8.9 直线与圆锥曲线的位置关系【题型突破】讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦直线与圆锥曲线位置关系核心考点，涵盖位置判断、弦长、中点弦等高考高频问题，按“考向预测-双基自测-核心梳理-题型突破-限时训练”逻辑架构知识体系。通过考点梳理构建方法框架，典例精讲提炼解题策略，真题训练强化实战能力，帮助学生系统突破联立方程、韦达定理应用等难点。 讲义突出“问题导向-方法建模-分层训练”教学特色，创新设计“硬解定理”“中点弦斜率公式”等解题模型，培养学生数学思维（运算推理）与数学语言（模型表达）。题型突破环节按“位置关系-弦长-中点弦”分类精讲，配合限时训练分层设题，确保高效突破参数范围、轨迹探究等综合问题，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第八章 直线和圆、圆锥曲线 §8.9　直线与圆锥曲线的位置关系 【高考考向预测】 直线与圆锥曲线位置关系主要通过联立方程、结合判别式、韦达定理判定相交、相切、相离，常考查弦长、中点、面积、定点、定值、最值及存在性问题，综合函数、不等式思想求解；近三年为高考数学压轴高频考点，解答题必考、选择填空也常涉及；预测2027 年仍会保持大题考查形式，强化参数范围、轨迹探究、几何最值与综合探究类设问，侧重数形结合与运算能力考查。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)过点的直线一定与椭圆+y2=1相交.(　 　) (2)直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切.(　 　) (3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点.(　 　) (4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦.(　 　) 2.已知椭圆C：+y2=1与直线l：x-2y-2=0交于P，Q两点，则|PQ|等于(　　) A. B. C. D. 3.直线y=x-1被抛物线y2=4x截得的线段AB的中点坐标是(　　) A.(2，1) B.(3，2) C.(6，5) D.(4，3) 4.若直线y=kx与双曲线-=1相交，则k的取值范围是(　　) A. B. C. D.∪ 【核心梳理●明考点】 1.直线与圆锥曲线的位置判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交⇔Δ>0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ=0；直线与圆锥曲线相离⇔Δ<0. 特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点. ②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点. 2.弦长公式 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)， 则|AB|= =|x1-x2| =， 或|AB|=|y1-y2| =. 1.已知M，N是椭圆C：+=1(a>b>0)上的两点，点O为坐标原点，且P是MN的中点，则kMN·kOP=-. 2.若曲线为双曲线-=1(a>0，b>0)，其余条件不变，则kMN·kOP=. 【题型突破●明方向】 题型一　直线与圆锥曲线的位置关系 例1　(1)直线kx+y+2k-1=0(k∈R)与椭圆+=1的交点个数为(　　) A.1 B.2 C.1或2 D.0 (2)已知直线l：x=ty+2和双曲线C：y2-x2=8，若l与C的上支交于不同的两点，则t的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【思维升华】(1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行. (2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合). 跟踪训练1　已知直线y=kx-2与抛物线C：y2=2x有且仅有一个公共点，则实数k的值是　　　　　　　. 题型二　弦长问题 例2　(2026·南阳模拟)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率e=，以C的四个顶点为顶点的四边形的面积为8. (1)求C的方程； (2)若直线l：2x-y+1=0交椭圆C于M，N两点，求|MN|. 圆锥曲线弦长的万能公式(硬解定理) 设直线方程为y=kx+b(k≠0)，圆锥曲线的方程为f(x，y)=0，把直线方程代入曲线方程，可化为ax2+bx+c=0(a≠0)或ay2+by+c=0(a≠0)，设直线和曲线的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2). (1)若消去y，则弦长公式为|AB|=·|x1-x2|=· =·=·. (2)若消去x，则弦长公式为|AB|=·|y1-y2|=· =·=·. 典例　已知双曲线C：2x2-y2=2，直线l：x-y+1=0与双曲线C交于M，N两点，则弦长|MN|等于(　　) A. B. C.4 D.4 跟踪训练2　已知双曲线E：-=1(a>0，b>0)的离心率为，且过点. (1)求E的方程； (2)直线l过(，0)且交E于A，B两点，若弦AB的长度为E的实轴长的两倍，求l的方程. 题型三　中点弦问题 例3　(1)(链接教材，人教A版选择性必修第一册P128习题3.2T13)直线l与双曲线-y2=1交于P，Q两点，线段PQ的中点为M(4，1)，则直线l的方程为(　　) A.y=x-3 B.y=-x-3 C.y=x+5 D.y=-x+5 (2)(2025·嘉兴模拟)过点M(6，4)的直线与抛物线y2=8x相交于A，B两点，若M恰为AB的中点，则线段AB的长为　　　　　. 跟踪训练3　(1)若椭圆+=1的弦被点(1，1)平分，则这条弦所在的直线方程是(　　) A.x-2y+1=0 B.x+2y-3=0 C.2x-y-1=0 D.2x+y-3=0 (2)(2026·聊城模拟)已知双曲线C：-=1的右焦点为F，M，N是双曲线C右支上的两点，若G(0，2)，且F为△MNG的重心，则MN的中点坐标为　　　　　　，直线MN的方程为　　　　　　. (3)【限时训练】 （40分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知直线y=x+3与椭圆+=1有公共点，则m的取值范围是(　　) A.(0，4] B.(-∞，0)∪[4，+∞) C.[4，+∞) D.[4，5)∪(5，+∞) 3.已知直线2x+y-2=0与抛物线C：y2=4x交于A，B两点，则|AB|等于(　　) A. B.5 C.3 D.4 4.(2026·湛江模拟)已知抛物线C：y2=2px(p>0)与直线l：x-y-3=0交于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为7，则p等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 5.(2025·西安模拟)已知双曲线C：-y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y=x+m与C交于A，B两点，若△F1AB的面积是△F2AB的面积的2倍，则m等于(　　) A. B.或6 C.-6 D.-6或- 6.已知椭圆E：+=1，若椭圆E上存在关于直线y=2x+m对称的两点A，B，则实数m的取值范围是(　　) A.(-1，1) B.[-1，1] C. D. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.平面直角坐标系中椭圆C的中心为原点，焦点在坐标轴上，点，均在椭圆C上，则(　　) A.椭圆C的离心率为 B.直线l：kx+y-k=0与椭圆C相交 C.椭圆C的短轴长为2 D.若椭圆C上弦AB的中点坐标为，则直线AB的斜率为- 8.(2025·白银模拟)已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，A，B为抛物线C上的两点，且线段AB的中点为(1，1)，则(　　) A.点F的坐标为(0，1) B.直线AB的斜率为2 C.线段AB的长度为 D.△FAB的面积为 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.若动直线mx+ny-m-n=0始终与椭圆C：+=1(a>0)有公共点，则a的取值范围是　　　　　　　　　　　　　. 10.过点M(2，1)作斜率为-3的直线与椭圆C：+=1相交于A，B两点，若M为线段AB的中点，则C的离心率为　　　　　. 四、解答题(共27分) 11.(13分)已知动点M(x，y)与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：x=的距离的比是常数. (1)求动点M的轨迹；(6分) (2)过F(2，0)且斜率为1的直线l交动点M的轨迹于A，B两点，求|AB|.(7分) 12.(14分)已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，椭圆E：+=1(a>b>0)的右焦点为F，离心率e=. (1)求椭圆E的方程；(4分) (2)动直线l：y=m(x-3)恒过定点A，过点P(1，2)作抛物线C的切线与椭圆E交于M，N两点，求△AMN的面积.(10分) [13题6分，14题5分，共11分] 13.(多选)已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F(0，1)，过F的直线l交x轴负半轴于点M，交抛物线C于A，B两点，|AF|<|BF|，|BF|=|MF|，过B作抛物线C的切线交x轴于点N，则(　　) A.p=2 B.直线l的斜率为 C.|AB|=9 D.△MBN的面积为3 14.设P(x，y)为曲线C：-y|y|=1上的任意一点，则|x-2y+2|的最大值为(　　) A.2+ B.2 C.2+2 D.2+ / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 直线和圆、圆锥曲线 §8.9　直线与圆锥曲线的位置关系 【高考考向预测】 直线与圆锥曲线位置关系主要通过联立方程、结合判别式、韦达定理判定相交、相切、相离，常考查弦长、中点、面积、定点、定值、最值及存在性问题，综合函数、不等式思想求解；近三年为高考数学压轴高频考点，解答题必考、选择填空也常涉及；预测2027 年仍会保持大题考查形式，强化参数范围、轨迹探究、几何最值与综合探究类设问，侧重数形结合与运算能力考查。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)过点的直线一定与椭圆+y2=1相交.(　 　) (2)直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切.(　 　) (3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点.(　 　) (4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦.(　 　) 【答案】（1）√（2）×（3）√（4）√ 2.已知椭圆C：+y2=1与直线l：x-2y-2=0交于P，Q两点，则|PQ|等于(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l的方程可化为y=x-1，联立 消去y化简可得x2-x=0，解得x1=0，x2=， 由弦长公式可得|PQ|=·|x1-x2|=×=. 3.直线y=x-1被抛物线y2=4x截得的线段AB的中点坐标是(　　) A.(2，1) B.(3，2) C.(6，5) D.(4，3) 【答案】B 【解析】方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)， 故==1， 故y1+y2=4，=2， 把y=2代入y=x-1，得x=3， 故线段AB的中点坐标是(3，2). 方法二　联立 消去y可得x2-6x+1=0， 则Δ=(-6)2-4×1×1=32>0， 设直线y=x-1与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=6， 故y1+y2=(x1-1)+(x2-1)=x1+x2-2=4， 所以线段AB的中点坐标是(3，2). 4.若直线y=kx与双曲线-=1相交，则k的取值范围是(　　) A. B. C. D.∪ 【答案】C 【解析】方法一　联立直线和双曲线的方程并消去y得(4-9k2)x2-36=0， 由直线与双曲线相交，可得4-9k2≠0且Δ=02-4(4-9k2)·(-36)>0， 解得-<k<， 故k的取值范围是. 方法二　双曲线-=1的渐近线为y=±x， 所以由直线y=kx与双曲线相交， 可得k的取值范围是. 【核心梳理●明考点】 1.直线与圆锥曲线的位置判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交⇔Δ>0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ=0；直线与圆锥曲线相离⇔Δ<0. 特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点. ②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点. 2.弦长公式 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)， 则|AB|= =|x1-x2| =， 或|AB|=|y1-y2| =. 1.已知M，N是椭圆C：+=1(a>b>0)上的两点，点O为坐标原点，且P是MN的中点，则kMN·kOP=-. 2.若曲线为双曲线-=1(a>0，b>0)，其余条件不变，则kMN·kOP=. 【题型突破●明方向】 题型一　直线与圆锥曲线的位置关系 例1　(1)直线kx+y+2k-1=0(k∈R)与椭圆+=1的交点个数为(　　) A.1 B.2 C.1或2 D.0 【答案】C 【解析】由直线kx+y+2k-1=0(k∈R)，得y-1+k(x+2)=0，即直线过定点(-2，1). 又因为+=1，所以此定点在椭圆上， 即直线与椭圆的交点个数为1或2. (2)已知直线l：x=ty+2和双曲线C：y2-x2=8，若l与C的上支交于不同的两点，则t的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】联立 消去x得(1-t2)y2-4ty-12=0， 由题意得 解得-<t<-1，∴t的取值范围为. 【思维升华】(1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行. (2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合). 跟踪训练1　已知直线y=kx-2与抛物线C：y2=2x有且仅有一个公共点，则实数k的值是　　　　　　　. 【答案】0或- 【解析】联立得k2x2-(4k+2)x+4=0， ①当k=0时，-2x+4=0，解得x=2，此时y=-2， ∴直线y=kx-2与抛物线有且仅有一个公共点(2，-2)； ②当k≠0时，令Δ=(4k+2)2-16k2=16k+4=0， 即k=-，方程k2x2-(4k+2)x+4=0有两个相等的实根， 则直线y=kx-2与抛物线相切，有且仅有一个公共点. 综上所述，当直线y=kx-2与抛物线有且仅有一个公共点时，实数k的值是0或-. 题型二　弦长问题 例2　(2026·南阳模拟)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率e=，以C的四个顶点为顶点的四边形的面积为8. (1)求C的方程； (2)若直线l：2x-y+1=0交椭圆C于M，N两点，求|MN|. 【解析】(1)设C的半焦距为c(c>0). 由题意得解得 ∴C的方程为+=1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2). 联立 消去y化简得9x2+8x-6=0， Δ=82-4×9×(-6)=280>0， ∴x1+x2=-，x1x2=-. ∴|MN|=|x1-x2| =× =×=. 圆锥曲线弦长的万能公式(硬解定理) 设直线方程为y=kx+b(k≠0)，圆锥曲线的方程为f(x，y)=0，把直线方程代入曲线方程，可化为ax2+bx+c=0(a≠0)或ay2+by+c=0(a≠0)，设直线和曲线的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2). (1)若消去y，则弦长公式为|AB|=·|x1-x2|=· =·=·. (2)若消去x，则弦长公式为|AB|=·|y1-y2|=· =·=·. 典例　已知双曲线C：2x2-y2=2，直线l：x-y+1=0与双曲线C交于M，N两点，则弦长|MN|等于(　　) A. B. C.4 D.4 【答案】D 【解析】联立双曲线与直线的方程， 得x2-2x-3=0，Δ=16，又k=1，a=1， 由弦长的万能公式知，|MN|=·=4. 【思维升华】(1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何两点的弦长都可以用距离公式求(过两点的直线的斜率存在且不等于0). (2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|=x1+x2+p. (3)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率. 跟踪训练2　已知双曲线E：-=1(a>0，b>0)的离心率为，且过点. (1)求E的方程； (2)直线l过(，0)且交E于A，B两点，若弦AB的长度为E的实轴长的两倍，求l的方程. 【解析】(1)因为双曲线E过点，离心率为， 所以解得 所以双曲线E的方程为x2-=1. (2)由(1)知双曲线的实轴长为2，当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为y=k(x-)， 联立 得(2-k2)x2+2k2x-3k2-2=0， 故2-k2≠0，Δ=16(k2+1)>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1+x2=，x1x2=， 所以|AB|===4， 解得k=±， 故直线l的方程为y=±(x-)， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=，此时|AB|=4，符合题意. 综上所述，直线l的方程为y=x-或y=-x+或x=. 题型三　中点弦问题 例3　(1)(链接教材，人教A版选择性必修第一册P128习题3.2T13)直线l与双曲线-y2=1交于P，Q两点，线段PQ的中点为M(4，1)，则直线l的方程为(　　) A.y=x-3 B.y=-x-3 C.y=x+5 D.y=-x+5 【答案】A 【解析】设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 因为线段PQ的中点为M(4，1)，所以x1+x2=8，y1+y2=2， 所以两式相减可得-=-， 即=(y1+y2)(y1-y2)， 所以·=， 即=1， 所以直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y-1=x-4，即y=x-3. (2)(2025·嘉兴模拟)过点M(6，4)的直线与抛物线y2=8x相交于A，B两点，若M恰为AB的中点，则线段AB的长为　　　　　. 【答案】16 【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2)， ∴kAB==， ∵AB的中点是M(6，4)，∴kAB==1. ∴直线AB方程为y-4=x-6，即x-y-2=0， 由得x2-12x+4=0， Δ=(-12)2-4×1×4=128>0， 则x1+x2=12，x1x2=4， ∴|AB|=· =×=16. 【思维升华】解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路 (1)根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解. (2)点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB的斜率有关的式子，可以大大减少计算量. 跟踪训练3　(1)若椭圆+=1的弦被点(1，1)平分，则这条弦所在的直线方程是(　　) A.x-2y+1=0 B.x+2y-3=0 C.2x-y-1=0 D.2x+y-3=0 【答案】B 【解析】设弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则两式相减可得=-， 所以kAB==-·=-×=-， 所以弦所在的直线方程为y-1=-(x-1)， 即x+2y-3=0. (2)(2026·聊城模拟)已知双曲线C：-=1的右焦点为F，M，N是双曲线C右支上的两点，若G(0，2)，且F为△MNG的重心，则MN的中点坐标为　　　　　　，直线MN的方程为　　　　　　. 【答案】(6，-1)　2x+y-11=0 【解析】由题知，F(4，0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，又G(0，2)， 因为F为△MNG的重心， 所以=4，=0， 即x1+x2=12，y1+y2=-2， 所以MN的中点坐标为(6，-1)； 因为M，N是双曲线C右支上的两点， 所以 两式相减并化简得=×=-2， 所以直线MN的方程为y+1=-2(x-6)， 即2x+y-11=0. 【限时训练】 （40分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若直线与双曲线有且仅有一个公共点，则直线与双曲线相切或直线与渐近线平行，故充分性不满足； 若直线与双曲线相切，则直线与双曲线有且仅有一个公共点，故必要性满足. 所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要不充分条件. 2.已知直线y=x+3与椭圆+=1有公共点，则m的取值范围是(　　) A.(0，4] B.(-∞，0)∪[4，+∞) C.[4，+∞) D.[4，5)∪(5，+∞) 【答案】D 【解析】方法一　联立消去y可得(m+5)x2+30x+45-5m=0， 则Δ=302-4(m+5)(45-5m)=20m(m-4)≥0， 又m>0且m≠5，故m≥4且m≠5， 故m的取值范围是[4，5)∪(5，+∞). 方法二　根据椭圆方程的特点，可得m>0且m≠5，可排除B，C； 当m>9时，点(0，3)在椭圆内部，所以直线y=x+3与椭圆+=1必有公共点，排除A，故选D. 3.已知直线2x+y-2=0与抛物线C：y2=4x交于A，B两点，则|AB|等于(　　) A. B.5 C.3 D.4 【答案】B 【解析】将2x+y-2=0与抛物线C：y2=4x联立得x2-3x+1=0，Δ>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=3， 显然抛物线焦点坐标为(1，0)， 令x=1，即2+y-2=0， 得y=0，则直线过焦点， 则|AB|=x1+x2+p=3+2=5. 4.(2026·湛江模拟)已知抛物线C：y2=2px(p>0)与直线l：x-y-3=0交于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为7，则p等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 两式相减并整理得==1， 因为线段AB中点的横坐标为7， 所以线段AB中点的纵坐标为4，则y1+y2=8， 从而可得p=4. 5.(2025·西安模拟)已知双曲线C：-y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y=x+m与C交于A，B两点，若△F1AB的面积是△F2AB的面积的2倍，则m等于(　　) A. B.或6 C.-6 D.-6或- 【答案】C 【解析】易得a=，b=1，c=2，故|F1F2|=4，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线y=x+m与x轴的交点为M(-m，0)，由题意得△F1AB的面积是△F2AB的面积的2倍，则×|F1M|×|y1-y2|=×|F2M|×|y1-y2|×2， 化简得|F1M|=2|F2M|，结合|F1F2|=4， 故|F1M|=4+|F2M|，解得|F2M|=4，即M(6，0)，故-m=6，解得m=-6. 6.已知椭圆E：+=1，若椭圆E上存在关于直线y=2x+m对称的两点A，B，则实数m的取值范围是(　　) A.(-1，1) B.[-1，1] C. D. 【答案】C 【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，直线AB的方程为y=-x+n. 由 得x2-nx+n2-3=0，故Δ=3(4-n2)>0，x1+x2=n， 即n2<4，x0==，y0=-x0+n=， 故M. 又因为点M在直线y=2x+m上， 所以=2×+m，得n=-4m， 由n2<4，得(-4m)2<4，解得-<m<， 故实数m的取值范围是. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.平面直角坐标系中椭圆C的中心为原点，焦点在坐标轴上，点，均在椭圆C上，则(　　) A.椭圆C的离心率为 B.直线l：kx+y-k=0与椭圆C相交 C.椭圆C的短轴长为2 D.若椭圆C上弦AB的中点坐标为，则直线AB的斜率为- 【答案】BCD 【解析】设椭圆方程为mx2+ny2=1(m，n>0，且m≠n)，则解得 所以椭圆方程为+y2=1，所以a=2，b=1，c==，e==，故A错误； 直线l的方程可整理为k(x-1)+y=0， 令解得 所以直线l恒过定点(1，0)， 因为+0<1，所以点(1，0)在椭圆+y2=1内，所以直线l与椭圆相交，故B正确； 2b=2，所以短轴长为2，故C正确； 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 两式相减得 =-(y1+y2)(y1-y2)， 因为弦AB的中点为， 所以x1+x2=2，y1+y2=1， 所以=-(y1-y2)， 整理得kAB==-，故D正确. 8.(2025·白银模拟)已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，A，B为抛物线C上的两点，且线段AB的中点为(1，1)，则(　　) A.点F的坐标为(0，1) B.直线AB的斜率为2 C.线段AB的长度为 D.△FAB的面积为 【答案】BC 【解析】易知点F的坐标为(1，0)，故选项A错误； 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵点A，B在抛物线y2=4x上，∴两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)， ∴kAB==. ∵线段AB的中点为(1，1)，∴y1+y2=2，∴kAB=2， ∴直线AB的方程为y-1=2(x-1)，即y=2x-1，故选项B正确； 联立方程组消去y得4x2-8x+1=0，∴x1+x2=2，x1x2=， 则|AB|=×=×=，故选项C正确； ∴点F(1，0)到直线AB的距离为=，△FAB的面积为××=，故选项D错误. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.若动直线mx+ny-m-n=0始终与椭圆C：+=1(a>0)有公共点，则a的取值范围是　　　　　　　　　　　　　. 【答案】∪(，+∞) 【解析】动直线mx+ny-m-n=0， 即m(x-1)+n(y-1)=0过定点(1，1)， 若动直线mx+ny-m-n=0始终与椭圆C：+=1(a>0)有公共点， 则解得a≥且a≠， 所以a的取值范围是∪(，+∞). 10.过点M(2，1)作斜率为-3的直线与椭圆C：+=1相交于A，B两点，若M为线段AB的中点，则C的离心率为　　　　　. 【答案】 【解析】直线AB的斜率为-3， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1≠y2， 两式相减得n2(-)+m2(-)=0， 即n2(x1+x2)(x1-x2)+m2(y1+y2)(y1-y2)=0， 所以·=-， 由于==，=-3，故-=-， 所以=，故n2=m2>m2，所以椭圆的焦点在y轴上， 则C的离心率为==. 四、解答题(共27分) 11.(13分)已知动点M(x，y)与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：x=的距离的比是常数. (1)求动点M的轨迹；(6分) (2)过F(2，0)且斜率为1的直线l交动点M的轨迹于A，B两点，求|AB|.(7分) 【解析】(1)设d是点M到直线l的距离， 则=，即=. 化简得-y2=1， 所以点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为2、虚轴长为2的双曲线-y2=1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2). 又直线l过F(2，0)且斜率为1， 故直线l的方程为y=x-2， 联立 得2x2-12x+15=0，此时Δ=144-4×30=24>0， 则x1+x2=6，x1x2=， 所以|AB|=·=×=2. 12.(14分)已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，椭圆E：+=1(a>b>0)的右焦点为F，离心率e=. (1)求椭圆E的方程；(4分) (2)动直线l：y=m(x-3)恒过定点A，过点P(1，2)作抛物线C的切线与椭圆E交于M，N两点，求△AMN的面积.(10分) 【解析】(1)由抛物线C的方程，得焦点F(1，0)，所以在椭圆E中，c=1， 因为椭圆E的离心率e==， 所以a=2，所以b2=a2-c2=3， 所以椭圆E的方程为+=1. (2)由直线l的方程y=m(x-3)，得直线l恒过定点A(3，0)， 由题意，得点P在抛物线C上， 设切线MN的方程为y=k(x-1)+2，k≠0， 由 消去x，整理得ky2-4y+8-4k=0， 因为直线MN与抛物线C相切， 所以Δ=16-4k(8-4k)=0， 即k2-2k+1=0，解得k=1， 所以直线MN的方程为x-y+1=0， 由 消去y，整理得7x2+8x-8=0， Δ=82-4×7×(-8)=288>0， 所以xM+xN=-，xMxN=-， 因为点A到直线MN的距离d==2， |MN|=|xM-xN|==×=， 所以△AMN的面积S=|MN|d=××2=. [13题6分，14题5分，共11分] 13.(多选)已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F(0，1)，过F的直线l交x轴负半轴于点M，交抛物线C于A，B两点，|AF|<|BF|，|BF|=|MF|，过B作抛物线C的切线交x轴于点N，则(　　) A.p=2 B.直线l的斜率为 C.|AB|=9 D.△MBN的面积为3 【答案】ABD 【解析】由题意知=1，所以p=2，故A正确； 抛物线C的方程为x2=4y， 设M(-m，0)(m>0)，因此B(m，2)，由m2=4×2，得m=2，直线l的斜率为=，故B正确； 直线l的方程为y=x+1， 联立得x2-x-4=0， 解得x=-或x=2， 因此可求得A，B(2，2)，可得|AB|==，故C错误； 由y=x2，得y'=x，所以直线BN的斜率为y'=， 方程为y=x-2，因此N(，0)， 所以△MBN的面积为×|MN|×2=3，故D正确. 14.设P(x，y)为曲线C：-y|y|=1上的任意一点，则|x-2y+2|的最大值为(　　) A.2+ B.2 C.2+2 D.2+ 【答案】C 【解析】当x≥0，y≥0时，曲线C为-y2=1； 当x≤0，y≥0时，曲线C为--y2=1，不成立； 当x≤0，y≤0时，曲线C为-+y2=1； 当x≥0，y≤0时，曲线C为+y2=1. 则曲线C： 曲线C的大致图象如图中实线部分所示， 其中F1(，0)，F2(，0)，F3(0，-)，直线x-2y=0是曲线C的渐近线， |x-2y+2|=·=d，d=表示曲线上的点到直线x-2y+2=0的距离， 设与直线x-2y+2=0平行的直线为x-2y+a=0，直线x-2y+a=0与曲线C有公共点， 则a<0，且d是直线x-2y+a=0与曲线C的公共点到直线x-2y+2=0的距离， 由图可知，当直线x-2y+a=0与曲线C相切，即与曲线+y2=1，x≥0，y≤0相切时，d最大， 由消去x得2y2-ay+-1=0， 则Δ=a2-8=0，又a<0， 解得a=-2，直线为x-2y-2=0， 所以|x-2y+2|=·≤·=2+2， 故|x-2y+2|的最大值为2+2. / 学科网（北京）股份有限公司 $