5.1《认识方程》预习 课件 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦北师大版七年级上册“一元一次方程”第一节，系统梳理方程定义、一元一次方程概念、列方程及方程的解等核心知识点，通过实际问题（如门票款计算）导入，衔接小学等式知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于采用两日分段预习打卡设计，结合挖空填写、易错点汇总及真题训练，以模型思想引导学生用数学语言表达等量关系，通过转化思想培养列方程能力，助力学生发展抽象能力与应用意识，教师可借助结构化资源提升教学效率。

北师大版七年级上册预习 第五章 一元一次方程 第 1 节 认识方程 📅 两日分段预习打卡安排 【Day1 预习任务（建议 25min・方程概念模块）】 ✅ 达成目标：理解方程的定义，掌握一元一次方程的概念，能判断一个方程是否为一元一次方程 通读课本 P136-P137 认识方程的概念内容，自主完成下文「核心知识点 1-3」「基本概念 1-3」的挖空填写。 熟记方程的定义，理解一元一次方程的三个条件（一个未知数、整式、次数为1），能判断各式是否为方程或一元一次方程。 完成基础训练选择题第1-5题，对照答案订正错题。 打卡自检：能准确说出方程和一元一次方程的定义，能快速判断一个式子是否为一元一次方程。 【Day2 预习任务（建议 30min・列方程与方程的解模块）】 ✅ 达成目标：能根据实际问题中的等量关系列出方程，理解方程的解的概念，能判断一个数是否为方程的解 通读课本 P136-P137 尝试·思考和随堂练习内容，完成「核心知识点 4-6」「基本概念 4-5」剩余挖空填写。 掌握根据实际问题列方程的方法（审题→设未知数→找等量关系→列方程），理解方程的解的概念，能代入检验一个数是否为方程的解。 完成基础训练选择题第6-10题、填空题和解答题，整理个人易错点。 打卡自检：能根据简单实际问题列出一元一次方程，能代入检验方程的解。 一、核心知识点梳理 知识点 1：方程的定义 含有未知数的表示量相等的 称为方程。 例如：10x + 15(45 - x) = 475，x(x + 25) = 5850， - = ，都是用不同的代数式表示相等的量，它们都是方程。 方程必须同时满足两个条件：（1）是 （含有等号"="）；（2）含有 。 ⚠️易错提醒：方程一定是等式，但等式不一定是方程（如3+2=5是等式但不含未知数，不是方程）；含有未知数的式子不一定是方程（如2x+3是代数式，不是等式，不是方程）。 知识点 2：一元一次方程的定义 在一个方程中，只含有 未知数，且方程中的代数式都是 ，未知数的次数都是 ，这样的方程叫作一元一次方程。 例如：10x + 15(45 - x) = 475，2x + 3 = 7x + 4 都是一元一次方程。 一元一次方程必须同时满足三个条件： （1）只含有 未知数（"一元"）； （2）方程中的代数式都是 （分母中不含未知数）； （3）未知数的次数都是 （"一次"）。 💡重要结论：判断一个方程是否为一元一次方程，需要同时满足"一元""整式""一次"三个条件，缺一不可。 知识点 3：一元一次方程的一般形式 一元一次方程经过化简后，都可以化成 的形式，这是一元一次方程的一般形式。 其中a是未知数x的系数，b是常数项。 是一元一次方程的重要条件，如果a = 0，则方程不含未知数或未知数的次数不是1，就不是一元一次方程了。 例如：方程 2x + 3 = 7x + 4 化简后为 -5x - 1 = 0，即 5x + 1 = 0，其中a = 5，b = 1。 ⚠️易错提醒：一元一次方程的一般形式中，未知数的系数a不能为0，这是判断一元一次方程的关键。 知识点 4：根据实际问题列方程 列方程是解决实际问题的重要步骤，其基本思路是： （1）审题：认真阅读题目，理解题意，找出已知量和未知量； （2）设未知数：用字母（如x）表示题目中的未知量； （3）找等量关系：分析题目中各量之间的关系，找出能够表示题目全部含义的一个相等关系； （4）列方程：根据等量关系，用含未知数的代数式表示各量，列出方程。 例如：班级秋游活动，全体学生和老师共购买了45张门票，学生票每张10元，成人票每张15元，师生总票款为475元。设学生人数为x，则老师人数为(45 - x)，学生票款为10x元，成人票款为15(45 - x)元，根据"学生票款 + 成人票款 = 总票款"，可列方程：10x + 15(45 - x) = 475。 💡重要结论：列方程的关键是找出题目中的等量关系，等量关系往往隐含在题目描述中，需要仔细分析。 知识点 5：方程的解与解方程 使方程左、右两边的值相等的 的值，叫作方程的解。 求方程的解的过程称为解方程。 例如：对于方程 2x + 3 = 7，当x = 2时，左边 = 2×2 + 3 = 7，右边 = 7，左边 = 右边，所以x = 2是方程 2x + 3 = 7的解。 我国古代称未知数为元，只含有一个未知数的方程叫作一元方程，一元方程的解也叫根。 ⚠️易错提醒：方程的解是一个数值（未知数的值），而解方程是一个过程（求方程解的过程），二者概念不同，不要混淆。 知识点 6：检验方程的解 检验一个数是否为方程的解，方法是将这个数代入方程的左右两边，分别计算出结果，然后比较左右两边的值是否相等： （1）如果左边 = 右边，那么这个数是方程的解； （2）如果左边 ≠ 右边，那么这个数不是方程的解。 例如：检验x = 2是否为方程 3x + (10 - x) = 20的解。 解：把x = 2代入原方程， 左边 = 3×2 + (10 - 2) = 6 + 8 = 14， 右边 = 20， 因为左边 ≠ 右边，所以x = 2不是方程 3x + (10 - x) = 20的解。 💡重要结论：代入检验是判断方程解的基本方法，也是检验解方程结果是否正确的重要手段。 ⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错点1：含有未知数的式子就是方程。方程必须是含有未知数的等式，只含有未知数但不是等式的式子（如2x+3）不是方程。 易错点2：等式都是方程。等式不一定含有未知数，如3+2=5是等式但不是方程，只有含有未知数的等式才是方程。 易错点3：只含有一个未知数的方程就是一元一次方程。一元一次方程还需要满足"代数式都是整式"和"未知数的次数都是1"两个条件，如x²+2x=3只含一个未知数但次数是2，不是一元一次方程；1/x+2=3分母含未知数，不是整式方程，也不是一元一次方程。 易错点4：未知数的系数可以为0。一元一次方程中未知数的系数不能为0，如0x+3=5不是一元一次方程。 易错点5：方程的解和解方程是同一个概念。方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值（是一个数），解方程是求方程解的过程（是一个过程），二者概念不同。 易错点6：列方程时设未知数不明确。列方程时必须明确设哪个量为未知数，并用含未知数的代数式表示其他相关量，再根据等量关系列方程。 二、基本概念定义 方程：含有__未知数__的表示量相等的____称为方程。 一元一次方程：在一个方程中，只含有____未知数，且方程中的代数式都是____，未知数的次数都是____，这样的方程叫作一元一次方程。 一元一次方程的一般形式：ax + b = 0（其中a ____ 0）。 方程的解：使方程左、右两边的值相等的____的值，叫作方程的解。 解方程：求方程的____的过程称为解方程。 三、数学思想方法 1. 模型思想 方程是刻画现实世界中数量关系的重要数学模型。通过对实际问题中的数量关系进行分析，将实际问题抽象为数学问题，用方程这个数学模型来表示问题中的等量关系，从而为解决实际问题提供工具。模型思想是数学学习中的重要思想方法，体现了数学与现实世界的紧密联系。 2. 转化思想 在列方程解决实际问题时，需要将实际问题中的文字语言转化为数学语言（代数式和方程），将实际问题转化为数学问题。这种转化思想体现了"化实际为数学、化复杂为简单"的数学思维，是解决实际问题的重要思想方法。 3. 从特殊到一般的思想 一元一次方程的概念是从具体的方程（如10x + 15(45 - x) = 475，2x + 3 = 7x + 4）出发，归纳出这类方程的共同特征（一个未知数、整式、次数为1），从而形成一元一次方程的一般概念。这种从特殊到一般的思想方法，是数学中常用的研究方法，有助于我们发现和总结规律。 4. 符号化思想 用字母表示未知数，用代数式表示数量关系，用方程表示等量关系，体现了数学的符号化思想。符号化思想使得数学表达更加简洁、准确，是代数学习的基础。通过符号化，我们可以将实际问题中的数量关系用数学符号表示出来，便于分析和解决。 5. 方程思想 方程思想是指在解决问题时，通过分析问题中的数量关系，设未知数，列方程，从而将问题转化为解方程的问题来解决。方程思想是代数方法的核心，是解决实际问题的重要思想方法。在认识方程这一节中，我们初步体会方程思想，为后续学习解方程和用方程解决实际问题奠定基础。 四、真题训练 一、选择题 1.（2025-2026学年·北师大版同步）下列各式中，属于方程的是（　　　） A. 2x + 3 - (x + 2) B. 3x + 1 > 0 C. 3x - 1 = 4x + 2 D. 2 + 3 = 5 2.（2024-2025学年·黑龙江哈尔滨期中）下列各式中，是一元一次方程的是（　　　） A. 2x - 3y = 6 B. x² - 4x + 3 = 0 C. + 7 = 2 D. 3x + 1 = 0 3.（2025-2026学年·河南周口期末）下列方程中，属于一元一次方程的是（　　　） A. 2x + y = 5 B. x² - 2x + 1 = 0 C. - 2 = 3 D. 3x - 7 = 0 4.