，，点T在定直线上． 综上，抛物线C的方程为. 【变式训练2-5】已知椭圆过点，离心率为，抛物线的准线交轴于点，过点作直线交椭圆于，． （1）求椭圆的标准方程和点的坐标； （2）设，是直线上关于轴对称的两点，问：直线与的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由． 【答案】（1）；；（2）定直线，理由见解析. 【分析】（1）根据题意列出方程组，结合，求得的值，即可得出椭圆的标准方程，求得抛物线准线方程，即可得的坐标； （2）设，，直线，，联立直线与椭圆的方程，求得，，得到，再由直线与的方程，求得交点的横坐标，即可求解． 【详解】（1）由题意可得 解得， 即椭圆的方程为：， 又由抛物线，可得准线方程为，所以． （2）设，，，， 由，整理得， 所以，， 则即， 直线为，即①， 直线为，即②， ②-①得：，即 所以，解得：， 所以直线与的交点恒在定直线上． 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中求直线过定点的问题，通常需要联立方程，得到二次方程后利用韦达定理、结合题中条件（比如斜率关系，向量关系，距离关系，面积等）直接计算，即可求出结果，运算量较大 【变式训练2-6】已知F为抛物线的焦点，直线与C交于A，B两点且. （1）求C的方程. （2）若直线与C交于M，N两点，且与相交于点T，证明：点T在定直线上. 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】（1）解：设，，直线方程与抛物线方程联立方程组消去后应用韦达定理得，利用焦半径公式及韦达定理的结果可求得得抛物线方程； （2）设，，，把两点坐标代入抛物线方程相减琍，同理可得，然后求得交点的横坐标为常数即证（由．化为坐标表示后相加即可得）． 【详解】（1）解：设，，由，得， 则， 从而， 解得，故的方程为. （2）证明：设，，，. 因为，所以. 根据得，则， 同理得. 又两式相加得， 即，由于，所以. 故点在定直线上. 【变式训练2-7】已知抛物线的顶点在坐标原点处，对称轴为轴，且过点，，是上两个动点． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知是焦点，若点，在以（异于点）为直径的圆上，求直线的方程； (3)已知为直线在第二象限内一点，直线，与抛物线分别相切于，两点，设，与轴分别交于，两点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的直线过定点问题、根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）设，，将点代入，即可求解； （2）设，，直线，与抛物线方程联立，结合及中点的纵坐标为，即可求解； （3）设过点的切线方程为，与联立，由得出，进而得出过点的切线方程，进而得出，同理得出，写出的方程，设，切线，交于点，得出的坐标，点在直线上得出，同理设直线与直线交于点，则可证明，两点重合，进而证明结论． 【详解】（1）由题意，设，， 将代入得，，解得， 所以的标准方程为． （2）设，，直线， 联立直线与抛物线的方程，得方程组， 消去，得，判别式，即． ，，，， 由，，得， 所以，中点的纵坐标为，则， 所以，代入，解得或， 当时，点在直线上，不合题意，舍去， 故直线的方程为． （3）证明：设过点的切线方程为， 与联立，整理得， ， 得，即（或，，过点的切线的斜率）， 即过点的切线方程为，即， 令，得， 同理可得过点的切线方程为，令，得， 直线的方程为，直线的方程为． 设，切线，交于点，得，， 解得，，点在直线上，则， 设直线与直线交于点，， 同理，设直线与直线交于点，， 由，得，则，两点重合， 即直线与直线的交点在定直线上． 【变式训练2-8】在直角坐标系中，点到直线的距离与点到点的距离相等，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知经过点的直线与交于，两点，且． （ⅰ）求直线的方程； （ⅱ）若经过点的直线（与不重合）与交于，两点，且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）因为点到直线的距离与点到点的距离相等， 根据抛物线的定义，可得曲线是以为焦点，以为准线的抛物线， 设抛物线的方程为，则，可得， 所以抛物线的方程为. （2）（i）设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得，可得， 由弦长公式，可得， 因为，所以，所以，解得， 所以直线的方程为. （ii）由（i）直线的方程为， 联立方程组，解得，不妨设， 设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，可得， 可得，所以的方程为， 同理可得：直线的方程为， 联立方程组，可得， 整理得， 所以点的横坐标的值恒为，所以点在直线上. 【变式训练2-9】已知曲线上的点到的距离比它到轴的距离大1. （1）求曲线的方程； （2）过作斜率为的直线交曲线于､两点； ①若，求直线的方程； ②过､两点分别作曲线的切线､，求证：､的交点恒在一条定直线上. 【答案】（1）；（2）①；②证明见解析. 【详解】（1）设曲线上的点， 由题可知到的距离与到直线的距离相等， 所以，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 的方程为：. （2）设：过的斜率为的直线方程为：， ①由消可得. 令，， ，， 由题可知：若，即， 即得， 消去，得：， ， 所求直线的方程为：. 证明②由题知：，， 令，，设与相交于点. 方程为：， 方程为：， 相减得：， 代入相加得： ， ， ，， ､的交点恒在一条定直线上. 【变式训练2-10】已知抛物线，直线与相交于、两个不同点，在轴左侧，且． (1)求抛物线的方程； (2)过抛物线焦点的直线与相交于、两个不同点（异于、两点），在轴左侧． ①若直线的斜率为，求的值； ②设直线与相交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析. 【详解】（1）由题意可知，点、关于轴对称， 又因为，且在轴左侧，则， 将点的坐标代入抛物线的方程得，解得， 故抛物线的标准方程为. （2）①设点、，易知抛物线的焦点为， 因为直线的斜率为，故直线的方程为， 又因为在轴左侧，结合图形可知， 联立，消去可得，解得，， 故； ②如下图所示： 易知点、，设点、， 设直线的方程为，联立可得， ，由韦达定理可得，故， 因为与点不重合，故，即，同理可得， ，故直线的方程为①， 同理可知直线的方程为②， 由①②可得，即， 将代入上式得，解得， 故，解得，故点在定直线上. 【变式训练2-11】已知抛物线：的准线方程为. (1)求的方程. (2)过点且斜率为的直线与交于，两个不同的点，为坐标原点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的取值范围； （ⅲ）过点作轴的垂线，交直线于点，证明：线段的中点在一条定直线上. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）；（ⅲ）证明见解析 【详解】（1）根据题意可知准线方程为，即的准线方程为， 所以，即， 所以， 则抛物线的方程为：； （2）（ⅰ）依题意得直线的方程为， 当时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 当时，代入， 得， 则且，解得且， 所以的取值范围是； （ⅱ）设，，根据（ⅰ），利用韦达定理可得： ，， 所以， 代入可得：； 若，即，则， 所以 ， 即的取值范围是； （ⅲ） 因为直线OB的方程为， 所以点的坐标为， 设线段AD的中点为，则，， 则 ， 所以点在直线上，故线段AD的中点在一条定直线上. 【变式训练2-12】已知抛物线的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于两点（异于两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）如图所示： 抛物线的焦点，则直线， 由得， 依题意，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由抛物线对称性，不妨令点在轴上方， 由（1）知，，焦点， 显然直线不垂直于坐标轴， 设其方程为，如图所示： 由消去得：， 因为， 设，，所以， 直线的斜率为:，方程为， 直线的斜率为:，方程为， 由，消去得：， 整理得： ， 因此点的横坐标恒为， 所以点在定直线上. 【变式训练2-13】已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别交抛物线于两点，直线的斜率分别为，且. (1)求抛物线的方程. (2)证明：直线过定点. (3)记直线经过的定点为为直线上一点（异于点），且满足，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析， 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线方程得出，进而得出抛物线； （2）设， 求出直线的方程为，结合，化简计算可得 ，即可得到结论. （3）由（2）知，，设，设直线的方程为.代入抛物线联立方程组，将转化为，化简计算可得到结论. 【详解】（1）将点的坐标代入抛物线的方程可得，解得（舍去）或，故抛物线的方程为. （2）由（1）可知点的坐标，设， 则. 由，得，所以， . .所以直线的方程为， 即，整理得. 又， 从而直线的方程为，化简得， 因此直线过定点. （3）由（2）知，设，易知直线的斜率不为0， 设直线的方程为.由消去. 得.则. 因为.所以. 即， 当时，，化简得， 与直线的斜率不为0矛盾，不合题意； 当时，化简得， . 即.又. 可得，所以，即， 所以点在直线上. 【变式训练2-14】设抛物线的焦点为，过点的动直线与抛物线交于，两点，当在上时，直线的斜率为. （1）求抛物线的方程； （2）在线段上取点，满足，，证明：点总在定直线上. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【详解】（1）由题意，得，则，解得， 故抛物线的方程为. （2）证明：设，，， 直线的方程为. 由得， ，. 由，，得，， 故，化简得. 又，故， 化简得， 即，则或. 当点在定直线上时，直线与抛物线只有一个交点，与题意不符. 故点在定直线上. 题型03：抛物线定值问题 （1） 斜率定值 【典型例题】已知抛物线C：，P是C上纵坐标为2的点，以点P为圆心，PO为半径的圆（O为原点）交C的准线l于A，B两点，且. (1)求抛物线C的方程. (2)过点P作直线PM，PN分别交C于M，N两点，且使∠MPN的平分线与y轴垂直，问：直线MN的斜率是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由. 【解析】（1）将点的纵坐标代入中， 解得， 所以，则点到准线的距离为， 所以， 所以，解得， 所以抛物线的方程为； （2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，倾斜角互补，则斜率互为相反数， 易知， 设，直线， 则直线， 由整理得， 其中，解得， 已知此方程一个根为1， 所以，即， 同理， 所以，， 所以 ， 所以，所以直线的斜率为定值. 【变式训练3-1-1】已知为抛物线的焦点，为坐标原点，为的准线上的一点，直线的斜率为，的面积为4. （1）求的方程； （2）抛物线在轴上方一点的横坐标为，过点作两条倾斜角互补的直线，与曲线的另一个交点分别为、，求证：直线的斜率为定值. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】（1）由题意知，设点的坐标为， 则直线的斜率为． 因为直线的斜率为，所以，即， 所以的面积，解得或（舍去）， 故抛物线的方程为． （2）依题意直线的斜率存在且不为， 设直线的斜率为，点，，． 则直线的方程为， 由消去整理得， 由，所以且， ，是方程的两个根， ，， 依题意，直线的斜率为，同理可得， ， ， 所以直线的斜率为定值． （2） 斜率和，积定值 【典型例题1】已知点，过点作直线l与抛物线相交于A，B两点，设直线PA，PB的斜率分别为，，则（    ） A． B． C．2 D．无法确定 【解析】设直线方程为，联立抛物线方程可得， 设，，可得， 则 故选：A 【典型例题2】已知抛物线C：的焦点F与椭圆的右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA，MB分别与抛物线C相切于点A，B．    (1)求抛物线C的标准方程及其准线方程； (2)设直线MA，MB的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1)抛物线C的标准方程为，准线方程为 (2)证明见解析 【分析】（1）求出椭圆的右焦点坐标可得，从而求出抛物线C的标准方程，准线方程； （2）设过点的直线方程为，与抛物线方程联立，利用相切得出，可得，再利用韦达定理可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以，可得椭圆的右焦点为， 可得抛物线C的焦点为，∴， 所以抛物线C的标准方程为，准线方程为； （2）由于点M是抛物线C的准线上任意一点，故可设， 因为直线MA，MB的分别与抛物线C相切于点A，B点可知直线MA，MB的斜率存在， 且不为0， 设过点的直线方程为， 联立，消去得：， 其判别式，令，得， 由韦达定理知，，故为定值－1． 【点睛】研究直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法分为两类：一、联立直线与圆锥曲线方程，运用判别式判断交点个数从而得到两者的位置关系，这一方法基本固定，在范围问题中，判别式是提供参数范围的一个最常用的不等式，十分重要；二、针对中点弦这一特殊问题的专用方法——点差法. 【变式训练3-2-1】已知抛物线和直线，点为直线上的动点（不在轴上），以点为圆心且过原点的圆与直线交于，两点，若直线，与的另一个交点分别为，，记直线，的斜率分别为，，则 ． 【解析】如图，设直线，的方程分别为，，则，，， 因为为圆的直径，，所以． 联立，消去得，，，同理可得，， ，，． 【变式训练3-2-2】已知、、是抛物线上三个不同的点，且抛物线的焦点是的重心，若直线、、的斜率存在且分别为、、，则（    ） A．3 B． C．1 D．0 【解析】设，，则，， 两式相减，得，则， 设，同理可得，， 因为焦点是的重心，所以， 则，故选：D. 