第八章 课时9 圆锥曲线中定点与定值问题讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦圆锥曲线中定点与定值核心考点，依据课标要求构建“课标-知识-考点”三层架构，通过梳理直接法与间接法两大策略，结合二级结论及模型识别，配合基础回顾与分层训练，形成从知识理解到解题应用的系统复习路径。 讲义突出数学思维与数学眼光的培养，如例1通过设直线方程联立椭圆方程，推导MN中点为定点，训练代数推理能力，结合“手电筒”模型等识别策略，帮助学生快速定位解题方向，分层练习与即时反馈设计，确保学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

课时9 圆锥曲线中定点与定值问题 一、课标要求 1．会研究一些含有参数的动态问题． 2．理解圆锥曲线中的定点、定值问题本质是在“变”中寻求“不变”性． 二、知识梳理 解决定点、定值问题的两大策略： 1．直接法：引入变量(设点或设直线等)法推理论证，选择适当的变量，构造要求值的函数(或方程)，通过化简为定值(恒成立求出定值)． 2．间接法：先找后证，即从特殊(或极端)入手→求出定值→证明这个值与变量无关． 注意以下几点： 1．熟记一些常见的二级结论，如中点弦的性质等； 2．识别一些常见的模型，如直线系方程、圆系方程、阿波罗尼斯圆、“手电筒”模型、极点极线等模型等； 3．掌握常用的方法与技巧，如通过对称性与极端化思想，大致确定位置或数值等． 三、基础回顾 1. 已知点M为双曲线C：-=1的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则MF1+F1F2-MF2=(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 2. （多选题）已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其一条渐近线为y=x，直线l过点F2且与双曲线C的右支交于A，B两点，M，N分别为△AF1F2和△BF1F2的内心，则下列结论正确的有(　　) A.双曲线C的离心率为 B.直线l斜率的取值范围是 C.△MNF2为直角三角形 D.点M与点N的横坐标都为a 3. 抛物线y2=4x上与焦点距离为3的点的横坐标是　　　　　　.  4. 已知A(1，2)，B(1，－2)，过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于M，N两点(异于A，B两点)，且M，A位于x轴同一侧，直线AM与直线BN相交于点G，求证：点G在定直线上． 四、考点扫描 考点一 定点问题 例1 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率是，点A(－2,0)在C上． (1)求C的方程； (2)过点(－2,3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点． 规律方法： 对点训练 已知F1，F2分别为双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点F1到双曲线E的渐近线的距离为2，A为双曲线E的右顶点，且AF1＝2AF2． (1) 求双曲线E的标准方程； (2) 若四边形ABCD为矩形，其中点B，D在双曲线E上，求证：直线BD过定点． 考点二 定值问题 例2 (2025·浙江金华市一模)已知A(2,0)和B为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上两点． (1) 求椭圆C的离心率. (2) 过点(－1,0)的直线l与椭圆C交于D，E两点(D，E不在x轴上)．直线AD和AE分别与y轴交于M，N两点，求证：以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值． 规律方法： 对点训练 （2025·广东广州市模拟）已知，，平面内有动点，且直线的斜率与直线的斜率之积为1. (1)求动点的轨迹的方程. (2)过点A的直线与交于点（在第一象限），过点的直线与交于点（在第三象限），记直线，的斜率分别为，，且.试判断与的面积之比是否为定值.若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由. 课时9 圆锥曲线中定点与定值问题参考答案 三、基础回顾 1. A【解析】由于M为双曲线C：-=1的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点， 所以MF2-MF1=2a，故MF1+F1F2-MF2=2c-2a，由于a=2，b=，c==3，所以MF1+F1F2-MF2=2c-2a=6-4=2.故选A. 2.　ACD【解析】依题意，双曲线C为等轴双曲线，所以离心率为，故A正确； 双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为和，作图可知，若直线l过点F2且与双曲线C的右支有两个交点，则直线l倾斜角的取值范围是，则直线l斜率的取值范围是(-∞，-1)∪(1，+∞)，故B错误； 因为MF2和NF2分别为∠AF2F1和∠BF2F1的平分线，则2∠MF2F1+2∠NF2F1=π，所以∠MF2N=，即△MNF2是直角三角形，故C正确； 设焦距为2c，由题可知=1，故c=a，如图，过点M分别作F1A，F1F2，AF2的垂线，垂足分别为D，E，H，易得F1D=F1E，F2E=F2H，AD=AH，因为AF1-AF2=2a，所以F1E-F2E=2a，所以E(a，0)，M点的横坐标为a，同理可得N点的横坐标也为a，故D正确.故选ACD. 3.　2【解析】抛物线y2=4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x=-1，设抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F(1，0)的距离为3，则PF=x0+=x0+1=3，所以x0=2. 4. 【证明】显然直线l不垂直于坐标轴，设其方程为x＝ty＋1(t≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，y2＜0＜y1，由消去x得y2－4ty－4＝0，显然Δ＞0，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4． 直线AM的斜率为kAM＝＝＝，其方程为y＝(x－1)＋2；直线BN的斜率为kBN＝＝＝，其方程为y＝(x－1)－2．由消去y得(x－1)＝－4，整理得x＝1－＝1－＝1－＝1－＝－1，因此点G的横坐标恒为－1，所以点G在定直线x＝－1上． 四、考点扫描 例1 (1)【解】由题意，可得解得所以椭圆C的方程为＋＝1. （2）【证明】由题意可知，直线PQ的斜率存在，如图. 设B(－2,3)，直线PQ：y＝k(x＋2)＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立方程 消去y得(4k2＋9)x2＋8k(2k＋3)x＋16(k2＋3k)＝0，则Δ＝64k2(2k＋3)2－64(4k2＋9)(k2＋3k)＝－1 728k>0，解得k<0，可得x1＋x2＝－，x1x2＝.因为A(－2,0)，则直线AP：y＝(x＋2)，令x＝0，解得y＝，即M，同理可得N， 则＝＋ ＝ =＝＝3，所以线段MN的中点是定点(0,3)． 对点训练 （1）【解】设焦距为2c，则F1(－c,0)，故点F1到双曲线E的渐近线bx±ay＝0的距离为＝b＝2．由AF1＝2AF2，知c＋a＝2(c－a)，得c＝3a．又c2＝a2＋b2，所以(3a)2＝a2＋8，解得a2＝1，所以双曲线E的标准方程为x2－＝1． （2）【证明】①当直线BD的斜率不存在时，由AB⊥AD可得直线BD的方程为x＝－．②当直线BD的斜率存在时，设直线BD的方程为y＝kx＋m，B(x1，y1)，D(x2，y2)，联立得(8－k2)x2－2kmx－m2－8＝0．当时，x1＋x2＝，x1x2＝－．因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥AD，所以·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，所以(x1－1)(x2－1)＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(k2＋1)x1x2＋(km－1)(x1＋x2)＋m2＋1＝0，所以－＋＋＝0，所以7m2－2km－9k2＝0，所以(m＋k)(7m－9k)＝0，所以m＝－k或m＝k．当m＝－k时，直线BD的方程为y＝kx－k＝k(x－1)，恒过定点A(1,0)，不合题意，舍去．当m＝k时，直线BD的方程为y＝kx＋k＝k，恒过定点．综合①②，直线BD恒过定点． 例2 （1）【解】由A(2,0)，知a2＝4，可得a＝2．代入B，得＋＝1，可得b2＝1，则c2＝4－1＝3，c＝，所以椭圆C的离心率e＝＝． （2）【证明】由(1)可知椭圆C的方程为＋y2＝1，设D(x1，y1)，E(x2，y2)，设过点(－1,0)的直线l的方程为x＝my－1，与＋y2＝1联立得(m2＋4)y2－2my－3＝0，则Δ＝4m2＋12(m2＋4)＞0恒成立，所以y1＋y2＝，y1·y2＝．所以x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝，x1·x2＝m2y1y2－m(y1＋y2)＋1＝．直线AD的方程为y＝(x－2).令x＝0，得yM＝；直线AE的方程为y＝(x－2)，令x＝0，得yN＝．如图，记以MN为直径的圆与x轴交于P，Q两点，由圆的弦长公式可知，2＝2－2＝－yM·yN＝－·＝－＝－＝－＝，所以PQ＝，故以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值． 对点训练 【解】（1）设，.由题意可得，整理得，故求动点的轨迹方程为. （2）由题意可知，且，可得. 显然直线MN的斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立方程，消去x得，则，，可得，则，整理可得，则.因为，则，可得，整理可得，所以直线方程为，即直线过定点，则，此时，，所以为定值. . 学科网（北京）股份有限公司 $