第4课时 修复铜镜（同步练习）-2026-2027学年六年级上册数学北师大版

**基本信息** 以“修复铜镜”为情境，通过基础巩固、能力拔高、易错突破三层设计，实现从概念理解到实践应用的知识进阶，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础题|确定圆心的两种方法及依据|选择/填空/解答结合，强化操作步骤（如对折找直径）| |能力题|圆周角性质、对称应用|综合情境题（如工匠修复铜镜），突出知识迁移| |易错点与重难点|圆心确定原理辨析|判断/解答结合，聚焦操作规范（如对折两次必要性）|

（2026秋）北师大版六年级上册数学科第二单元《圆》 第四课时 修复铜镜 学习目标、知识点梳理、练习题与易错点与重难点 （建议作答时间:30分钟）你做对了___________道题（共13题） 一、学习目标 1. 经历“修复铜镜”的探究过程，能运用圆的对称性确定残缺圆的圆心； 2. 掌握“找圆心”的两种基本方法：利用对称轴找圆心、利用直径找圆心； 3. 在实践操作中，进一步理解圆的对称性和直径的性质，体会数学在文物修复中的实际应用。 二、知识点梳理 1. 确定圆心的方法： · 方法一：利用对称轴找圆心 将残缺的圆片对折，使两边的圆弧完全重合，折痕就是一条直径，展开后换一个方向再对折一次，两条折痕的交点就是圆心。 · 方法二：利用直径找圆心 在残缺的圆上，用三角尺的直角顶点放在圆上，两条直角边与圆交于两点，连接这两点就得到一条直径。再换一个位置，画出另一条直径，两条直径的交点就是圆心。 2. 为什么这两种方法能找到圆心？ · 圆的对称轴是直径所在的直线，两条对称轴的交点就是圆心； · 直径的两个端点都在圆上，两条直径的交点就是圆心。 三、基础题过关 1. [2026·广东广州·期末]（选择题） 修复一枚残缺的圆形铜镜，要确定它的圆心，最合适的依据是（ ）。 A. 圆是轴对称图形 B. 圆的周长公式 C. 圆的面积公式 D. 圆有无数条半径 2. [2026·四川成都·期中]（选择题） 将一张残缺的圆形纸片对折，使两边的圆弧完全重合，折痕所在的位置是圆的（ ）。 A. 半径  B. 直径  C. 对称轴  D. 周长 3. [2026·湖北武汉·月考]（选择题） 要确定一个残缺圆的圆心，下列做法正确的是（ ）。 A. 在圆上画一条线段，取线段的中点作为圆心 B. 对折两次，使圆弧完全重合，两条折痕的交点即为圆心 C. 在圆上随意画两条线，交点即为圆心 D. 用直尺量出最长的线段，其中点即为圆心 4. [2026·江苏南京·期末]（填空题） 将残缺的圆片对折，使圆弧完全重合，折痕就是圆的（ ），两条折痕的交点就是圆的（ ）。 5. [2026·浙江杭州·期中]（填空题） 利用三角尺的直角可以画出一条直径：将三角尺的直角顶点放在（ ）上，两条直角边与圆相交于两点，连接这两点就是一条直径。 6. [2026·陕西西安·期末]（解答题） 小明有一块残缺的圆形纸片，只剩下不到一半的圆弧。请你说说小明可以用什么方法找到这个圆的圆心？写出主要步骤。 四、能力题拔高 7. [2026·山东济南·期中]（选择题） 在修复铜镜时，工匠在残缺的铜镜边缘上取三个点 、、，分别以 、 为斜边画出直角三角形，再连接斜边的中点。工匠运用了圆的什么性质？（ ） A. 圆上任意一点到圆心的距离相等 B. 直径所对的圆周角是直角 C. 圆是轴对称图形 D. 圆的半径都相等 8. [2026·湖南长沙·期末]（填空题） 用三角尺在残缺的圆上画出两条直径，两条直径的交点就是（ ）。如果两条直径互相垂直，则交点把每条直径分成了（ ）条相等的线段。 9. [2026·福建福州·模拟]（解答题） 如图，有一块残缺的圆形木板，只剩下  的圆弧。请你设计一种方法，确定这块木板原来的圆心位置，并说明你运用了什么数学知识。 10. [2026·安徽合肥·期中]（解答题） 在修复铜镜时，工匠发现铜镜的背面有一些对称的花纹。为什么铜镜背面的花纹通常设计成对称的？结合圆的对称性知识，谈谈你的理解。 五、易错点与重难点 易错点1：错把“对折一次”的折痕当成圆心 易错原因： 只对折一次，只得到一条直径，无法确定圆心位置。圆上有无数条直径，仅凭一条直径无法确定唯一交点。 避错策略： 确定圆心必须要有两条直径相交于一点，这个交点才是圆心。所以要对折两次，画两条折痕。 11. [2026·辽宁沈阳·期末]（判断题） 将残缺的圆片对折一次，使圆弧完全重合，折痕的中点就是圆心。（ ） 易错点2：混淆“圆弧完全重合”与“随便对折” 易错原因： 对折时没有使两边的圆弧完全重合，随意折叠导致折痕不是直径，找不到圆心。 避错策略： 对折时一定要确保两边的圆弧完全重合，这样折痕才是直径（所在直线）。如果没对齐，折痕就不是直径。 重难点1：理解“两条直径的交点就是圆心”的道理 重难点剖析： 从定义出发：圆心到圆上各点的距离都相等。一条直径确定了圆心在折痕上，两条直径的交点同时满足两条直径的条件，且到圆上任意一点的距离相等，所以这个交点就是圆心。 12. [2026·河南郑州·期中]（解答题） 为什么两条直径的交点一定是圆心？请用“圆心到圆上任意一点的距离相等”这个性质来解释。 重难点2：利用直尺和三角尺找圆心的实际操作 重难点剖析： 利用三角尺的直角画直径时，关键是让直角顶点在圆上，两条直角边与圆相交于两点。由于直径所对的圆周角是直角，所以连接两交点即为直径。依次画出两条直径，其交点即为圆心。 13. [2026·广东深圳·期末]（解答题） 如图所示（图略），有一块残缺的圆片，只剩下一个弧线段。请你说出利用三角尺找到这块圆片圆心的具体操作步骤，并在每一步说明数学依据。 六、答案与解析 1.【答案】 A 【考点】确定圆心的方法依据 【解析】修复残缺的圆形铜镜时，需要确定圆心。确定圆心的依据是圆是轴对称图形，通过对折使圆弧完全重合，得到直径，两条直径的交点即为圆心。故选 A。 2.【答案】 C 【考点】对折与对称轴的关系 【解析】将圆片对折使两边圆弧完全重合，折痕所在的直线是圆的对称轴，对称轴是直径所在的直线。故选 C。 3.【答案】 B 【考点】确定圆心的正确方法 【解析】确定残缺圆心的正确方法是对折两次，使圆弧完全重合，两条折痕的交点即为圆心。A 错误：圆上任意画线段，其中点不一定是圆心；C 错误：随意画线交点不一定是圆心；D 错误：最长的线段是直径，其中点是圆心，但必须在残缺圆上找到直径。残缺圆中“量出最长的线段”不易操作。故选 B。 4.【答案】 直径；圆心 【解析】将残缺的圆片对折，使圆弧完全重合，折痕就是直径，两条折痕的交点就是圆心。 5.【答案】 圆上 【解析】将三角尺的直角顶点放在圆上，两条直角边与圆相交于两点，连接这两点就是一条直径。这里利用了“直径所对的圆周角是直角”的性质。 6.【答案及解析】 方法（利用对称轴找圆心）： ① 将残缺的圆形纸片对折，使两边的圆弧完全重合，压平后展开，得到一条折痕（一条直径）； ② 换一个方向再对折一次，使圆弧再次完全重合，展开得到第二条折痕； ③ 两条折痕相交于一点，这个交点就是圆心。 答：用两次对折的方法，两条折痕的交点就是圆心。 【考点】利用对称轴找圆心 7.【答案】 B 【考点】利用圆周角找直径的方法 【解析】工匠以 、 为斜边画出直角三角形，连接斜边的中点。这种方法的依据是：直径所对的圆周角是直角。即直角三角形的斜边就是圆的直径，斜边的中点就是圆心。故选 B。 8.【答案】 圆心；2 【解析】两条直径的交点就是圆心。如果两条直径互相垂直，交点把每条直径分成了  条相等的线段（即两条半径）。 9.【答案】 数学依据：弦的垂直平分线经过圆心，两条弦的垂直平分线的交点就是圆心。这个方法适用于只有一段圆弧的情况，不需要完整圆。 答：作两条弦的垂直平分线，其交点即为圆心。依据是弦的垂直平分线经过圆心。 【考点】确定圆心的多种方法 【做题技巧】当圆弧残缺严重时，无法通过对折找圆心，可以用“弦的垂直平分线经过圆心”的性质来寻找。 10.【答案及解析】 铜镜是圆形的，圆是轴对称图形，有无数条对称轴。铜镜背面的花纹设计成对称的，与圆的对称性相呼应，显得和谐美观。同时，对称花纹在制作时也更容易通过旋转、复制等方式完成，体现了数学美与工艺美的结合。 答：铜镜背面的花纹设计成对称的，是因为圆是轴对称图形，对称花纹与圆的形状相呼应，美观和谐，也便于制作。 11.【答案】 错误（✕） 【考点】找圆心的步骤——易错辨析 【解析】对折一次只能得到一条直径，无法确定圆心位置。必须对折两次（或画两条直径），两条折痕的交点才是圆心。一次折痕的中点不一定是圆心。 【易错提醒】确定圆心需要两条直径相交，只对折一次不够。 12.【答案及解析】 设两条直径分别为  和 ，交点为 。 因为  是直径，所以  在  上，且 ； 因为  是直径，所以  在  上，且 。 同时，由于  是两条直径的交点，且两条直径的两个端点都在圆上，由“圆心到圆上任意一点的距离相等”可知，到两条直径四个端点距离相等的点就是圆心。两条直径的交点满足这个条件，所以这个交点一定是圆心。 答：两条直径的交点到圆上各点的距离都相等，符合圆心的定义，所以一定是圆心。 【重难点突破】从圆心的定义出发，两条直径的交点满足“到圆上各点距离相等”的条件。 13.【答案及解析】 操作步骤： ① 将三角尺的直角顶点放在残缺圆弧上的某一点  处，使两条直角边分别与圆弧相交于 、 两点，连接 ，则  是圆的一条直径（依据：直径所对的圆周角是直角）； ② 换一个位置，将三角尺的直角顶点放在圆弧上的另一点  处，同样得到另一条直径 ； ③ 两条直径  和  的交点就是圆心（依据：两条直径的交点就是圆心）。 答：利用三角尺的直角画两条直径，两条直径的交点即为圆心。 【考点】利用直径找圆心的实际操作 【重难点突破】关键一步是“直径所对的圆周角是直角”，利用三角尺的直角顶点在圆上来画直径。 学科网（北京）股份有限公司 $