（2024-2025学年·广东广州海珠期末）下列各式中，是一元一次方程的是（　　　） A. x + y = 3 B. 2x - 1 = 5 C. x² = 9 D. + 2 = 4 5.（2025-2026学年·福建福州期末）若关于x的方程 (m - 1)x|m| + 3 = 0 是一元一次方程，则m的值为（　　　） A. 1 B. -1 C. ±1 D. 0 6.（2024-2025学年·北京平谷期末）若x = 2是方程 3x + a = 10的解，则a的值是（　　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7.（2025-2026学年·北京期中）下列各数中，是方程 2x - 1 = 5的解的是（　　　） A. x = 1 B. x = 2 C. x = 3 D. x = 4 8.（2024-2025学年·江苏泰州期末）若x = 2是关于x的一元一次方程 3x - m = 0的解，则m的值为（　　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9.（2025-2026学年·河南周口川汇期末）《九章算术》中记载："今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问：人数、物价各几何？"设人数为x人，根据题意，可列方程为（　　　） A. 8x - 3 = 7x + 4 B. 8x + 3 = 7x - 4 C. 8x - 3 = 7x - 4 D. 8x + 3 = 7x + 4 10.（2024-2025学年·广东信宜期末）某球队参加足球联赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。该球队已比赛了10场，并保持不败，一共得了22分。设该球队胜了x场，根据题意，可列方程为（　　　） A. 3x + (10 - x) = 22 B. 3x + 10 - x = 22 C. 3x + (10 + x) = 22 D. 3x - (10 - x) = 22 二、填空题 11.（2025-2026学年·北师大版同步）方程 (m - 2)x|m-1| + 4 = 0 是关于x的一元一次方程，则m = _____。 12.（2024-2025学年·广东海伦期末）如果方程 5x = -3x + k 的解为x = -1，则k = ______。 13.（2025-2026学年·北师大版同步）试写出一个解为x = 1的一元一次方程：______。 14.（2024-2025学年·北师大版同步）已知方程 (1 + a)x² + 2x - 3 = 2 是关于x的一元一次方程，则a = ______。 15.（2025-2026学年·辽宁大连甘井子期末）某长方形操场的面积是5850 m²，长比宽多25 m。设这个操场的宽为x m，根据题意，可列方程为______。 16.（2024-2025学年·广东潮安期末）已知方程 10 + ▲ = x，▲处被墨水盖住了，若该方程的解是x = 20，那么▲处的数字是_____。 三、解答题 17.（2025-2026学年·北师大版同步）下列各式中，哪些是方程？哪些是一元一次方程？ ① 2x + 3 = 7；② x² - 1 = 0；③ 3x + 2y = 5；④ + 2 = 3；⑤ 3 + 2 = 5；⑥ 2x - 1 > 3；⑦ 4x - 1 = 2x + 3。 18.（2024-2025学年·北师大版同步）检验x = 2是否为下列方程的解： （1）3x + (10 - x) = 20； （2）2x² + 6 = 7x。 19.（2025-2026学年·北师大版同步）根据题意列出方程（不解方程）： （1）古埃及纸草书中记载："啊哈，它的全部，它的1/7，其和等于19。"设问题中的"它"为x，列出方程。 （2）某班学生分组参加活动，原来每组8人，后来重新编组，每组6人，这样比原来增加了2组。设这个班共有x名学生，列出方程。 20.（2024-2025学年·北师大版同步）已知关于x的方程 (m - 3)x|m-2| + 4 = 0 是一元一次方程，求m的值。 21.（2025-2026学年·北师大版同步）若x = 3是关于x的方程 2x + a = 5x - 1的解，求a的值。 22.（2024-2025学年·北师大版同步）根据题意列出方程（不解方程）： 甲、乙两地相距22 km，张叔叔从甲地出发到乙地，每小时比原计划多走1 km，因此提前12 min到达乙地。设张叔叔原计划每小时走x km，列出方程。 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版七年级上册预习 第五章 一元一次方程 第 1 节 认识方程 📅 两日分段预习打卡安排 【Day1 预习任务（建议 25min・方程概念模块）】 ✅ 达成目标：理解方程的定义，掌握一元一次方程的概念，能判断一个方程是否为一元一次方程 通读课本 P136-P137 认识方程的概念内容，自主完成下文「核心知识点 1-3」「基本概念 1-3」的挖空填写。 熟记方程的定义，理解一元一次方程的三个条件（一个未知数、整式、次数为1），能判断各式是否为方程或一元一次方程。 完成基础训练选择题第1-5题，对照答案订正错题。 打卡自检：能准确说出方程和一元一次方程的定义，能快速判断一个式子是否为一元一次方程。 【Day2 预习任务（建议 30min・列方程与方程的解模块）】 ✅ 达成目标：能根据实际问题中的等量关系列出方程，理解方程的解的概念，能判断一个数是否为方程的解 通读课本 P136-P137 尝试·思考和随堂练习内容，完成「核心知识点 4-6」「基本概念 4-5」剩余挖空填写。 掌握根据实际问题列方程的方法（审题→设未知数→找等量关系→列方程），理解方程的解的概念，能代入检验一个数是否为方程的解。 完成基础训练选择题第6-10题、填空题和解答题，整理个人易错点。 打卡自检：能根据简单实际问题列出一元一次方程，能代入检验方程的解。 一、核心知识点梳理 知识点 1：方程的定义 含有未知数的表示量相等的 等式 称为方程。 例如：10x + 15(45 - x) = 475，x(x + 25) = 5850， - = ，都是用不同的代数式表示相等的量，它们都是方程。 方程必须同时满足两个条件：（1）是 等式 （含有等号"="）；（2）含有 未知数 。 ⚠️易错提醒：方程一定是等式，但等式不一定是方程（如3+2=5是等式但不含未知数，不是方程）；含有未知数的式子不一定是方程（如2x+3是代数式，不是等式，不是方程）。 知识点 2：一元一次方程的定义 在一个方程中，只含有 一个 未知数，且方程中的代数式都是 整式 ，未知数的次数都是 1 ，这样的方程叫作一元一次方程。 例如：10x + 15(45 - x) = 475，2x + 3 = 7x + 4 都是一元一次方程。 一元一次方程必须同时满足三个条件： （1）只含有 一个 未知数（"一元"）； （2）方程中的代数式都是 整式 （分母中不含未知数）； （3）未知数的次数都是 1 （"一次"）。 💡重要结论：判断一个方程是否为一元一次方程，需要同时满足"一元""整式""一次"三个条件，缺一不可。 知识点 3：一元一次方程的一般形式 一元一次方程经过化简后，都可以化成 ax + b = 0（a ≠ 0） 的形式，这是一元一次方程的一般形式。 其中a是未知数x的系数，b是常数项。 a ≠ 0 是一元一次方程的重要条件，如果a = 0，则方程不含未知数或未知数的次数不是1，就不是一元一次方程了。 例如：方程 2x + 3 = 7x + 4 化简后为 -5x - 1 = 0，即 5x + 1 = 0，其中a = 5，b = 1。 ⚠️易错提醒：一元一次方程的一般形式中，未知数的系数a不能为0，这是判断一元一次方程的关键。 知识点 4：根据实际问题列方程 列方程是解决实际问题的重要步骤，其基本思路是： （1）审题：认真阅读题目，理解题意，找出已知量和未知量； （2）设未知数：用字母（如x）表示题目中的未知量； （3）找等量关系：分析题目中各量之间的关系，找出能够表示题目全部含义的一个相等关系； （4）列方程：根据等量关系，用含未知数的代数式表示各量，列出方程。 例如：班级秋游活动，全体学生和老师共购买了45张门票，学生票每张10元，成人票每张15元，师生总票款为475元。设学生人数为x，则老师人数为(45 - x)，学生票款为10x元，成人票款为15(45 - x)元，根据"学生票款 + 成人票款 = 总票款"，可列方程：10x + 15(45 - x) = 475。 💡重要结论：列方程的关键是找出题目中的等量关系，等量关系往往隐含在题目描述中，需要仔细分析。 知识点 5：方程的解与解方程 使方程左、右两边的值相等的 未知数 的值，叫作方程的解。 求方程的解的过程称为解方程。 例如：对于方程 2x + 3 = 7，当x = 2时，左边 = 2×2 + 3 = 7，右边 = 7，左边 = 右边，所以x = 2是方程 2x + 3 = 7的解。 我国古代称未知数为元，只含有一个未知数的方程叫作一元方程，一元方程的解也叫根。 ⚠️易错提醒：方程的解是一个数值（未知数的值），而解方程是一个过程（求方程解的过程），二者概念不同，不要混淆。 知识点 6：检验方程的解 检验一个数是否为方程的解，方法是将这个数代入方程的左右两边，分别计算出结果，然后比较左右两边的值是否相等： （1）如果左边 = 右边，那么这个数是方程的解； （2）如果左边 ≠ 右边，那么这个数不是方程的解。 例如：检验x = 2是否为方程 3x + (10 - x) = 20的解。 解：把x = 2代入原方程， 左边 = 3×2 + (10 - 2) = 6 + 8 = 14， 右边 = 20， 因为左边 ≠ 右边，所以x = 2不是方程 3x + (10 - x) = 20的解。 💡重要结论：代入检验是判断方程解的基本方法，也是检验解方程结果是否正确的重要手段。 ⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错点1：含有未知数的式子就是方程。方程必须是含有未知数的等式，只含有未知数但不是等式的式子（如2x+3）不是方程。 易错点2：等式都是方程。等式不一定含有未知数，如3+2=5是等式但不是方程，只有含有未知数的等式才是方程。 易错点3：只含有一个未知数的方程就是一元一次方程。一元一次方程还需要满足"代数式都是整式"和"未知数的次数都是1"两个条件，如x²+2x=3只含一个未知数但次数是2，不是一元一次方程；1/x+2=3分母含未知数，不是整式方程，也不是一元一次方程。 易错点4：未知数的系数可以为0。一元一次方程中未知数的系数不能为0，如0x+3=5不是一元一次方程。 易错点5：方程的解和解方程是同一个概念。方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值（是一个数），解方程是求方程解的过程（是一个过程），二者概念不同。 易错点6：列方程时设未知数不明确。列方程时必须明确设哪个量为未知数，并用含未知数的代数式表示其他相关量，再根据等量关系列方程。 二、基本概念定义 方程：含有__未知数__的表示量相等的__等式__称为方程。 一元一次方程：在一个方程中，只含有__一个__未知数，且方程中的代数式都是__整式__，未知数的次数都是__1__，这样的方程叫作一元一次方程。 一元一次方程的一般形式：ax + b = 0（其中a __≠__ 0）。 方程的解：使方程左、右两边的值相等的__未知数__的值，叫作方程的解。 解方程：求方程的__解__的过程称为解方程。 三、数学思想方法 1. 模型思想 方程是刻画现实世界中数量关系的重要数学模型。通过对实际问题中的数量关系进行分析，将实际问题抽象为数学问题，用方程这个数学模型来表示问题中的等量关系，从而为解决实际问题提供工具。模型思想是数学学习中的重要思想方法，体现了数学与现实世界的紧密联系。 2. 转化思想 在列方程解决实际问题时，需要将实际问题中的文字语言转化为数学语言（代数式和方程），将实际问题转化为数学问题。这种转化思想体现了"化实际为数学、化复杂为简单"的数学思维，是解决实际问题的重要思想方法。 3. 从特殊到一般的思想 一元一次方程的概念是从具体的方程（如10x + 15(45 - x) = 475，2x + 3 = 7x + 4）出发，归纳出这类方程的共同特征（一个未知数、整式、次数为1），从而形成一元一次方程的一般概念。这种从特殊到一般的思想方法，是数学中常用的研究方法，有助于我们发现和总结规律。 4. 符号化思想 用字母表示未知数，用代数式表示数量关系，用方程表示等量关系，体现了数学的符号化思想。符号化思想使得数学表达更加简洁、准确，是代数学习的基础。通过符号化，我们可以将实际问题中的数量关系用数学符号表示出来，便于分析和解决。 5. 方程思想 方程思想是指在解决问题时，通过分析问题中的数量关系，设未知数，列方程，从而将问题转化为解方程的问题来解决。方程思想是代数方法的核心，是解决实际问题的重要思想方法。在认识方程这一节中，我们初步体会方程思想，为后续学习解方程和用方程解决实际问题奠定基础。 四、真题训练 一、选择题 1.（2025-2026学年·北师大版同步）下列各式中，属于方程的是（　　　） A. 2x + 3 - (x + 2) B. 3x + 1 > 0 C. 3x - 1 = 4x + 2 D. 2 + 3 = 5 【答案】 C 【解析】 本题考查方程的定义。方程是含有未知数的等式，需要同时满足"含有未知数"和"是等式"两个条件。 【解答】 解：A. 2x + 3 - (x + 2) 是代数式，不是等式，不是方程； B. 3x + 1 > 0 是不等式，不是等式，不是方程； C. 3x - 1 = 4x + 2 是含有未知数的等式，是方程； D. 2 + 3 = 5 是等式，但不含未知数，不是方程。 故选：C。 2.（2024-2025学年·黑龙江哈尔滨期中）下列各式中，是一元一次方程的是（　　　） A. 2x - 3y = 6 B. x² - 4x + 3 = 0 C. + 7 = 2 D. 3x + 1 = 0 【答案】 D 【解析】 本题考查一元一次方程的定义。一元一次方程必须同时满足：只含有一个未知数、代数式都是整式、未知数的次数都是1。 【解答】 解：A. 2x - 3y = 6 含有两个未知数，不是一元一次方程； B. x² - 4x + 3 = 0 中未知数的最高次数是2，不是一元一次方程； C. + 7 = 2 分母中含有未知数，不是整式方程，不是一元一次方程； D. 3x + 1 = 0 只含有一个未知数，是整式方程，未知数的次数是1，是一元一次方程。 故选：D。 3.（2025-2026学年·河南周口期末）下列方程中，属于一元一次方程的是（　　　） A. 2x + y = 5 B. x² - 2x + 1 = 0 C. - 2 = 3 D. 3x - 7 = 0 【答案】 D 【解析】 本题考查一元一次方程的定义。根据一元一次方程的三个条件逐一判断。 【解答】 解：A. 2x + y = 5 含有两个未知数，不是一元一次方程； B. x² - 2x + 1 = 0 中未知数的最高次数是2，不是一元一次方程； C. - 2 = 3 分母中含有未知数，不是整式方程，不是一元一次方程； D. 3x - 7 = 0 只含有一个未知数，是整式方程，未知数的次数是1，是一元一次方程。 故选：D。 4.（2024-2025学年·广东广州海珠期末）下列各式中，是一元一次方程的是（　　　） A. x + y = 3 B. 2x - 1 = 5 C. x² = 9 D. + 2 = 4 【答案】 B 【解析】 本题考查一元一次方程的定义。根据一元一次方程的定义逐项判断。 【解答】 解：A. x + y = 3 含有两个未知数，不是一元一次方程； B. 2x - 1 = 5 只含有一个未知数，是整式方程，未知数的次数是1，是一元一次方程； C. x² = 9 中未知数的最高次数是2，不是一元一次方程； D. + 2 = 4 分母中含有未知数，不是整式方程，不是一元一次方程。 故选：B。 5.（2025-2026学年·福建福州期末）若关于x的方程 (m - 1)x|m| + 3 = 0 是一元一次方程，则m的值为（　　　） A. 1 B. -1 C. ±1 D. 0 【答案】 B 【解析】 本题考查一元一次方程的定义。根据一元一次方程的定义，未知数的次数为1且系数不为0，列出关于m的条件求解。 【解答】 解：因为 (m - 1)x|m| + 3 = 0 是关于x的一元一次方程， 所以 |m| = 1 且 m - 1 ≠ 0， 由 |m| = 1，得 m = 1 或 m = -1， 由 m - 1 ≠ 0，得 m ≠ 1， 所以 m = -1。 故选：B。 6.（2024-2025学年·北京平谷期末）若x = 2是方程 3x + a = 10的解，则a的值是（　　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】 B 【解析】 本题考查方程的解的定义。将方程的解代入方程，得到关于参数的方程，求解即可。 【解答】 解：因为x = 2是方程 3x + a = 10的解， 所以把x = 2代入方程，得： 3×2 + a = 10， 即 6 + a = 10， 解得 a = 4。 故选：B。 7.（2025-2026学年·北京期中）下列各数中，是方程 2x - 1 = 5的解的是（　　　） A. x = 1 B. x = 2 C. x = 3 D. x = 4 【答案】 C 【解析】 本题考查方程的解的定义。将各选项中的x值代入方程，检验左右两边是否相等。 【解答】 解：A. 当x = 1时，左边 = 2×1 - 1 = 1 ≠ 5，不是方程的解； B. 当x = 2时，左边 = 2×2 - 1 = 3 ≠ 5，不是方程的解； C. 当x = 3时，左边 = 2×3 - 1 = 5 = 右边，是方程的解； D. 当x = 4时，左边 = 2×4 - 1 = 7 ≠ 5，不是方程的解。 故选：C。 8.（2024-2025学年·江苏泰州期末）若x = 2是关于x的一元一次方程 3x - m = 0的解，则m的值为（　　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】 D 【解析】 本题考查方程的解的定义。将方程的解代入方程，求解参数。 【解答】 解：因为x = 2是方程 3x - m = 0的解， 所以把x = 2代入方程，得： 3×2 - m = 0， 即 6 - m = 0， 解得 m = 6。 故选：D。 9.（2025-2026学年·河南周口川汇期末）《九章算术》中记载："今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问：人数、物价各几何？"设人数为x人，根据题意，可列方程为（　　　） A. 8x - 3 = 7x + 4 B. 8x + 3 = 7x - 4 C. 8x - 3 = 7x - 4 D. 8x + 3 = 7x + 4 【答案】 A 【解析】 本题考查根据实际问题列一元一次方程。根据"物价不变"这一等量关系列方程。 【解答】 解：设人数为x人， 每人出8钱，多3钱，则物价为 (8x - 3) 钱； 每人出7钱，少4钱，则物价为 (7x + 4) 钱。 因为物价不变，所以可列方程： 8x - 3 = 7x + 4。 故选：A。 10.（2024-2025学年·广东信宜期末）某球队参加足球联赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。该球队已比赛了10场，并保持不败，一共得了22分。设该球队胜了x场，根据题意，可列方程为（　　　） A. 3x + (10 - x) = 22 B. 3x + 10 - x = 22 C. 3x + (10 + x) = 22 D. 3x - (10 - x) = 22 【答案】 A 【解析】 本题考查根据实际问题列一元一次方程。根据"胜场得分 + 平场得分 = 总得分"这一等量关系列方程。 【解答】 解：设该球队胜了x场，因为保持不败，所以平了 (10 - x) 场。 胜场得分为 3x 分，平场得分为 1×(10 - x) = (10 - x) 分。 根据总得分22分，可列方程： 3x + (10 - x) = 22。 故选：A。 二、填空题 11.（2025-2026学年·北师大版同步）方程 (m - 2)x|m-1| + 4 = 0 是关于x的一元一次方程，则m = __0____。 【答案】 0 【解析】 本题考查一元一次方程的定义。根据一元一次方程的定义，未知数的次数为1且系数不为0，列出关于m的条件求解。 【解答】 解：因为 (m - 2)x|m-1| + 4 = 0 是关于x的一元一次方程， 所以 |m - 1| = 1 且 m - 2 ≠ 0， 由 |m - 1| = 1，得 m - 1 = 1 或 m - 1 = -1，即 m = 2 或 m = 0， 由 m - 2 ≠ 0，得 m ≠ 2， 所以 m = 0。 故答案为：0。 12.（2024-2025学年·广东海伦期末）如果方程 5x = -3x + k 的解为x = -1，则k = __-8____。 【答案】 -8 【解析】 本题考查方程的解的定义。将方程的解代入方程，求解参数。 【解答】 解：因为x = -1是方程 5x = -3x + k的解， 所以把x = -1代入方程，得： 5×(-1) = -3×(-1) + k， 即 -5 = 3 + k， 解得 k = -8。 故答案为：-8。 13.（2025-2026学年·北师大版同步）试写出一个解为x = 1的一元一次方程：___x - 1 = 0（答案不唯一）___。 【答案】 x - 1 = 0（答案不唯一） 【解析】 本题考查一元一次方程的解。根据方程的解的定义，写出一个满足x = 1的一元一次方程即可。 【解答】 解：因为x = 1时，x - 1 = 0， 所以方程 x - 1 = 0 的解为x = 1。 故答案为：x - 1 = 0（答案不唯一）。 14.（2024-2025学年·北师大版同步）已知方程 (1 + a)x² + 2x - 3 = 2 是关于x的一元一次方程，则a = __-1____。 【答案】 -1 【解析】 本题考查一元一次方程的定义。要使方程为一元一次方程，需要让x²项的系数为0。 【解答】 解：将方程 (1 + a)x² + 2x - 3 = 2 整理，得： (1 + a)x² + 2x - 5 = 0。 因为该方程是关于x的一元一次方程， 所以x²项的系数必须为0， 即 1 + a = 0， 解得 a = -1。 故答案为：-1。 15.（2025-2026学年·辽宁大连甘井子期末）某长方形操场的面积是5850 m²，长比宽多25 m。设这个操场的宽为x m，根据题意，可列方程为__x(x + 25) = 5850____。 【答案】 x(x + 25) = 5850 【解析】 本题考查根据实际问题列方程。根据长方形面积公式"长 × 宽 = 面积"列方程。 【解答】 解：设这个操场的宽为x m，则长为 (x + 25) m。 根据长方形面积 = 长 × 宽，可列方程： x(x + 25) = 5850。 故答案为：x(x + 25) = 5850。 16.（2024-2025学年·广东潮安期末）已知方程 10 + ▲ = x，▲处被墨水盖住了，若该方程的解是x = 20，那么▲处的数字是___10___。 【答案】 10 【解析】 本题考查方程的解的定义。设▲处的数字为a，将方程的解代入方程求解。 【解答】 解：设▲处的数字为a，则方程为 10 + a = x。 因为x = 20是方程的解， 所以把x = 20代入方程，得： 10 + a = 20， 解得 a = 10。 所以▲处的数字是10。 故答案为：10。 三、解答题 17.（2025-2026学年·北师大版同步）下列各式中，哪些是方程？哪些是一元一次方程？ ① 2x + 3 = 7；② x² - 1 = 0；③ 3x + 2y = 5；④ + 2 = 3；⑤ 3 + 2 = 5；⑥ 2x - 1 > 3；⑦ 4x - 1 = 2x + 3。 【答案】 方程有：①②③④⑦；一元一次方程有：①⑦。 【解析】 本题考查方程和一元一次方程的定义。根据方程和一元一次方程的定义逐一判断。 【解答】 解：① 2x + 3 = 7 是含有未知数的等式，是方程；只含一个未知数，是整式，未知数次数为1，是一元一次方程。 ② x² - 1 = 0 是含有未知数的等式，是方程；但未知数次数为2，不是一元一次方程。 ③ 3x + 2y = 5 是含有未知数的等式，是方程；但含有两个未知数，不是一元一次方程。 ④ + 2 = 3 是含有未知数的等式，是方程；但分母含未知数，不是整式方程，不是一元一次方程。 ⑤ 3 + 2 = 5 是等式，但不含未知数，不是方程。 ⑥ 2x - 1 > 3 是不等式，不是等式，不是方程。 ⑦ 4x - 1 = 2x + 3 是含有未知数的等式，是方程；只含一个未知数，是整式，未知数次数为1，是一元一次方程。 所以方程有：①②③④⑦；一元一次方程有：①⑦。 18.（2024-2025学年·北师大版同步）检验x = 2是否为下列方程的解： （1）3x + (10 - x) = 20； （2）2x² + 6 = 7x。 【答案】 （1）x = 2不是方程的解；（2）x = 2是方程的解。 【解析】 本题考查方程的解的检验方法。将x = 2分别代入方程的左右两边，比较是否相等。 【解答】 解：（1）把x = 2代入方程 3x + (10 - x) = 20， 左边 = 3×2 + (10 - 2) = 6 + 8 = 14， 右边 = 20， 因为左边 ≠ 右边， 所以x = 2不是方程 3x + (10 - x) = 20的解。 （2）把x = 2代入方程 2x² + 6 = 7x， 左边 = 2×2² + 6 = 2×4 + 6 = 8 + 6 = 14， 右边 = 7×2 = 14， 因为左边 = 右边， 所以x = 2是方程 2x² + 6 = 7x的解。 19.（2025-2026学年·北师大版同步）根据题意列出方程（不解方程）： （1）古埃及纸草书中记载："啊哈，它的全部，它的1/7，其和等于19。"设问题中的"它"为x，列出方程。 （2）某班学生分组参加活动，原来每组8人，后来重新编组，每组6人，这样比原来增加了2组。设这个班共有x名学生，列出方程。 【答案】 （1）x + = 19；（2） - = 2。 【解析】 本题考查根据实际问题列方程。分析题目中的等量关系，设未知数，列出方程。 【解答】 解：（1）设问题中的"它"为x，则它的全部为x，它的1/7为x/7， 根据"它的全部 + 它的 = 19"，可列方程： x + = 19。 （2）设这个班共有x名学生， 原来每组8人，则原来的组数为 组； 后来每组6人，则后来的组数为 组。 根据"后来的组数 - 原来的组数 = 2"，可列方程： - = 2。 20.（2024-2025学年·北师大版同步）已知关于x的方程 (m - 3)x|m-2| + 4 = 0 是一元一次方程，求m的值。 【答案】 m = 1 【解析】 本题考查一元一次方程的定义。根据一元一次方程的定义，未知数的次数为1且系数不为0，列出关于m的条件求解。 【解答】 解：因为 (m - 3)x|m-2| + 4 = 0 是关于x的一元一次方程， 所以 |m - 2| = 1 且 m - 3 ≠ 0， 由 |m - 2| = 1，得 m - 2 = 1 或 m - 2 = -1，即 m = 3 或 m = 1， 由 m - 3 ≠ 0，得 m ≠ 3， 所以 m = 1。 21.（2025-2026学年·北师大版同步）若x = 3是关于x的方程 2x + a = 5x - 1的解，求a的值。 【答案】 a = 8 【解析】 本题考查方程的解的定义。将方程的解代入方程，得到关于a的方程，求解即可。 【解答】 解：因为x = 3是方程 2x + a = 5x - 1的解， 所以把x = 3代入方程，得： 2×3 + a = 5×3 - 1， 即 6 + a = 15 - 1， 6 + a = 14， 解得 a = 8。 22.（2024-2025学年·北师大版同步）根据题意列出方程（不解方程）： 甲、乙两地相距22 km，张叔叔从甲地出发到乙地，每小时比原计划多走1 km，因此提前12 min到达乙地。设张叔叔原计划每小时走x km，列出方程。 【答案】 - = 【解析】 本题考查根据实际问题列方程。根据"原计划时间 - 实际时间 = 提前的时间"这一等量关系列方程，注意单位统一。 【解答】 解：设张叔叔原计划每小时走x km，则实际每小时走 (x + 1) km。 原计划所需时间为 小时， 实际所需时间为 小时。 因为提前12 min到达，12 min = 12/60 小时， 根据"原计划时间 - 实际时间 = 提前的时间"，可列方程： - = 。 学科网（北京）股份有限公司 $