16.4 圆锥曲线统一定义 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦解析几何中圆锥曲线的统一定义，围绕离心率与曲线类型关系、焦点准线距离及统一定义应用等核心考点，按“统一定义与离心率”“统一定义的应用”两个逻辑层次构建知识体系，通过知识梳理明确概念联系，方法指导提炼解题关键，真题训练强化考点对接，帮助学生系统突破解析几何难点。 资料以高考真题为载体突出实战价值，通过统一定义将椭圆、双曲线、抛物线纳入统一框架，培养学生用数学思维构建知识联系的能力。设计从基础概念到综合应用的分层例题，如通过动点轨迹问题引导学生用数学语言表达曲线关系，配合即时反馈的参考答案确保复习效率，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

解析几何 16.4 圆锥曲线的统一定义 学习目标 ● 理解圆锥曲线的统一定义，掌握离心率与曲线类型的关系 ● 能运用统一定义解决焦点准线距离相关问题 ● 了解三种圆锥曲线的内在联系与转化 知识点一 统一定义与离心率 1. 知识梳理 （一）圆锥曲线的统一定义 平面内到定点 （焦点）的距离与到定直线 （准线， 不在 上）的距离之比为常数 的点的轨迹，叫做圆锥曲线。 设 为曲线上任意一点， 为 到准线 的距离，则： （二）离心率与曲线类型 （三）焦准距 焦点到准线的距离叫做焦准距。对于椭圆和双曲线：。 📌 提示：统一定义的核心公式 将三种圆锥曲线统一在一个框架下。 2. 典型例题 例1 （2025年全国I卷3题） 若双曲线 的虚轴长为实轴长的 倍，则 的离心率为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 【解析】 设双曲线方程为 ，由题意 。 ，。 答：D。 例2 （2024年全国甲卷6题） 已知双曲线 （）的上、下焦点分别为 、，点 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 【解析】 由焦点坐标知 ，，。 。 由双曲线定义 ， 在双曲线上，。 答：C。 例3 （2024年新全国I卷12题） 设双曲线 （）的左右焦点分别为 、，过 作平行于 轴的直线交 于 、 两点，若 ，，则 的离心率为____。 【解析】 通径 ，。 到 距离 ，由双曲线定义 ，。 ，。 答：。 例4 （2025年全国II卷6题） 设抛物线 （）的焦点为 ，点 在 上，过 作 的准线的垂线，垂足为 。若直线 的方程为 ，则 （　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 【解析】 直线 ：，令 ，，焦点 ，。 准线 ， 在准线上，设 。 在直线 上：，。 由抛物线定义 ， 到准线距离 。 在抛物线 上，且 准线， 的横坐标 。 设 ，，，。 答：C。 例5 （2025年全国I卷10题） 设抛物线 的焦点为 ，过 的直线交 于 、，过 且垂直于 的直线交 于 ，过点 作准线 的垂线，垂足为 ，则（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 【解析】 由抛物线定义， 到焦点 的距离等于 到准线 的距离，即 ，A正确。 设 倾斜角为 ，由焦点弦长公式 （当 时取等），C正确。 对于D选项，设 的倾斜角为 ，过 且垂直于 的直线 与准线 交于 。 由几何关系可得 。 由抛物线的几何性质，（可过 作另一条割线验证）。 因此 （当 时取等），D正确。 答：ACD。 知识点二 统一定义的应用 1. 知识梳理 （一）焦点弦与准线的关系 （二）焦半径的统一形式 📌 提示：统一定义在解题中的优势：将距离问题转化为离心率问题，避免复杂的坐标运算。 2. 典型例题 例1 （2025年全国I卷15题） 设椭圆 （）的离心率为 ，下顶点为 ，右顶点为 ，。 （1）求 的方程； （2）设 为 上一点，、 为焦点， 到左准线的距离为 ，求 的最小值。 【解析】 （1），，。 ，。 ，，。 （2）左准线 。 由统一定义， 到左焦点 的距离 ，其中 为 到左准线的距离。 因此 。 当 为左顶点 时， 取最小值： 所以 【注意】统一定义中 ，计算 时不可遗漏离心率 因子。 答：（1）；（2）最小值为 。 例2 （2024年新全国I卷16题） 已知椭圆 （）的离心率为 ，、 分别为 的左、右顶点。 （1）求 的方程； （2）设 为 上一点， 到 轴距离为 ， 面积为 ，求 的最大值。 【解析】 （1），，。 设 ，，。 （2），，。 ，（常数）。 答：（1）；（2）。 例3 已知动点 到定点 的距离与到定直线 的距离之比为 ，求动点 的轨迹方程。 【解析】 ，轨迹为椭圆。设 ： 两边平方化简得： 答：。 例4 已知动点 到定点 的距离与到定直线 的距离之比为 。分别求 、、 时 的轨迹方程。 【解析】 （椭圆）：。 （抛物线）：。 （双曲线）：。 答：见解析。 例5 已知椭圆 （），、 为焦点。若椭圆上存在点 使 ，求离心率 的取值范围。 【解析】 的最大值在 为短轴端点时取得。 。 需 ，即 ，，。 又 ，所以 。 答：。 教学建议与知识总结 一、本节核心要点 ● 统一定义 是将椭圆、双曲线、抛物线三种曲线联系在一起的核心公式。 ● 离心率 的取值范围决定了曲线类型： 为椭圆， 为抛物线， 为双曲线。 二、常见学生错误 ● 混淆 中的 ： 是 到对应准线的距离，不是到焦点的距离。 ● 准线方程搞错：椭圆准线为 ，不是 。 三、课时建议 本节内容建议安排 2 课时。 学科网（北京）股份有限公司 $ 解析几何 16.4 圆锥曲线的统一定义 学习目标 ● 理解圆锥曲线的统一定义，掌握离心率与曲线类型的关系 ● 能运用统一定义解决焦点准线距离相关问题 ● 了解三种圆锥曲线的内在联系与转化 知识点一 统一定义与离心率 1. 知识梳理 （一）圆锥曲线的统一定义 平面内到定点 （焦点）的距离与到定直线 （准线， 不在 上）的距离之比为常数 的点的轨迹，叫做圆锥曲线。 设 为曲线上任意一点， 为 到准线 的距离，则： （二）离心率与曲线类型 （三）焦准距 焦点到准线的距离叫做焦准距。对于椭圆和双曲线：。 📌 提示：统一定义的核心公式 将三种圆锥曲线统一在一个框架下。 2. 典型例题 例1 （2025年全国I卷3题） 若双曲线 的虚轴长为实轴长的 倍，则 的离心率为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 例2 （2024年全国甲卷6题） 已知双曲线 （）的上、下焦点分别为 、，点 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 例3 （2024年新全国I卷12题） 设双曲线 （）的左右焦点分别为 、，过 作平行于 轴的直线交 于 、 两点，若 ，，则 的离心率为____。 例4 （2025年全国II卷6题） 设抛物线 （）的焦点为 ，点 在 上，过 作 的准线的垂线，垂足为 。若直线 的方程为 ，则 （　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 例5 （2025年全国I卷10题） 设抛物线 的焦点为 ，过 的直线交 于 、，过 且垂直于 的直线交 于 ，过点 作准线 的垂线，垂足为 ，则（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 知识点二 统一定义的应用 1. 知识梳理 （一）焦点弦与准线的关系 （二）焦半径的统一形式 📌 提示：统一定义在解题中的优势：将距离问题转化为离心率问题，避免复杂的坐标运算。 2. 典型例题 例1 （2025年全国I卷15题） 设椭圆 （）的离心率为 ，下顶点为 ，右顶点为 ，。 （1）求 的方程； （2）设 为 上一点，、 为焦点， 到左准线的距离为 ，求 的最小值。 例2 （2024年新全国I卷16题） 已知椭圆 （）的离心率为 ，、 分别为 的左、右顶点。 （1）求 的方程； （2）设 为 上一点， 到 轴距离为 ， 面积为 ，求 的最大值。 例3 已知动点 到定点 的距离与到定直线 的距离之比为 ，求动点 的轨迹方程。 例4 已知动点 到定点 的距离与到定直线 的距离之比为 。分别求 、、 时 的轨迹方程。 例5 已知椭圆 （），、 为焦点。若椭圆上存在点 使 ，求离心率 的取值范围。 参考答案汇总 知识点一： 例1答案：D 例2答案：C 例3答案： 例4答案：C 例5答案：ACD 知识点二： 例1答案：（1）；（2）最小值为 例2答案：（1）；（2） 例3答案： 例4答案： 时 ； 时 ； 时 例5答案： 学科网（北京）股份有限公司 $