【变式训练3-2-3】已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． (1)求抛物线C的方程； (2)求证为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由点在抛物线上及抛物线定义求参数，即可得方程； （2）设，联立抛物线并应用韦达定理、斜率两点式化简求，即可证. 【详解】（1）依题意，，得，所以抛物线C的方程为． （2）设，联立，得． 由，得． 设，，则． 由（1）知，，． 所以为定值． 【变式训练3-2-4】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)给出如下的定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称直线为抛物线上点的切线，公共点称为切点．请你运用上述定义解决以下问题： （i）证明：抛物线上点处的切线方程为； （ii）若过点可作抛物线的2条切线，切点分别为.证明：直线的斜率之积为常数． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【详解】（1）由抛物线的方程可知其准线方程为， 如图，过作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义得， 即，解得， 所以抛物线的方程为.    （2）（i）当时，，切线斜率存在，设处的切线方程为， 由消去得. 因为切线与抛物线只有一个交点，且， 所以，即，① 因为在抛物线上，所以，即，代入①得 ，整理得，所以， 所以切线方程为，即， 将代入得，即； 当时，，即为原点，由图知切线方程为，满足. 综上，抛物线上点处的切线方程为. （ii）如图，连接，设， 由（i）知两条切线的方程分别为， 又两条切线的交点为，即的坐标均满足两条切线方程， 所以，所以的坐标均满足方程，即直线的方程为. 由消去得，所以， 由（i）知两条切线的斜率分别为， 所以，即直线的斜率之积为常数． 【变式训练3-2-5】已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设直线与的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）根据题意可得，解得．所以的方程为． （2）设，，直线的方程为． 由消去得， 所以即，，， 所以，解得， 所以直线的方程为； （3）证明：因为点在上，所以或（舍去），所以， 由（2）得，， 所以． 因为，， 所以，即为定值． 【变式训练3-2-6】已知抛物线：的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于两点，且. (1)求抛物线的方程，并写出的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于两点（异于两点），且位于轴同一侧，直线与相交于点. ①证明：点在定直线上，记该直线为，求出的方程； ②，设直线的斜率分别为，证明：. 【答案】(1)抛物线的方程为，焦点，准线方程为． (2)①证明见解析，；②证明见解析 【详解】（1）抛物线的焦点，则直线，由得， 依题意，，解得， 所以抛物线的方程为，焦点，准线方程为． （2）①由抛物线对称性，不妨令点在上方，由（1）知，， 显然直线不垂直于轴，也不与轴重合，故可设其方程为， ， 联立直线与抛物线，，消去得：，显然，， 直线的斜率为，方程为， 直线的斜率为，方程为， 由消去得：， 整理得 ， 因此点的横坐标恒为，所以点在定直线上； ②由，可设，结合，得 ． 而， 故. （3） 距离及距离关系定值 【典型例题1】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上（异于顶点），（点为坐标原点），过点作直线的垂线与轴交于点，则（    ） A．6 B． C．4 D． 【解析】法一：依题意，设，由，得为的中点且， 则，易得直线的垂线的方程为. 令，得，故，由抛物线的定义易知， 故，故选:A. 法二：特殊值法.不妨设，则，则，易得直线的垂线的方程为.令，得，故，又，故.故选:A. 【典型例题2】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且满足，其中为坐标原点． (1)求抛物线的标准方程； (2)直线与抛物线相交于、两点，以为直径的圆过点，作，为垂足．是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，且点的坐标为 【分析】（1）利用抛物线的定义结合两点间的距离公式可得出关于的方程，解出的值，即可得出抛物线的标准方程； （2）分析可知，直线不与轴垂直，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，根据已知条件得出，利用平面向量数量积的坐标运算可得出、所满足的关系式，求出直线所过定点的坐标，利用直角三角形的几何性质可得出定点的坐标. 【详解】（1）解：抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可得， 将点的坐标代入抛物线方程可得， 所以，， 所以，，因为，解得， 因此，抛物线的标准方程为. （2）解：若直线轴，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得，，则， 由韦达定理可得，， ，， 因为以为直径的圆过点，则， 所以，， 显然且，所以，， 即，即，可得， 所以，直线的方程为， 由可得，，所以，直线过定点， 所以，， 因为，当点为线段的中点时，即当点的坐标为时， 为定值. 因此，存在定点，且当点的坐标为时，为定值. 【变式训练3-3-1】已知抛物线的焦点为，过且不与轴垂直的直线与抛物线相交于、两点，为轴上一点，满足，则（    ） A．为定值 B．为定值 C．不是定值，最大值为 D．不是定值，最小值为 【解析】若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意； 由题意，，设直线的方程为，设点、， 联立可得，， 由韦达定理可得，则， 所以，， 线段的中点为，所以，直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点， 所以，，因此，.故选：A. 【变式训练3-3-2】过抛物线的焦点的直线l交抛物线于两点，若点P关于x轴对称的点为M，则直线QM的方程可能为    A． B． C． D． 【解析】由题意，抛物线的焦点为，准线方程为， 设直线方程为，联立方程，整理得， 设，则，， 过三点向准线作垂线，垂足分别为，准线与轴交于点， 则 而，所以， 因为有公共点，所以三点共线，即直线一定过点, 由四个选项可知，只有选项经过点.故选：D. 【变式训练3-3-3】已知抛物线，为轴正半轴上一点，则（    ） A．存在点，使得过点任意作弦，总有为定值 B．不存在点，使得过点任意作弦，有为定值 C．存在点，使得过点任意作弦，总有为定值 D．不存在点，使得过点任意作弦，有为定值 【解析】设，，， 由，可得，则有， 所以， ， 所以+， 所以当且仅当时，， 即存在点，使得为定值，故A正确，B错误； 由题意可得， ， 所以， 如果为定值，则必有，而此方程组无解， 所以不为定值，故C错误，D正确. 故选：AD. 【变式训练3-3-4】已知AB，CD是过抛物线焦点F且互相垂直的两弦，则的值为 . 【解析】由题设，直线、的斜率一定存在， 设为，，，联立抛物线方程，可得且， ∴，，而，， ∴， 由，设为，，，联立抛物线， 可得，同理有，，∴， 综上，. 【变式训练3-3-5】已知抛物线C：的焦点F关于直线l：对称的点为． (1)求C的方程； (2)设原点为O，点P，Q均在C上若直线PQ经过点，直线OP与直线：相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值2． 【分析】（1）由对称的点为，可得抛物线焦点，据此可得抛物线方程； （2）设直线PQ的方程为，且，.将直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理可得.又由题可得M的纵坐标，然后由，经整理后可得定值. 【详解】（1）由已知得，则线段的中点为， 由题意得该中点在直线l：上， 所以，解得， 所以C的方程为． （2）设直线PQ的方程为，且，. 联立方程组，整理得. 可得，且，，则． 又直线OP的方程为，令，得点M的纵坐标， 又点Q在上的射影为R，所以点R的纵坐标.则由图可得： ， 所以为定值2． 【变式训练3-3-6】在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离小2． (1)求的轨迹的方程； (2)设动点的轨迹为曲线，过点作斜率为，的两条直线分别交于M，N两点和P，Q两点，其中．设线段和的中点分别为A，B，过点作，垂足为．试问：是否存在定点，使得线段的长度为定值．若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）由题意可得动点到点的距离比到直线的距离小2， 则动点到点的距离与到直线的距离相等， 故G的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线， 设抛物线方程为 ， 则焦准距 ，故的轨迹的方程为： ； （2）由题意，直线MN的方程为 ，由题意可知 ， 由 ，消去y得： ， ， 设 ，则， 故 ，同理可求得，所以直线AB的斜率， 故直线AB的方程为：， 故直线AB过定点 ，设该点为,又因为，所以点D在以EF为直径的圆上， 由于 , ,故以EF为直径的圆的方程为， 故存在定点，使得线段的长度为定值2. 【变式训练3-3-7】已知曲线，点为曲线的焦点，点为曲线上一点，且． (1)求曲线的方程； (2)设曲线，若过点的直线与曲线，从左到右依次相交于点，，，． （i）证明：为定值； （ii）若直线，（为坐标原点）分别交直线于点，，求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的定值问题、根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）利用抛物线上的点满足的条件列方程，求解即得； （2）（i）先确定的圆心为，设直线方程为并与联立，写出韦达定理，根据抛物线定义求得和，继而可证得；（ii）将直线的方程与直线联立求得，同理得，求得，利用换元后借助于二次函数的性质即可求出的最小值. 【详解】（1）因，设，则， 即，化简得：，解得或（舍）， 抛物线的方程为． （2）（i）由得，圆心，半径为1， 抛物线的焦点与的圆心重合，即为， 显然，直线斜率存在，设直线方程为，设点、， 联立方程，消去并整理得， ，由韦达定理得，． 由抛物线的定义可知，，，． ， 即为定值1； （ii）由（i）可知：． ，则直线的方程为， 由可得， 同理直线的方程为，由可得， ， 设，，， 当，即，即时，的最小值是． 【变式训练3-3-8】已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点（M在第一象限），，垂足为，直线交轴于点， (1)求的值. (2)若斜率不为0的直线与抛物线相切，切点为，平行于的直线交抛物线于两点，且，点到直线与到直线的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是，3 【分析】（1）利用图中的几何关系以及抛物线的定义求解； （2）直线的方程为以及点的坐标，将直线方程与抛物线方程联立由韦达定理以及得到与的关系式，利用直线与抛物线相切求出直线的方程，用点到直线的距离公式即可求出点到直线与到直线的距离之比. 【详解】（1）如图所示，过点作，垂足为交轴于点， 由题得，所以， 因为，所以△是等边三角形， 因为是的中点，所以， 故， 所以，，所以，所以，即.    （2）由（1）可知抛物线的方程是， 设直线的方程为，， 因为，所以， 即，即. 又，所以，故. 联立，消去，得，其中， 则， 所以，所以. 设点到直线和直线的距离分别为， 则由得， 所以点到直线与到直线的距离之比是定值，定值为3. 【点睛】解决定值问题的途径就是用部分量去表示所求的量，本题就是利用韦达定理及其已知条件先找到部分量之间的关系，再用部分量去表示所求的量，最后用部分量之间的关系消元,即可得到定值. 【变式训练3-3-9】已知双曲线分别是的左、右焦点．在直线上，且到其中一条渐近线的距离为.抛物线：上的一个动点到的距离与点到的准线的距离之和的最小值为. (1)求的方程和的方程； (2)若过的直线与的左、右两支分别交于两点，与交于两点.问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， 【详解】（1）因为直线与轴的交点为，所以点的坐标为，半焦距， 又双曲线的渐近线方程为，即，由点到直线的距离公式得到点到其中一条渐近线的距离为，所以，则，又，所以双曲线的方程为 又设为抛物线的焦点，则，如图，已知，为到准线的距离且为垂足，则， 当且仅当三点共线且在之间时等号成立，所以，解得，因为，所以，故抛物线的方程为    （2）假设存在常数满足条件，由（1）知， 设直线， 联立方程得，消去，整理可得， 所以，， ． 因为直线过点且与的左、右两支分别交于，两点，所以两点在轴同侧，所以． 此时，即，所以． 设，将代入抛物线方程，得， 则， 所以 ． 所以． 故当时，为定值，所以，当时，为定值      （4） 面积定值 【典型例题】已知抛物线C：的焦点，点O为坐标原点，过点作直线，分别交抛物线C于A，B两点和C，D两点，直线与直线交于点E. (1)求抛物线C的方程； (2)若的角平分线所在的直线方程为，求直线的方程； (3)抛物线C在第一象限的图象上是否存在定点M，使得的面积为定值，若存在，求出该定值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，. 【详解】（1）由题意得，则. ∴. （2）设，，显然， 则直线：，整理得. ∵直线过点，∴.① ∵的角平分线方程为， 设上一点，直线：，直线：， ∴. 整理得， 令， 即，是方程的两根. ∴，. ∵，∴，，. ∴直线的方程为. （3），， 同理可得.② 又∵直线：， 直线：， ∴， ， 将①②代入上式化简得. ∴点E在直线上， ∴使得的面积为定值的点一定在过点F且与平行的直线上， 由解得或（舍）， 此时，. ∴点F到直线的距离. ∴. 【变式训练3-4-1】中点．设在点处的切线交于点，为曲线段（不含端点）上一点，在点处的切线与直线分别交于点． (1)证明： ①直线轴； ②四边形的面积为定值； (2)设的外接圆为圆，问：圆是否过定点（点除外）？若过定点，求出定点坐标；不过定点，请说明理由． 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2)过定点， 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、抛物线中的定值问题、抛物线中存在定点满足某条件问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）①联立方程可求出的坐标，再求出的坐标，即可证明结论；②利用切线方程可求表示出的坐标，从而可求出四边形的面积，即可证明结论； （2）表示出直线的方程，可求出点E所在的直线方程，结合三角形外接圆性质，即可得出结论. 【详解】（1）证明：①依题意，联立直线方程和得， 解得或4，所以，则. 由得，所以直线的斜率为， 则的方程为，同理可得的方程为， 联立，从而可得，而，因此轴. ②设，可得直线的方程为， 即， 联立，可得， 同理联立，，可得， 而， 故四边形的面积为，为定值. （2）由（1）得， 线段的垂直平分线的斜率为，则其方程为，即； 同理可得线段的垂直平分线的方程为， 联立，消去，得， 所以点在直线上. 设关于直线的对称点为，则， 解得，即关于直线的对称点为， 由于在圆上，故圆也过点，因此圆过定点. （5） 参数定值 【典型例题1】已知抛物线的方程为，过其焦点F的直线交此抛物线于M．N两点，交y轴于点E，若，，则（    ） A． B． C．1 D． 【解析】根据条件可得F（1，0）， 则设直线MN的方程为y＝k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2）， 所以E（0，﹣k），联立，整理可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0， 则x1+x2＝，x1x2＝1，因为，， 所以λ1（1﹣x1）＝x1，λ2（1﹣x2）＝x2，即有λ1＝，λ2＝， 所以.故选：D. 【典型例题2】已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，且． (1)求抛物线的方程． (2)直线与抛物线交于两点，轴上是否存在定点，使得直线经过点，且为定值？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)定点的坐标为，的定值为 【分析】（1）由题意可得，，计算可求得，可求得抛物线方程； （2）假设轴上存在定点，设直线的方程为，，联立方程组，利用根与系数的关系可求得，可求定点坐标与定值. 【详解】（1）抛物线的准线方程为， 又是抛物线上的一点，且，所以，， 所以，所以，所以，解得． 所以抛物线的方程为． （2）假设轴上存在定点，使得直线经过点，且为定值， 显然直线的斜率不为，设直线的方程为， 联立，消去，可得， 所以， ，， 所以 ， 当时，为定值， 此时定点的坐标为，的定值为. 【变式训练3-5-1】如图，O为坐标原点，过点且斜率为k的直线l与抛物线分别交于，两点． (1)求证：为定值； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）设直线：，代入抛物线方程，消去，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理可得为定值. （2）根据（1）的结论，通过求证得. 【详解】（1）由题可设直线l的方程为（）， 与抛物线方程联立得 消去y可得， 其中， 由根与系数的关系得，即为定值． （2）因为，，所以． 又因为，所以． 设，的斜率分别为，， 则，，有，则． 【变式训练3-5-2】已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于． (1)求抛物线的方程； (2)①求直线的斜率的取值范围； ②若为原点，将上述两点坐标改为，且满足，其他条件不变，试探究是否为定值，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②为定值，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】抛物线中的定值问题、根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程计算可得； （2）①设出直线方程，联立抛物线方程消元，利用判别式，结合题意求解即可；②设出直线的方程，联立抛物线方程消元，利用坐标表示出直线，方程，进而可得、的坐标，表示出，利用韦达定理进行化简即可得解. 【详解】（1）因为抛物线过点， 所以，从而，故抛物线的方程为． （2）①由题意知，直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为， 由得， 依题意，解得且． 又直线与轴相交，故直线不过点，从而， 所以直线斜率的取值范围为． ②为定值2．理由如下： 设，直线． 联立直线与抛物线的方程，可得， 根据韦达定理有．则, 故， 直线的方程为， 令，则，同理可得． 由得,得 同理， 则, 所以为定值，定值为2． 【变式训练3-5-3】过抛物线上的点的直线，分别交抛物线T于点B，C．设直线，的斜率分别为，，，当且点B，C关于x轴对称时，△ABC的面积为2． (1)求抛物线T的方程； (2)当时，证明：直线BC过定点． (3)设△ABC的外心E的坐标为，BC的中点M的坐标为，证明：为定值． 【答案】(1) (2)BC过定点，证明见解析 (3)，证明见解析 【难度】0.65 【知识点】抛物线中的直线过定点问题、抛物线中的定值问题、根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）先根据已知条件设出点坐标，由、对称及斜率关系，用斜率公式求出、坐标，再根据三角形面积公式求出，进而得到抛物线方程. （2）设出、、坐标，求出、，根据的值得到与的关系，再求，最后得出直线经过的定点 （3）与垂直得到斜率，利用、中点在上得出方程，设直线方程, 与之联立，通过变形相减求出，结合的值及已知条件得出的值. 【详解】（1）已知当时，，、关于轴对称且， 设（），因为，不妨设. 由斜率公式，即，解得，所以，. 面积，解得，抛物线方程为. （2）设，，， 则，. 因为，则，所以,则. ，所以直线BC方程，整理得. 把代入直线BC方程,得，所以直线过定点. （3）设，中点坐标是, 因为与垂直，则, 已知斜率是，所以斜率为. 根据直线点斜式，得出方程，展开整理成. 同理可得直线方程，与方程联立. 变形两式为和， 相减得，化简得. 已知，则. 又，代入得. 【变式训练3-5-4】已知是抛物线上一点，且M到C的焦点的距离为5.    (1)求抛物线C的方程及点M的坐标； (2)如图所示，过点的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点Q，设，，求证：是定值. 【答案】(1)，或 (2)证明见解析 【详解】（1）由抛物线的定义，得，解得p＝2. 所以抛物线C的方程为，M的坐标为或. （2）由题意知直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为x＝ty＋1（t≠0），则.将x＝ty＋1代入得.设，，则，. 由，得；由，得. 所以，故是定值1. （6） 向量定值 【典型例题】在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，直线与交于两点. (1)若过，另一条过的直线与交于两点（在轴上方），直线分别交直线于两点，证明：为的中点； (2)若上存在点，使得，证明：为定值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）设. 设，与抛物线联立，得， 则，即，同理可得. 又因为，令，得，同理， 将代入得，所以为的中点. （2）方法1：设，因为，得①， 由，得， ①②， 得， 即， 即. 因为，所以， 则，即为定值-4. 方法2：设，因为，所以， 即，同理得， 所以， 由，得①， 同理②，③， 由①-②，得④， 由①+②+③，得， 即， 而 故结合④可得， 则 ， 所以为定值-4. 【变式训练3-6-1】如图1，已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过点作倾斜角为的直线交抛物线于两点（点在第一象限）．当时，． (1)求抛物线的方程； (2)如图2，把沿翻折为，使得二面角的大小为． ①若，求直线与平面所成角的正弦值； ②证明：三棱锥的体积为定值． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】线面角的向量求法、锥体体积的有关计算、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】（1）先根据倾斜角得出点的坐标，再应用两点间距离求出，进而得出抛物线； （2）①联立方程得出点的坐标，再应用空间向量法计算线面角正弦即可；②应用三棱锥体积公式结合三角形面积公式计算求解. 【详解】（1）当时，，所以点的坐标为， 因为，所以， 解得， 所以抛物线的方程为． （2）①在平面直角坐标系中，若，则直线的方程为， 联立 所以点的坐标分别为． 过O点作平面的垂线为轴，如图建立空间直角坐标系，则， 当二面角的大小为时，点，即， 所以， 设平面的法向量为， 则即解得取，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． ②由题意得． ， 当时，， 当时，在平面直角坐标系中，设直线的斜率为，则直线的方程为， 设点的坐标分别为， 联立得， 则， 因为，所以，得， 所以， ， 综上所述，三棱锥的体积为定值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $