函数与导数：函数的定义域问题、解析式问题、值域问题 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数定义域、解析式、值域三大核心考点，按问题类型分设考向，每个考向涵盖知识点解析、解题原理及易错警示，形成“考点梳理-方法指导-真题训练”的完整教学链条，帮助学生系统构建函数问题的解题框架。 讲义突出考向分层与方法归类，如抽象函数定义域强调“同一对应法则下括号内整体范围相同”的核心原则，定义域含参问题注重二次项系数分类讨论，培养学生数学思维与抽象能力。通过例题与变式训练的梯度设计，确保学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供精准指导。

2027届高三数学一轮复习讲义 函数与导数：函数的定义域问题、解析式问题、值域问题复习讲义 考点目录 函数的定义域问题 函数的解析式问题 函数的值域问题 考点一 函数的定义域问题 【知识点解析】 考向一 已知解析式求定义域 知识点 函数定义域：使函数解析式有意义的自变量 的取值集合。 常见限制条件： 1. 分式：分母 ； 1. 偶次根式：被开方数 ； 1. 零次幂：底数 ； 1. 对数：真数 ，底数 且底数 ； 1. 实际问题还要符合现实意义。 解题原理 1. 列出所有限制条件，得到不等式（组）； 1. 解不等式组； 1. 结果写成集合或者区间形式。 易错：多个条件同时满足，取交集，不是并集。 考向二 抽象函数的定义域 知识点 抽象函数：没有给出具体解析式，如 , 。 核心原则：同一对应法则 下，括号内整体的取值范围完全相同。 定义域永远指的是 的范围，不是括号整体。 解题原理 1. 已知 定义域 ，求 定义域：令 ，解出 ； 1. 已知 定义域 ，求 定义域：先求 的值域，即为 中 的范围； 1. 已知 定义域，求 定义域：先求 范围，再令 落在该范围，解 。 易错：不要把括号内整体当成定义域，定义域一定是自变量 。 考向三 定义域的含参问题 知识点 题型：函数定义域为 / 定义域不是 / 给定定义域，求参数取值。 本质：恒成立、有解类问题，常结合二次不等式。 解题原理 1. 定义域为 ：解析式的限制条件对一切 恒成立。 例： 定义域为 对 恒成立； 1. 定义域不是 ：限制条件不能全部恒成立，即不等式 不能恒成立，求参数； 1. 给定指定定义域：即在该区间上解析式有意义，转化为区间上不等式恒成立，求参数； 1. 二次型含参，优先讨论二次项系数等于 0（一次函数）、不等于 0（二次函数判别式）两种情况； 1. 解完参数，检验边界值是否符合题意。 易错：直接默认是二次函数，漏掉二次项系数为 0 的情况。 【例题分析】 考向一 已知解析式求定义域 例1．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 考向二 抽象函数的定义域 例3．（2026·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例4．（2026·河北衡水·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 例5．（2026·福建厦门·模拟预测）已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 考向三 定义域的含参问题 例6．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数的定义域为，则实数a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 例7．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知函数的定义域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 考向一 已知解析式求定义域 变式1．（2026·甘肃·一模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·河北·模拟预测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 考向二 抽象函数的定义域 变式3．（2026·四川成都·模拟预测）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 变式4．（2026·广东佛山·模拟预测）设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式5．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知函数的定义域是，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 考向三 定义域的含参问题 变式6．（2026·重庆江津·模拟预测）函数的定义域为R的充要条件是（     ） A． B．且 C． D． 变式7．（2026·甘肃庆阳·模拟预测）已知函数的定义域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点二 函数的解析式问题 【知识点解析】 考点一 待定系数法求函数解析式 知识点 已知函数类型（一次、二次、反比例、幂函数等），设出函数的标准形式，代入已知条件求出表达式中的系数。 常见形式： · 一次函数： · 二次函数： · 一般式 · 顶点式 · 零点式 解题原理 1. 根据函数类型设含未知系数的解析式； 2. 将已知点、函数值代入解析式，得到关于系数的方程/方程组； 3. 解方程求出系数，回代写出函数解析式。 易错：二次函数使用零点式时，不要漏掉前面的系数 。 考点二 换元法求函数解析式 知识点 已知 ，求 。引入新元 替换内层 ，反解出 ，代入原式得到 ，再把 改写为 ；必须同步求出新元 的取值范围，即 的定义域。 解题原理 1. 令 ； 2. 反解，用 表示 ； 3. 代入原式，化简得到 ； 4. 将 换为 ，同时带上 的范围作为 定义域。 易错：忘记求新元 的取值范围，漏掉 定义域。 考点三 配凑法求函数解析式 知识点 已知 的表达式，不引入新变量，直接对右侧代数式变形，配凑出关于 的整体式子，直接得到 。 解题原理 1. 对 右边的式子代数变形，拆项、配方，整理成全是 的表达式； 2. 把整体 替换成 得到 ； 定义域等于 的值域。 易错：配凑完成后忽略内层函数的值域，造成定义域出错。 对比：配凑法和换元法本质等价，配凑适合结构简单的式子，复杂式子优先换元法。 考点四 解方程组法求函数解析式 知识点 题干同时含有 、 或者 、，通过变量替换构造第二个方程，联立方程组消去 或 ，解出 。 解题原理 1. 保留原式作为方程①； 2. 将原式中 替换成 （或 ）得到方程②； 3. 联立①②，把 、 看作未知数，解二元一次方程组； 4. 整理化简得到 ，写明定义域。 易错：替换变量时注意定义域限制；运算化简出错。 【例题分析】 考点一 待定系数法求函数解析式 例1．（25-26高三上·福建龙岩·月考）已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·四川泸州·期中）已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 考点二 换元法求函数解析式 例3．（25-26高三上·浙江宁波·月考）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26高三上·江苏徐州·月考）若函数，则（ ） A． B． C． D． 考点三 配凑法求函数解析式 例5．（25-26高三上·四川宜宾·月考）若则当，且时，（ ） A． B． C． D．－1 例6．（25-26高三上·福建三明·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 考点四 解方程组法求函数解析式 例7．（25-26高三上·河北唐山·阶段检测）已知定义在上的函数满足，则的值为（    ） A．7 B．8 C．13 D．14 例8．（25-26高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数满足，则（     ） A． B． C． D． 【变式训练】 考点一 待定系数法求函数解析式 变式1．（2026·江西·模拟预测）已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）若二次函数满足，且，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 考点二 换元法求函数解析式 变式3．（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高一上·云南·期末）已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 考点三 配凑法求函数解析式 变式5．（25-26高三上·江苏泰州·阶段检测）已知，则的解析式是（   ）. A． B． C． D． 变式6．（25-26高三上·湖南永州·阶段检测）已知函数满足，则的解析式为（   ）. A．， B． C． D． 考点四 解方程组法求函数解析式 变式7．（25-26高三上·湖南邵阳·阶段检测）已知函数和分别是相同定义域上的偶函数和奇函数，且，则（   ） A． B． C． D． 变式8．（25-26高三上·江西赣州·阶段检测）已知函数满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点三 函数的值域问题 【知识点解析】 考向一 单调性法求值域 知识点 若函数在区间 上单调，则函数的最值出现在区间端点。 单调递增： 单调递减： 适用：一次函数、指数、对数、幂函数、可判断单调性的复合函数。 解题原理 1. 确定函数定义域； 2. 判断函数在所给区间的单调性（定义、图像、复合函数同增异减）； 3. 把区间端点代入，求出最大、最小值； 4. 写出值域。 易错：忽略定义域，直接套函数整体单调性；开区间端点取不到，不能写等号。 考向二 换元法求值域 知识点 对带根号、复合结构的函数，换元转化为熟悉的二次函数等，新元一定要写取值范围。 常见：，令 。 解题原理 1. 观察解析式，设新元 ，写出 的取值范围； 2. 把原函数改写为关于 的函数； 3. 在 的取值范围内求新函数的值域； 4. 得到原函数值域。 易错：忘记新元的范围，直接按全体实数求值域，结果出错。 考向三 分离常数法求值域 知识点 专用于分式型一次比一次函数：，把分子拆成分母倍数加常数，分离出常数+反比例型。 解题原理 1. 将分子配凑，拆出分母的倍数； 2. 分析分式 不能取 0； 3. 得到 ，写出值域。 易错：不要漏掉定义域带来的额外限制；结果记住 取不到分离出来的常数。 考向四 判别式法求值域 知识点 适用于分式：，分子分母至少一个二次，定义域为 （分母无实根）。 原理：把式子整理成关于 的一元二次方程， 为实数，故 。 解题原理 1. 去分母整理为：； 2. 分两类： ① ：变为一次方程，检验是否存在实数 ； ② ：方程有实数解，，解出 范围； 3. 检验边界，去掉使分母为 0 的 值。 易错：①不讨论二次项 ；②忽略原函数分母不能为 0；③定义域不是 不能直接用判别式法。 考向五 基本不等式法求值域 知识点 基本不等式：，一正、二定、三相等。 · “一正”：两数均为正数； · “二定”：和或积为定值； · “三相等”：等号能够取到。 解题原理 1. 变形函数式，凑出两正数，使乘积（或和）为定值； 2. 使用基本不等式求出最值； 3. 检验等号成立条件能否在定义域内实现； 4. 若等号取不到，改用单调性求解。 易错：忽略正数条件；等号取不到还直接用不等式结果。 【例题分析】 考向一 单调性法求值域 例1．（25-26高二下·河南南阳·期末）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·陕西渭南·阶段检测）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求函数的单调区间，并求最大值. 例3．（25-26高三上·河北石家庄·阶段检测）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)设，求在区间上的值域，其中是自然对数的底数． 考向二 换元法求值域 例4．（25-26高三上·河南鹤壁·阶段检测）已知函数，则的最大值为（    ） A． B．6 C．4 D．3 考向三 分离常数法求值域 例5．（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）函数的值域是__. 例6．（25-26高三上·辽宁沈阳·阶段检测）函数的值域是______． 考向四 判别式法求值域 例7．（25-26高三上·广西柳州·阶段检测）函数的值域为_____________． 例8．（25-26高三上·浙江杭州·阶段检测）函数的值域是___________. 考向五 基本不等式法求值域 例9．（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）若，则函数的最小值为_____. 例10．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）函数的最小值为_____. 【变式训练】 考向一 单调性法求值域 变式1．（25-26高二下·甘肃武威·期末）函数在区间上的最小值为 _______． 变式2．（25-26高三上·北京昌平·阶段检测）已知函数的图象过点，且. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的单调区间，极值和值域. 考向二 换元法求值域 变式3．（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）函数的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 考向三 分离常数法求值域 变式4．（25-26高一上·上海徐汇·期末）函数的值域为______． 变式5．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）函数的值域是__________. 考向四 判别式法求值域 变式6．（25-26高三上·浙江衢州·阶段检测）函数，的值域为______________． 考向五 基本不等式法求值域 变式7．（25-26高三上·山西运城·阶段检测）函数的值域为___________. 变式8．（2026·河南郑州·模拟预测）已知，，，则的最小值为______． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习讲义 函数与导数：函数的定义域问题、解析式问题、值域问题复习讲义 考点目录 函数的定义域问题 函数的解析式问题 函数的值域问题 考点一 函数的定义域问题 【知识点解析】 考向一 已知解析式求定义域 知识点 函数定义域：使函数解析式有意义的自变量 的取值集合。 常见限制条件： 1. 分式：分母 ； 1. 偶次根式：被开方数 ； 1. 零次幂：底数 ； 1. 对数：真数 ，底数 且底数 ； 1. 实际问题还要符合现实意义。 解题原理 1. 列出所有限制条件，得到不等式（组）； 1. 解不等式组； 1. 结果写成集合或者区间形式。 易错：多个条件同时满足，取交集，不是并集。 考向二 抽象函数的定义域 知识点 抽象函数：没有给出具体解析式，如 , 。 核心原则：同一对应法则 下，括号内整体的取值范围完全相同。 定义域永远指的是 的范围，不是括号整体。 解题原理 1. 已知 定义域 ，求 定义域：令 ，解出 ； 1. 已知 定义域 ，求 定义域：先求 的值域，即为 中 的范围； 1. 已知 定义域，求 定义域：先求 范围，再令 落在该范围，解 。 易错：不要把括号内整体当成定义域，定义域一定是自变量 。 考向三 定义域的含参问题 知识点 题型：函数定义域为 / 定义域不是 / 给定定义域，求参数取值。 本质：恒成立、有解类问题，常结合二次不等式。 解题原理 1. 定义域为 ：解析式的限制条件对一切 恒成立。 例： 定义域为 对 恒成立； 1. 定义域不是 ：限制条件不能全部恒成立，即不等式 不能恒成立，求参数； 1. 给定指定定义域：即在该区间上解析式有意义，转化为区间上不等式恒成立，求参数； 1. 二次型含参，优先讨论二次项系数等于 0（一次函数）、不等于 0（二次函数判别式）两种情况； 1. 解完参数，检验边界值是否符合题意。 易错：直接默认是二次函数，漏掉二次项系数为 0 的情况。 【例题分析】 考向一 已知解析式求定义域 例1．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，得，解得， 所以函数的定义域是. 例2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】要使函数有意义，则需，解得且， 所以函数的定义域为 考向二 抽象函数的定义域 例3．（2026·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的定义域，根据函数有意义，结合抽象函数定义域的求法和对数函数的定义域，可得出关于的不等式组，解不等式组即可求出答案. 【详解】由的定义域为，得的定义域为. 所以或， 综上，的定义域为. 故选：C. 例4．（2026·河北衡水·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合复合函数的意义列出不等式组，求解不等式组作答. 【详解】因为函数的定义域为，又函数有意义， 则有，解得或， 所以函数的定义域是. 故选：C 例5．（2026·福建厦门·模拟预测）已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的定义域，对于，可得出关于实数的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，则， 所以，函数的定义域为， 对于函数，则有，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：A. 考向三 定义域的含参问题 例6．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数的定义域为，则实数a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】函数有意义，则应满足，即， 又函数的定义域为， 所以为方程的两根，所以. 例7．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知函数的定义域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的定义域可知不等式在上恒成立，令判别式小于解出的范围即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以不等式在上恒成立， 所以，解得， 故选：A 【变式训练】 考向一 已知解析式求定义域 变式1．（2026·甘肃·一模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】要使函数有意义，需使，解得或， 即函数的定义域为. 变式2．（2026·河北·模拟预测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，解不等式得解. 【详解】由，即，即，解得. 所以函数的定义域为. 故选：B. 考向二 抽象函数的定义域 变式3．（2026·四川成都·模拟预测）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据具体函数和抽象函数的定义域列不等式组即可求解. 【详解】因为函数的定义域是，所以， 所以的定义域为，又因为，即，所以， 所以函数的定义域为. 故选：A. 变式4．（2026·广东佛山·模拟预测）设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求的定义域，再利用复合函数求的定义域. 【详解】由题意得，，解得函数满足，解得， 即函数的定义域为. 故选:A 变式5．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知函数的定义域是，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可. 【详解】因为函数的定义域是，所以， 所以，所以函数的定义域为， 所以要使函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. 考向三 定义域的含参问题 变式6．（2026·重庆江津·模拟预测）函数的定义域为R的充要条件是（     ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【分析】讨论的取值以区分函数类型以保证根号下非负即可求解. 【详解】由题意得恒成立，， 当时，由二次函数的性质可得且，解得， 当时，一次函数不恒成立， 综上， . 变式7．（2026·甘肃庆阳·模拟预测）已知函数的定义域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的解集为，列出不等式求解即可. 【详解】因为的定义域为， 所以关于x的不等式的解集为， 当时，不等式为，解得，不符合， 当时，需满足， 解得， 综上可知：的取值范围为， 故选：D 考点二 函数的解析式问题 【知识点解析】 考点一 待定系数法求函数解析式 知识点 已知函数类型（一次、二次、反比例、幂函数等），设出函数的标准形式，代入已知条件求出表达式中的系数。 常见形式： · 一次函数： · 二次函数： · 一般式 · 顶点式 · 零点式 解题原理 1. 根据函数类型设含未知系数的解析式； 2. 将已知点、函数值代入解析式，得到关于系数的方程/方程组； 3. 解方程求出系数，回代写出函数解析式。 易错：二次函数使用零点式时，不要漏掉前面的系数 。 考点二 换元法求函数解析式 知识点 已知 ，求 。引入新元 替换内层 ，反解出 ，代入原式得到 ，再把 改写为 ；必须同步求出新元 的取值范围，即 的定义域。 解题原理 1. 令 ； 2. 反解，用 表示 ； 3. 代入原式，化简得到 ； 4. 将 换为 ，同时带上 的范围作为 定义域。 易错：忘记求新元 的取值范围，漏掉 定义域。 考点三 配凑法求函数解析式 知识点 已知 的表达式，不引入新变量，直接对右侧代数式变形，配凑出关于 的整体式子，直接得到 。 解题原理 1. 对 右边的式子代数变形，拆项、配方，整理成全是 的表达式； 2. 把整体 替换成 得到 ； 定义域等于 的值域。 易错：配凑完成后忽略内层函数的值域，造成定义域出错。 对比：配凑法和换元法本质等价，配凑适合结构简单的式子，复杂式子优先换元法。 考点四 解方程组法求函数解析式 知识点 题干同时含有 、 或者 、，通过变量替换构造第二个方程，联立方程组消去 或 ，解出 。 解题原理 1. 保留原式作为方程①； 2. 将原式中 替换成 （或 ）得到方程②； 3. 联立①②，把 、 看作未知数，解二元一次方程组； 4. 整理化简得到 ，写明定义域。 易错：替换变量时注意定义域限制；运算化简出错。 【例题分析】 考点一 待定系数法求函数解析式 例1．（25-26高三上·福建龙岩·月考）已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用待定系数法，结合已知方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论. 【详解】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C错误，D错误. 故选：A. 例2．（25-26高三上·四川泸州·期中）已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 【答案】D 【分析】根据条件，利用待定系数法，求出，即可求解. 【详解】由一次增函数，可设， 则， 所以，解得或（舍去）， 当时，，此时，， 故选：D 考点二 换元法求函数解析式 例3．（25-26高三上·浙江宁波·月考）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，因为，所以， 由，可得， 所以． 例4．（25-26高三上·江苏徐州·月考）若函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，， . . 考点三 配凑法求函数解析式 例5．（25-26高三上·四川宜宾·月考）若则当，且时，（ ） A． B． C． D．－1 【答案】B 【分析】利用配凑法即求得结果. 【详解】∵＝， ∴. 例6．（25-26高三上·福建三明·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用配方法，将化为，再结合换元法即可求得答案. 【详解】由题意知，即， 令，因为，故， 则可得， 故， 故选：A 考点四 解方程组法求函数解析式 例7．（25-26高三上·河北唐山·阶段检测）已知定义在上的函数满足，则的值为（    ） A．7 B．8 C．13 D．14 【答案】C 【分析】由构造方程法可先求出解析式，再求出的值. 【详解】由题意得，因为， 所以对于任意，， 联立消去可得， ， 所以， 故选：C. 例8．（25-26高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，解方程即可. 【详解】因①， 用代替①中的得：②， 则得：，解得. 故选：D. 【变式训练】 考点一 待定系数法求函数解析式 变式1．（2026·江西·模拟预测）已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法，设，根据题意运算求解即可. 【详解】设， 则， 因为，即， 则，解得，所以. 故选：C. 变式2．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）若二次函数满足，且，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，根据得到，再根据得到，，从而得到函数的解析式. 【详解】设，， ∵，则， 又∵， 令，则，∴，即，， 令，则，，即，， ∴，，. 故选：D. 考点二 换元法求函数解析式 变式3．（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法求解函数解析式即可. 【详解】令，可得，由题意得，则， 因为，所以， 则，故D正确. 故选：D 变式4．（25-26高一上·云南·期末）已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用换元法求解即可，注意定义域的限制. 【详解】设，则，因为，可得， 所以函数． 故选：C． 考点三 配凑法求函数解析式 变式5．（25-26高三上·江苏泰州·阶段检测）已知，则的解析式是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用配凑法求函数解析式． 【详解】因为， 所以，则. 故选：C 变式6．（25-26高三上·湖南永州·阶段检测）已知函数满足，则的解析式为（   ）. A．， B． C． D． 【答案】C 【分析】利用立方差公式以及换元法可求出函数的解析式. 【详解】因为函数满足， 即， 令，则，故. 故选：C. 考点四 解方程组法求函数解析式 变式7．（25-26高三上·湖南邵阳·阶段检测）已知函数和分别是相同定义域上的偶函数和奇函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性得到新的等式，联立消去即可求得结果. 【详解】因为①， 函数和分别是相同定义域上的偶函数和奇函数， 所以，即②， ②①得，即， 所以， 故选：B. 变式8．（25-26高三上·江西赣州·阶段检测）已知函数满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将换成，得到即，联立方程组求得 的解析式，进而求得的值. 【详解】由，将换成，可得， 即， 联立方程组，解得， 所以. 故选：B. 考点三 函数的值域问题 【知识点解析】 考向一 单调性法求值域 知识点 若函数在区间 上单调，则函数的最值出现在区间端点。 单调递增： 单调递减： 适用：一次函数、指数、对数、幂函数、可判断单调性的复合函数。 解题原理 1. 确定函数定义域； 2. 判断函数在所给区间的单调性（定义、图像、复合函数同增异减）； 3. 把区间端点代入，求出最大、最小值； 4. 写出值域。 易错：忽略定义域，直接套函数整体单调性；开区间端点取不到，不能写等号。 考向二 换元法求值域 知识点 对带根号、复合结构的函数，换元转化为熟悉的二次函数等，新元一定要写取值范围。 常见：，令 。 解题原理 1. 观察解析式，设新元 ，写出 的取值范围； 2. 把原函数改写为关于 的函数； 3. 在 的取值范围内求新函数的值域； 4. 得到原函数值域。 易错：忘记新元的范围，直接按全体实数求值域，结果出错。 考向三 分离常数法求值域 知识点 专用于分式型一次比一次函数：，把分子拆成分母倍数加常数，分离出常数+反比例型。 解题原理 1. 将分子配凑，拆出分母的倍数； 2. 分析分式 不能取 0； 3. 得到 ，写出值域。 易错：不要漏掉定义域带来的额外限制；结果记住 取不到分离出来的常数。 考向四 判别式法求值域 知识点 适用于分式：，分子分母至少一个二次，定义域为 （分母无实根）。 原理：把式子整理成关于 的一元二次方程， 为实数，故 。 解题原理 1. 去分母整理为：； 2. 分两类： ① ：变为一次方程，检验是否存在实数 ； ② ：方程有实数解，，解出 范围； 3. 检验边界，去掉使分母为 0 的 值。 易错：①不讨论二次项 ；②忽略原函数分母不能为 0；③定义域不是 不能直接用判别式法。 考向五 基本不等式法求值域 知识点 基本不等式：，一正、二定、三相等。 · “一正”：两数均为正数； · “二定”：和或积为定值； · “三相等”：等号能够取到。 解题原理 1. 变形函数式，凑出两正数，使乘积（或和）为定值； 2. 使用基本不等式求出最值； 3. 检验等号成立条件能否在定义域内实现； 4. 若等号取不到，改用单调性求解。 易错：忽略正数条件；等号取不到还直接用不等式结果。 【例题分析】 考向一 单调性法求值域 例1．（25-26高二下·河南南阳·期末）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用导数研究函数的区间单调性，进而求各区间端点值并比较大小，即可得值域. 【详解】对，求导得， 令且，解得，， 当，，在上单调递增， 当，，在上单调递减， 当，，在上单调递增， ， ， ， ， 综上，在上的值域为. 例2．（25-26高三上·陕西渭南·阶段检测）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求函数的单调区间，并求最大值. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为. 【分析】（1）根据对数的真数大于0列式求函数的定义域. （2）根据“同增异减”判断复合函数的单调区间，并根据单调性求函数的最大值. 【详解】（1）由. 故所求函数的定义域为. （2）因为函数在上单调递增，在上单调递减， 且当时，，当时，取得最大值4. 又在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”的单调性的判断方法可知函数在上单调递增，在上单调递减， 函数的最大值为，当时取等号. 因此该函数的单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为. 例3．（25-26高三上·河北石家庄·阶段检测）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)设，求在区间上的值域，其中是自然对数的底数． 【答案】(1)当时， 在上单调递增． 当时，在上单调递增；在上单调递减． (2) 【分析】（1）对进行分类讨论的单调性； （2）闭区间上的最值,比较端点值与极值可得. 【详解】（1）的定义域是，导函数． 设，二次方程的判别式． ①当即时，对一切都有，此时在上单调递增． ②当即时，仅对有，对其余的都有，此时在上的单调递增． ③当即时，方程有两个不同的实根，，． x + 0 - 0 + 单调递增↗ 极大 单调递减↘ 极小 单调递增↗ 此时在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增． （2）当时，方程有两个不同的实根，． 由（1）知，在内，当时取得极值， ，，． 因为， 所以在区间上的值域为． 考向二 换元法求值域 例4．（25-26高三上·河南鹤壁·阶段检测）已知函数，则的最大值为（    ） A． B．6 C．4 D．3 【答案】A 【分析】令，利用二次函数性质求解可得. 【详解】令，则，． 因为，则，所以． 又在单调递增，在单调递减， 所以，所以． 故选：A 考向三 分离常数法求值域 例5．（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）函数的值域是__. 【答案】 【分析】利用配凑法化简，结合基本不等式求解. 【详解】当时，函数 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即函数的值域为. 例6．（25-26高三上·辽宁沈阳·阶段检测）函数的值域是______． 【答案】 【分析】根据已知函数的性质，运用换元法化简不等式，结合的值域构造不等式，解不等式求函数的值域． 【详解】令，则，原函数化为：， 整理得即，当时显然不合题意； 当时，， ，即，等价于，解得， 原函数的值域为. 考向四 判别式法求值域 例7．（25-26高三上·广西柳州·阶段检测）函数的值域为_____________． 【答案】 【分析】将函数式转化为方程，即该方程在上有解，讨论和，结合判别式法即可求值域. 【详解】由解析式知：函数的定义域为R，且， 整理可得，即该方程在上有解， 当时，，显然成立； 当时，有，整理得，即， 综上，原函数值域为. 故答案为：. 例8．（25-26高三上·浙江杭州·阶段检测）函数的值域是___________. 【答案】 【分析】利用判别式法即可求出函数的值域. 【详解】解：， 因为 所以函数的定义域为 令，整理得方程： 当时，方程无解； 当时， 不等式整理得： 解得： 所以函数的值域为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求值域的常见方法 单调性法求函数值域；判别式法求函数值域；分离常数法求函数值域；分类讨论法求二次函数的值域；利用基本不等式或对勾函数求值域；换元法求值域. 考向五 基本不等式法求值域 例9．（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）若，则函数的最小值为_____. 【答案】10 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为. 例10．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）函数的最小值为_____. 【答案】 【分析】利用指数幂的运算法则化简，再结合基本不等式求最值. 【详解】 . 等号成立时，即， 故函数的最小值为. 故答案为： 【变式训练】 考向一 单调性法求值域 变式1．（25-26高二下·甘肃武威·期末）函数在区间上的最小值为 _______． 【答案】2 【分析】判断在上的单调性，据此可得答案. 【详解】，则在上单调递减，在上单调递增， 从而. 变式2．（25-26高三上·北京昌平·阶段检测）已知函数的图象过点，且. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的单调区间，极值和值域. 【答案】(1) (2)函数的单调增区间：和，单调减区间： ；极大值为，极小值为，值域为. 【分析】（1）求出，根据题意得出，求出、的值，可得出函数的解析式； （2）利用导数分析函数在区间上的单调性，利用函数的极值、最值与导数的关系可求出函数在区间上的极值、最大值和最小值可得答案. 【详解】（1）因为，则， 由已知条件得，解得， 所以， （2）由（1）知，，， 由可得或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，函数在区间上的极大值为，极小值为， 又因为，， 故函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以值域为. 考向二 换元法求值域 变式3．（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）函数的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】设（），则函数等价于，，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】设，，则， 则函数等价于，， ∵在上是增函数，． ∴函数的最小值是3． 故选：A． 考向三 分离常数法求值域 变式4．（25-26高一上·上海徐汇·期末）函数的值域为______． 【答案】 【分析】函数的定义域为，令，将问题转化为，再分，，三种情况，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以函数的定义域为 ， 令，则，代入解析式得：， 当时，， 当时， 当时，，当且仅当，即时等号成立，故，； 当时,,则，当且仅当，即时等号成立，故，； 综上，的值域为，即函数的值域为 故答案为： 变式5．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）函数的值域是__________. 【答案】 【分析】方法一：通过分离常数法将函数进行变形，再结合指数函数的性质求函数的值域. 方法二：直接指数函数的有界性求值域. 【详解】方法一：. 函数的定义域为，则且， 当时，，，； 当时，，，； 综上，函数的值域是. 方法二：令，则. 因为，所以，即， 解得或. 故函数的值域是. 故答案为：. 考向四 判别式法求值域 变式6．（25-26高三上·浙江衢州·阶段检测）函数，的值域为______________． 【答案】 【分析】由题意分析可得关于x的方程有正根，分和两种情况，结合二次函数分析求解. 【详解】因为，整理得， 可知关于x的方程有正根， 若，则，解得，符合题意； 若，则， 可得或， 解得或且，则或或； 综上所述：或， 即函数，的值域为. 故答案为：. 考向五 基本不等式法求值域 变式7．（25-26高三上·山西运城·阶段检测）函数的值域为___________. 【答案】 【分析】利用换元法和基本不等式求值域. 【详解】令，则， ， 当时，； 当时，， 因为，当且仅当，时等号成立， 所以， 所以函数的值域为， 故答案为： 变式8．（2026·河南郑州·模拟预测）已知，，，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】化简式子，利用整体代入，结合基本不等式，可得结果. 【详解】因为， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为． 故答案为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $